王 健,劉星棟,支 晶

北京航天自動控制研究所,北京 100854

0 引言

隨著載人航天工程的推進(jìn),為了更好地完成空間交會對接任務(wù)、快速準(zhǔn)確地進(jìn)行軌道交會過程,有效載荷對火箭入軌的精度提出了更高的要求,也促進(jìn)了迭代制導(dǎo)技術(shù)的攻關(guān),及其在載人運(yùn)載火箭上的成功應(yīng)用[1]。

在很多情況下,因有效載荷入軌后快速對地定向等需要,不僅要求運(yùn)載火箭精確進(jìn)入預(yù)定軌道,而且要求其滿足一定的入軌姿態(tài)。但迭代制導(dǎo)技術(shù)在大幅提升運(yùn)載火箭入軌精度及對故障適應(yīng)能力的同時,帶來了入軌姿態(tài)偏差散布較大等問題[2]。對帶有姿態(tài)角約束的最優(yōu)入軌問題,工程上一般通過增加一套獨(dú)立的調(diào)姿系統(tǒng)來達(dá)到入軌姿態(tài)要求,但增加調(diào)姿系統(tǒng)會帶來運(yùn)載能力下降、可靠性降低等缺點(diǎn),亟需研究更為通用可靠的制導(dǎo)算法解決這一問題[3]。

本文針對推力方向可變、大小不變的運(yùn)載火箭,設(shè)計(jì)了一種定姿定點(diǎn)入軌的最優(yōu)制導(dǎo)方法,通過對最優(yōu)控制命題形式的轉(zhuǎn)化,利用代數(shù)方法推導(dǎo)出可解的哈密頓方程組,實(shí)現(xiàn)了定姿定點(diǎn)問題的求解,并通過仿真驗(yàn)證了方法的可行性。

1 問題的提出

1.1 運(yùn)載火箭質(zhì)心運(yùn)動方程的建立

先定義發(fā)射點(diǎn)重力慣性坐標(biāo)系,原點(diǎn)Oi位于發(fā)射點(diǎn),OiXi軸在水平面內(nèi),指向發(fā)射方向,OiYi軸垂直發(fā)射點(diǎn)水平面指向上方,OiZi軸與OiXi、OiYi構(gòu)成右手坐標(biāo)系。然后將坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi移到地心,就得到地心慣性坐標(biāo)系。

真空中火箭受力情況比較單一,所受干擾主要是發(fā)動機(jī)及箭體結(jié)構(gòu)的干擾,相對固定,發(fā)動機(jī)推力比較平穩(wěn)。對真空二級上升段的運(yùn)載火箭進(jìn)行受力分析,忽略氣動力影響,作用在火箭質(zhì)心上的總外力Fs可以表示為[4]:

Fs=mg+P

(1)

其中:mg為作用在火箭上的地心引力矢量,P為作用在火箭上的發(fā)動機(jī)推力矢量。

g=-ω2r

(2)

認(rèn)為火箭發(fā)動機(jī)推力大小不變、方向可調(diào),則推力矢量可以表示為:

P=T·ib

(3)

其中:T為發(fā)動機(jī)推力大小,ib為推力方向矢量。

綜上所述,在不考慮氣動力影響的條件下,運(yùn)載火箭在真空上升段相對于地心慣性坐標(biāo)系的質(zhì)心運(yùn)動方程如下:

(4)

其中:r為火箭在該點(diǎn)的地心矢徑;v為火箭在該點(diǎn)的速度矢量。

1.2 最優(yōu)控制命題的建立

在地心慣性坐標(biāo)系Oi-xiyizi中,建立了火箭的質(zhì)心動力學(xué)方程(4),并依此建立最優(yōu)控制命題。

由于火箭推力大小可變,狀態(tài)變量為:

X(t)=[r(t),v(t)]T

(5)

相應(yīng)的協(xié)態(tài)變量為:

λ(t)=[Pr(t),P(t)]

(6)

地心慣性系下的狀態(tài)方程為:

(7)

其中:F為定常的推力;m0為初始質(zhì)量;β為推進(jìn)劑秒耗量,也是定常參數(shù)。

以燃料最省為性能指標(biāo):

(8)

由于秒耗量β為定值,燃料最省等價于時間最省,性能指標(biāo)可以寫作:

(9)

控制變量為推力方向:

ib(ibx,iby,ibz)T

(10)

其中:ibx,iby,ibz為推力在地心慣性坐標(biāo)系下的分量。

控制變量有約束條件:

(11)

位置矢量初值:r(t0)=r0固定;

初始時間:t0固定;

位置矢量終值:r(tf)=rf固定;

速度矢量終值:v(tf)=vf固定;

終端時間(入軌時間):tf自由。

而且在規(guī)劃飛行軌跡時,還可以使用該方法分析可控范圍,以求解得出的v(t0)與任務(wù)要求相比,分析入軌姿態(tài)要求是否在可控集合的范圍內(nèi)。

2 最優(yōu)控制問題的求解

2.1 控制量有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題

(12)

式中:控制變量為u(s),無約束。

記:

(13)

(14)

2.2 正則方程的求解

采用變分法,定義增廣泛函為:

(15)

(16)

可得,

H(tf)=0

(17)

協(xié)態(tài)方程:

(18)

控制方程:

(19)

由式(19)可得:

(20)

其中:

(21)

即

(22)

(23)

所以,

(24)

可得,

(25)

即,

(26)

(27)

(28)

(29)

矩陣(28)的秩為2,故方程組(29)的解空間是一維的。

2.3 正則方程的求解

3 數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證

3.1 仿真場景

本文考慮某運(yùn)載火箭二級真空上升段,以入軌進(jìn)行空間交會對接的場景為算例對本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

3.2 仿真結(jié)果

本次數(shù)值仿真在MATLAB2010b環(huán)境中實(shí)現(xiàn),采用內(nèi)置Gauss偽譜法的SNOPT非線性規(guī)劃求解器[6-7]求解協(xié)態(tài)變量。經(jīng)過優(yōu)化計(jì)算和連續(xù)仿真后得到火箭飛行最優(yōu)控制曲線及相應(yīng)速度位置變化曲線如圖1～2所示。

圖2 位置

仿真得到入軌點(diǎn)速度位置及其與目標(biāo)值的偏差見表3。

表1 模型參數(shù)

表2 端點(diǎn)約束

表3 入軌點(diǎn)速度位置偏差(tf=480 s)

由圖1～2及表3中的仿真結(jié)果可以看出,在誤差允許范圍內(nèi),本文針對定姿定點(diǎn)入軌設(shè)計(jì)的最優(yōu)制導(dǎo)方法能夠使火箭在指定的地點(diǎn)以設(shè)定的姿態(tài)進(jìn)入預(yù)定軌道。

4 結(jié)論

本文對火箭定姿定點(diǎn)問題進(jìn)行了分析,建立了相應(yīng)的最優(yōu)控制命題。通過引入新的控制變量將命題轉(zhuǎn)化為控制變量無約束問題,并利用變分法求得了一個可解的哈密頓方程組。通過偽譜法求得初始協(xié)態(tài)后可快速求得最優(yōu)控制曲線。

經(jīng)仿真驗(yàn)證,本文提出的最優(yōu)制導(dǎo)方法可以解決定火箭定姿定點(diǎn)入軌問題,通過調(diào)節(jié)火箭的發(fā)動機(jī)推力方向,即可以使載荷從目標(biāo)點(diǎn)以預(yù)定姿態(tài)精確入軌。