王志軍， 張小濤， 李夢(mèng)祥

（華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 河北 唐山 063210）

隨著科技的發(fā)展，智能機(jī)器人正加速融入工業(yè)生產(chǎn)和日常生活。六維力傳感器作為實(shí)現(xiàn)智能機(jī)器人“觸覺”的重要感知元件，得到了世界各國學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。現(xiàn)階段，六維力傳感器主要包括電容型、壓電型、光電型和應(yīng)變片型等幾種類型。但由于受到機(jī)械結(jié)構(gòu)原理、機(jī)械加工誤差、應(yīng)變片粘貼位置以及系統(tǒng)標(biāo)定方式的影響，任何類型的六維力傳感器均會(huì)不可避免地產(chǎn)生耦合誤差[2-4]。在此前的研究中，減小耦合誤差的方式主要有改變結(jié)構(gòu)和材料、改善加工工藝等，即從根源上進(jìn)行結(jié)構(gòu)解耦。積木拼裝式六維力傳感器是最早開發(fā)的、最具有代表性的結(jié)構(gòu)解耦式六維力傳感器，其通過多個(gè)應(yīng)變檢測模塊實(shí)現(xiàn)對(duì)不同力的檢測，從而達(dá)到結(jié)構(gòu)解耦的目的。但由于加工裝配難度過大以及測量精度不理想，積木拼裝式六維力傳感器并沒有得到廣泛應(yīng)用。與結(jié)構(gòu)解耦相對(duì)應(yīng)的是軟件解耦，軟件解耦是指采用合適的算法推導(dǎo)出六維力傳感器輸入值與輸出值的關(guān)系。實(shí)現(xiàn)軟件解耦的方法有2種：第1種是線性解耦，最常用的是最小二乘法[5]；第2種是維間解耦，適用于線性解耦無法解決問題的場合，最常用的是機(jī)器學(xué)習(xí)算法，包括BP（back propagation，反向傳播）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、隨機(jī)森林[7]和極限學(xué)習(xí)機(jī)[8]等。綜上可知，結(jié)構(gòu)解耦雖然原理簡單，但會(huì)增加加工難度和制造成本；軟件解耦雖能夠有效降低制造成本，但運(yùn)算復(fù)雜，易出現(xiàn)病態(tài)矩陣，導(dǎo)致精度降低。因此，設(shè)計(jì)一種運(yùn)算簡單、精確度高的六維力傳感器解耦算法具有重要意義。

為此，筆者首先對(duì)六維力傳感器的線性解耦算法進(jìn)行研究，并對(duì)其進(jìn)行耦合誤差分析。然后，在線性解耦算法的基礎(chǔ)上，提出基于多項(xiàng)式擬合的六維力傳感器解耦算法。最后，基于正交并聯(lián)六維力傳感器的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)2種解耦算法進(jìn)行誤差分析，旨在為提高六維力傳感器的精度提供新思路。

1 六維力傳感器耦合分析及其耦合模型構(gòu)建

1.1 耦合分析

現(xiàn)階段，六維力傳感器的結(jié)構(gòu)主要分為一體式和并聯(lián)式。一體式六維力傳感器由金屬材料經(jīng)一次加工形成，通過布置在空間內(nèi)不同方位的應(yīng)變片組合來確定六維外力。一體式六維力傳感器的結(jié)構(gòu)形式有多種[9-13]，其中十字梁結(jié)構(gòu)的六維力傳感器（見圖1）最為常用。但是，由于一體式六維力傳感器的結(jié)構(gòu)具有整體性，當(dāng)對(duì)其某一方向施加外力時(shí)，會(huì)引起其他方向力的耦合，即形成維間耦合誤差，無法實(shí)現(xiàn)完全解耦。并聯(lián)式六維力傳感器采用球鉸連接的方式，其測力分支可看作只承受軸向力的二力桿。由機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析可知，當(dāng)將外力施加到并聯(lián)式六維力傳感器上時(shí)，其測量分支上的敏感元件之間不存在應(yīng)力耦合，巧妙地實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)解耦。但在實(shí)際應(yīng)用中，完全理想的球鉸不易實(shí)現(xiàn)，通常采用傳統(tǒng)球副代替，但傳統(tǒng)球副存在加工誤差、理論間隙和摩擦轉(zhuǎn)矩等，導(dǎo)致并聯(lián)式六維力傳感器也存在維間耦合。此外，并聯(lián)式六維力傳感器的自身結(jié)構(gòu)也是引起維間耦合的重要因素。如圖2所示的Stewart并聯(lián)結(jié)構(gòu)六維力傳感器，其所受的任何方向的力或力矩均由6個(gè)測力分支測得，當(dāng)所受外力為單方向時(shí)，6個(gè)測力分支均只承受軸向力。結(jié)合一階靜力學(xué)矩陣可知，該六維力傳感器在所有方向上均存在測量值，即自身結(jié)構(gòu)造成了耦合誤差。

圖1 十字梁結(jié)構(gòu)六維力傳感器Fig.1 Six-dimensional force sensor with cross beam structure

圖2 Stewart并聯(lián)結(jié)構(gòu)六維力傳感器Fig.2 Stewart six-dimensional force sensor with parallel structure

1.2 耦合模型構(gòu)建

根據(jù)上文分析，在理想情況下，當(dāng)六維力傳感器只有單方向力/力矩輸入時(shí)，其輸出應(yīng)只在對(duì)應(yīng)方向上存在。但由于存在維間耦合，使得六維力傳感器在其他方向上也存在輸出。根據(jù)六維力傳感器的耦合關(guān)系，得到其輸入-輸出耦合模型，如圖3所示。

圖3 六維力傳感器的輸入-輸出耦合模型Fig.3 Input-output coupling model of six-dimensional force sensor

根據(jù)圖3，利用矩陣形式表示六維力傳感器的耦合關(guān)系，可得：

其中：

式中：Fs為六維力傳感器所受的廣義力（輸入力），F(xiàn)si(i=1, 2, …,6)為第i維輸入量；Fc為六維力傳感器的輸出力，F(xiàn)cj(j=1, 2, …, 6)為第j維輸出量；Hij(i≠j)為第i維輸入量與第j維輸出量的耦合關(guān)系函數(shù)。

為簡化上述數(shù)學(xué)模型，將任意輸出量Fcj(j=1, 2, …, 6)與各輸入量Fsi(i=1, 2, …, 6)的關(guān)系表示為：

式中：Hij(Fsi)為關(guān)于Fsi的函數(shù)。

式(2)中Hij(Fsi)的表達(dá)式可用以下多項(xiàng)式的形式表示：

由式(3)可知，確定六維力傳感器耦合函數(shù)的問題可轉(zhuǎn)換為確定其多項(xiàng)式階數(shù)和各階系數(shù)的問題。

2 六維力傳感器的線性解耦算法

線性解耦算法是最常見的六維力傳感器解耦算法，其實(shí)現(xiàn)前提為：1）假定六維力傳感器系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；2）六維力傳感器所受的廣義外力必須可分解為3個(gè)方向上的力/力矩分量；3）六維力傳感器輸出的電壓信號(hào)可以相互累加。線性解耦算法的工作原理為：通過對(duì)輸入量和輸出量進(jìn)行線性擬合，進(jìn)而得到標(biāo)定矩陣[14-15]。采用矩陣形式可表示為：

式中：G為標(biāo)定矩陣；U為六維力傳感器產(chǎn)生的電壓信號(hào)，U=[U1U2…Um]T。

根據(jù)式(4)，利用最小二乘法擬合得到標(biāo)定矩陣G：

式中：U-為U的偽逆矩陣，U-=UT(UUT)-1。

聯(lián)立式(4)和式(5)，可得標(biāo)定矩陣G：

式(6)中G為6×m階標(biāo)定矩陣，即解耦矩陣。為了能夠獲得較為準(zhǔn)確的標(biāo)定矩陣，標(biāo)定的次數(shù)必須遠(yuǎn)大于標(biāo)定矩陣的維數(shù)。

進(jìn)而得到六維力傳感器所產(chǎn)生的電壓信號(hào)U與其輸出力Fc的關(guān)系：

由于存在加工誤差以及零點(diǎn)漂移等因素的影響，六維力傳感器的輸入-輸出關(guān)系往往不是線性關(guān)系，可能是多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系。因此，六維力傳感器的線性解耦算法存在很大的耦合誤差。

3 基于多項(xiàng)式擬合的六維力傳感器解耦算法

以提高六維力傳感器的精度為目的，提出了基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法。為了消除六維力傳感器工作時(shí)零值點(diǎn)不為0的現(xiàn)象對(duì)其精度的影響[16]，通過調(diào)控將其空載狀態(tài)下的輸出值設(shè)為0。此時(shí)，耦合矩陣H中每一行耦合函數(shù)的相加輸出值為0，即可認(rèn)為任意耦合函數(shù)的表達(dá)式為：

由式(8)可知，該耦合函數(shù)可直接從一階自變量的系數(shù)開始考慮。任何一種六維力傳感器均可通過調(diào)控來實(shí)現(xiàn)空載狀態(tài)下的輸出值為0。本文基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法的前提為空載狀態(tài)下輸出值為0。

3.1 具體解耦過程

在空載狀態(tài)下輸出值為0的情況下，當(dāng)輸入量Fsx不為0，其余輸入量均為0時(shí)，Hij(i≠1)均等于0，此時(shí)通過賦予不同的Fsx，即可得到不同的輸出量Fcj(j=1, 2, …, 6)。對(duì)輸入量Fsx和輸出量Fcj進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，即可得到相應(yīng)的耦合函數(shù)表達(dá)式：

在相同條件下，當(dāng)輸入量Fsy不為0，其余輸入量均為0時(shí)，Hij(i≠2)均等于0，此時(shí)通過賦予不同的Fsy，即可得到不同的輸出量Fcj(j=1, 2, …, 6)。對(duì)輸入量Fsy和輸出量Fcj進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，即可得到相應(yīng)的耦合函數(shù)表達(dá)式：

同理，分別令輸入量Fsz、Msx、Msy、Msz不為0，其余輸入量均為0，即可求得其余Hij(Fsi)的函數(shù)表達(dá)式。由此，可得到輸入-輸出耦合矩陣H。根據(jù)求得的耦合矩陣，聯(lián)合式(4)，可求解得到解耦后的各維輸出量，表示為：

式中：ΔFcj為解耦后的輸出量。

3.2 數(shù)值算例

以圖4所示的正交并聯(lián)六維力傳感器為研究對(duì)象開展標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，并利用線性解耦算法和基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法進(jìn)行解耦求解。

圖4 正交并聯(lián)六維力傳感器Fig.4 Orthogonal parallel six-dimensional force sensor

在正交并聯(lián)六維力傳感器的各方向測量范圍內(nèi)分別取10個(gè)加載點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，得到其各測量分支的輸出電壓并代入式(6)，即得到其標(biāo)定矩陣G：

對(duì)正交并聯(lián)六維力傳感器施加不同的力Fsx（均為x正方向的力），通過標(biāo)定實(shí)驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)，如表1所示。從表1中可以看出，當(dāng)六維力傳感器的x正方向有輸入力Fsx時(shí)，各個(gè)方向均有力/力矩的輸出。由此可見，維間耦合是影響六維力傳感器精度的一個(gè)重要因素。

表1 不同F(xiàn)sx下正交并聯(lián)六維力傳感器的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 1 Calibration experiment results of orthogonal parallel six-dimensional force sensor under different Fsx

根據(jù)表1所示的標(biāo)定數(shù)據(jù)，采用基于多項(xiàng)式擬合的六維力傳感器解耦算法進(jìn)行解耦求解。因篇幅限制，本文只給出施加標(biāo)準(zhǔn)力Fsx和Fsy時(shí)的擬合函數(shù)和擬合圖像，實(shí)施過程如下。

對(duì)x正方向施加標(biāo)準(zhǔn)力Fsx，記錄其余5個(gè)通道力/力矩的輸出量Fcy、Fcz、Mcx、Mcy、Mcz。根據(jù)測量結(jié)果，進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，結(jié)果分別如圖5至圖9所示。各輸出量Fcy、Fcz、Mcx、Mcy、Mcz與Fsx的耦合函數(shù)分別為：

圖5 Fcy與Fsx的耦合關(guān)系Fig.5 Coupling relationship between Fcy and Fsx

圖6 Fcz與Fsx的耦合關(guān)系Fig.6 Coupling relationship between Fcz and Fsx

圖7 Mcx與Fsx的耦合關(guān)系Fig.7 Coupling relationship between Mcx and Fsx

圖8 Mcy與Fsx的耦合關(guān)系Fig.8 Coupling relationship between Mcy and Fsx

圖9 Mcz與Fsx的耦合關(guān)系Fig.9 Coupling relationship between Mcz and Fsx

對(duì)y正方向施加標(biāo)準(zhǔn)力Fsy，記錄其余5個(gè)通道力/力矩的輸出量Fcx、Fcz、Mcx、Mcy、Mcz。根據(jù)測量結(jié)果，進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，結(jié)果如圖10至圖14所示。各輸出量Fcx、Fcz、Mcx、Mcy、Mcz與Fsy的耦合函數(shù)分別為：

圖10 Fcx與Fsy的耦合關(guān)系Fig.10 Coupling relationship between Fcx and Fsy

圖11 Fcz與Fsy的耦合關(guān)系Fig.11 Coupling relationship between Fcz and Fsy

圖12 Mcx與Fsy的耦合關(guān)系Fig.12 Coupling relationship between Mcx and Fsy

圖13 Mcy與Fsy的耦合關(guān)系Fig.13 Coupling relationship between Mcy and Fsy

圖14 Mcz與Fsy的耦合關(guān)系Fig.14 Coupling relationship between Mcz and Fsy

4 基于不同解耦算法的六維力傳感器誤差分析

為了確定基于多項(xiàng)式擬合的六維力傳感器解耦算法的優(yōu)劣程度，根據(jù)上述解耦結(jié)果建立誤差矩陣，以進(jìn)行精度評(píng)價(jià)。本文主要針對(duì)線性度誤差和最大耦合誤差展開分析。

分別將式(7)、式(11)對(duì)應(yīng)的矩陣形式與式(4)相減并對(duì)各元素取絕對(duì)值，可得：

式(12)和式(13)即為基于2種解耦算法的六維力傳感器檢測力與實(shí)際施加力的偏差，即線性度誤差；將各方向力的最大偏差與該方向力最大量程之比作為各方向的最大耦合誤差。以施加Fsx為例，最大耦合誤差用矩陣形式可表示為：

式中：max()為取最大值的函數(shù)；FxM、FyM、…、MzM為各方向力/力矩的滿量程值。

經(jīng)計(jì)算，線性解耦算法的誤差矩陣EL1為：

基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法的誤差矩陣EL2為：

2種解耦算法的誤差分析結(jié)果如表2所示。對(duì)比表2中的各組數(shù)據(jù)可知，由于正交并聯(lián)六維力傳感器的線性度誤差較小，因此2種解耦方法均具有良好的解耦性能，即解耦算法對(duì)線性度誤差的影響較?。?種算法對(duì)應(yīng)的線性度誤差最大僅相差0.111個(gè)百分點(diǎn)）。此外，相較于線性解耦，多項(xiàng)式擬合解耦使六維力傳感器各方向的最大耦合誤差顯著減小，尤其是Fz，減小了8.914個(gè)百分點(diǎn)。綜合來看，基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法更能抑制六維力傳感器耦合誤差的影響，有效地提高了其精度。

表2 不同解耦算法的誤差分析結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of error analysis results of different decoupling algorithms%

5 結(jié) 論

本文首先分析了六維力傳感器耦合誤差的產(chǎn)生原因，并得到了其耦合模型；然后研究了六維力傳感器的線性解耦算法，并在此基礎(chǔ)上提出了基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法；最后對(duì)正交并聯(lián)六維力傳感器進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，并分別用2種解耦算法進(jìn)行求解。結(jié)果表明：基于多項(xiàng)式擬合的解耦算法更能減小六維力傳感器自身的耦合誤差，有效提高了其精度并解決了零點(diǎn)漂移所帶來的影響。