石亞卿,王煒,趙景昆

(1 中國科學(xué)院國家天文臺 中國科學(xué)院光學(xué)天文重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100049; 2 中國科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院, 北京 100101; 3 中國科學(xué)院國家天文臺 中智南美天文中心, 北京 100101) (2022年1月14日收稿; 2022年4月7日收修改稿)

自Mayor與Queloz[1]于1995年通過視向速度法首次發(fā)現(xiàn)第一顆太陽系外行星飛馬座51b以來,天文學(xué)家已發(fā)現(xiàn)了4 935多顆系外行星(截至2022年2月22日,數(shù)據(jù)來源于https:∥exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/)。飛馬座51b是一顆典型的熱木星,即:公轉(zhuǎn)周期少于10 d,溫度高于1 000 K的氣體巨行星。隨著樣本數(shù)量的飛速增長,系外行星及其大氣的觀測研究發(fā)展迅猛,使得系外行星的形成和演化等理論也日趨成熟。

Charbonneau等[2]于2002年利用哈勃空間望遠(yuǎn)鏡對熱木星HD 209458b展開多次凌星觀測,首次探測到太陽系外行星的大氣,揭開了探測和研究行星大氣的序幕。在隨后的20年里,利用空間望遠(yuǎn)鏡哈勃、斯皮澤及大型地面光學(xué)紅外望遠(yuǎn)鏡,對大量系外行星的大氣開展了不同程度的研究?，F(xiàn)已在系外行星大氣中探測到約20種原子及分子[3],如在HD 189733b, HD 209458b等系外行星大氣中探測到水、一氧化碳及鈉[4-8];在 KELT-9b上探測到大氣中可能存在鐵(Fe)及鈦(Ti)或者鈦離子[9]。系外行星領(lǐng)域的研究重點(diǎn)已逐漸由搜尋探測轉(zhuǎn)移到通過高精度測光和光譜觀測來測定系外行星大氣的性質(zhì)和成分,并對行星性質(zhì)進(jìn)行限制。而這些高精度的觀測為系外行星的化學(xué)組成、大氣溫度輪廓、 云/霾分布、大氣動力學(xué)及大氣逃逸等理論提供了良好的限制,并極大促進(jìn)了行星大氣模型、行星大氣光譜模型等研究的飛速發(fā)展[10]。

系外行星大氣信號非常暗弱,且淹沒在其主星的輻射中。對于熱木星,行星大氣的透射信號大約是恒星信號的10-3,發(fā)射信號大約為其10-4,對于更小更冷的行星,信號更弱。因此,要對系外行星大氣進(jìn)行有效的研究,需要觀測數(shù)據(jù)的精度優(yōu)于10-4。本文定義精度優(yōu)于10-4的測光為超高精度測光?？臻g望遠(yuǎn)鏡如哈勃[11]、斯皮澤[12]、開普勒[13]、TESS[14],因不受地球大氣及觀測時長影響,儀器設(shè)備條件相對穩(wěn)定,測光及光譜精度較高,可接近或優(yōu)于10-4。例如對超熱木星WASP-12b,TESS 獲得的測光精度達(dá)到10-5量級[15]。但空間望遠(yuǎn)鏡時間寶貴,大部分系外行星大氣的觀測還是依賴于地面望遠(yuǎn)鏡。

而地基望遠(yuǎn)鏡因受地球大氣抖動、天氣變化、連續(xù)觀測時長、望遠(yuǎn)鏡指向等因素的影響,即使在測光條件良好的情況下,采用傳統(tǒng)的觀測模式和數(shù)據(jù)處理方法也很難達(dá)到或優(yōu)于10-3的絕對測光精度和優(yōu)于10-4的較差測光精度。

為通過超高精度測光方法探測和研究系外行星大氣,地面望遠(yuǎn)鏡——加拿大法國夏威夷望遠(yuǎn)鏡(Canada-France-Hawaii telescope,CFHT) 開發(fā)了“凝視”觀測模式,通過4個子窗口實(shí)時高頻監(jiān)測視場中4顆參考星的位置,快速調(diào)整望遠(yuǎn)鏡姿態(tài),從而維持望遠(yuǎn)鏡指向的高精度和穩(wěn)定性[16]。CFHT望遠(yuǎn)鏡是一臺口徑為3.6 m的光學(xué)/紅外望遠(yuǎn)鏡,其配備的WIRCam紅外照相機(jī)擁有20′的視場,由4塊HAWAII2-RG探測器組成,是世界上最大的天文紅外探測器之一,也是用于探測系外行星熱輻射的重要地基望遠(yuǎn)鏡之一。采用凝視觀測模式之后,星像中心在探測器上位置移動很小,最多不超過2個像素。Croll等[17-18], Wang等[19], Martioli等[20]的工作都利用 CFHT 成功獲得10-4量級的測光精度,從而對熱木星大氣給出了重要的觀測限制。其他大型望遠(yuǎn)鏡,包括Very Large Telescope (VLT) ,Hale 5 m望遠(yuǎn)鏡,也開展了類似的觀測研究[21-22]。然而,即使采用了 “視觀測模式”,并不代表一定能獲得超高精度,還需要優(yōu)化觀測模式、較差測光算法、模擬并扣除紅噪聲,才能最終達(dá)到10-4量級的測光精度。

高精度的時域測光不僅適用于行星凌星探測、行星大氣研究,也可用于恒星活動性、 星震、雙星系統(tǒng)等多種研究。不同科學(xué)目標(biāo)所要求的時間采樣率、測光精度不同,但總體來說,精度越高,可獲得的信息越豐富越準(zhǔn)確。影響測光精度有多重因素,能夠模擬它們并消除各種因素帶來的影響,使得測光精度接近理論極限,對科學(xué)研究是極為重要和關(guān)鍵的。

本文首先以系外行星凌星觀測為例,介紹超高精度測光的基本原理和方法;然后以從CFHT的寬視場紅外相機(jī)WIRCam獲得的超熱木星WASP-103b在J與Ks波段的兩次次食觀測為例,討論如何設(shè)計觀測并通過后期的數(shù)據(jù)處理和分析,實(shí)現(xiàn)亞毫星等的測光精度。

1 測光誤差及超高精度測光

1.1 時序測光誤差分析

探測系外行星大氣信號的主要方法是凌星法和次食法。當(dāng)行星位于恒星面與望遠(yuǎn)鏡之間,即凌星時,行星本身對恒星面的遮擋造成系統(tǒng)的總亮度下降,下降幅度正比于行星恒星半徑平方比。行星大氣也會對恒星光造成一定的吸收,其吸收深度取決于連續(xù)譜和譜線吸收深度,與行星大氣的性質(zhì),包括溫度密度輪廓、分子混合比等密切相關(guān)。測量行星凌星時不同波長處的吸收深度,即透射光譜,可定量研究行星大氣的性質(zhì)。

而當(dāng)行星位于恒星背面,即發(fā)生次食時,行星被恒星遮擋,整個系統(tǒng)的總亮度有微弱的下降。這個下降的亮度即反映了行星的亮度,是行星本身的熱輻射及反射的恒星輻射被行星大氣吸收和散射之后的亮度。因此,行星大氣本身的發(fā)射光譜與行星的大氣參數(shù)也密切相關(guān),可用于研究行星大氣性質(zhì)。要獲得這兩種光譜,都需對凌星系統(tǒng)開展數(shù)小時或幾十到上百次曝光的時域觀測,通過對比整個系統(tǒng)在凌星/次食時的亮度與凌星之外的亮度,獲得透射或發(fā)射光譜信號。

單次測光的理論誤差一般由測光孔徑內(nèi)的信噪比決定,而信噪比(signal-to-noise ratio, 簡稱 SNR)有如下計算公式

(1)

其中:Np為總的由目標(biāo)星光子轉(zhuǎn)換成的電子的數(shù)目;而Nb是總的背景噪聲電子數(shù),包括了天光背景對應(yīng)的電子數(shù),探測器讀出噪聲和暗電流。

假設(shè)Nb=0,要實(shí)現(xiàn)SNR=10 000,對應(yīng)精度約為 10-4,需要總的星光電子數(shù)為108。對于K=12.5等的恒星,利用3.5 m口徑、總系統(tǒng)效率為0.3的望遠(yuǎn)鏡,需要積分時間20 min才能在探測器上收集到108個電子。而實(shí)際上Nb>0,因此要實(shí)現(xiàn)超高精度,目前只能針對亮星,即K<12.5。也因此,在高精度測光中遇到的情況是光子噪聲占主導(dǎo)地位,而光子噪聲是隨機(jī)噪聲,或稱白噪聲,服從泊松分布,無法消除或減弱。天光背景、探測器讀出電路和暗電流帶來的噪聲,也無法扣除,只會在積分時間增加、光子數(shù)增加的情況下,其相對影響逐漸變小。因此,要想獲得接近于極限的測光精度,首先要盡量增加有效積分時間,其次是需要在觀測時盡量減少紅噪聲,在數(shù)據(jù)處理時通過各種算法削弱它們的影響。這是實(shí)現(xiàn)超高精度較差時序測光的關(guān)鍵。

1.2 觀測策略和儀器設(shè)置

首先,從科學(xué)目標(biāo)出發(fā),選擇合適的觀測波段,提高一定觀測時間內(nèi)可累計的光子數(shù)以及行星信號的相對強(qiáng)度。例如,為了對系外行星熱輻射進(jìn)行有效的觀測,一般在近紅外波段開展觀測。因?yàn)橄低庑行窃诮t外波段熱輻射相對較強(qiáng),而恒星輻射在近紅外波段相對較弱,選擇近紅外波段觀測更有利于探測行星熱輻射信號。也可針對與擬探測分子的光譜特征,選擇特定的波段。比如,為探測水分子信號,一般選擇中心波長為1.6 μm的H波段,為探測CO或者CO2,中心波長為2.21 μm 的K或者Ks 波段為最佳的寬帶波段。

其次,優(yōu)化觀測設(shè)備和觀測策略。一般對系外行星大氣的觀測,要覆蓋行星凌星或次食的全部時間,以及前后1 h以上的基線觀測,因此需要連續(xù)觀測4～8 h,具體時間取決于凌星時長。長時間的時域觀測過程中,臺址天文條件包括視寧度會有波動,大氣質(zhì)量會有連續(xù)的變化?？紤]到這些變化在視場內(nèi)是近似同時同量的,可以通過與參考星的對比從而消除或減弱上述變化帶來的測光誤差。因此需要視場中有多顆亮度和顏色與目標(biāo)星接近、且不存在短周期光變的恒星作為參考星。而實(shí)際上,天氣的變化可能會是局部的,視場中不同位置的大氣質(zhì)量也存在微小的變化,多個探測器芯片拼接而成的相機(jī)中的各個芯片也存在讀出電路和暗電流速率等因素的差別,最好選擇位于同一個芯片且角距離較小的星作為參考星。

探測器芯片中各個像素對入射光的響應(yīng)不同,像素內(nèi)不同位置對于光子的響應(yīng)也不同,即:intra-pixel sensitivity variation, 以下簡稱IPSV[23]。此外,探測器中往往有不少有缺陷的像素,包括失去感光性的死像素以及讀數(shù)比本底高的熱像素。由于望遠(yuǎn)鏡指向存在一定的誤差,恒星在視場中有小的移動,星像在探測器上也將移動。即使忽略大氣變化等外部因素導(dǎo)致的影響,假設(shè)望遠(yuǎn)鏡接受到的光子數(shù)不變,探測器通過光電效應(yīng)轉(zhuǎn)化而成的電子數(shù)也會發(fā)生變化,從而導(dǎo)致測量出來的恒星星等或亮度發(fā)生變化。傳統(tǒng)的利用平場改正的方法,可以消除像素間的不均勻性,但精度難以優(yōu)于1%,而且此方法無法改正IPSV。因此要實(shí)現(xiàn)高精度測光,望遠(yuǎn)鏡的指向精度或者相機(jī)的穩(wěn)像精度必須很高。除此之外,對于較亮的系外行星主星,利用米級望遠(yuǎn)鏡1 s曝光都可使得感光像素進(jìn)入非線性區(qū)甚至飽和,這種情況下的測光是不準(zhǔn)確的。如果采取1 s或更短曝光時間,考慮大視場望遠(yuǎn)鏡的探測器讀出時間一般需要20 s以上,這樣的觀測效率無疑太低。舉例來說,假設(shè)曝光時間1 s,讀出時間20 s,則觀測5 h實(shí)際對目標(biāo)源的積分時間只有14 min左右,獲得的總光子數(shù)遠(yuǎn)不足以實(shí)現(xiàn)1‰的精度。因此,需要將星像或者點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)變大,將入射光子分布在多個像素,從而避免落入探測器的非線性區(qū)或飽和區(qū)。需要強(qiáng)調(diào),光斑直徑增大使得光斑覆蓋的范圍成平方增長,在同樣的指向誤差情況下,光斑覆蓋像素變化率顯著減小,因此能顯著減少像素不均勻性和IPSV帶來的誤差。當(dāng)然,實(shí)際測量中,測光過程中包括的像素越多,讀出及背景噪聲就越多,從而使SNR降低。不過,對于我們的亮星觀測,因?yàn)槭枪庾硬此稍肼曊紦?jù)主導(dǎo),背景噪聲相對較弱,因此采用此方法可以顯著提高觀測精度?？紤]到這些因素之后,利用大量的實(shí)時觀測的參考星對系統(tǒng)噪聲進(jìn)行模擬并矯正,就可以獲得亞毫星等(10-4)級別的較差測光精度。

1.3 數(shù)據(jù)處理和分析方法

對于較差測光的數(shù)據(jù)處理,主要分以下2個步驟。首先要對獲得的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行基本的圖像處理,包括扣除本底,進(jìn)行平場改正和暗電流改正。在此過程中,要對死像素進(jìn)行標(biāo)注。然后針對目標(biāo)星和參考星分別進(jìn)行一系列孔徑值的孔徑測光?？讖酱笮〉脑O(shè)定要非常謹(jǐn)慎,既要保證孔徑足夠大以覆蓋星像所有流強(qiáng),又要使孔徑盡可能地少吸收天光背景噪聲或讀出噪聲,通常外孔徑為內(nèi)孔徑的1～2倍。傳統(tǒng)的測光是要通過對比不同孔徑值時的測光結(jié)果確定最佳孔徑,整個視場或者部分視場采用同樣的孔徑值。這樣的方法忽略了不同的星有不同的最佳孔徑,也沒有考慮最佳孔徑隨時間的變化,因此精度無法滿足要求。

經(jīng)過測試,發(fā)現(xiàn)目標(biāo)星和每一顆參考星應(yīng)設(shè)置不同的孔徑值以獲得最佳的光變曲線。如果觀測條件好,大氣穩(wěn)定,測光時星像大小穩(wěn)定,可設(shè)定孔徑大小為常量。如果星像大小不穩(wěn)定,則需設(shè)定孔徑大小隨時間變化以達(dá)到更精確的測光。實(shí)際操作中,我們獲得了目標(biāo)星和參考星多個孔徑值下在每一次曝光的星等,也就獲得了多個孔徑值下的光變曲線。然后利用 Everett 和 Howell[24]提出的方法,獲得初步的較差光變曲線。尋找此光變曲線基線部分與觀測時間、大氣質(zhì)量、星像中心位置、視寧度等參數(shù)的關(guān)系并扣除,可以減弱紅噪聲帶來的影響。也可采用高斯過程,用非參數(shù)化的方式估計紅噪聲的貢獻(xiàn)并扣除。

參考星的初選主要由恒星的亮度來決定,一般選擇與目標(biāo)星亮度在±2等范圍內(nèi)的恒星。這樣初選出來的參考星不一定都適合。因?yàn)轭伾赡懿煌⒒蛘唠x目標(biāo)星比較遠(yuǎn)、或者其在探測器上所處的位置有大量異常像素。因此,有些參考星的原始光變曲線與目標(biāo)星和其他參考星相差較大,或者趨勢不同,可以逐步剔除出去,最終獲得一個最優(yōu)參考星組合。實(shí)際分析過程中,參考星組合與孔徑值對測光的影響可能存在耦合,因此需要多次迭代,找到最佳的組合,使得基線數(shù)據(jù)的彌散最小。下面以實(shí)際的數(shù)據(jù)為例,具體描述如何實(shí)現(xiàn)超高精度測光。

2 觀測設(shè)備和觀測數(shù)據(jù)

2.1 觀測設(shè)備和模式

使用的設(shè)備是CFHT上的寬視場近紅外照相機(jī)設(shè)備WIRCam,它是地基望遠(yuǎn)鏡中具有探測系外行星次食信號能力的重要設(shè)備之一。此相機(jī)由4塊2 K×2 K的近紅外探測器拼接而成,相鄰探測器的間隙為 45″,總視場大小為20.50′×20.50′。

為實(shí)現(xiàn)超高精度測光,CFHT 團(tuán)隊(duì)開發(fā)了凝視觀測模式。在此模式下,可選擇視場中的4顆星作為指向參考星,通過快速讀出和快速的星像中心分析,計算視場偏移量,迅速調(diào)整望遠(yuǎn)鏡姿勢或者快擺鏡位置,使得望遠(yuǎn)鏡指向穩(wěn)定,星像基本位于探測器視場固定的位置上。同時,對望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行較大程度的散焦,以避免目標(biāo)星或參考星所在的像素進(jìn)入非線性區(qū)甚至飽和。Croll通過 CFHT 上的 WIRCam 設(shè)備利用這一模式成功探測到3顆熱木星以及1顆褐矮星的次食信號并達(dá)到0.014%～0.040%的測光精度。

2.2 目標(biāo)星觀測數(shù)據(jù)

利用CFHT的WIRCam,在2015年對熱木星WASP-103b進(jìn)行J與Ks波段的總計11 h的次食觀測。6月9日在J波段進(jìn)行持續(xù)5.25 h的凝視觀測,望遠(yuǎn)鏡散焦量為1.8 mm?？偣财毓?5次,覆蓋包括次食及其前后1 h左右的基線時間,大氣質(zhì)量在1.02～1.37。每次曝光分為若干個積分時間為15 s的子曝光以提升讀出效率,降低暗電流影響。首次曝光包含9次子曝光作為測試,其余的曝光調(diào)整為12次子曝光。目標(biāo)星視星等為12.1 mag,K波段星等為10.7 mag,選擇該星場內(nèi)約100顆星作為初選參考星,它們的視星等范圍在8～14 mag。

5月28日進(jìn)行的是Ks波段觀測。然而,觀測時天氣并不理想,觀測數(shù)據(jù)誤差較大,無法開展科學(xué)研究。因此,重新處理了Delrez. L在2014年5月20日利用相同設(shè)備同一波段的數(shù)據(jù)。此次觀測望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了2 mm的散焦,總共曝光1 092次,每次曝光積分時間5 s。

3 數(shù)據(jù)處理與分析

3.1 主要步驟

較差測光是一種測量目標(biāo)星相對于參考星亮度變化的數(shù)據(jù)分析方法。為達(dá)到 10-4的測光精度,在傳統(tǒng)的較差測光步驟中加入了更多的誤差分析和誤差扣除,以提高數(shù)據(jù)精度。具體包括以下幾個主要的關(guān)鍵步驟:

1)圖像預(yù)處理

利用WIRCam專用的數(shù)據(jù)預(yù)處理程序I’iwi 2.1,進(jìn)行初步數(shù)據(jù)處理,包括標(biāo)記飽和像素點(diǎn)、非線性校正、參考像素扣除、暗場扣除、平場扣除、標(biāo)記壞點(diǎn)及天光背景扣除。I’iwi程序把標(biāo)記為壞點(diǎn)的像素賦值為0,如果壞點(diǎn)包括在測光孔徑或天光范圍內(nèi),就會影響測光結(jié)果,因此,利用壞點(diǎn)周圍的4個像素進(jìn)行插值,用于估算壞點(diǎn)像素的計數(shù)。

2)參考星初選

選擇視場內(nèi)星等及顏色接近目標(biāo)星且無明顯光變的恒星(Δm～±2 mag) 作為候選參考星。在圖像中查看這些參考星所在的位置,剔除距離探測器邊緣100像素以內(nèi)的,剔除星斑范圍內(nèi)包括較多壞點(diǎn)和熱點(diǎn)較多的,盡量選擇與目標(biāo)星在同一個探測器芯片里的參考星。以J波段數(shù)據(jù)為例,通過上述過程,篩選出10顆參考星。

3)孔徑測光參數(shù)考慮及孔徑測光

開展孔徑測光需要設(shè)定目標(biāo)星的中心位置、孔徑值、天光背景環(huán)的內(nèi)外半徑等參數(shù)。其中,測光孔徑的大小對測光精度有著重要影響。既要保證孔徑足夠大以覆蓋全部星像,又要盡量減少天光背景噪聲和探測器噪聲,因此其數(shù)值不能太大,也不能太小。在數(shù)據(jù)處理過程中,以從圖像中得到的星像的半高全寬乘以一個大于1的因子作為初始孔徑值。并以其為中值,±5像素范圍內(nèi)的一系列孔徑值進(jìn)行測光計算,相鄰的孔徑值相差1個像素。

因望遠(yuǎn)鏡散焦,恒星星像呈多納圈形狀,難以準(zhǔn)確確定星像中心位置。因此,將扣除天光背景后的圖像與二維高斯函數(shù)卷積,還原成為中間高周圍低的亮斑之后,再利用IDL程序CENTORID測定星像中心位置。天光背景參考區(qū)域是一個圓環(huán),內(nèi)、外孔徑分別為1.5倍和2.5倍測光孔徑。以此區(qū)域內(nèi)像素的平均值作為天光背景。然后,利用IDL天文程序包APER測量目標(biāo)星和參考星每次曝光的亮度值及測光誤差,從而得到原始光變曲線。

4) 獲得目標(biāo)星光變曲線

對于獲得的光變曲線,先通過目視剔除光變曲線彌散很大、變化趨勢與大部分星不一致的參考星(參見圖1(a)不同顏色所代表的參考星光變曲線,黑點(diǎn)組成的光變曲線代表目標(biāo)星)。這些星本身可能具有光變,或者與目標(biāo)星的顏色相差較大,因此大氣質(zhì)量變化帶來的趨勢不同。對于目標(biāo)星和剩下的參考星,針對每一條光變曲線,通過 Sigma-clipping方法,迭代3次扣除超過中值2倍標(biāo)準(zhǔn)差的測光點(diǎn),獲得光變曲線的中值,然后將光變曲線歸一化到中值。將目標(biāo)星和所選用的參考星的歸一化光變曲線以其標(biāo)準(zhǔn)差為權(quán)重取平均,得到平均光變曲線(圖1(a)中黑色折線)。取平均的目的是要降低各個參考星的隨機(jī)誤差帶來的對光變曲線的影響。目標(biāo)星的光變曲線除以平均光變曲線再歸一化,即得到扣除了大部分紅噪聲的較差光變曲線(參見圖1(b))。完成了這一步,光變曲線的彌散大概在10-3量級。

5)模擬并扣除紅噪聲

光變曲線中除無法扣除的隨機(jī)噪聲,還存在不可忽略的紅噪聲。它與時間等參數(shù)相關(guān),且對地基觀測的精度有很大影響。為了扣除紅噪聲,采用多參數(shù)的多項(xiàng)式擬合,包括目標(biāo)星星像中心在x方向和y方向相對于第一次曝光時位置的偏移以及觀測時刻等參數(shù)。同時,利用公開的 IDL 程序EXOFAST[29],對光變曲線進(jìn)行擬合。EXOFAST采用馬爾科夫蒙特卡洛采樣法,結(jié)合Mandel 和 Agol[30]給出的理論光變曲線(簡稱 MA 模型)對觀測光變曲線開展后驗(yàn)分析,獲得對行星和恒星相關(guān)參數(shù)的估計,包括次食深度、行星平衡溫度等。此時得出的后驗(yàn)參數(shù)并不重要,重要的是擬合的殘差。圖1(b)中玫紅色空心三角形是第 4 步得到的較差光變曲線,藍(lán)色實(shí)線是得到的紅噪聲,黑色圓點(diǎn)是扣除紅噪聲之后的光變曲線,紅色實(shí)線是模型給出的次食光變曲線。圖1(c)中的黑色數(shù)據(jù)點(diǎn)及誤差棒代表每36個數(shù)據(jù)點(diǎn)合并之后的平均值及誤差,紅色實(shí)線是對它們的最佳擬合?？鄢t噪聲之后,次食光變明顯可見。

6)確定最佳測光孔徑及最佳參考星組合孔徑值的選擇對測光結(jié)果(包括星等或亮度及其誤差)極為重要,而參考星的選擇對較差光變曲線的數(shù)值及誤差有重要影響?？讖胶蛥⒖夹沁x擇的優(yōu)劣主要由擬合光變曲線的殘差的均方根 (root mean square, RMS) 的大小來衡量。此過程最為復(fù)雜,是實(shí)現(xiàn)10-4精度的關(guān)鍵細(xì)節(jié),詳情見下節(jié)。

3.2 參考星及測光孔徑值最優(yōu)選擇

經(jīng)過步驟1～3,獲得了目標(biāo)星和參考星在不同測光孔徑值時的較差光變曲線。取決于選擇的孔徑值數(shù)量和參考星數(shù)量,光變曲線的數(shù)量一般超過100。目標(biāo)星的光變曲線要扣除平均光變曲線才能得到較差光變曲線,而參考星的組合數(shù)目非常大。本小節(jié)主要以測量WASP-103b的次食深度為例,描述如何找到最佳光變曲線,以及最優(yōu)的孔徑值和參考星組合。

首先,用MA模型去擬合或模擬上述得到的每一條光變曲線,獲得最優(yōu)或最可幾模型解,從而得到行星次食深度等信息及觀測-模型殘差的均方根RMS。很自然,光變曲線的優(yōu)劣由擬合殘差均方根來決定,殘差越小,光變曲線越好,得到此光變曲線的孔徑值和參考星組合就越優(yōu)。當(dāng)然,因?yàn)楣庾兦€數(shù)目太多(102),其組合數(shù)目估計達(dá)到或超過104,遍歷所有組合是不現(xiàn)實(shí)的。舉例來說,只考慮單一孔徑值,10顆觀測參考星中挑出1～10顆作為參考星的排列組合的數(shù)目已超過103,若考慮10個以上的孔徑值,組合數(shù)目遠(yuǎn)超104。

因此,需對參考星的優(yōu)劣進(jìn)行排序。然后從最好的參考星開始,按照優(yōu)劣先后添加參考星。若排序靠后的參考星的加入導(dǎo)致擬合變差,則此參考星及排序更靠后的參考星都將被剔除。在我們的數(shù)據(jù)里,這一步排除了2～4顆參考星。我們參考Croll等,排序采用的依據(jù)是RMS×β2。其中RMS是目標(biāo)星利用單獨(dú)一顆參考星得到的光變曲線與其最可幾模型的殘差的均方根。校正因子β是一個量化紅噪聲的參數(shù),其值～ 1代表殘留的噪聲幾乎都是白噪聲,值越大代表紅噪聲越多[31]。通過數(shù)據(jù)點(diǎn)合并,每N個數(shù)據(jù)點(diǎn)合并為1個,合并之后的數(shù)據(jù)數(shù)目為M,合并后的殘差標(biāo)準(zhǔn)差σN。σN與σwn,N的比值即為β,其中

(2)

反映了在只有白噪聲的情況下,N個數(shù)據(jù)點(diǎn)取平均后的理論標(biāo)準(zhǔn)差。圖2展示了σN(虛線)和σwn,N(實(shí)線),可以看出一般情況下前者大于后者,因此有β>1。在N較大的情況下,采樣點(diǎn)少,可能存在過擬合的情況,因此有少數(shù)β<1,此時令β=1。

圖2 J波段WASP-103b的數(shù)據(jù)的殘差、噪聲因子與最可幾擬合模型Fig.2 RMS and noise factor β of our residuals to the best-fit model for the various data sets

如前所述,孔徑值的設(shè)定應(yīng)盡量減少背景噪聲的影響并覆蓋恒星盡可能多的光強(qiáng)。對于本文分析的CFHT數(shù)據(jù),總共選擇15個孔徑尺寸,即26～40個像素。盡管最佳的測光孔徑值可能隨觀測時刻有變化,但其變化不大,因此在實(shí)際分析過程中,對于同一顆星,在一次次食觀測中采用同樣的測光孔徑。參照Croll等的方法,改變測光孔徑和參考星數(shù)目,就可以得到RMS×β2二維分布,并根據(jù)其最小值得到最佳測光孔徑和參考星數(shù)目。圖3展示了WASP-103b的J波段光變曲線在不同的參考星數(shù)目和測光孔徑值下得到的RMS×β2的等高線,可以明顯看出參考星數(shù)目為4、測光孔徑值為38像素的組合為最佳組合。因?yàn)镽MS×β2數(shù)值小,且變化小,為便于展示和分析,圖中實(shí)際畫的是5+lg(RMS×β2)線。

圖3 J波段WASP-103b光變曲線的5+lg(RMS×β2)等高線圖Fig.3 The contour map of the light curve of WASP-103b in J-band

在上述過程中,目標(biāo)星和參考星用的是同樣的孔徑值。而實(shí)際上,因目標(biāo)星和參考星亮度不同,二者在探測器上的星像大小并不嚴(yán)格相同,因此進(jìn)一步研究了目標(biāo)星和參考星的孔徑值獨(dú)立變化是否能夠得到更好的擬合。首先,對同一顆參考星在不同孔徑值條件下計算 RMS×β2,得到每顆參考星較小的3個RMS×β2對應(yīng)的孔徑值。我們發(fā)現(xiàn),對于大部分參考星,改變其孔徑值能夠得到更小的RMS×β2,因此每一顆參考星的孔徑值也應(yīng)該作為搜尋RMS×β2最小值的因變量。然而,這樣的組合的數(shù)目是孔徑數(shù)目Naper的參考星數(shù)目Nref次方。對我們的J波段數(shù)據(jù)來說,前者是18,后者是5,大約189萬種組合。遍歷所有的孔徑組合并不現(xiàn)實(shí)。

因此,類似于前文對參考星優(yōu)劣的排序,我們對每一顆參考星的孔徑值也進(jìn)行了排序。參照前文得到參考星排序的方法,固定目標(biāo)星孔徑(38像素),固定參考星組合(4 顆),變化某一顆參考星的測光孔徑,得到一系列RMS×β2,根據(jù)RMS×β2數(shù)值確定測光孔徑的排序,并選擇最小的3個RMS×β2值所對應(yīng)的孔徑值作為局部最優(yōu)孔徑值。同樣,固定參考星測光孔徑,也可得到目標(biāo)星的3個局部最優(yōu)孔徑值。把這些局部最優(yōu)孔徑值組合起來,用于尋找全局最優(yōu)的參數(shù)組合。

參考星組合的確定需要基于統(tǒng)一孔徑條件下的結(jié)果。先按照統(tǒng)一孔徑得到的RMS×β2值對參考星進(jìn)行排序,依次進(jìn)行個數(shù)由2～6顆參考星遞增(5種情況)的誤差估算及模型擬合,11個孔徑大小進(jìn)行55種組合(如圖2,得到參考星數(shù)目與孔徑大小組合的等高線圖),從而確定最佳個數(shù)選擇。最后,將選出的幾顆參考星及它們對應(yīng)的最佳3個孔徑大小與目標(biāo)星的3個孔徑大小進(jìn)行組合,確定全局最佳組合。

4 討論和結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)超高精度測光,觀測設(shè)備方面最重要的是要有良好的指向精度和大幅延展的星像,后者主要通過散焦實(shí)現(xiàn)。然而,新的研究和測試表明,利用勻化器件(比如散光器diffuser等)能夠?qū)崿F(xiàn)更好的測光精度,對天氣、望遠(yuǎn)鏡指向等要求更低[32]。觀測方面,首先需要選擇合適的波段,盡量多觀測次食以外的基線部分。本文討論的數(shù)據(jù)在觀測開始及結(jié)束時誤差較大,可能是由于大氣擾動及觀測設(shè)備不穩(wěn)定。為避免引入額外的誤差和擬合偏差,在擬合過程中剔除了這些誤差較大的數(shù)據(jù)點(diǎn),浪費(fèi)了大概20%～30%的數(shù)據(jù)?；€數(shù)據(jù)對于扣除紅噪聲非常重要,因此建議盡可能增加基線觀測的時間。

數(shù)據(jù)處理和分析方面,關(guān)鍵在于如何選擇最佳的參考星和測光孔徑,以及模擬并扣除紅噪聲。我們提出,把參考星和目標(biāo)星的孔徑值作為自由變量,相對于使用統(tǒng)一的孔徑值,可以將測光精度提高1倍左右。需要指出的是,利用此方法,測量主食食深,也可獲得類似精度,也可采用高斯過程等方法模擬并扣除主食光變曲線中的紅噪聲。