張聲遙 曾志強(qiáng) 柳福提 宛俊杰 陳 鵬

(宜賓學(xué)院理學(xué)部 四川 宜賓 644000)

液體流動(dòng)時(shí),平行于流動(dòng)方向的各層流體的速度如有不同,各層之間就有摩擦力產(chǎn)生,稱為粘滯力.液體的這種性質(zhì)稱為液體的粘性.液體的粘滯系數(shù)是表征液體粘滯力強(qiáng)弱的重要參數(shù).粘滯力只有在液體內(nèi)存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)才表現(xiàn)出來,通常采用“落球法”來測(cè)量液體的粘滯系數(shù)[1].“落球法”利用小球在液體中達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)所受粘滯力與浮力、重力的平衡關(guān)系以及斯托克斯公式F=-6πrηv,只要測(cè)量小球的收尾速度、直徑、密度及液體的密度等量即可測(cè)量液體的粘滯系數(shù),原理簡單.但實(shí)驗(yàn)時(shí)小球下落過程時(shí)間較短,很難保證小球達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng),要重復(fù)實(shí)驗(yàn)取出小球又很不方便,容易產(chǎn)生油液浪費(fèi)與油污.文獻(xiàn)[2-6]提出利用阻尼振動(dòng)來測(cè)量空氣的粘滯系數(shù)并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)與討論,受其啟發(fā),本文利用單擺在液體中的阻尼振動(dòng)來測(cè)量液體粘滯系數(shù),既可解決上述“落球法”測(cè)液體粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)的不足,也可以生動(dòng)直觀地顯示液體的粘滯阻力對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的影響,加深學(xué)生對(duì)物理概念與規(guī)律的理解,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力.

1 實(shí)驗(yàn)原理

如圖1所示,將一單擺置入待測(cè)液體中,使單擺偏離平衡位置一定角度,并在無初速度的狀態(tài)釋放,單擺將在液體中來回?cái)[動(dòng),如同在空氣中一樣.

由于液體的粘性,單擺在擺動(dòng)過程中將會(huì)受到液體粘滯阻力的作用.設(shè)小球的半徑和運(yùn)動(dòng)速度分別為r和v,則小球在流體中所受的粘滯阻力可寫為

F=-6πrηv

(1)

其中比例系數(shù)η為粘滯系數(shù),負(fù)號(hào)表示粘滯阻力的方向和小球運(yùn)動(dòng)的速度方向相反.根據(jù)圖1的受力分析,小球還受到重力和擺線拉力的作用,其受到的合外力矩為

M=-(mgθ+6πrηv)l

(2)

其中m表示小球的質(zhì)量,g是重力加速度,θ是擺線偏離豎直方向的角度,l是擺長.根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得單擺的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

(4)

令

c=6πrη

則式(4)可以變?yōu)?/p>

(5)

(6)

此方程的解有3種情況.

(1)若δ<ω0,方程的解為

θ(t)=Ae-δtcos(ωt+φ0)

(7)

(2)若δ>ω0,方程的解為

(8)

這種情況稱為過阻尼振動(dòng).

(3)若δ=ω0,方程的解為

θ(t)=(c1+c2t)e-δt

(9)

稱為臨界阻尼振動(dòng).

在本實(shí)驗(yàn)中,單擺的運(yùn)動(dòng)是欠阻尼運(yùn)動(dòng),所以其運(yùn)動(dòng)方程的形式應(yīng)為方程(7).而且實(shí)驗(yàn)中單擺無初速度釋放,可知φ0=0和A=θ0,其中θ0為單擺開始擺動(dòng)時(shí)的初始角位移.因此可得單擺的振動(dòng)方程為

θ(t)=θ0e-δtcosωt

(10)

根據(jù)此公式,可知角振幅隨時(shí)間變化關(guān)系為

θA(t)=θ0e-δt

當(dāng)t=nT(n=0,1,2,…)時(shí),有

θA(nT)=θ0e-δnT

(11)

由此可得

(12)

(13)

可求出液體的粘滯系數(shù)η.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置原理圖

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置的實(shí)物圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證以上論述的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),我們測(cè)量了空氣、水和菜籽油的粘滯系數(shù).首先,實(shí)驗(yàn)測(cè)得小球的直徑d=16.906 mm和質(zhì)量為m=16 g.

3.1 空氣的粘滯系數(shù)測(cè)量

表1 空氣中單擺的角振幅隨周期的變化關(guān)系

圖4 空氣中單擺的-n線性擬合

3.2 水的粘滯系數(shù)測(cè)量

將單擺置入水中進(jìn)行阻尼擺動(dòng),測(cè)得單擺的角振幅隨周期的變化數(shù)據(jù)如表2所示.將表2數(shù)據(jù)繪于圖5中可以看到數(shù)據(jù)具有明顯的線性關(guān)系.同樣利用線性擬合可以得到直線斜率為k=δT=0.2,同時(shí)測(cè)得擺動(dòng)周期T=1.75 s,根據(jù)公式(13)算出水的粘滯系數(shù)為η=2.30×10-2Pa·s.

表2 水的粘滯系數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)

圖5 水中單擺的-n線性擬合

3.3 菜籽油的粘滯系數(shù)測(cè)量

如上同理,利用單擺對(duì)菜籽油的粘滯系數(shù)也進(jìn)行了測(cè)量.測(cè)量數(shù)據(jù)如表3所示.表3中數(shù)據(jù)繪于圖6中,擬合后的圖線展示出良好的線性關(guān)系.數(shù)據(jù)擬合直線的斜率為k=δT=0.98,同時(shí)測(cè)得擺動(dòng)周期T=1.85 s,由此可以算出菜籽油的粘滯系數(shù)為η=1.06×10-1Pa·s.

表3 菜籽油的粘滯系數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)

圖6 菜籽油中單擺的-n線性擬合

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果討論

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果不確定度計(jì)算

通過計(jì)算測(cè)量值的不確定度,可以判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性.從式(13)可以看出粘滯系數(shù)測(cè)量的不確定度由m、r和δ決定.其中δ又與角振幅隨周期變化關(guān)系的擬合直線的斜率k與單擺周期T的測(cè)量值有關(guān).根據(jù)誤差理論,m、r和T的測(cè)量值的不確定度可由下式?jīng)Q定

(14)

其中Δ表示儀器的最小刻度值.因此根據(jù)電子秤、螺旋測(cè)微器和秒表的最小刻度可以計(jì)算m、r和T的測(cè)量值的不確定度.k的不確定度計(jì)算公式為

(15)

(16)

其中um、ur和uT分別表示m、r和T的不確定度.根據(jù)式(15)～(16)可以計(jì)算出空氣、水和菜籽油的粘滯系數(shù)測(cè)量值的不確定度分別為4×10-4Pa·s,

1.53×10-2Pa·s和5.50×10-2Pa·s.從計(jì)算結(jié)果看菜籽油的粘滯系數(shù)測(cè)量誤差相比于空氣和水更小,因?yàn)椴俗延偷恼硿禂?shù)更大.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與傳統(tǒng)測(cè)量結(jié)果的比較

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,利用單擺的阻尼振動(dòng)測(cè)得室溫下空氣、水和菜籽油的粘滯系數(shù)分別為8.78×10-4Pa·s、2.30×10-2Pa·s和1.06×10-1Pa·s.而依據(jù)傳統(tǒng)落球法測(cè)得水和菜籽油的粘滯系數(shù)分別為2.2×10-2Pa·s和1.08×10-1Pa·s,其中空氣的粘滯系數(shù)無法用落球法測(cè)量.比較兩種方法的測(cè)量值可以看出,兩種方法在精度和誤差上相當(dāng),且隨著液體粘度的增加,兩種方法的測(cè)量結(jié)果趨于一致.通過查閱文獻(xiàn)得知在室溫下水的粘滯系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)值為1.01×10-3Pa·s,而菜籽油大約為5×10-2Pa·s[7].因此,不管是用單擺還是落球法測(cè)量都比標(biāo)準(zhǔn)值要大.原因之一是擺線系在鐵架的一端擺動(dòng)過程中有附加摩檫力、以及細(xì)線與空氣之間粘滯力的存在,引起測(cè)量數(shù)據(jù)增大;另一方面是實(shí)驗(yàn)中所測(cè)液體的粘滯系數(shù)相對(duì)較小,導(dǎo)致湍流容易影響小球的運(yùn)動(dòng),所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)了一些誤差.

5 總結(jié)

本文設(shè)計(jì)了利用單擺的阻尼振動(dòng)來測(cè)量液體粘滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)方案,并以空氣、水和菜籽油作為被測(cè)對(duì)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),測(cè)出了室溫下空氣、水和菜籽油的粘滯系數(shù).該方法在精度上與傳統(tǒng)方法相當(dāng),且操作更簡單,不會(huì)因?yàn)橹貜?fù)取出小球而產(chǎn)生油液浪費(fèi)與污染.而且,與傳統(tǒng)方法比較,該方法具有能測(cè)量氣體粘滯系數(shù)的優(yōu)點(diǎn).此外在實(shí)驗(yàn)中觀察到單擺在液體中通常會(huì)擺動(dòng)較長時(shí)間,從而在教學(xué)上有利于學(xué)生觀察,有效提高教學(xué)質(zhì)量.