陳彥希 李 惠

(株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412000)

“小蟲爬彈性繩”是經(jīng)典動力學(xué)模型,宇宙膨脹是天文學(xué)和物理學(xué)研究的內(nèi)容,兩個看似毫不相關(guān)的內(nèi)容,竟然可以用同一種物理方法解決.而尋找這種聯(lián)系的過程對提升中學(xué)生創(chuàng)新能力和培養(yǎng)中學(xué)生的科學(xué)思維很有助益.

1 小蟲爬繩

1.1 習(xí)題模型

【習(xí)題】長為L的均勻彈性繩AB自由伸直地放在光滑水平桌面上,繩的A端固定,t=0時,一小蟲開始從A端出發(fā)以相對其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去,同時繩的B端以相對桌面的勻速度v沿繩長方向運動,試求小蟲爬到B端的時刻te.

1.2 兩種解法

(1)常規(guī)解法一

在原長的繩上以A為原點建立沿AB方向的x坐標(biāo)軸,設(shè)t時刻小蟲處于x位置,此時繩的真實長度已經(jīng)變成L+vt,在真實長度的繩上建立x′坐標(biāo)軸,則繩中x坐標(biāo)對應(yīng)的x′坐標(biāo)為

(1)

考慮dt時間,易得

(2)

(3)

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(2)創(chuàng)新解法二

使用一種等效處理方法,如圖1(a)所示,將長為L的AB繩彎曲成相接圓環(huán)繩,半徑為

圖1 創(chuàng)新解法二圖

(5)

t時刻因為B的運動繩長增為L+vt,對應(yīng)圓半徑為

(6)

此過程中,小蟲隨B沿繩長方向的運動轉(zhuǎn)化為小蟲的徑向朝外運動,小蟲爬繩運動轉(zhuǎn)化為沿圓周切向的運動[圖1(b)].小蟲從θ=0爬到θ=2π,即到達(dá)B端.

參考圖1(b)中參量,有

(7)

(8)

(9)

2 知識遷移——宇宙膨脹模型

2.1 提出問題

【例1】(第11屆亞洲奧林匹克競賽理論題)宇宙各處通過光子傳遞信息.當(dāng)我們從光子中獲取信息時,必須考慮宇宙正在膨脹這一事實的影響.因此,通常用與時間有關(guān)的尺度因子a(t)表示長度或距離的膨脹效果,于是相對各自局域參考系靜止的兩顆恒星之間的距離L(t)正比于a(t),即

L(t)=ka(t)

其中k為常數(shù),a(t)描述了宇宙的膨脹效應(yīng).將上式兩邊對時間求導(dǎo),可得

最終得到

v(t)=H(t)L(t)

H(t0)=72 km/(s·Mpc)

1 Mpc=3.085 7×1019km=3.261 6×106ly

假設(shè)宇宙無窮大,而且以a(t)∝ebt的方式持續(xù)膨脹,其中b為常數(shù).在此宇宙模型中,哈勃常數(shù)是與時間無關(guān)的常數(shù)H(t0).光子在宇宙中行進時波長λ也因宇宙的膨脹而等比例變長,即λ(t)∝a(t).

假設(shè)氫原子特征譜線之一的萊曼-α線是由相對局域參考系靜止的恒星S在te時刻發(fā)出的,發(fā)出時的波長為λ(te)=121.5 nm,當(dāng)萊曼-α線在t0時刻到達(dá)相對局域參考系靜止的地球時,地球上的觀察者測得到達(dá)地球的萊曼-α線波長為145.8 nm,忽略地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn).萊曼-α線的光子向我們行進時,宇宙一直在膨脹中,使得恒星S持續(xù)遠(yuǎn)離我們.已知真空中的光速c一直維持不變,求te時刻恒星S與地球之間的距離L(te)的值,以Mpc為單位.

2.2 建模解決問題

常規(guī)解法[1]在此不再贅述,筆者提供另一種更簡單更有趣味性地解答方法.根據(jù)題目描述,宇宙膨脹類似于彈性繩的伸長,只是描述其伸長速度的函數(shù)不同;而光子在膨脹的宇宙中運動時,其在局域參考系中速度恒為c,這一點極類似于小蟲相對其足下繩段速度不變.所以我們很自然地聯(lián)想到將宇宙膨脹等效處理成“小蟲爬繩”.

將恒星S與地球看作一條“彈性繩”的兩端,并將其首尾相接成一個圓環(huán),則其半徑為

(10)

將光子看作“小蟲”,其在“繩”上運動的角速度為

(11)

利用題目給出的關(guān)系L(t)=ka(t),a(t)∝ebt,可知L(t)∝ebt.設(shè)L(t)=k′ebt,代入整理并積分得

(12)

(13)

又由λ(t)∝a(t),得

(14)

所以代入并整理得

(15)

代入數(shù)值得

L(te)=690 Mpc

(16)

3 結(jié)束語

小蟲之小,宇宙之大,表象萬千,可卻遵從相同的物理規(guī)律,通過以上對物理內(nèi)涵規(guī)律的挖掘,讓人沉醉于物理學(xué)的邏輯之美,感嘆大自然的神妙;整個思維過程就是一個創(chuàng)新的過程,在這個過程中,學(xué)生是知識的主動建構(gòu)者,教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助者、合作者[2],多做類似這樣的邏輯思維訓(xùn)練能很好地培養(yǎng)中學(xué)生的科學(xué)思維.