張利國

(北京交通大學附屬中學 北京 100081)

李 璐

(中國船舶集團有限公司綜合技術(shù)經(jīng)濟研究院 北京 100081)

1 問題的提出

1.1 教材中的導出過程

質(zhì)量M一定時,a∝F

1.2 對于導出過程的困惑

學生展示的導出過程如下

a∝F?a=k1F

(1)

(2)

其中k1、k2為常數(shù).

1.3 學生導出過程的問題

學生認為k1、k2為常數(shù),分別建立在保持質(zhì)量M、力F不變的基礎上,故將二者結(jié)合的過程中,應考慮到k1是一個關(guān)于質(zhì)量M的函數(shù),而k2是一個關(guān)于力F的函數(shù),k1、k2并非常數(shù).

如果我們用反證法,很容易推翻學生得出的結(jié)論:

2 4種常見的導出方法

在用反證法推翻學生的結(jié)論后,學生們希望能展示至少一種正向推導的思維過程,所以筆者在本節(jié)課堂上,將時間和發(fā)言權(quán)交給學生,下面是學生比較容易想到的4種方法.

2.1 方法一

隨機給出不同數(shù)值的質(zhì)量M和力F,如表1所示,給a1一個數(shù)值,對比第1行和第2行,發(fā)現(xiàn)可以控制質(zhì)量M不變,根據(jù)加速度和力成正比可確定a2;將第1行和第3行對比,發(fā)現(xiàn)可以控制力F不變,根據(jù)加速度和質(zhì)量成反比可確定a3;同理,我們可以任意取具有兩行數(shù)據(jù),只要它們具有相同的質(zhì)量或者相同的力,就可確定其他加速度a4,…

表1 加速度a與的關(guān)系

2.2 方法二

式(1)成立的前提為控制質(zhì)量不變,若不加控制,還要式(1)成立,可以認為k1是一個關(guān)于質(zhì)量M的函數(shù);同理,去掉式(2)的控制條件后,可認為k2是一個關(guān)于力F的函數(shù),分別將其寫成k1=k1(M)、k2=k2(F)的形式,代回式(1)和(2),有

a=k1F?a=k1(M)F

(3)

(4)

對于任意給定的一組數(shù)據(jù)(M,F,a),應同時滿足式(3)和式(4),故兩式的a為同一數(shù)值,聯(lián)立式(3)、(4),有

思路1：

同理,觀察式(4),若控制M不變,有a∝k2(F),結(jié)合M不變時,有a∝F,得

思路2：

假設k是關(guān)于M、F的函數(shù),即

即k(M,F)為常數(shù).

2.3 方法三

將式(3)和式(4)變形為

(5)

(6)

思路1：

控制質(zhì)量M不變,改變力F,有

若固定其中一組數(shù)據(jù),可以寫成

k2(F)=k2(1)F

將其代入式(6),有

Ma=k2(1)F

取國際單位制,有k2(1)=1,即F=Ma.

思路2：

控制力F不變,改變質(zhì)量M,有

k1(M1)·M1=k1(M2)·M2

若固定其中一組數(shù)據(jù),可以寫成

k1(M)·M=k1(1)·1

2.4 方法四

假設有一組數(shù)據(jù),其中包括給定數(shù)據(jù)1(M0,F0,a0)、中間過渡數(shù)據(jù)2(M0,F,a1),以及變化后的任意數(shù)據(jù)3(M,F,a),如圖1所示.

圖1 數(shù)據(jù)

選擇數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2,因為控制M0不變,加速度和力成正比,總有

(7)

選擇數(shù)據(jù)2和數(shù)據(jù)3,因為控制F不變,加速度和質(zhì)量成反比,總有

(8)

式(7)和式(8)相乘,有

(9)

3 導出過程的類比遷移

教材中用類似的方法導出的復合函數(shù)還有很多,如表2所示.

表2 人教版教材中部分復合函數(shù)的導出

教師們不妨在此處多花一些時間,讓學生充分討論牛頓第二定律的導出過程,只要能思考出一種推導方法,對比初中學過的歐姆定理的導出過程,學生會有恍然大悟之感,就可以避免在將來的學習過程中一再出現(xiàn)學習障礙.