郭 爽，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110870）

1 引 言

隨著工業(yè)的發(fā)展，噪聲污染日益增加，給人們生活帶來困擾。主動(dòng)噪聲控制（Active Noise Control,ANC）作為當(dāng)前最有效的控制低頻噪聲的手段，其原理是基于聲波的相消干涉[1]。濾波-x 最小均方算法（Filtered-x Least Mean Square，F(xiàn)xLMS）是最早被提出的最經(jīng)典的主動(dòng)噪聲控制自適應(yīng)濾波算法[2]，但其在非高斯噪聲中降噪性能會(huì)受到嚴(yán)重影響。為更好地消除非高斯噪聲造成的影響，Leahy 等人[3]提出濾波-x 最小均方p 范數(shù)算法（Filtered-x Least Mean p-Norm, FxLMP），其目標(biāo)函數(shù)為誤差信號(hào)的p 次方。相比FxLMS 系列算法，濾波-x 遞歸最小二乘算法（Filtered-x Recursive Least Squares, FxRLS）及其擴(kuò)展算法得到了更好的收斂性，但也增大了計(jì)算復(fù)雜度[4]。此外，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（Maximum Correntropy Criterion, MCC）被融入到算法中[5]；基于MCC 的遞歸最大相關(guān)熵算法（Filtered-x Recursive Maximum Correntropy, FxRMC）被提出，在處理非高斯噪聲時(shí)收斂速度較快[6]；將兩個(gè)不同的核函數(shù)組合在一起的最大混合相關(guān)熵準(zhǔn)則（Maximum Mixing Correntropy Criterion, MMCC）[7]也被提出。在許多實(shí)際場(chǎng)景中，單通道主動(dòng)噪聲控制技術(shù)只能實(shí)現(xiàn)誤差傳感器周圍的局部噪聲控制。為了提高主動(dòng)噪聲控制的降噪范圍，通常使用多通道控制方式。本研究提出的改進(jìn)算法即以此為基礎(chǔ)來實(shí)現(xiàn)。

2 算法推導(dǎo)

2.1 多通道ANC 算法

通用的多通道主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)通常由I 個(gè)參考麥克風(fēng)、J 個(gè)次級(jí)源和K 個(gè)誤差麥克風(fēng)組成[8]，第j個(gè)次級(jí)源的控制信號(hào)則可表達(dá)為：

其中，xi(n)=[xi(n) xi(n-1)···xi(n-L-1)]T，表示第i 個(gè)參考麥克風(fēng)的輸入信號(hào)；wij(n)=[wij,l(n) wij,2(n)···wij,L(n)]T表示基于第i 個(gè)參考麥克風(fēng)的輸入計(jì)算第j 個(gè)次級(jí)揚(yáng)聲器的輸出的控制濾波器；L 是濾波器階數(shù)。

其中，*表示線性卷積；sjk表示從第j 個(gè)次級(jí)源到第k 個(gè)誤差傳感器的次級(jí)通道。

因此，第k 個(gè)誤差麥克風(fēng)的誤差信號(hào)可以寫為：

設(shè)多通道主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法的代價(jià)函數(shù)為：

利用梯度下降法，推導(dǎo)出控制器的權(quán)系數(shù)迭代方程為：

以上是基本的多通道自適應(yīng)濾波算法。多通道FxLMS 算法是其中的基準(zhǔn)算法，是在單通道FxLMS算法的基礎(chǔ)上結(jié)合多通道系統(tǒng)特點(diǎn)提出來的，在實(shí)際中比較常用。

2.2 噪聲模型

在許多工程實(shí)踐應(yīng)用中，高斯噪聲的假設(shè)往往是不充分的。實(shí)際應(yīng)用環(huán)境越復(fù)雜，噪聲也越復(fù)雜。SαS 是一種非常好的模擬脈沖噪聲統(tǒng)計(jì)量的工具，為獲得最佳的降噪效果，此處用α穩(wěn)態(tài)分布模型對(duì)非高斯噪聲進(jìn)行建模。該分布充分考慮了包含低概率和高振幅噪聲樣本的脈沖噪聲的特性。α穩(wěn)態(tài)密度函數(shù)尾部衰減的速度比高斯密度函數(shù)慢，由標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱α穩(wěn)態(tài)分布產(chǎn)生脈沖噪聲，有如下特征函數(shù)：

標(biāo)準(zhǔn)SαS 過程的概率密度函數(shù)曲線如圖1 所示。其中α表示特征指數(shù)，調(diào)整其尾部的重量。從圖中可知，這種α穩(wěn)定分布適合描述概率密度曲線與高斯分布相似但沖擊性較大的非高斯分布。非高斯噪聲的二階矩是不存在的，也就是該隨機(jī)變量不存在方差這一參數(shù)。另外，基于最小均方誤差這種二階統(tǒng)計(jì)量代價(jià)函數(shù)的自適應(yīng)濾波算法本質(zhì)上是通過對(duì)矩做估計(jì)來處理噪聲的，而α穩(wěn)定分布這類的噪聲恰恰又不能被整理成二階矩的形式。由此可見，非高斯噪聲對(duì)基于二階統(tǒng)計(jì)量作為準(zhǔn)則的自適應(yīng)濾波算法有很大的破壞性。鑒于α值對(duì)概率密度函數(shù)波形的影響，可通過直接調(diào)整α值來模擬不同沖擊程度的非高斯噪聲。

圖1 不同α 值下的標(biāo)準(zhǔn)SαS 概率密度函數(shù)波形

2.3 混合相關(guān)熵

兩個(gè)隨機(jī)變量X 和Y 的相關(guān)系數(shù)被定義為相關(guān)熵[9]：

其中E[·]為取均值；κ(·)為核函數(shù)；FXY(x,y)為X 和Y的聯(lián)合累積分布函數(shù)。

相關(guān)熵使用最廣泛的核是高斯核：

其中，e=X-Y；σ＞0，表示核寬度。

將兩個(gè)不同類型的核函數(shù)組合在一起，以此來度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的相似度，這種方法被稱為混合相關(guān)熵，定義為：

其中，σ1和σ2是高斯函數(shù)Gσ1(·)和Gσ2(·)的核寬度；混合系數(shù)0≤λ≤1。

2.4 提出算法

相關(guān)熵的加入使得基礎(chǔ)的自適應(yīng)濾波算法擺脫了二階統(tǒng)計(jì)量的束縛，由此增加了對(duì)非高斯噪聲的抗干擾能力。使用兩個(gè)高斯函數(shù)的混合作為核函數(shù)的混合相關(guān)熵能進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)能力。在此，為了使多通道ANC 系統(tǒng)的降噪性能變得更好，依據(jù)混合相關(guān)熵理論，對(duì)其代價(jià)函數(shù)做出改進(jìn)，進(jìn)一步提升基于最大混合相關(guān)熵的FxLMS 算法對(duì)噪聲的控制能力。權(quán)向量更新方程表示為：

其中：

其中，x'(n)為濾波-x 矢量信號(hào)；λ為混合系數(shù)；遺忘因子0≤γ≤1。

如此優(yōu)化后的算法，稱為VSSMMIFxMMCC。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

在此引用文獻(xiàn)[8]中的雙通道結(jié)構(gòu)，在仿真中分別取α=1.3 和α=1.8 服從標(biāo)準(zhǔn)的SαS 分布的噪聲，通過與MFxLMS 算法、NFxLMS 算法、BCDMFxLMS算法和MMNFxLMS 算法比較，選擇長(zhǎng)度為N=25和M=25 的FIR 濾波器對(duì)初級(jí)和次級(jí)路徑進(jìn)行建模。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2 所示。圖中各算法的仿真曲線是獨(dú)立運(yùn)行30 次取平均的結(jié)果。

圖2 各算法平均噪聲衰減量曲線圖

從圖2(a)可以看出，MFxLMS 算法在收斂階段收斂性能也會(huì)出現(xiàn)發(fā)散的情況。首先，對(duì)于算法在收斂后最終達(dá)到的穩(wěn)態(tài)誤差而言，NFxLMS 算法和BCDMFxLMS 算法都最終達(dá)到-5 dB 左右的穩(wěn)態(tài)誤差，MMNFxLMS 算法最終收斂在-20 dB，所提的VSSMMIFxMMCC 算法最終達(dá)到-21 dB 的平均降噪衰減量。其次，對(duì)于算法收斂速度而言，MMNFxLMS算法在迭代次數(shù)7000 處，收斂才趨于平緩，達(dá)到最低穩(wěn)態(tài)誤差；VSSMMIFxMMCC 算法在迭代次數(shù)4500處達(dá)到最低穩(wěn)態(tài)誤差，與NFxLMS 和BCDMFxLMS相比雖然收斂速度慢一些，但穩(wěn)態(tài)誤差更低一些。MMNFxLMS 的收斂速度與VSSMMIFxMMCC 相近，但VSSMMIFxMMCC 的穩(wěn)態(tài)誤差要比MMNFxLMS更低。因此，本VSSMMIFxMMCC 算法增強(qiáng)了算法處理非高斯噪聲的能力，是收斂速度相對(duì)較快且穩(wěn)態(tài)誤差相對(duì)較低的算法。

從圖2(b)可以看出，MFxLMS 算法不再發(fā)散，呈現(xiàn)收斂狀態(tài)。首先，對(duì)于算法在收斂后達(dá)到的最低穩(wěn)態(tài)誤差而言，MFxLMS 算法最終收斂到的最低穩(wěn)態(tài)誤差在-12 dB 左右，MMNFxLMS 算法最終收斂在-20dB 左右，NFxLMS 算法最終收斂在-21.5dB 左右，BCDMFxLMS 算法最終收斂在-20.5 dB 左右，本VSSMMIFxMMCC 算法最終達(dá)到-22 dB 的平均降噪衰減量。其次，對(duì)于算法在達(dá)到最低穩(wěn)態(tài)誤差的收斂速度而言，NFxLMS、BCDMFxLMS 和MMNFxLMS 在迭代次數(shù)1800 處出現(xiàn)收斂；本VSSMMIFxMMCC 算法在迭代次數(shù)1100 處出現(xiàn)收斂，雖然與NFxLMS 和BCDMFxLMS 的穩(wěn)態(tài)誤差相近，但在動(dòng)量和變步長(zhǎng)的作用下收斂速度更快。因此，在非高斯噪聲強(qiáng)度較弱的條件下，本VSSMMIFxMMCC 算法表現(xiàn)了在提升收斂速度方面的良好優(yōu)勢(shì)，同樣也在收斂速度相對(duì)較快的情況下達(dá)到較低的穩(wěn)態(tài)誤差。

4 結(jié) 束 語

在多通道前饋主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)中,以標(biāo)準(zhǔn)SαS分布的非高斯噪聲作為輸入信號(hào)，基于改進(jìn)的最大混合相關(guān)熵準(zhǔn)則為目標(biāo)函數(shù)，提出多通道濾波-x 最大混合相關(guān)熵自適應(yīng)濾波算法VSSMMIFxMMCC，通仿真驗(yàn)證了其魯棒性，尤其在非高斯噪聲控制中，驗(yàn)證了VSSMMIFxMMCC 算法在已有的多通道主動(dòng)噪聲控制算法的基礎(chǔ)上，克服了一些收斂速度變慢的問題，既能平衡收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，也能在處理脈沖較強(qiáng)的非高斯噪聲時(shí)依然保持良好的降噪性能。