劉培生

(北京師范大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 射線束技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100875)

0 引言

泡沫金屬等多孔材料具有體密度小、綜合性能好等特點(diǎn),是一種結(jié)構(gòu)功能一體化的優(yōu)秀工程材料[1-2]。但是,其強(qiáng)度和模量限制了其作為結(jié)構(gòu)材料的應(yīng)用[3-4]。泡沫金屬與致密金屬殼面組合制成夾芯結(jié)構(gòu),可獲得更佳的力學(xué)性能[3]。要提高其強(qiáng)度和承載能力,可將強(qiáng)度更高的外殼與泡沫體結(jié)合為整體。一般有兩種方式[5]:1) 三明治夾層結(jié)構(gòu),多用于改善其彎曲性能[6-8];2) 泡沫充填管結(jié)構(gòu),其中管體通過充填的泡沫芯體而得到加強(qiáng)[9-12]。多孔泡沫材料充填的管件可以用作高能量吸收和高比強(qiáng)度的有效結(jié)構(gòu)[13]。泡沫夾芯結(jié)構(gòu)具有較高的比強(qiáng)度、比剛度及良好的抗震、吸聲等性能,特別適合于輕質(zhì)結(jié)構(gòu)以及消音降噪和沖擊防護(hù)等用途[14-15]。

大家知道,在承受外加扭轉(zhuǎn)載荷(扭轉(zhuǎn)力偶作用)時(shí),圓軸橫截面上離截面中心較遠(yuǎn)處的外層部分承受的扭矩占據(jù)全部橫截面上扭矩的大部分,靠近截面中心處的內(nèi)層部分承受的扭矩只占全部橫截面上扭矩的較小部分。因此,以泡沫材料為芯體、致密圓管為外殼且芯體和外殼牢固地結(jié)合在一起成為一個(gè)整體的復(fù)合圓軸,在力學(xué)上具有明顯的優(yōu)點(diǎn),適于作為一種能更有效地承受外加扭轉(zhuǎn)載荷和傳遞轉(zhuǎn)動(dòng)功率的輕質(zhì)圓軸。其中圓管外殼為復(fù)合圓軸的主體承載部分,多孔結(jié)構(gòu)的芯體為輔助承載部分,而開孔網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的泡沫金屬同時(shí)還作為吸聲降噪、吸能減振以及熱交換等功能的擔(dān)當(dāng)部分。可見,此類復(fù)合圓軸同時(shí)擁有力學(xué)和物理性能的綜合優(yōu)勢。相對于實(shí)心圓軸,該復(fù)合圓軸結(jié)構(gòu)的重量得以大大減小;相對于空心圓軸,該復(fù)合圓軸的剛度和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性得以大大提高[16]。開孔網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的泡沫金屬在需要兼?zhèn)浣Y(jié)構(gòu)和熱控制雙重作用的場合具有自身的優(yōu)越性,采用其作為芯體的夾芯復(fù)合軸件,工作過程中可以在動(dòng)密封的配合下實(shí)現(xiàn)冷卻介質(zhì)流通的熱交換。

對于上述優(yōu)化結(jié)構(gòu)的新型復(fù)合圓軸,其承受的主要是扭轉(zhuǎn)載荷作用。而對于更多的此類多孔體夾芯結(jié)構(gòu),同樣會(huì)受到扭轉(zhuǎn)作用:例如泡沫金屬芯管狀消聲降噪器和吸能減震器[13-15],其加工過程和使用過程中都可能遇到扭轉(zhuǎn)作用。關(guān)于泡沫金屬等多孔材料及其夾層結(jié)構(gòu)的力學(xué)研究通常集中于壓縮,在扭轉(zhuǎn)載荷作用下的研究罕有報(bào)道[16-18],對于泡沫金屬充填管件更是如此[9,12,13,19-21]。本文工作即對泡沫金屬填芯復(fù)合圓軸構(gòu)件在扭轉(zhuǎn)載荷作用的情況下,探討基于其安全承載條件的力學(xué)關(guān)系數(shù)理表征,從而為適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用的泡沫金屬芯復(fù)合圓軸具體參量設(shè)計(jì)提供相應(yīng)的參考。

1 分析模型

本文研究以泡沫金屬為芯體、致密圓管為外殼的復(fù)合圓軸(參見圖1)在外加扭轉(zhuǎn)載荷作用下的力學(xué)關(guān)系。其中泡沫金屬為三維網(wǎng)狀多孔結(jié)構(gòu),可建立其簡化結(jié)構(gòu)模型即八面體模型(參見圖2)來進(jìn)行分析討論[17-18]。本工作目前僅探討關(guān)于上述研究對象在扭轉(zhuǎn)方面的最簡單問題:該復(fù)合圓軸的承載方式為單純的外加扭轉(zhuǎn)作用,而且其泡沫芯體和致密外殼之間牢固地連接為一個(gè)整體(例如兩者為冶金結(jié)合或強(qiáng)力膠結(jié)),保障復(fù)合構(gòu)件在外加扭轉(zhuǎn)載荷作用下不會(huì)產(chǎn)生芯體與外殼的分裂。于是,當(dāng)復(fù)合圓軸承受扭轉(zhuǎn)載荷時(shí),失效的產(chǎn)生將主要源于兩個(gè)方面:一是致密圓管外殼的切應(yīng)力達(dá)到和超過其對應(yīng)材質(zhì)的許用切應(yīng)力,引起致密圓管的剪切破壞;二是源于其名義扭矩的泡沫金屬芯體名義切應(yīng)力導(dǎo)致內(nèi)部孔棱中產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力,若達(dá)到和超過對應(yīng)密實(shí)材質(zhì)的許用正應(yīng)力大小時(shí),將會(huì)萌發(fā)芯體多孔結(jié)構(gòu)的整體性破壞。圓管外殼的破壞意味著復(fù)合圓軸的主體承載功能失效,泡沫芯體的破壞則不但意味著復(fù)合圓軸的輔助承載功能失效,更意味著復(fù)合圓軸的減振、降噪以及熱交換等物理功能的失效。

圖2 泡沫金屬內(nèi)部孔隙單元的八面體結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Octahedral structure model of pore units in the metal foam

2 力學(xué)關(guān)系推演

2.1 對致密芯體、致密外殼的復(fù)合圓軸

直接運(yùn)用工程力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于圓軸切應(yīng)力的有關(guān)表達(dá),即有:

當(dāng)0

(1)

當(dāng)Rc

(2)

式中:r為離開復(fù)合圓軸軸線的距離;Rc和Rs分別為芯體和外殼的半徑;τc(r)和τs(r)分別為芯體內(nèi)部和外殼內(nèi)部離開圓軸軸線距離r處的切應(yīng)變;Gc和Gs分別為芯體和外殼的切變模量;γ(r)為離開圓軸軸線距離r處的切應(yīng)變;dφ/dx為圓軸的單位長度相對扭轉(zhuǎn)角。

又由

Mc+Ms=Mx

(3)

可知

(4)

式中:Mx為復(fù)合圓軸所承受的總扭矩;Mc和Ms分別為復(fù)合圓軸的芯部和殼部承擔(dān)的扭矩;A為圓軸橫截面的面積,dA為圓軸橫截面的面積元。

將式(1)和(2)代入式(4),得

(5)

有

(6)

可得

(7)

式中:Ipc和Ips分別為復(fù)合圓軸的芯部和殼部的截面極慣矩。

當(dāng)r=Rc,結(jié)合式(1)和式(7)有復(fù)合圓軸芯體安全承載關(guān)系:

(8)

式中:τc-max和[τc]分別為芯體最大切應(yīng)力和芯體材質(zhì)許用切應(yīng)力。

當(dāng)r=Rs,結(jié)合式(2)和式(7)有復(fù)合圓軸殼體安全承載關(guān)系:

(9)

式中:τs-max和[τs]分別為外殼最大切應(yīng)力和外殼材質(zhì)許用切應(yīng)力。

2.2 對泡沫芯體、致密外殼的復(fù)合圓軸

直接通過幾何關(guān)系,可得出八面體模型中的孔棱長度(L)為

(10)

式中:a為包容單元八面體的立方格子邊長,大致相當(dāng)于多孔體的孔徑尺度。

將泡沫金屬中的孔棱作圓柱狀近似處理,同樣可由幾何關(guān)系亦可得孔棱半徑(r)為

(11)

式中:θ為多孔體的孔率。

由文獻(xiàn)[18]中的有關(guān)推演結(jié)果可知,孔棱的慣性矩(Iz) 為

(12)

由式(11)和式(12)可得孔棱的抗彎載面模量為

(13)

可進(jìn)一步修正為

(14)

式中:kW0為孔棱抗彎載面模量的幾何形狀尺寸修正系數(shù)。

又由文獻(xiàn)[18]可知,多孔體在扭轉(zhuǎn)載荷的作用下,其內(nèi)部孔棱端點(diǎn)受到垂直于孔棱軸線的橫向力的最大值,將發(fā)生在多孔芯體表層的孔隙單元中,其大小為

(15)

式中:τc-max為多孔芯體中發(fā)生的最大名義切應(yīng)力,即多孔芯體表層的名義切應(yīng)力。

根據(jù)工程力學(xué)基本關(guān)系,由式(10)、(14)、(15)可得出孔棱橫截面上的最大正應(yīng)力的大小為

(16)

(17)

(可見K0與kW0類似,為孔棱的幾何形狀尺寸綜合修正系數(shù),取決于材質(zhì)和制備,是個(gè)材料常數(shù))

得

σc-max=K0·(1-θ)-3/2·τc-max

(18)

將式(8)代入式(18),從而可得出復(fù)合圓軸芯體安全承載關(guān)系為

(19)

式中:[σc]為芯體材質(zhì)的許用正應(yīng)力。此時(shí)復(fù)合圓軸殼體的安全承載關(guān)系表達(dá)仍同式(9)。

由文獻(xiàn)[22],對各向同性材料有

(20)

式中:G為材料的切變模量;E為材料的楊氏模量;μ為材料的泊松比。

又由文獻(xiàn)[17,23],孔率為θ的多孔材料的表觀楊氏模量(E)可近似表示為

E≈KE·{(1-θ)3/2/[1-0.53(1-θ)1/2]}

(21)

式中:KE為決定于材質(zhì)種類的材料常數(shù)。

多孔材料的表觀泊松比(μ)則是一個(gè)與孔率無關(guān)的材料常數(shù)[17,23]:

μ≈Kμ

(22)

式中:Kμ也是一個(gè)材料常數(shù),其取決于多孔體的制備工藝,與孔率參量無關(guān)。

結(jié)合式(20),(21)和(22),得到復(fù)合圓軸多孔芯體的切變模量:

Gc≈KE·{(1-θ)3/2/
[1-0.53(1-θ)1/2]}/[2(1-Kμ)]

(23)

即

Gc=KG·(1-θ)3/2/[1-0.53(1-θ)1/2]

(24)

式中

KG=KE/[2(1-Kμ)]

(25)

仍然是個(gè)材料常數(shù),它與多孔體的孔率無關(guān),而取決于材質(zhì)種類和多孔體的制備工藝。

又由文獻(xiàn)[18]中的有關(guān)推演結(jié)果,知多孔芯體的截面極慣矩為

(26)

而由文獻(xiàn)[24],則可直接得出致密殼體的截面極慣矩為

(27)

將式(26)和(27)以及式(24)一同代入式(18),可進(jìn)一步得出復(fù)合圓軸芯體的安全承載關(guān)系:

(28)

由此得出

(29)

整理得

(30)

轉(zhuǎn)化得

(31)

即有

(32)

式中

(33)

也是個(gè)材料常數(shù)。

3 討論

承受扭轉(zhuǎn)載荷是工程構(gòu)件應(yīng)用中經(jīng)常遇到的情況。工程上傳遞轉(zhuǎn)動(dòng)功率及其他承受扭轉(zhuǎn)載荷的軸件一般都為金屬圓軸,其內(nèi)力形式主要是扭矩。這些軸件在工作過程中,其近軸線部分承受的扭矩較小,遠(yuǎn)離軸線部分承受的扭矩較大。因此,為減輕構(gòu)件的重量,工程上也經(jīng)常采用空心軸的形式。泡沫金屬具有吸能減振、消音降噪以及內(nèi)部流體介質(zhì)熱交換等功能[1-3,16],如果將泡沫金屬作為芯體填充于空心軸內(nèi)部,則既可減小系統(tǒng)振動(dòng)而提高運(yùn)轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性,又可降低系統(tǒng)工作噪音而提升環(huán)境質(zhì)量,而且還有更好的散熱功能。如此,有望獲得一種減振降噪、工作穩(wěn)定性好的新型軸件。這樣形成的泡沫金屬芯復(fù)合圓軸,將具有比一般的常規(guī)軸件更優(yōu)越的使用屬性。

多孔材料性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)一直是一項(xiàng)令人頗感興趣的重要工作[3,16,25,26],最大限度地發(fā)揮材料的性能優(yōu)勢是優(yōu)化設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)[25]。合理的泡沫金屬夾芯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),首先需要知悉其整體承載強(qiáng)度等相關(guān)力學(xué)關(guān)系的數(shù)理表征。承受扭轉(zhuǎn)的圓柱構(gòu)件單元體處于純剪切的受力狀態(tài),材料的剪切強(qiáng)度低于拉壓強(qiáng)度時(shí)發(fā)生始于外表面沿橫截面的剪斷破壞,材料的拉伸強(qiáng)度低于剪切強(qiáng)度則會(huì)在與軸線成45o角的螺旋面上發(fā)生拉斷破壞[22]。但泡沫金屬構(gòu)件的情況不同于致密體。泡沫金屬的整體失效和破壞源于其內(nèi)部孔棱或孔壁的失效和破壞,而泡沫金屬在扭轉(zhuǎn)載荷作用下其孔棱出現(xiàn)拉斷和剪斷等失效模式的可能性都將存在[16,27,28],但一般是孔棱呈現(xiàn)拉斷模式為主。實(shí)際發(fā)生的模式與對應(yīng)致密材質(zhì)的性質(zhì)以及多孔體的孔隙結(jié)構(gòu)等因素均有關(guān)系。對于泡沫金屬與致密金屬外殼組成的夾芯結(jié)構(gòu),其中泡沫金屬芯體也要承受整體外加載荷的一部分,因此其失效與致密外殼的破壞將會(huì)互相影響。這種失效模式又直接關(guān)聯(lián)著該復(fù)合結(jié)構(gòu)整體的載荷強(qiáng)度。如果知道了對應(yīng)復(fù)合結(jié)構(gòu)載荷強(qiáng)度等力學(xué)條件與泡沫金屬芯體和金屬外殼指標(biāo)之間的關(guān)系,就可以實(shí)現(xiàn)對整體結(jié)構(gòu)在不同載荷水平的優(yōu)化設(shè)計(jì),如重量設(shè)計(jì)、尺寸設(shè)計(jì)、用材設(shè)計(jì)等。利用得出的這種泡沫金屬復(fù)合結(jié)構(gòu)承受扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)的強(qiáng)度表征等力學(xué)關(guān)系,有助于獲得滿足對應(yīng)載荷條件安全使用要求的復(fù)合結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。

誠然,圓管在扭轉(zhuǎn)載荷下還可能發(fā)生屈曲。文獻(xiàn)[3]指出,對于某些非圓截面實(shí)體的構(gòu)件,可能需要特殊考慮其應(yīng)力計(jì)算:如截面有較薄的壁,也許會(huì)額外增加扭轉(zhuǎn)軸的屈曲破壞。本文研究的復(fù)合圓軸,由于芯部泡沫金屬的存在,大大提高了整體構(gòu)件的剛度,因而圓管外殼的屈曲破壞可能性大大降低。因此,本文對這個(gè)附加問題暫不予討論,留待以后的工作進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

另外,非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時(shí),其橫截面還將發(fā)生翹曲,但純扭轉(zhuǎn)(自由扭轉(zhuǎn))條件下其橫截面上僅產(chǎn)生切應(yīng)力,為純剪切狀態(tài)[22]。約束扭轉(zhuǎn)條件下非圓截面桿橫截面上將產(chǎn)生附加正應(yīng)力,但對一般實(shí)體構(gòu)件很小而可忽略。然而,對于非圓截面薄壁桿件,這種正應(yīng)力不可忽略,需要考慮。本文討論的是圓管外殼與泡沫芯體的復(fù)合圓軸在純扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下的力學(xué)關(guān)系,因此暫不涉及非圓截面薄壁桿件的這類附加問題。

本工作對泡沫金屬芯圓軸的扭轉(zhuǎn)行為進(jìn)行了研究,探討了其在扭轉(zhuǎn)載荷條件下安全承載的力學(xué)關(guān)系表征。在此基礎(chǔ)上,即可直接得出該復(fù)合圓軸構(gòu)件在相應(yīng)載荷形式下的安全承載判據(jù)。這些工作結(jié)果可以為該泡沫金屬芯復(fù)合圓軸結(jié)構(gòu)的綜合優(yōu)化(包括力學(xué)指標(biāo)與結(jié)構(gòu)重量、尺寸等因素的組合優(yōu)化)、用材設(shè)計(jì)、實(shí)際應(yīng)用和制備工藝優(yōu)選等提供參考。

總之,本工作推演建立了泡沫金屬復(fù)合圓軸結(jié)構(gòu)在對應(yīng)扭轉(zhuǎn)載荷形式下承載極限的力學(xué)關(guān)系數(shù)理表征。利用所得結(jié)果可方便地對該復(fù)合圓軸進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)其承載能力與用材、結(jié)構(gòu)尺度、重量等因素的優(yōu)化組合。此外,本工作所獲得的結(jié)果,對了解泡沫金屬復(fù)合結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)性能有良好的科學(xué)意義,對提高軸件的綜合性能也有良好的參考作用。

4 結(jié)論

1) 在致密芯體、致密外殼的復(fù)合圓軸中,芯體和殼體安全承載關(guān)系分別為

(34a)

和

(34b)

式中:Gc和Gs分別為芯體和外殼的切變模量;Rc和Rs分別為芯體和外殼的半徑;Mx為復(fù)合圓軸所承受的總扭矩;Ipc和Ips分別為復(fù)合圓軸的芯部和殼部兩者的截面極慣矩,[τc]和[τs]分別為芯體材質(zhì)許用切應(yīng)力和外殼材質(zhì)許用切應(yīng)力。

2) 在泡沫金屬芯體、致密金屬外殼的復(fù)合圓軸中,承載能力相對薄弱部分即芯體的安全承載關(guān)系為

(35)

式中:K和KG均為材料常數(shù),取決于泡沫金屬芯體的材質(zhì)種類和多孔體的制備工藝;Rc和Rs分別為芯體和外殼的半徑;Mx為復(fù)合圓軸所承受的總扭矩;Gs為外殼的切變模量;θ為泡沫金屬芯體的孔率;[σc]為芯體材質(zhì)的許用正應(yīng)力。

3) 在泡沫金屬芯體、致密金屬外殼的復(fù)合圓軸中,主體承載部分即殼體的安全承載關(guān)系為

(36)

式中符號意義同前。