毛北行，王東曉

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，鄭州 450046）

20世紀(jì)60年代，美國著名氣象學(xué)家洛倫茲提出了第一個(gè)混沌系統(tǒng)模型［1］，即Lorenz 混沌系統(tǒng)，經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)的努力探索，學(xué)者們對混沌系統(tǒng)的特點(diǎn)和規(guī)律有了更清晰的認(rèn)識，混沌系統(tǒng)的特性逐漸被發(fā)現(xiàn)，隨后新的、經(jīng)典混沌模型被相繼提出［2-5］，并得出了更多有用結(jié)果［6-10］，例如：Chen 系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)，T系統(tǒng)Qi 系和分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng).2004 年TIGAN 提出T 混沌系統(tǒng)［11］.王震等對其基本動(dòng)力學(xué)分析與電路實(shí)現(xiàn)、同宿軌道、周期軌道的計(jì)算做了研究［12-13］.雷騰飛對含有指數(shù)項(xiàng)T混沌系統(tǒng)、四維T混沌系統(tǒng)、復(fù)T混沌系統(tǒng)做了系統(tǒng)研究［14］.隨著研究的不斷深入，李彪等提出一種新的含有絕對值項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，雷騰飛以T混沌系統(tǒng)為研究對象，結(jié)合過渡臨界T 混沌系統(tǒng)模型，提出了一類含有絕對值項(xiàng)的T混沌系統(tǒng)［15］，運(yùn)用Matlab 仿真對系統(tǒng)的相圖、分岔圖、分岔空間等特性進(jìn)行了分析.但與其他分?jǐn)?shù)階滑模同步的成果相比，分?jǐn)?shù)階T系統(tǒng)的成果較少，對于含有半導(dǎo)體器件的電路來說，研究帶有對數(shù)項(xiàng)的T系統(tǒng)是非常有必要的.本文對含對數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階T混沌系統(tǒng)，給出了T混沌系統(tǒng)吸引子相圖，在分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上，得到分?jǐn)?shù)階T 混沌系統(tǒng)取得滑模同步的3個(gè)控制方案.

1 系統(tǒng)描述

定義1［16］Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)

以下考慮分?jǐn)?shù)階含對數(shù)項(xiàng)T混沌系統(tǒng)

選取系統(tǒng)參數(shù)a=2，b=1，c=9，q=0.942，吸引子圖如圖1.

圖1 系統(tǒng)（1）的相圖Fig.1 The phase diagram of system（1）

設(shè)計(jì)（1）為主系統(tǒng)，從系統(tǒng)如下：

引理1［16-17］若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則有

引理2［18-19］設(shè)，若存在常數(shù)k＞0，使得DtqV(t) ≤-ky12(t)，則y12(t) ≤2V(0)Eq，1(-2ktq)且

2 主要結(jié)果

假設(shè)1|e3|?|z|＜M,且z＞0.

定理1設(shè)計(jì)滑模面s(t)=Dtqe1+ae1，控制量

期中η＞0，則系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

證明滑模面上有s(t)=0 ?Dtqe1=-ae1，?e1→ 0 ?Dtqe1→0.

根據(jù)（3）式的第1 個(gè)方程得到Dtqe1=a(e2-e1)?e2→0，下證e3→0.

引導(dǎo)定語從句的詞有關(guān)系代詞that，which，who（賓格whom，所有格whose）和關(guān)系副詞where，when，why。關(guān)系代詞和關(guān)系副詞放在先行詞和定語從句之間，起聯(lián)系作用，同時(shí)又做定語從句的一個(gè)成分。

由（3）式的第3 個(gè)方程可得：x1y1-xy=x1e2-ye1.

因系統(tǒng)軌跡有界可知x1，y有界，故e1，e2→0時(shí)，x1y1-xy=x1e2-ye1→0，可得：

從而由引理2 不難得到s(t)→0，因此系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

定理2設(shè)計(jì)滑模面s(t)=e2+e1，控制量

其中常數(shù)η＞0，則系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

證明滑模面上有s(t)=0 ?e2=-e1，根據(jù)（3）式的第1個(gè)方程可得：

從而由引理2 不難得到s(t)→0，因此系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

定理3設(shè)計(jì)滑模面s(t)=e2，控制量

其中常數(shù)η＞0，則系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

證明滑模面上有s(t)=0 ?e2→0，根據(jù)（3）式的第1個(gè)方程有Dtqe1=-ae1

?e1→0，同理可證e3→0，過程同定理1，略.

從而由引理2 容易得到s(t)→0，因此系統(tǒng)（1）與（2）滑模同步.

3 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)a=2，b=1，c=9，q=0.942，定理1～定理3中的誤差見圖2～圖4.

圖2 定理1的誤差Fig.2 Errors in theorem 1

定理1～定理3 分別構(gòu)造滑模面s(t)=Dtqe1+ae1，s(t)=e1+e2，s(t)=e2.設(shè)計(jì)控制量分別為：

取定初始值 (x(0)，y(0)，z(0))=(2，2，5)，(x1(0)，y1(0)，z1(0))=(3，3，3)，η=1.

由圖可知，初始時(shí)誤差相差較大，在時(shí)間的變化下系統(tǒng)誤差最終趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，表明誤差趨近于0，定理1、定理2 取得同步所需時(shí)間比定理3 長，定理1、定理2 取得同步的時(shí)間沒有太明顯的差別，但是定理1 比定理2 的控制器要復(fù)雜，所以需要消耗較大的能量，而定理2則控制代價(jià)小容易實(shí)現(xiàn)，且定理1中誤差振幅較定理2大，因而定理1的抖振現(xiàn)象可能較為明顯，另外從圖2、圖3、圖4 可看出，3 個(gè)定理的控制效果越來越優(yōu)良.

圖3 定理2的誤差Fig.3 Errors in theorem 2

圖4 定理3的誤差Fig.4 Errors in theorem 3

4 結(jié)語

根據(jù)滑動(dòng)模態(tài)控制理論和分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)理論，本文研究了含對數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階T 混沌系統(tǒng)滑模同步的3 個(gè)控制方案.利用分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論給出了詳細(xì)的證明過程，并對所得結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.以上研究為該類混沌系統(tǒng)的同步控制提供了一些新思路.