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        愛爾特希點(diǎn)集

        2023-11-07 00:35:44郝明皓整理
        初中生世界 2023年38期
        關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)

        郝明皓 整理

        匈牙利數(shù)學(xué)家愛爾特希提出過這樣一個問題:在平面內(nèi)有n(n≥3)個點(diǎn),其中任意三個點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形,這樣的點(diǎn)集存在嗎?

        當(dāng)n=3 時,若這三個點(diǎn)是等腰三角形的三個頂點(diǎn),那么符合要求,即n=3時,這樣的點(diǎn)集存在。

        當(dāng)n=4 時,有且僅有三種結(jié)構(gòu)符合要求:①任意等腰三角形的三個頂點(diǎn)及它的外心(“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn));②任意菱形(“菱形”是指四邊相等的四邊形)的四個頂點(diǎn);③正五邊形(“正五邊形”是指五條邊相等、五個內(nèi)角相等的五邊形)的任意四個頂點(diǎn)。

        第①種結(jié)構(gòu)如圖1 所示,在△ABC中,AB=AC,D為△ABC的外心。顯然DB=DA=DC。從A、B、C、D四點(diǎn)中任取三點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

        圖1

        第②種結(jié)構(gòu)如圖2 所示,在菱形ABCD中,從A、B、C、D四點(diǎn)中任取三點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

        圖2

        第③種結(jié)構(gòu)如圖3 所示,在正五邊形ABCDE的五個頂點(diǎn)中,任取其中四個頂點(diǎn),無論取哪四個,它們相對的位置關(guān)系均一致,任取三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

        圖3

        當(dāng)n=5 時,有且僅有兩種結(jié)構(gòu)符合要求:任意正五邊形的五個頂點(diǎn);任意正五邊形的四個頂點(diǎn)及其中心(“正多邊形的中心”是指其相鄰兩邊垂直平分線的交點(diǎn))。同學(xué)們,你能畫出以上兩種結(jié)構(gòu)并說明取其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形嗎?當(dāng)n=6 時,也可以找到滿足條件的結(jié)構(gòu)。同學(xué)們,你能嘗試畫出來嗎?

        當(dāng)n≥7時,這樣的結(jié)構(gòu)便不存在了。

        為了紀(jì)念提出問題的愛爾特希,人們將具有這樣性質(zhì)的n個點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為“愛爾特希點(diǎn)集”。

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