馬長李，張 濤，李 振

（海軍研究院，北京，100161）

0 引 言

彈道導(dǎo)彈中段攔截是指在大氣層外將來襲彈道導(dǎo)彈摧毀于自由段［1］。中段攔截具有彈道預(yù)報(bào)難度低、響應(yīng)時(shí)間長、直接力控制簡便等優(yōu)點(diǎn)，是最為安全、可靠的彈道導(dǎo)彈防御方式。

對于中段攔截問題，最為重要的便是射前諸元解算，包括發(fā)射時(shí)刻、攔截時(shí)刻和發(fā)射方位角等。上述諸元直接影響了攔截彈的彈道形態(tài)以及末端交戰(zhàn)場景，對攔截效能影響深遠(yuǎn)。同時(shí)，考慮攔截彈自身作戰(zhàn)指標(biāo)（如射程和射高），發(fā)射窗口和攔截弧段也會對攔截效能產(chǎn)生影響。高度動態(tài)變化的戰(zhàn)場態(tài)勢還對諸元解算方法的快速性提出了較高的要求［2］。因此，發(fā)射諸元解算是一個(gè)集精度、約束和速度于一體的高度非線性問題。文獻(xiàn)［2］采用最小二乘迭代的方式計(jì)算發(fā)射諸元，但其主動段飛行模式固定，不能適應(yīng)目標(biāo)機(jī)動的情況，且計(jì)算耗時(shí)很長；文獻(xiàn)［3］在二維平面內(nèi)對攔截時(shí)間窗口問題進(jìn)行了研究，但模型過于簡單，缺乏實(shí)際意義；文獻(xiàn)［4］考慮地基雷達(dá)預(yù)警時(shí)間，建立了反導(dǎo)預(yù)警時(shí)間模型，但計(jì)算中采用的是目標(biāo)平均速度，計(jì)算精度不高。

求解攔截彈發(fā)射諸元是制定攔截策略的前提，對于在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的多攔截器-多目標(biāo)的場景，還必須針對各目標(biāo)的飛行狀態(tài)和攔截彈的部署情況（如位置、數(shù)量和作戰(zhàn)能力等），將各目標(biāo)分配給各攔截彈。上述分配的依據(jù)便是發(fā)射諸元計(jì)算結(jié)果、攔截彈作戰(zhàn)指標(biāo)和目標(biāo)威脅程度，而分配的過程則需要通過優(yōu)化算法來完成。多目標(biāo)攔截任務(wù)分配問題屬于武器-目標(biāo)分配范疇［5-7］，在作戰(zhàn)決策和火力運(yùn)用中有重要地位。國內(nèi)外學(xué)者對武器系統(tǒng)、編隊(duì)協(xié)同作戰(zhàn)及艦艇編隊(duì)防空等場景中的目標(biāo)分配模型進(jìn)行了大量研究［8-11］。

本文首先以二體理論和Gauss 問題為基礎(chǔ)，以發(fā)射時(shí)刻和命中時(shí)刻為設(shè)計(jì)變量，提出了一種考慮多約束條件的攔截彈發(fā)射諸元快速解算方法，解決了一對一條件下的發(fā)射窗口、攔截弧段和發(fā)射諸元快速求解問題。其次，建立了多對多最優(yōu)分配模型，包括性能指標(biāo)、目標(biāo)威脅指標(biāo)和攔截彈作戰(zhàn)指標(biāo)等。另外，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法，結(jié)合上述優(yōu)化模型對最優(yōu)分配策略進(jìn)行求解。通過引入動態(tài)種群規(guī)模和種群變異策略，提高了粒子群算法的搜索效率，保證了最優(yōu)分配策略的快速生成。最后通過仿真計(jì)算驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性和可行性。

1 發(fā)射諸元快速解算方法

本文定義的發(fā)射諸元包括發(fā)射方位角、發(fā)射時(shí)刻和命中時(shí)刻，同時(shí)定義發(fā)射窗口為所有發(fā)射時(shí)刻的集合。每個(gè)發(fā)射時(shí)刻都對應(yīng)目標(biāo)彈道上的一個(gè)弧段，記整個(gè)發(fā)射窗口對應(yīng)的所有弧段的集合為攔截弧段。

該方法能夠根據(jù)目標(biāo)實(shí)際運(yùn)動狀態(tài)快速求出攔截弧段，預(yù)測命中點(diǎn)可通過開普勒軌道遞推方程快速求解，Gauss 問題通過幾次牛頓迭代即可求解。因此，對于目標(biāo)進(jìn)行軌道機(jī)動情形，采用本文提出的方法可以針對機(jī)動情形快速求出發(fā)射窗口和攔截弧段。

首先作如下設(shè)定：

a）目標(biāo)軌跡已由預(yù)警探測系統(tǒng)預(yù)報(bào)得出，為簡化計(jì)算復(fù)雜度，這里暫不引入目標(biāo)機(jī)動項(xiàng)。

b）設(shè)紅方和藍(lán)方分別為攻方和攔截方。

記仿真初始時(shí)刻T0=0，此時(shí)紅方所有目標(biāo)已被藍(lán)方準(zhǔn)確探測跟蹤，藍(lán)方具備諸元解算條件。

設(shè)藍(lán)方完成解算、分發(fā)、發(fā)射等準(zhǔn)備工作所需的時(shí)間為T1，記發(fā)射時(shí)刻為T2，顯然T2≥T1。

c）記發(fā)射點(diǎn)在地心慣性系下的位置矢量為r0，經(jīng)緯度分別為λ0和φ0。

本文設(shè)計(jì)發(fā)射諸元計(jì)算方法如下：

a）給定T2的初值，取T2=T1。

b）給定T3的初值。估計(jì)攔截彈從發(fā)射到命中的飛行時(shí)間為TM，取T3=T2+TM。

c）根據(jù)彈道預(yù)報(bào)結(jié)果，求出T3時(shí)刻目標(biāo)在地心慣性系下的位置矢量rT（即預(yù)測命中點(diǎn)）、速度矢量vT、經(jīng)度λT和緯度φT。

d）根據(jù)r0、rT和TM，通過求解Gauss 問題得到預(yù)測命中點(diǎn)和發(fā)射點(diǎn)間的橢圓軌道，同時(shí)得到攔截彈終端速度矢量vM和攔截交會角。

e）判斷如下條件：

1）Gauss問題有解；

2）預(yù)測命中點(diǎn)高度不超過攔截彈發(fā)射高度范圍；

3）預(yù)測命中點(diǎn)到攔截彈發(fā)射點(diǎn)的射程L0T不超過攔截彈射程范圍。

若以上條件都滿足，則輸出T2和T3作為可行解，否則令T3=T3+ Δt3并返回步驟2，其中Δt3為命中時(shí)刻的搜索步長；若T3達(dá)到搜索上限（預(yù)測命中點(diǎn)高度低于攔截彈射高下限）仍沒有滿足條件的解，令T2=T2+ Δt2并返回步驟1，其中Δt2為發(fā)射時(shí)刻的搜索步長；若T2達(dá)到搜索上限后仍無可行解，說明該攔截彈不具備對該來襲導(dǎo)彈的攔截條件。

攔截交會角［12］為彈目速度矢量夾角的補(bǔ)角，其計(jì)算方式如下：

射程的計(jì)算方式如下：

式中Re為地球平均半徑；μ0T的計(jì)算方式如下：

綜上，記發(fā)射窗口和攔截弧段分別為Ωlaunch和Ωintercept，則

上述方法能夠快速確定某發(fā)射點(diǎn)處的攔截彈對某目標(biāo)的發(fā)射窗口和攔截弧段。在Ωlaunch中選擇具體的發(fā)射時(shí)刻T2，在Ωintercept中選擇具體的攔截時(shí)刻T3，則發(fā)射方位角的計(jì)算方式如下：

2 多對多最優(yōu)分配模型

設(shè)有攔截彈m個(gè)，來襲目標(biāo)n個(gè)；規(guī)定每個(gè)攔截彈只能攔截一個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)可分配給任意一個(gè)攔截彈。多目標(biāo)分配的優(yōu)化模型為

式中Vij為設(shè)計(jì)決策變量，當(dāng)?shù)趇個(gè)攔截彈不攔截第j個(gè)目標(biāo)時(shí)取0，當(dāng)?shù)趇個(gè)攔截彈攔截第j個(gè)目標(biāo)時(shí)取1；Wj為第j個(gè)目標(biāo)的威脅程度；Pij為第i個(gè)攔截彈對第j個(gè)目標(biāo)的攔截效能。

2.1 目標(biāo)威脅指標(biāo)

目標(biāo)威脅程度與目標(biāo)特性、攔截難度和預(yù)計(jì)落點(diǎn)等密切相關(guān)。

2.1.1 目標(biāo)特性

目標(biāo)特性主要指目標(biāo)紅外特性、電磁特性和空間分布等信息，其關(guān)鍵定量因素主要是溫度、運(yùn)動狀態(tài)、雷達(dá)截面積（Radar Cross Section，RCS）等。

a）溫度。

在大氣層外飛行時(shí)，真彈頭和誘餌受光照影響會吸收熱量并升溫。首先給出比熱容計(jì)算公式：

式中CQ為比熱容；ΔQ為吸熱量；m為飛行器質(zhì)量；ΔT為物體溫度變化。

設(shè)真彈頭和誘餌材料的比熱容相近，由于真彈頭的質(zhì)量一般遠(yuǎn)大于誘餌質(zhì)量，根據(jù)式（7）可知在吸收相同熱量的條件下，誘餌的溫度變化率遠(yuǎn)大于真彈頭，因此可將目標(biāo)溫度變化率作為判斷誘餌與真彈頭的依據(jù)。取溫度特性函數(shù)為

其中，

式中x1為目標(biāo)溫度的變化量；b1，a1分別為溫度變化的上下界。根據(jù)文獻(xiàn)［5］，此處取b1=180 K，a1=230 K。

b）運(yùn)動狀態(tài)。

由于誘餌一般無姿軌控設(shè)備，受分離干擾力和干擾力矩的影響，其在與母艙分離前后的速度變化非常明顯。而真彈頭質(zhì)量大且具有姿軌控設(shè)備，其在與母艙分離前后的速度變化相對較小。

考慮目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)探測過程的時(shí)間延遲、分離力大小和真彈頭/誘餌的質(zhì)量規(guī)模，本文取運(yùn)動特性威脅度函數(shù)為

式中x2為目標(biāo)運(yùn)動特性的變化量；b2，a2分別為運(yùn)動狀態(tài)變化判斷的上下界。對于位置狀態(tài)來說，取a2=30 m，b2=40 m；對于速度狀態(tài)來說，取a2=20 m/s，b2=35 m/s。

c）雷達(dá)散射截面積（Radar Cross Section， RCS）。

彈道導(dǎo)彈的中段運(yùn)動特征是真假彈頭識別所依據(jù)的主要特征之一。真彈頭有姿控系統(tǒng)，其RCS數(shù)據(jù)序列受進(jìn)動影響而呈現(xiàn)周期性；而誘餌一般無姿控機(jī)構(gòu)，其旋轉(zhuǎn)和翻滾可視作隨機(jī)運(yùn)動。RCS數(shù)據(jù)序列規(guī)律性較弱，變化幅度更大。

根據(jù)文獻(xiàn)［5］，本文取關(guān)于RCS的特性威脅度函數(shù)為u3= exp(-x3)，其中x3為目標(biāo)RCS變化量。

2.1.2 預(yù)計(jì)落點(diǎn)

通過彈道預(yù)報(bào)可知目標(biāo)的打擊對象。根據(jù)被打擊對象的重要程度可評估目標(biāo)威脅程度。設(shè)被攻擊區(qū)域有M個(gè)，各區(qū)域按照重要程度排序。設(shè)某目標(biāo)j攻擊的是第?個(gè)目標(biāo)，取其落點(diǎn)威脅函數(shù)為

式中ε?為第?個(gè)藍(lán)方目標(biāo)的相對重要度，ε?∈(0，1)。

獲得u1～u4后，對各威脅函數(shù)加權(quán)求和。若某威脅度函數(shù)在各目標(biāo)間的差異不大，則為其分配較小權(quán)重；否則說明該特性對目標(biāo)識別明顯，應(yīng)為其分配較大權(quán)重。目標(biāo)威脅指標(biāo)計(jì)算方式如下：

2.2 攔截彈作戰(zhàn)指標(biāo)

本文設(shè)定攔截彈作戰(zhàn)指標(biāo)由發(fā)射窗口、攔截弧段和平均攔截交會角決定。

根據(jù)上文中的定義，本文認(rèn)為發(fā)射窗口和攔截弧段越長則攔截概率越高。對于交會角，假設(shè)攔截彈末制導(dǎo)采用比例導(dǎo)引，則指令加速度大小為

式中k為導(dǎo)引系數(shù)；|r?|為彈目相對速度；ω為彈目視線角速度。

迎面攔截時(shí)彈目相對速度（即|r?|）很大，此時(shí)需求加速度也很大；反之，順向攔截時(shí)需求加速度相對較小。由交會角定義可知，交會角越大越利于末端攔截，因此認(rèn)為大交會角條件下的攔截概率更高。

記第i個(gè)攔截彈對第j個(gè)目標(biāo)的發(fā)射窗口寬度為|，攔截弧段寬度為，平均攔截交會角為；記所有|中的最大值為，所有中的最大值為，所有中的最大值為。綜上，攔截彈作戰(zhàn)指標(biāo)的計(jì)算方式如下：

3 武器目標(biāo)最優(yōu)分配算法

當(dāng)有m個(gè)攔截彈和n個(gè)目標(biāo)時(shí)，共有L=m?n種攔截方式。當(dāng)L較小時(shí)，可以采用枚舉方法獲得最佳攔截方式；當(dāng)L很大時(shí)，枚舉法所產(chǎn)生的計(jì)算量將非常大，過長的計(jì)算時(shí)間將影響指揮控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和響應(yīng)能力。多目標(biāo)最優(yōu)分配實(shí)際上是從有限種組合中選擇一種的過程，優(yōu)化過程中可以不考慮約束條件。因此，可以將目標(biāo)最優(yōu)分配問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，并采用數(shù)值優(yōu)化算法求解。

求解優(yōu)化問題的方法主要有兩類：確定性方法和隨機(jī)性方法。確定性方法收斂速度快，但對初值較為敏感。近年來，一些隨機(jī)性的方法例如遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等已成功應(yīng)用到優(yōu)化問題中。其中，粒子群優(yōu)化由于易操作、收斂快而受到廣泛關(guān)注。

基本粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一種基于迭代模式的優(yōu)化算法，搜索空間中的每個(gè)粒子都對應(yīng)一個(gè)由優(yōu)化函數(shù)所決定的適應(yīng)度，以評價(jià)該粒子當(dāng)前位置的優(yōu)劣。設(shè)種群的規(guī)模為N，搜索空間為D維，則粒子群中第i個(gè)粒子的位置和速度為［13］

記粒子i迄今找到的最好位置為pi=（pi1，pi2，…,piD），所有粒子迄今找到的最好位置為pg=（pg1，pg2， …,pgD）。對于粒子i，其第j維的位置和速度變化如下：

式中c1，c2為學(xué)習(xí)因子；r1，r2為0～1 間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重；tpso為當(dāng)前迭代次數(shù)。

較大的慣性權(quán)重可以加強(qiáng)算法的全局搜索能力，反之可以加強(qiáng)局部搜索能力。為提高算法搜索性能，采用指數(shù)遞減的慣性權(quán)重：

式中w0為起始權(quán)重；wf為終端權(quán)重；d1，d2為控制因子；tmax為最大的迭代次數(shù)。

由于算法的隨機(jī)性，會出現(xiàn)粒子聚集在某個(gè)或幾個(gè)特定位置的情況，這主要取決于問題特性以及適應(yīng)度函數(shù)的選擇。為定量描述粒子狀態(tài)，引入群體適應(yīng)度方差的定義。設(shè)fi為第i個(gè)粒子的適應(yīng)度，favg為群體平均適應(yīng)度，則群體適應(yīng)度方差為

其中，

群體適應(yīng)度方差反映的是粒子群中所有粒子的聚集程度，δpso越小，則聚集程度越大，導(dǎo)致將使群體失去多樣性，陷入早熟收斂，故當(dāng)δpso

式中ηpso為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)量。

4 仿真分析

設(shè)共有6 枚紅方導(dǎo)彈對藍(lán)方6 個(gè)地面目標(biāo)進(jìn)行攻擊，共有攔截彈5 枚，故至少有1 個(gè)目標(biāo)被遺漏，須通過優(yōu)化分配使藍(lán)方損失最小。

取粒子數(shù)為200，最大迭代次數(shù)為20。在計(jì)算發(fā)射諸元時(shí)，取T1=60 s，TM=300 s，Δt2=10 s，Δt3=30 s。其他條件如表1所示。

表1 攔截彈參數(shù)和目標(biāo)初始狀態(tài)Tab.1 The initial states of the missiles and the targets

采用式（13）計(jì)算各攔截彈對各目標(biāo)的作戰(zhàn)指標(biāo)，得到結(jié)果如表2所示。使用本文提出的最優(yōu)攔截策略制定方法，得到仿真結(jié)果如表3 所示?？梢钥闯?，在設(shè)定的攻防對抗場景下，來襲目標(biāo)4和來襲目標(biāo)6的威脅最大，應(yīng)當(dāng)首先攔截。以攔截彈5和目標(biāo)1為例，給出攔截彈攔截弧段如圖1和圖2所示。

圖1 攔截彈5對目標(biāo)1的攔截弧段Fig.1 The interception arc of missile-5 with respect to target-1

圖2 攔截彈5對目標(biāo)1的攔截弧段Fig.2 The interception arc of missile-5 with respect to target-1

最后，通過仿真驗(yàn)證改進(jìn)PSO算法對搜索能力的提升。采用基本PSO方法求解上述最優(yōu)分配問題，其中取慣性權(quán)重為常值0.8，不采用式（20）所示的粒子擾動策略。由于PSO算法具有隨機(jī)性，對基本PSO和改進(jìn)PSO 均進(jìn)行30 次獨(dú)立仿真，并取各自最好的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。其中，適應(yīng)度越小代表優(yōu)化函數(shù)值越優(yōu)，即結(jié)果的性能指標(biāo)越好。仿真結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)PSO方法較基本PSO方法而言，能夠在更少的進(jìn)化代數(shù)內(nèi)獲得更優(yōu)的性能指標(biāo)，搜索能力更強(qiáng)。

圖3 基本PSO和改進(jìn)PSO計(jì)算結(jié)果對比Fig.3 Comparison between the basic PSO and the improved PSO

5 結(jié)束語

針對彈道導(dǎo)彈中段攔截中的多對多作戰(zhàn)場景，提出了一種目標(biāo)最優(yōu)分配算法。首先，基于諸元快速解算法構(gòu)建了攔截效能與威脅指標(biāo)的快速求解方法，在此基礎(chǔ)上建立了目標(biāo)分配優(yōu)化模型。其次，提出了一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，通過種群變異策略提高了算法收斂速度，獲得了更優(yōu)的求解結(jié)果。最后，通過仿真驗(yàn)證了優(yōu)化模型的正確性與求解算法的快速性。