羅保林，金 飛，羅 亮

（1.成都市勘察測繪研究院，四川 成都 610031）

卡爾曼濾波作為一種最小二乘原理下的最優(yōu)估計(jì)，在去除白噪聲方面具有不錯的效果，本文將自適應(yīng)卡爾曼濾波的方差補(bǔ)償法應(yīng)用到RTK實(shí)時監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理過程中，以提升監(jiān)測數(shù)據(jù)質(zhì)量，為決策部門提供可靠的變形數(shù)據(jù)，在工程項(xiàng)目的安全性評價(jià)及預(yù)測等方面具有重要意義。

1 卡爾曼濾波模型

卡爾曼濾波在隨機(jī)變量估計(jì)的理論基礎(chǔ)上又引入了狀態(tài)方程的概念。它把測量信號當(dāng)作是在系統(tǒng)白噪聲作用下的輸出量，把前一個狀態(tài)的狀態(tài)量作為輸入量，這種輸入量與輸出量之間的函數(shù)關(guān)系用狀態(tài)方程來描述。由于所用的信息都是時域內(nèi)的量，所以除了可以對一維平穩(wěn)的隨機(jī)過程進(jìn)行濾波估計(jì)，還可以對多維的、非平穩(wěn)的隨機(jī)過程進(jìn)行估計(jì)[1]。

在不考慮系統(tǒng)控制作用的情況下，變形監(jiān)測在離散線性系統(tǒng)中的狀態(tài)方程與觀測方差為：

式中，X為位置向量，為速度向量，它們共同組成系統(tǒng)狀態(tài)向量；Δt為相鄰測量值間的時間間隔，下標(biāo)k為當(dāng)前要進(jìn)行濾波的時刻。上述方程可簡化為：

式中，Xk為狀態(tài)向量；Lk為觀測向量；Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk,k-1為噪聲控制矩陣；Wk-1為系統(tǒng)噪聲；Hk為觀測方程系數(shù)矩陣；Vk為觀測噪聲。

如果系統(tǒng)動態(tài)噪聲與觀測噪聲滿足以下特性

即觀測誤差和系統(tǒng)誤差都是滿足均值為零的正太分布且它們都互不相關(guān)。則系統(tǒng)過程噪聲方差陣Qk非負(fù)定，系統(tǒng)觀測噪聲方差陣Rk正定。

k時刻的觀測值為Zk。那么Xk的估值可通過下列方程解算。

狀態(tài)一步預(yù)測：

狀態(tài)估計(jì)：

濾波增益矩陣

一步預(yù)測誤差方差陣

估值誤差方差陣

從測量量和狀態(tài)量傳入的次序來看，卡爾曼濾波在一個周期內(nèi)的計(jì)算過程可分為兩步：濾波預(yù)測過程和狀態(tài)更新過程。

在傳入觀測值與觀測噪聲之前的所有計(jì)算中僅僅使用了與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)的一些數(shù)據(jù)和參數(shù)。從時間的遞進(jìn)關(guān)系來看，濾波過程是以K-1 時刻來估推K時刻的值，因此過程表現(xiàn)為濾波預(yù)測過程。后續(xù)部分的計(jì)算是對濾波預(yù)測值的修正計(jì)算，計(jì)算增益矩陣的目標(biāo)就是要準(zhǔn)確、合理地使用觀測值Z(k)來修正對k時刻的一步預(yù)測狀態(tài)值，使其擁有最優(yōu)效果，因此該過程表現(xiàn)為狀態(tài)更新。

2 方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波

方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波原理是在濾波的過程中對系統(tǒng)噪聲方差陣進(jìn)行實(shí)時估計(jì)，以補(bǔ)償濾波中對系統(tǒng)噪聲估計(jì)的不足[2]，從而可以在一定程度上避免常規(guī)卡爾曼濾波的發(fā)散問題。

假設(shè)動態(tài)噪聲和觀測噪聲為正態(tài)序列。定義一步預(yù)測殘差為：

式中，Lk+l和為第k+1期觀測值和它的最優(yōu)估值，這里的最佳觀測值不同于上一節(jié)的偽觀測值。

則Vk+l為正態(tài)向量，即Vk+l～N(0,Svv)。方差矩陣svv為：

假定Qk+i-1在觀測時段tk+1,tk+2,...,tk+N上為常數(shù)對角陣，即

因?yàn)椋?/p>

式中，ηk+l為零均值隨機(jī)變量，l=1，2,…,N。

令

上式為關(guān)于diagQ的線性方程組，當(dāng)N≥r時有唯一解。記diagQ的最小二乘（LS）估計(jì)為

3 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

本文采用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波對某個連續(xù)運(yùn)行測試站點(diǎn)的3 d高程監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分析其在連續(xù)性監(jiān)測系統(tǒng)中的有效性和適用性[3]。

該測試站點(diǎn)的定位采用單基站CORS進(jìn)行實(shí)時差分以獲取RTK固定解數(shù)據(jù)。站點(diǎn)的采樣間隔為5 s，24 h不間斷工作，1 d的數(shù)據(jù)量大約有18 000個左右，足夠進(jìn)行精度分析。每天數(shù)據(jù)采集完成后，均對GNSS天線進(jìn)行了一定量的升降來模擬沉降變形。

第一天的測量原始數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果如圖1所示，第二天將天線高相對于第一天升高1 mm，原始測量數(shù)據(jù)與濾波數(shù)據(jù)如圖2所示，第三天將天線高相對于第二天升高3 mm，原始測量數(shù)據(jù)與濾波結(jié)果如圖3所示。

圖1 第一天原始測量數(shù)據(jù)與濾波后數(shù)據(jù)對比圖

圖2 第二天原始測量數(shù)據(jù)與濾波后數(shù)據(jù)對比圖

圖3 第二天原始測量數(shù)據(jù)與濾波后數(shù)據(jù)對比圖

上述數(shù)據(jù)均是在假設(shè)這一天內(nèi)該站點(diǎn)沒有任何位移的條件下進(jìn)行處理的，系統(tǒng)的擾動主要是觀測誤差和儀器本身的測量誤差。由圖可以看出，在每一天的原始觀測數(shù)據(jù)中某些時刻的波動還是相對比較大的，第一天最大和最小的2個觀測值之差達(dá)7.15 cm，第二天觀測數(shù)據(jù)較差最大為1.59 cm，第三天觀測數(shù)據(jù)較差最大為12.29 cm；濾波后的數(shù)據(jù)平滑效果都特別好，對于噪聲作用下波動較大的時刻，噪聲都被很好的過濾掉了，數(shù)據(jù)整體要平穩(wěn)很多，精度也有大幅提高，如表1所示。

表1 H方向?yàn)V波前后均值和標(biāo)準(zhǔn)差對比表/cm

從這三天的數(shù)據(jù)中可知，第一天和第二天的觀測平均值和濾波平均值基本相同，但原始觀測值標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)波動性高，從而對濾波過程也產(chǎn)生了一定的影響，如圖1 可見，濾波后的數(shù)據(jù)在一開始也產(chǎn)生了一定的波動，該波動也導(dǎo)致了濾波后的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差也相對偏大，但相對于原始數(shù)據(jù)還是有較大的改善。

從數(shù)據(jù)中看，第一天和第二天高程相差3 mm 左右，而理論差距應(yīng)為1 mm，高程的變化未準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)。第二天相對于第三天濾波后高程相差3 mm 左右，理論差距也為3 mm，高程變化被完整體現(xiàn)。分析原因可能有兩種，一是由于算法原因加之RTK測量本生精度的不足，導(dǎo)致了1 mm 這種過于微小的變形無法很好的體現(xiàn)；二是可能由于第一天的數(shù)據(jù)本身波動性就相對較大，導(dǎo)致初值不準(zhǔn)確。當(dāng)然，具體是哪個原因，還需要后續(xù)的進(jìn)一步研究。從精度來看，原始觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差是濾波后標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍多，整體濾波后精度是有很大提高的，且濾波后的瞬時數(shù)據(jù)波動性較小，能夠比較好地反映監(jiān)測對象的實(shí)際狀態(tài)[4-7]。

4 結(jié)語

方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波在對高采樣率實(shí)時監(jiān)測數(shù)據(jù)的處理過程是較為穩(wěn)定的，濾波后沉降值的收斂性也較好，且濾波后的殘差及殘差的波動性都比原始數(shù)據(jù)要小很多，數(shù)據(jù)較為平穩(wěn)，數(shù)據(jù)處理過程中也沒有出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。因此，方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波在提高連續(xù)性監(jiān)測數(shù)據(jù)的精度上具有較好的效果，在高精度變形監(jiān)測中具有較高的應(yīng)用參考價(jià)值。