高海燕，張 悅

（1.蘭州財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院；2.甘肅省數(shù)字經(jīng)濟(jì)與社會計算科學(xué)重點實驗室，蘭州 730020）

0 引言

生產(chǎn)者價格指數(shù)（Producer Price Index，PPI）是衡量工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品出廠價格變動趨勢和變動程度的指數(shù)，其變化情況既可以預(yù)測未來居民消費(fèi)價格指數(shù)（Consumer Price Index，CPI）的走勢，又可以在一定程度上反映生產(chǎn)領(lǐng)域的景氣程度，因此探究PPI的內(nèi)在變動規(guī)律具有重要的現(xiàn)實意義。目前，大多數(shù)關(guān)于PPI的研究是基于時間序列分析方法展開的。例如，趙永興（2013）[1]利用EGARCH模型研究中國PPI 分類指數(shù)的波動情況；張立（2012）[2]基于向量自回歸模型研究生產(chǎn)者價格指數(shù)和居民消費(fèi)價格指數(shù)之間的動態(tài)關(guān)系；喬寶華等（2021）[3]基于面板模型研究PPI上漲對我國工業(yè)經(jīng)濟(jì)的影響，并對如何有效推動中國工業(yè)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定發(fā)展給出建議；Tang等（2019）[4]提出了基于模糊信息?；腉A-SVR-ARIMA 混合模型，旨在解決PPI估計中的不精確問題。上述針對離散數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)多元統(tǒng)計分析方法未能充分挖掘數(shù)據(jù)的潛在信息。事實上，PPI是隨時間變化的數(shù)據(jù)，可將其視為在離散時間點上具有特定結(jié)構(gòu)的函數(shù)曲線，即“函數(shù)型數(shù)據(jù)”。因此，可以從函數(shù)的視角出發(fā)來探究其內(nèi)在規(guī)律。

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Functional Data Analysis，F(xiàn)DA）[5]將離散觀測值用函數(shù)曲線的形式表示，運(yùn)用函數(shù)曲線的研究方法剖析數(shù)據(jù)。然而，傳統(tǒng)方法在分析高頻數(shù)據(jù)時，可能存在維數(shù)高、噪聲大、數(shù)據(jù)缺失、離群點多等問題，給統(tǒng)計分析帶來困難。FDA 方法將樣本數(shù)據(jù)背后的生成過程視為一個函數(shù)過程，可以克服高頻數(shù)據(jù)分析中遇到的上述問題。從函數(shù)的角度出發(fā)，F(xiàn)DA不僅可以研究數(shù)據(jù)的相關(guān)性特征，還可以對數(shù)據(jù)的變化率（導(dǎo)數(shù)）以及變化規(guī)律（微分方程）等函數(shù)特征進(jìn)行研究。例如，王德青等（2021）[6]利用函數(shù)型數(shù)據(jù)建模思想構(gòu)建函數(shù)型金融狀況指數(shù)（Financial Conditions Index，F(xiàn)CI），以動態(tài)、連續(xù)的視角測度FCI，展現(xiàn)了自2002 年以來中國金融整體形勢的動態(tài)變化規(guī)律；王丙參等（2021）[7]運(yùn)用多元函數(shù)主成分分析法與保序主成分評價法研究中國31個省份的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，研究表明，中國各省份的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平差異日漸縮小。因此，運(yùn)用FDA方法研究經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，既有助于準(zhǔn)確掌握數(shù)據(jù)特征，又能夠很好地吻合實際數(shù)據(jù)的變化趨勢，具有一定的優(yōu)勢。

主微分分析（Principal Differential Analysis，PDA）是通過一個微分方程去擬合噪聲數(shù)據(jù)，以捕獲單個曲線的特征或曲線上特征變化的方法。在研究高維數(shù)據(jù)時，通過捕捉單個觀測對象的動力學(xué)的重要特征，在他們內(nèi)部尋找估計方程的解的維度空間，以找到最佳描述數(shù)據(jù)的空間。用微分算子分析數(shù)據(jù)有許多優(yōu)點：一是對光滑函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，涉及速度與加速度，能夠?qū)?jīng)濟(jì)系統(tǒng)的變化進(jìn)行建模；二是很少有微分方程具有封閉的解析表達(dá)式，因此可從微分方程的數(shù)值解出發(fā)探討數(shù)據(jù)的特征。借助微分算子分析經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，與限制在系統(tǒng)本身狀態(tài)的直接建模相比，可以涵蓋更廣泛的動力學(xué)行為。

本文基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法對我國PPI進(jìn)行分析，克服了多元統(tǒng)計分析方法中沒有充分利用數(shù)據(jù)內(nèi)在信息的不足。首先，通過擬合函數(shù)法將離散數(shù)據(jù)擬合成勻滑曲線并探究其導(dǎo)數(shù)信息，進(jìn)而運(yùn)用相平面圖、主微分分析方法對PPI的動態(tài)變化規(guī)律進(jìn)行研究，結(jié)果表明PDA方法能夠較好地刻畫中國PPI 的動態(tài)演變規(guī)律和波動特征；其次，通過對中國PPI 的季節(jié)變動進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)其呈現(xiàn)循環(huán)變動的規(guī)律，具有一定的周期性；最后，為探究不同地區(qū)間PPI 的異同，基于PPI 變化速度，對中國31 個省份進(jìn)行函數(shù)型聚類分析，結(jié)果表明我國不同地區(qū)的PPI具有顯著差異。

1 函數(shù)型數(shù)據(jù)和主微分分析模型

1.1 離散數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵是在離散時間點{tj} 觀測一個連續(xù)可微的過程：

其中，{yj} 為觀測值序列，x(t)為潛在連續(xù)可微函數(shù)，εj為不可觀測的誤差成分。為保證擬合函數(shù)x(t)精確表示觀測值{yj}，通常使用最小二乘準(zhǔn)則刻畫擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性；同時也要求擬合函數(shù)是勻滑的，因此將導(dǎo)數(shù)平方的積分作為粗糙懲罰項，以刻畫函數(shù)的光滑程度。因此，考慮以下擬合方程：

其中，Dk表示k階導(dǎo)數(shù)，λ為修勻參數(shù)，可通過廣義交叉驗證準(zhǔn)則（Generalized Cross-Validation，GCV）得到。通常通過最小化式（2）獲得擬合函數(shù)x(t)。

1.2 主微分分析模型

在實際問題中，為得到更準(zhǔn)確的擬合函數(shù)，通常利用某些具有特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)構(gòu)造粗糙懲罰項。對于函數(shù)x(t)，假設(shè)存在線性微分算子：

于是，相應(yīng)的微分方程為：

其中，I為單位算子；βj為Djx的系數(shù)，可以是常數(shù)，也可以是時間的函數(shù)。式（4）也可表示為零化的線性微分算子Lx=0，可以用其分析PPI的變化模式。為求解最優(yōu)擬合函數(shù)，用Lx平方的積分代替式（2）中的PENk(x)，即通過最小化式（5）來求解擬合函數(shù)x(t)。

在經(jīng)濟(jì)問題的研究中，從輸入、輸出的視角出發(fā)，探尋經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)行規(guī)律。設(shè)函數(shù)觀測對象xi,i=1,…,N及與其對應(yīng)的協(xié)變量函數(shù)fi,i=1,…,N，通過xi和fi來確定式（6）：

當(dāng)系統(tǒng)不存在強(qiáng)迫函數(shù)時，f(t)=0，此時的目標(biāo)在于尋找一個線性微分算子使其滿足線性微分方程Lxi=0,i=1,…,N。為此，需要估計m個權(quán)重系數(shù)函數(shù)βj,j=0,…,m-1，從而得到微分算子L。若要求微分算子L滿足Lxi=0，則可將Lxi看作式（7）的殘差：

基于殘差函數(shù)的范數(shù)平方和，構(gòu)建如下最小二乘準(zhǔn)則：

當(dāng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫函數(shù)fi與輸出函數(shù)xi同時被觀測到時，求解非齊次方程Lxi=fi,i=1,…,N。此時，最小二乘準(zhǔn)則變?yōu)椋?/p>

本文在之后的研究中，僅考慮強(qiáng)迫函數(shù)為0的情形。

1.3 微分方程系數(shù)函數(shù)的估計

基于上文中的最小二乘準(zhǔn)則，估計微分算子中的權(quán)重系數(shù)函數(shù)βj(t),j=0,…,m-1。目前，最常用的估計權(quán)重系數(shù)函數(shù)的方法為逐點最小化法和共發(fā)函數(shù)型線性模型方法。然而，逐點最小化法要求逐點設(shè)計矩陣列滿秩。因此，這里采用共發(fā)函數(shù)型線性模型方法。假設(shè)已經(jīng)利用離散觀測序列{yj} 估計出擬合函數(shù)的前m階導(dǎo)數(shù)。設(shè)陣，回歸系數(shù)函數(shù)向量ω=(ω1(t),…,ωp(t))′是p維列向y(t)=(y1(t),…,yN(t))′，Z(t)為包含函數(shù)xij的N×p函數(shù)矩量，ε(t)為N次觀測誤差，從而共發(fā)函數(shù)型線性模型的矩陣形式為：

則加權(quán)正則化擬合準(zhǔn)則為：

在利用共發(fā)函數(shù)型線性模型估計微分方程的系數(shù)函數(shù)時，令p=m，取y(t)=Dmx(t)=(Dmx1,…,DmxN)′，ω(t)=β(t)=(β0(t),…,βm-1(t))′，則估計微分方程系數(shù)函數(shù)β(t)的共發(fā)函數(shù)型線性模型為：

將以上結(jié)果代入式（11），并最小化LMSSE(ω)，可得式（12）中權(quán)重系數(shù)β0(t),β1(t),…,βm-1(t)的估計。

在利用共發(fā)函數(shù)型線性模型估計微分方程的系數(shù)函數(shù)時，事先假定已經(jīng)估計出擬合函數(shù)的前m階導(dǎo)數(shù)Djxi。然而，已有研究表明，一旦估計出初始微分方程，就需要重新估計導(dǎo)數(shù)，可以通過使用相應(yīng)的線性微分算子來定義粗糙懲罰項[5]。為得到穩(wěn)定的導(dǎo)數(shù)估計值，需要多次重復(fù)上述步驟。事實上，這是一個迭代過程，PDA的具體過程（迭代算法）如下：

步驟2：利用初始擬合函數(shù)最小化式（8），得到微分算子的初始估計L1。

步驟3：令懲罰項為λ∫[L1xj(t)]2dt，最小化式（8），得到新的擬合函數(shù)。

1.4 相平面圖

在運(yùn)用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法研究經(jīng)濟(jì)問題的過程中，可通過研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來探究其動態(tài)變化趨勢。因此，當(dāng)擬合函數(shù)勻滑時，將其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)分別看作橫、縱坐標(biāo)，繪制相平面圖。從物理學(xué)的角度來看，一階導(dǎo)數(shù)代表速度，二階導(dǎo)數(shù)代表加速度，速度和加速度分別與物體運(yùn)動的動能和勢能有關(guān)。因此，相平面圖既能反映研究系統(tǒng)中動能和勢能的交替變化規(guī)律，又能反映函數(shù)曲線變化的速度與加速度之間的關(guān)系。

2 中國PPI的季節(jié)變動特征分析

2.1 PPI函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征

本文對近年來的中國PPI 進(jìn)行研究。鑒于國家統(tǒng)計局于2011 年1 月實施新的工業(yè)生產(chǎn)者價格統(tǒng)計調(diào)查制度方法，故選取2011 年1 月至2021 年12 月中國PPI 的月度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)來源于國家統(tǒng)計局官方網(wǎng)站。圖1呈現(xiàn)了中國PPI隨時間變動的情況，可以看出，PPI具有明顯的周期性。

圖1 2011—2021年中國生產(chǎn)者價格指數(shù)

對PPI 序列進(jìn)行曲線擬合并修勻。本文選用5 階B-樣條基函數(shù)擬合函數(shù)曲線，節(jié)點為各年份的每個月份。由于基函數(shù)個數(shù)等于內(nèi)節(jié)點個數(shù)與階數(shù)之和，而2011—2021年共有132個月，因此共有135個基函數(shù)。并采用粗糙懲罰法對擬合函數(shù)進(jìn)行修勻，以保證其光滑性，選取的修勻參數(shù)值λ=1e-5，繪制中國PPI 數(shù)據(jù)的擬合效果圖，如圖2 所示，圖中圓圈表示離散觀測值，實線為擬合曲線。從圖2 中可以看出，PPI 擬合曲線與離散觀測值的擬合程度較高，能夠反映PPI 隨時間變化的趨勢及重要特征。2011年夏季末至2012年夏季末，PPI有迅速下降的趨勢；2012年夏季末至2014年，PPI處于穩(wěn)定的波動狀態(tài)，而2015年年末至2017年年初，PPI快速反彈；2017年至2020年，PPI 處于規(guī)律的波動下降狀態(tài)；但是2020 年夏季初至2021 年年末，由于新冠肺炎疫情之后經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，PPI 又快速攀升，并在2021 年10月達(dá)到最大值。因此，PPI隨時間的變化具有明顯的周期性。

圖2 曲線擬合效果圖

為進(jìn)一步掌握中國PPI的變化特征及規(guī)律，本文引入數(shù)據(jù)特征的代表值：均值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)，利用MATLAB軟件繪制2011年1月至2021年12月這132個月中國PPI 的均值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)曲線，如圖3 所示。可以看出，PPI均值函數(shù)隨著時間的變化呈現(xiàn)周期性變化，平均波動周期約為3～4年；PPI標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)在2021年之前呈現(xiàn)周期性波動且總體上處于下降趨勢，這說明PPI有一個較為穩(wěn)定的發(fā)展趨勢，在此期間中國經(jīng)濟(jì)市場不斷完善，生產(chǎn)領(lǐng)域經(jīng)濟(jì)較為樂觀，人們生活水平逐漸提高。

圖3 均值、標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)曲線

2.2 基于PDA的中國PPI的季節(jié)變動特征

由PPI 的統(tǒng)計特征可知，PPI 具有明顯的周期性。因此，本文基于PDA方法研究2011—2021年中國PPI的季節(jié)變動特征。圖2顯示，PPI數(shù)據(jù)的擬合曲線較為光滑，故可能存在一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，分別代表PPI的速度變化曲線和加速度變化曲線。從下頁圖4可以看出，PPI的變化速度及加速度曲線均呈周期性變化趨勢。加速度曲線基本處于規(guī)則的波動狀態(tài)，而速度變化曲線波動幅度較大。在2011年年末速度為最小值，這是因為2011年秋季歐債危機(jī)爆發(fā)，在之后的五年里，PPI雖然上下波動，但總體上呈下跌趨勢，這對我國的經(jīng)濟(jì)造成了一定的影響；2017年和2021年P(guān)PI的變化具有較大的速度，這是因為2017年世界經(jīng)濟(jì)逐漸好轉(zhuǎn)，我國供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革持續(xù)深化，PPI結(jié)束了連續(xù)五年的下跌，2021 年由于新冠肺炎疫情的影響導(dǎo)致運(yùn)輸成本增加，在一定程度上帶動了PPI的上漲。因此，PPI的速度與加速度變化趨勢與我國的經(jīng)濟(jì)狀況密切相關(guān)。

圖4 PPI擬合曲線的一階、二階導(dǎo)數(shù)

進(jìn)一步探索PPI的動態(tài)變化模式。通過繪制PPI的相平面圖（見下頁圖5），探究PPI 變化速度與加速度的關(guān)系以及動能與勢能交替變化的規(guī)律。圖5 中的1、2、3、4、5、6、7、8、9、O、N、D 分別對應(yīng)一年中的1 月至12 月，兩條相互垂直的虛線的交點為絕對零點，此點處PPI的速度和加速度都為零，標(biāo)志著PPI 在此點運(yùn)動的動能和勢能都為零。此外，曲線越靠近絕對零點，PPI變化的速度和加速度就越小，即曲線波動的持久性和變化幅度就越弱。而相平面圖中曲線圍成的“圈”對應(yīng)擬合函數(shù)曲線中“波峰—波谷—波峰”的變化周期，圈的大小反映了PPI 在周期內(nèi)波動的劇烈程度。由圖5 可知，各個年份PPI 的相平面圖都大致呈圓圈狀，具有顯著的季節(jié)特征。

圖5 2011—2021年中國PPI相平面圖

圖5（a）中，2011年P(guān)PI的相平面圖由一個半圈和一個小圈組成，小圈從1月開始，途徑2至5月直到6月上旬結(jié)束，可以看到，該圈的軌道范圍比較小，且基本處于絕對零點附近，意味著PPI 在2011 年春季和夏季的變化幅度較小，處于略有波動的平穩(wěn)狀態(tài)。PPI 的加速度自5 月開始下降，在8月達(dá)到最小值，然后從8月又開始上升，到年末上升趨勢減弱，達(dá)到最大值，這段時間的曲線軌跡處于垂直虛線的左邊區(qū)域，說明在這段時間里，PPI變化的速度為負(fù)，處于負(fù)增長狀態(tài)，稱其為秋季和冬季的變化特點。因此，PPI 在2011 年呈現(xiàn)春季和夏季、秋季和冬季不同的變化特征。

圖5（c）中，2013 年的相平面圖大致呈一個“圓圈”形狀，PPI速度自1月起開始下降，途徑2月，到3月中旬速度達(dá)到最小值，之后速度開始增大，到5 月中旬速度由負(fù)變?yōu)檎?，則說明PPI 從減少變?yōu)樵黾?，途?、7、8 月，到8 月達(dá)到速度最大值之后開始放緩，但PPI 仍處于上升狀態(tài)，直到11 月PPI 速度由正變負(fù)，導(dǎo)致PPI 開始下降，直到年末。并且從圖1可以看出，2013年P(guān)PI波動幅度較小，因此其經(jīng)濟(jì)狀態(tài)可看作一般的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，即2013 年生產(chǎn)領(lǐng)域的經(jīng)濟(jì)狀況代表正常經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下的物價變動情況。由于在圖5(c)中四個季節(jié)分別位于以絕對零點為中心的四個不同的象限中，且在每個象限中速度和加速度分別有相應(yīng)的上升或下降的趨勢。因此，在一般的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)下，一年內(nèi)PPI的變動具有較強(qiáng)的季節(jié)特征。

由圖5（e）可知，2015年P(guān)PI整體呈下降趨勢，相應(yīng)地，其相平面圖基本處于垂直虛線的左側(cè)，除11、12 月外，一階導(dǎo)數(shù)均為負(fù)值。進(jìn)一步，將相互垂直的虛線看作平面直角坐標(biāo)系，1、2、3月位于第二象限，一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，二階導(dǎo)數(shù)為正且逐漸減小，這說明PPI在春季呈下降趨勢；4月至7月中旬位于第三象限，在這一時間段里PPI的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為負(fù)，且運(yùn)行軌跡自4 月開始逐漸遠(yuǎn)離絕對零點，因此PPI 的變動趨勢自4 月開始逐漸增大；7 月中旬到10月中旬運(yùn)行軌跡又回到第二象限；10 月中旬之后曲線位于第一象限，此時間段PPI一階、二階導(dǎo)數(shù)均為正，運(yùn)動軌跡遠(yuǎn)離絕對零點，PPI呈輕微上升趨勢。因此，2015年P(guān)PI也呈現(xiàn)較為明顯的季節(jié)變動。

總的來說，相平面圖可視化了PPI隨時間變化的季節(jié)變動特征，不同年份的變動趨勢存在差異。結(jié)合圖1和圖5 可以剖析PPI 波動變化的原因。2011 年歐債危機(jī)爆發(fā)，股市出現(xiàn)熊市，油價下降，央行兩次降息，PPI降幅劇烈，圖5（a）顯示2011年下半年P(guān)PI的動能一直為負(fù)值；2012年起全球經(jīng)濟(jì)開始復(fù)蘇，特別是2014 年，由于全球經(jīng)濟(jì)分化，國際大宗商品的價格急速走低，PPI勢能較小；與一般年份相比，2016 年的相平面圖較為特殊，圖5（f）中曲線全部位于垂直虛線的右邊區(qū)域，PPI速度都為正，加速度也基本為正，動能和勢能都較大，PPI一直處于增長狀態(tài)且增長速度較快，具有明顯的特征。2016年10月，人民幣正式被納入特別提款權(quán)（SDR）貨幣籃子，加劇了國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的波動性；2017年年初，由于國際原油出口國集體減產(chǎn)，因此原油價格顯著攀升，PPI達(dá)到較高水平；2018年中美貿(mào)易戰(zhàn)爆發(fā)，我國經(jīng)濟(jì)遭受猛烈沖擊，從圖5（h）中可以看出，PPI 速度負(fù)值較多，PPI再一次呈下降趨勢；2019年以來，國際原油價格整體先揚(yáng)后抑，國內(nèi)相關(guān)行業(yè)產(chǎn)品價格隨之波動，PPI小幅度下降；2020年，受新冠肺炎疫情影響，PPI在上半年有所下降，在下半年又有所回升，但整體上呈下降趨勢；2021 年，受新冠肺炎疫情影響，全球商品流動受到限制，運(yùn)輸成本上升，進(jìn)而影響到上游產(chǎn)品的國際貿(mào)易，后疫情時代經(jīng)濟(jì)也開始復(fù)蘇，在一定程度上帶動了PPI上漲。

基于主微分分析的相關(guān)思想，運(yùn)用MATLAB 軟件對PPI數(shù)據(jù)進(jìn)行主微分分析，選取如下三階線性微分方程進(jìn)行分析：

其中，β0(t)稱為彈性系數(shù)，反映了在位置x處施加于系統(tǒng)的位置相關(guān)力；β1(t)、β2(t)分別與速度、加速度成正比，反映整個系統(tǒng)的變化速度和加速度。權(quán)重函數(shù)β0(t)、β1(t)和β2(t)的變化曲線如圖6所示。

由圖6 可以看出，β0(t)、β1(t)和β2(t)均具有一定的波動性，且β0(t)和β2(t)都是以0為中心波動，β1(t)以1為中心波動且均為正值，說明近年來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r較為樂觀。通過β0(t)、β1(t)和β2(t)的值可以得到任意時間中國PPI所滿足的微分方程，并通過線性微分算子的表達(dá)式可以觀測到PPI的位置及相應(yīng)的梯度變化。

為說明微分算子L在逼近xi時候的效果，可以繪制經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)Lxi與簡單導(dǎo)數(shù)的對比圖，如果這些經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)都很小，且類似于噪聲，則可以說明此微分方程在數(shù)據(jù)表示方面具有較好的效果。圖7 為經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)與簡單三階導(dǎo)數(shù)的平均值對比圖，實線為經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)的平均值，虛線為簡單三階導(dǎo)數(shù)的平均值。從圖7 中可以看出，相較于簡單三階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)的變化幅度要小很多，且圍繞0值上下波動，類似于噪聲。因此，微分方程式（13）的擬合效果較為理想。

圖7 經(jīng)驗強(qiáng)迫函數(shù)與簡單導(dǎo)數(shù)的對比

為了進(jìn)一步判斷PDA 方法的效果，本文以天津和陜西為例，繪制PPI的原始觀測值與函數(shù)型數(shù)據(jù)擬合曲線的對比圖，如圖8所示，圖中圓圈表示原始觀測值，實線表示微分方程解的擬合曲線，可以看出，微分方程的擬合效果較好。因此，運(yùn)用PDA 方法研究PPI 數(shù)據(jù)，不僅可以得到PPI數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)信息，而且可以較好地擬合曲線，具有相當(dāng)好的實際應(yīng)用價值。

圖8 原始觀測值與基于微分方程的擬合曲線的對比

本文通過求解微分方程式（13）來觀察PPI 在微分算子張成的空間上的性質(zhì)。針對初值條件，估計PPI線性微分方程的數(shù)值解，如圖9所示。

圖9 PPI微分方程的數(shù)值解

2.3 PPI季節(jié)變動的刻畫

本文基于FDA方法，從原始PPI中分離重要的季節(jié)變動并對其進(jìn)行刻畫。首先，對能夠捕捉到PPI長期變動趨勢的勻滑曲線g(t)進(jìn)行擬合；其次，從PPI 原始數(shù)據(jù)序列函數(shù)x(t)中減去勻滑曲線g(t)，得到季節(jié)變動成分和誤差成分；最后，采用基函數(shù)擬合法擬合PPI 的季節(jié)變動成分。PPI季節(jié)變動曲線可寫為：

其中，用PPI月度序列數(shù)據(jù)擬合x(t)，g(t)使用4階B-樣條基函數(shù)對PPI 的年度數(shù)據(jù)序列進(jìn)行擬合。下頁圖10為PPI的季節(jié)變動曲線s(t)。

圖10 PPI季節(jié)變動曲線

從圖10 中可以看出，PPI 的季節(jié)波動較大，極不穩(wěn)定。結(jié)合圖1和圖10可以看出，PPI波動曲線與其季節(jié)波動曲線有相似趨勢。例如，2012—2014年，PPI變化較小，其對應(yīng)的季節(jié)變動幅度也相對較??；而2016—2018 年，PPI 變動較大，其季節(jié)變動幅度也相對較大?？梢钥闯?，PPI 的季節(jié)變動呈現(xiàn)循環(huán)的變動趨勢，具有一定的周期性。因此，采用傅里葉基函數(shù)擬合季節(jié)變動曲線，如圖11所示，實線表示季節(jié)變動曲線s(t)的估計，圓圈表示各個年份每月的季節(jié)變動的數(shù)值點?？梢钥闯?，基于傅里葉基函數(shù)的線性組合擬合得到的季節(jié)變動曲線效果較好，很好地呈現(xiàn)了中國PPI 的季節(jié)波動特征，基本刻畫了PPI 的季節(jié)變化規(guī)律。

圖11 季節(jié)變動函數(shù)的擬合曲線

3 中國31個省份PPI差異性分析

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的主微分分析方法研究中國31個省份（不含港澳臺）PPI 的波動特征。對31 個省份2011 年1月至2021年12月共132個月的PPI數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。采用7階B-樣條基函數(shù)，以月份為節(jié)點，基函數(shù)個數(shù)為137。為保證擬合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的光滑性，在采用粗糙度懲罰方法時懲罰項為擬合函數(shù)的5 階導(dǎo)數(shù)，通過GCV 準(zhǔn)則，取修勻參數(shù)λ=1e-3，勻滑的31 個省份的PPI 擬合曲線如圖12 所示?？梢钥闯?，31個省份PPI的動態(tài)走勢大致相同，呈現(xiàn)較為平緩的上下波動的趨勢。

圖12 中國31個省份PPI的擬合曲線

為了進(jìn)一步分析不同省份PPI之間的異同，本文對31個省份的PPI 變化速度進(jìn)行函數(shù)型聚類分析。由上文可知，通過PDA方法得到的權(quán)重系數(shù)函數(shù)β1(t)反映了PPI的變化速度，因此對31 個省份的β1(t)采用函數(shù)型聚類分析方法（FNMF）[8]，根據(jù)各省份經(jīng)濟(jì)增長走勢，將31個省份分成三類，聚類結(jié)果如表1所示。

表1 聚類結(jié)果展示

各類中心與全國PPI速度的比較如圖13所示，可以看出三類省份在整個樣本區(qū)間上的差異大致可分為三個階段。第一階段為2011—2014 年，此階段三類省份經(jīng)濟(jì)增長差異較大，2011年上半年，第三類省份經(jīng)濟(jì)增長速度最快，第一類省份經(jīng)濟(jì)增長速度最慢，而在2011 年下半年，第一類省份經(jīng)濟(jì)增長速度最快，第三類省份最慢，如此循環(huán)往復(fù)，導(dǎo)致省際經(jīng)濟(jì)增長速度存在差異的因素很多，例如各省份政府出臺的相關(guān)政策、開放程度以及投資規(guī)模等；第二階段為2014年至2019年年末，此階段各省份之間的經(jīng)濟(jì)增長速度差異逐步縮小，基本與全國增長速度持平；2020年之后為第三階段，在這一階段由于新冠肺炎疫情的影響，導(dǎo)致三類省份的經(jīng)濟(jì)增長速度差異又逐漸變大。

圖13 各類中心與全國PPI速度比較

此外，圖13 還顯示，三類省份的PPI 增長速度與全國PPI 增長速度的差異逐步減小。總體上看，在2014 年之前，第二類省份的PPI 增長速度與全國PPI 增長速度差異最小，而第一、三類省份與全國PPI 增長速度差異最大，2014年之后三類省份的PPI增長速度逐漸趨同，后疫情時代，新冠肺炎疫情在上海、陜西、甘肅等省份再次暴發(fā)，導(dǎo)致第一類省份的PPI 增長速度與其他兩類省份趨于相反的方向。

進(jìn)一步，結(jié)合表2 和圖13 可知，31 個省份可分為三類：第一類省份涵蓋了我國大多數(shù)省份，其分布在我國的不同區(qū)域，具有相似的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)；第二類省份除北京和河北外，均為我國偏遠(yuǎn)地區(qū)省份，如新疆、西藏等，其受地理、歷史等因素的影響，第二產(chǎn)業(yè)較為落后；第三類省份大多分布于我國東中部地區(qū)，如安徽、江蘇等，這類省份地理條件優(yōu)越、氣候宜人，其第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)都較為發(fā)達(dá)?？偟膩碚f，三類省份在空間分布上特征明顯，存在區(qū)域發(fā)展差異。

4 結(jié)論

本文采用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法，克服傳統(tǒng)多元統(tǒng)計分析方法未能充分挖掘數(shù)據(jù)潛在信息的不足，從函數(shù)的角度出發(fā)，利用相平面圖、主微分分析方法以及基函數(shù)擬合法對我國生產(chǎn)者價格指數(shù)進(jìn)行動態(tài)分析。同時通過函數(shù)型聚類分析方法將中國31個省份的PPI變化速度聚為三類，并探究三類省份經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢的差異。研究結(jié)果表明：第一，PPI具有明顯的季節(jié)特征，在不同年份具有時間范圍和變動規(guī)模上的差異，而正常年份對應(yīng)的相平面圖的幾何特征較為相似；第二，主微分分析方法既能直觀地觀測到PPI的位置及相應(yīng)的梯度變化，又能動態(tài)地刻畫PPI的變化規(guī)律和波動特征；第三，傅里葉基函數(shù)能夠很好地擬合季節(jié)變動曲線，能更加形象地展示我國PPI 的季節(jié)變動特征；第四，三類省份的PPI 在空間分布上特征明顯，且經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢具有顯著差異，2011—2014 年，三類省份PPI 的增長速度差異較大，2014 年至2020 年年末，三類省份的PPI增長速度與全國PPI 增長速度逐漸趨同，2021 年以后，由于新冠肺炎疫情再次在小范圍內(nèi)暴發(fā)，導(dǎo)致第一類省份的PPI增長速度下降，異于其他兩類省份。