李 雪 李峰巖 趙 聰 胡叨福

（珠海格力電器股份有限公司 珠海 519070）

引言

磁懸浮軸承通過電磁鐵，電渦流位移傳感器和功率放大器等環(huán)節(jié)，在反饋控制的作用下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮，具有無機(jī)械磨損、不需要潤滑、噪聲低的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，在現(xiàn)代工業(yè)被廣泛應(yīng)用[1-3]。相比于傳統(tǒng)機(jī)械軸承，磁懸浮軸承的剛度、阻尼具有在線校正控制的特點(diǎn)，可在線控制也是磁懸浮軸承的另一個(gè)技術(shù)優(yōu)勢(shì)。在磁懸浮軸承控制系統(tǒng)中，不確定的干擾力或沖擊力會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)響應(yīng)、轉(zhuǎn)子懸浮精度等產(chǎn)生非常大的影響，控制系統(tǒng)需要提供不同的剛度、阻尼去應(yīng)對(duì)不同的外界擾動(dòng)，而控制器不同，系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼將大不相同。因此，在磁懸浮系統(tǒng)中，探究控制系統(tǒng)中各控制環(huán)節(jié)對(duì)磁懸浮軸承剛度、阻尼的變化趨勢(shì)的影響至關(guān)重要。

汪希平[4]以單自由度磁懸浮軸承角度分析了系統(tǒng)的剛度、阻尼系數(shù)與軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、控制器響應(yīng)之間的關(guān)系，并提出了復(fù)阻尼的概念。趙雷[5]基于獨(dú)立PID 控制的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，提出磁懸浮軸承的剛度、阻尼與所使用的校正控制器形式有關(guān)，并對(duì)各控制環(huán)節(jié)對(duì)剛度、阻尼的影響進(jìn)行了分析。蔣科堅(jiān)[6]提出一種不依賴于控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的剛度、阻尼在線測(cè)量方法，通過閉環(huán)測(cè)試，反向推算開環(huán)特性，實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)等效剛度、等效阻尼的辨識(shí)。吳華春[7]分別對(duì)控制器、傳感器滯后、功率放大器衰減等因素進(jìn)行了分析，基于頻域等效法對(duì)磁懸浮軸承的支承特性進(jìn)行了深入研究。而通過工程實(shí)驗(yàn)可知，電流環(huán)帶寬是磁懸浮軸承控制系統(tǒng)中非常重要的因素，但目前對(duì)磁懸浮軸承等效剛度和阻比特性研究的文獻(xiàn)多未考慮電流環(huán)帶寬對(duì)其的影響，因此需要開展進(jìn)一步的研究。

1 磁懸浮軸承數(shù)學(xué)模型

磁懸浮軸承本質(zhì)上是一個(gè)非線性被控對(duì)象，電磁力是關(guān)于電磁間隙與軸承線圈電流的二次方函數(shù)，即非線性關(guān)系表示為：

式中：

k—力系數(shù)；

i—線圈電流；

x—電磁間隙。

磁懸浮軸承控制系統(tǒng)中，以主動(dòng)式徑向磁懸浮軸承為例進(jìn)行分析，每個(gè)自由度均采用差動(dòng)勵(lì)磁方式，偏置電流與控制器輸出的控制電流共同作用于軸承線圈，軸承線圈1 和軸承線圈2 產(chǎn)生的電磁力分別作用于轉(zhuǎn)子，于是轉(zhuǎn)子受到的總電磁力為：

式中：

I0—偏置電流；

ic—控制電流；

x0—額定間隙；

x—轉(zhuǎn)子位移；

μ0—真空中的磁導(dǎo)率；

A0—電磁鐵的磁極面積；

N—線圈匝數(shù)。

數(shù)學(xué)建模與仿真分析過程中，線性運(yùn)算分析是控制系統(tǒng)的首選。當(dāng)轉(zhuǎn)子懸浮精度較好時(shí)，可將非線性模型等效成線性模型，這樣可以更加方便的對(duì)轉(zhuǎn)子受力進(jìn)行分析。通常將方程（2）在平衡點(diǎn)處附近作泰勒展開并略去高階無窮小量，得到平衡工作點(diǎn)下的磁軸承電磁力線性化方程，表達(dá)式如下：

式中：

ki—電流剛度系數(shù)；

kx—位移剛度系數(shù)。

方程（3）為受控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，加入磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)，便形成整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)。磁懸浮控制系統(tǒng)由外環(huán)位移控制和內(nèi)環(huán)電流控制構(gòu)成，其中，外環(huán)進(jìn)行轉(zhuǎn)子參考位移的跟蹤，內(nèi)環(huán)電流控制是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能的重要因素，其帶寬直接決定了軸承線圈電流的跟蹤與抗擾動(dòng)能力。因此，有必要對(duì)磁懸浮軸承電流內(nèi)環(huán)控制進(jìn)行研究分析，將電流環(huán)帶寬與磁懸浮軸承的等效剛度、等效阻尼建立關(guān)聯(lián)，從更多的維度進(jìn)行磁軸承的剛度阻尼特性分析。

電流環(huán)控制環(huán)路框圖如圖1 所示，參考電流為外環(huán)位置環(huán)的輸出，軸承線圈等效為一階慣性環(huán)節(jié)，電流調(diào)節(jié)器采用PI 控制器，參考電流與反饋電流之間的幅值和相位誤差決定了電流環(huán)的跟蹤性能。

圖1 電流環(huán)控制環(huán)路

由圖1，電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：

kp—比例系數(shù)；

ki—積分系數(shù)；

L—線圈電感；

R—線圈電阻。

根據(jù)方程（4），可得電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

考慮到磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，電流環(huán)的響應(yīng)速度要足夠快，因此，將電流環(huán)閉環(huán)二階系統(tǒng)進(jìn)行零極點(diǎn)對(duì)消，將電流環(huán)降階成一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。將方程（5）進(jìn)行變形整理，可得到：

式中：

令p1=1z，p1p2=Kz1，則此時(shí)電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：

ωb=p2—帶寬。

此外，由p1=1z，可得：

由ωb=p2，聯(lián)立方程（8），可得：

由方程（8）、（9）可知，電流環(huán)帶寬與PI 參數(shù)和電感有直接的關(guān)系，電感不變的情況下提高電流環(huán)kp可有效拓展電流環(huán)帶寬。

2 等效剛度和阻尼理論表達(dá)式

忽略高轉(zhuǎn)速下的陀螺效應(yīng)，磁懸浮軸承五自由度控制均采用分散控制，因此，以單自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼，擾動(dòng)力作用下，根據(jù)牛頓第二定律對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行拉式變換，可得：

式中：

m—轉(zhuǎn)子質(zhì)量；

Fd—擾動(dòng)力。

控制過程中，電渦流位移傳感器實(shí)時(shí)采集轉(zhuǎn)子位置信息，在控制器和功率放大器等環(huán)節(jié)的作用下產(chǎn)生轉(zhuǎn)子控制電流，因此，轉(zhuǎn)子控制電流與位移關(guān)系可以表示為：

式中：

Gs(s)—傳感器；

G(s)—控制器；

X(s)—振動(dòng)位移；

Gp(s)—功率放大器。

不失一般性，將傳感器Gs、控制器G 和功率放大器Gp均表示為復(fù)數(shù)形式，則控制電流與位移關(guān)系的頻率特性函數(shù)可表示為：

M(ω)、N(ω)分別為等效傳遞函數(shù)Go的實(shí)部與虛部，將方程（12）代入方程（10），并將方程（10）表示為頻率特性函數(shù)，可得：

相比于二階力學(xué)系統(tǒng)中外力與彈簧剛度、阻尼的頻率特性函數(shù)：

式中：

k—彈簧剛度；

c—彈簧阻尼；

F—外力。

通過類比，對(duì)應(yīng)k 的是電磁軸承系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)，記作Ke；對(duì)應(yīng)c 的是電磁軸承系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)，記作Ce。即：

由方程（15）可知，磁懸浮軸承的等效剛度和等效阻尼并不是一個(gè)常量。在某一轉(zhuǎn)速下，Gs、G 和Gp等環(huán)節(jié)的控制結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)直接影響磁懸浮系統(tǒng)的剛度與阻尼特性響應(yīng)。

為了抑制轉(zhuǎn)子位移誤差突變產(chǎn)生的高頻信號(hào)擾動(dòng)及系統(tǒng)中的高頻噪聲，控制器環(huán)節(jié)采用不完全微分PID 控制器，表達(dá)式為：

式中：

Td—微分時(shí)間系數(shù)；

Tf—濾波時(shí)間系數(shù)。

功率放大器環(huán)節(jié)根據(jù)電流環(huán)等效傳遞函數(shù)可以表示為一階慣性環(huán)節(jié)，表達(dá)式為：

在小量程位移變化范圍內(nèi)，傳感器輸出電壓與位移變化成線性關(guān)系，因此，可將傳感器環(huán)節(jié)等效為比例環(huán)節(jié)，用常系數(shù)進(jìn)行表示，表達(dá)式為：

因此，將方程（16）、（17）、（18）分別表示為頻率特性函數(shù)，并代入方程方程（15），得到磁懸浮系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼，表達(dá)式如下：

3 各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)等效剛度和阻尼的影響分析

根據(jù)方程（19）、（20）中各參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼的影響趨勢(shì)進(jìn)行分析，解析計(jì)算得到數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖處理，見圖2。

圖2 各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)等效剛度、等效阻尼的影響

從圖2 可以看出，不完全微分PID 控制器中kp、Td對(duì)軸承系統(tǒng)等效剛度、等效阻尼影響較大，可以明顯看出變化趨勢(shì)，變kp、Td參數(shù)控制便是基于此原理。而同一頻率下，不同Ti幾乎對(duì)等效剛度、等效阻尼無影響，所以實(shí)際調(diào)試過程中，找到一個(gè)合適的Ti后便不再發(fā)生改變。同時(shí)可以看出電流環(huán)bω對(duì)系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼影響也很明顯，帶寬為中高頻時(shí)，系統(tǒng)的等效剛度、等效阻尼數(shù)值比較大，高剛度，大阻尼有利于磁懸浮系統(tǒng)的抗沖擊控制，因此，控制系統(tǒng)中在不加強(qiáng)噪聲影響的前提下盡量提高電流環(huán)帶寬。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在磁懸浮壓縮機(jī)平臺(tái)上驗(yàn)證了控制參數(shù)對(duì)磁懸浮軸承等效剛度、等效阻尼的影響。實(shí)驗(yàn)過程中，已將電流環(huán)帶寬調(diào)整到最優(yōu)值。圖3 中，上面兩條曲線依次轉(zhuǎn)子前徑向、后徑向轉(zhuǎn)子懸浮位移，升頻過程轉(zhuǎn)子懸浮精度比較差，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，需要進(jìn)行磁懸浮軸承的變剛度、阻尼控制，通過切換控制參數(shù)kp、Td，轉(zhuǎn)子懸浮精度大幅提高，特別是后徑向轉(zhuǎn)子懸浮位移由793 mV 降低到333 mV，位移精度提高了約58 %。因此，在PID 控制框架下，通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)的變等效剛度、等效阻尼控制可有效提高轉(zhuǎn)子支承能力，改善轉(zhuǎn)子懸浮精度，提高系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定性。

圖3 磁懸浮軸承變剛度、阻尼實(shí)驗(yàn)

5 結(jié)論

本文分別對(duì)磁懸浮系統(tǒng)中的各控制環(huán)節(jié)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，以不完全微分PID 控制為基礎(chǔ)從理論上分析了控制參數(shù)、激振頻率、電流環(huán)帶寬對(duì)磁懸浮軸承等效剛度和等效阻尼的影響，同時(shí)結(jié)合實(shí)驗(yàn)證明了不同參數(shù)下的磁懸浮軸承支承能力不同，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用意義。