李治 張芹

（河南省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，河南 鄭州 450000）

1 引言

目前，變形監(jiān)測(cè)是保證各類建筑物安全運(yùn)營(yíng)的重要手段，自鄧聚龍教授提出灰色模型以后，灰色系統(tǒng)理論逐漸發(fā)展起來[1]，在變形預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用，灰色系統(tǒng)理論具備所需原始數(shù)據(jù)少、建模簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，然而當(dāng)原始數(shù)據(jù)變化快，不符合明顯的指數(shù)規(guī)律時(shí)，使用傳統(tǒng)灰色模型建模預(yù)測(cè)會(huì)存在固有偏差，針對(duì)傳統(tǒng)灰色模型存在的缺陷，可以運(yùn)用無偏灰色模型，來消除這種固有偏差，得到較高的預(yù)測(cè)精度。但單一的預(yù)測(cè)模型很難全面反映事物本質(zhì)，無法正確預(yù)測(cè)所需結(jié)果。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種新型的、功能強(qiáng)大的信息處理高級(jí)算法，屬于隱式模型，有自組織自適應(yīng)能力，具有高度的非線性，一些研究表明該算法可適用于非線性的變形數(shù)據(jù)[2]。在兩種模型的基礎(chǔ)上建立無偏灰色—BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型。通過理論分析和算例表明，該組合模型有更可靠的預(yù)測(cè)結(jié)果和精度。

2 無偏灰色預(yù)測(cè)模型及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的建立和檢驗(yàn)

在現(xiàn)實(shí)工程中，常用的灰色預(yù)測(cè)模型[3]通常都是一元一階的預(yù)測(cè)模型，灰色預(yù)測(cè)模型的建模原理及過程如下，根據(jù)原始數(shù)據(jù)是否為等間隔序列可將原始序列分為以下兩種情況[4]：

2.1 無偏灰色預(yù)測(cè)模型建立

建立一階白化微分方程：

建立原始數(shù)據(jù)序列模型[5-6]：

2.2 模型的精度檢驗(yàn)[7]

在現(xiàn)代的數(shù)據(jù)處理中，只有通過檢驗(yàn)的模型才能用來預(yù)測(cè)。在現(xiàn)有的灰色預(yù)測(cè)模型中，精度檢驗(yàn)主要有殘差檢驗(yàn)法、關(guān)聯(lián)度法與后驗(yàn)差法。殘差檢驗(yàn)法即絕對(duì)或相對(duì)誤差檢驗(yàn)，精度檢驗(yàn)要求誤差越小越好[8]。本文利用殘差大小檢驗(yàn)法，對(duì)所建立的模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。根據(jù)原始數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)模型計(jì)算出的模擬數(shù)據(jù)從而得到殘差，記為ε（k）：

令相對(duì)誤差：

平均相對(duì)誤差：

2.3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP[9-10]（Back Propagation）網(wǎng) 絡(luò) 是1986 年 由Rumelhart 和McCelland 為首的科學(xué)家小組提出的，它是一種按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能學(xué)習(xí)和存儲(chǔ)大量的輸入-輸出模式映射關(guān)系，無需事前揭示描述這種映射關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。它的學(xué)習(xí)規(guī)則是使用最速下降法，通過反向傳播來不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，使網(wǎng)絡(luò)的誤差平方和最小。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括輸入層（input）、隱層（hide layer）和輸出層（output layer）。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型包括輸入輸出模型、作用函數(shù)模型、誤差計(jì)算模型和自學(xué)習(xí)模型。

（1）節(jié)點(diǎn)輸出模型

隱節(jié)點(diǎn)輸出模型：

輸出節(jié)點(diǎn)輸出模型：

本文中，f1為sigmoid 函數(shù)，f2為線性函數(shù)。

（2）作用函數(shù)模型

作用函數(shù)是反映下層輸入對(duì)上層節(jié)點(diǎn)刺激脈沖強(qiáng)度的函數(shù)，又稱刺激函數(shù)，一般取為（0，1）內(nèi)連續(xù)取值Sigmoid 函數(shù)：

（3）誤差計(jì)算模型

誤差計(jì)算模型是反映神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期望輸出與計(jì)算輸出之間誤差大小的函數(shù)：

（4）自學(xué)習(xí)模型[11]

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程，即連接下層節(jié)點(diǎn)和上層節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)重矩陣Wij的設(shè)定和誤差修正過程。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有有師學(xué)習(xí)方式——需要設(shè)定期望值和無師學(xué)習(xí)方式——只需輸入模式之分。連接權(quán)值的修正主要采用梯度下降法，每次連接的權(quán)值修正量跟誤差函數(shù)的梯度成正比，它從輸入層反向傳遞到各層。各層的連接權(quán)值修正量為：

wδ為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值，為隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值；n1，n2，n3分別為輸入層神經(jīng)元數(shù)、隱含層神經(jīng)元數(shù)、輸出層神經(jīng)元數(shù)；Φ 為學(xué)習(xí)速率；分別為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；t為樣本輸出值；z為實(shí)際輸出值。

3 無偏灰色—BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型建立

目前針對(duì)變形數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，單單依靠傳統(tǒng)無偏灰色模型或傳統(tǒng)的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果易存在偏差，因此本文提出無偏灰色—BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型，通過運(yùn)用該模型可以有效過濾系統(tǒng)中的灰色特性，消除灰色系統(tǒng)的固有偏差，同時(shí)充分發(fā)揮無偏灰色模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的各自優(yōu)勢(shì)，通過組合取長(zhǎng)補(bǔ)短，使得最后的模型預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。

無偏GM（1，1）模型針對(duì)短期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度較高，適合初期變形期數(shù)較少的預(yù)測(cè)，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有自主學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力，且具有一定的容錯(cuò)性，但預(yù)測(cè)精度一般。無偏灰色—BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型減少了它們各自的缺點(diǎn)，結(jié)合兩者優(yōu)勢(shì)，既保持無偏GM（1，1）模型短期預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)點(diǎn)，又突出BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型適應(yīng)學(xué)習(xí)功能、誤差可控等特點(diǎn)，提高預(yù)測(cè)精度的同時(shí)，更適應(yīng)長(zhǎng)期變形預(yù)測(cè)。

本文針對(duì)原始數(shù)據(jù)建立無偏GM（1，1）模型，進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而得到一組相對(duì)于原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，將無偏GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入樣本，觀測(cè)值作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出樣本，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，從而得到相對(duì)于節(jié)點(diǎn)的一系列權(quán)值和閥值，最后，將所需的預(yù)測(cè)值作為網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)的輸入樣本，從而得到所需的預(yù)測(cè)值。組合模型預(yù)測(cè)步驟如下[12]：

（1）對(duì)原始數(shù)據(jù)建立無偏GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；

（2）取無偏灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)序列的第2 列到第n個(gè)數(shù)據(jù)，作為輸入向量P；

（3）取原始數(shù)列的第2 列到第n個(gè)數(shù)據(jù)，作為輸出向量T；

（4）通過訓(xùn)練BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到網(wǎng)絡(luò)中相對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的一系列權(quán)值跟閥值；

（5）將無偏GM（1，1）模型預(yù)測(cè)所需時(shí)刻的值作為輸入量，進(jìn)行測(cè)試，從而得到相應(yīng)的輸出向量，即為所得。

在運(yùn)用組合模型預(yù)測(cè)時(shí)，為了使收斂效果更明顯，一般采用將輸入量歸一化處理，方法是將各個(gè)輸入量歸一到[0，1]，公式如下：

式中max（x）、min（x）為樣本中的最大值與最小值。

4 實(shí)例

采用五強(qiáng)溪大壩體30 期的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，取前25 期數(shù)據(jù)作為建模初始樣本，后5 期數(shù)據(jù)作為模型預(yù)測(cè)的檢驗(yàn)樣本，建立無偏灰色—BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。先根據(jù)建模樣本建立無偏灰色模型，再根據(jù)前25 期預(yù)測(cè)值進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，得到網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的一系列權(quán)值與閾值。將由無偏GM（1，1）所預(yù)測(cè)的最后5 期數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)的輸入樣本，得到相應(yīng)的輸出量。

4.1 模型的建立

本文中模型的輸入輸出、隱含層節(jié)點(diǎn)的確定至關(guān)重要，隱含層節(jié)點(diǎn)根據(jù)公式：

式中M為輸入神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，N為輸出神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，q為1～10 之間的常數(shù)，根據(jù)此來確定，通過反復(fù)測(cè)試得到隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為10，此時(shí)收斂速度比較快，網(wǎng)絡(luò)誤差也小。把無偏灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)的經(jīng)過歸一化處理，作為輸入量到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練、仿真。網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練函數(shù)設(shè)置為traingdim，第一層的傳遞函數(shù)設(shè)置為tansig 函數(shù)，第二層的傳遞函數(shù)設(shè)置為purelin 函數(shù)，訓(xùn)練周期設(shè)置為50，初始學(xué)習(xí)效率為0.05，學(xué)習(xí)動(dòng)量為0.9，樣本的期望誤差為0.001。此時(shí)收斂的速度比較快，如圖1 只需要1333 次即可完成訓(xùn)練。

圖1 無偏組合訓(xùn)練過程

4.2 模型的精度評(píng)定

本文采用均方誤差進(jìn)行模型的精度評(píng)定：

本文采用組合模型進(jìn)行仿真，得到均方誤差0.0049。

4.3 組合模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

首先根據(jù)前25 期原始數(shù)據(jù)，通過無偏組合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行歸一化處理，作為輸入量，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，再對(duì)最后5 期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體結(jié)果如表2 和表3 所示。

表2 25期大壩相對(duì)某水平線觀測(cè)值

表3 最后5期大壩相對(duì)某水平線的預(yù)測(cè)值

針對(duì)最后5 期沉降量，運(yùn)用灰色模型、無偏灰色模型、組合模型的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值對(duì)比，明顯發(fā)現(xiàn)組合模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值更加接近，三種模型對(duì)比如圖2 所示。

圖2 不同模型預(yù)測(cè)樣本與實(shí)測(cè)值對(duì)比

5 結(jié)論

基于無偏灰色模型與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合模型的建立，具有較為嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，通過在變形預(yù)測(cè)中的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該組合模型在變形預(yù)測(cè)中具有較好的預(yù)測(cè)精度。與單純運(yùn)用灰色模型或無偏灰色模型相比，該組合模型既結(jié)合了單純運(yùn)用灰色模型所需樣本少、計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，還具有BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自組織、自適應(yīng)能力，能夠更快、更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，而且對(duì)非線性數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)有較高的精度，在變形預(yù)測(cè)中具有廣闊的應(yīng)用前景。