王雨豪,張貞凱

(江蘇科技大學(xué) 海洋學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

0 引 言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)利用特定的優(yōu)化方法將波束對準(zhǔn)目標(biāo)信號,并同時抑制噪聲和干擾,以此提高輸出信干噪比,在聲吶、雷達、無線通信、語音信號處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。其中標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器(Standard Capon Beamformer,SCB)較為經(jīng)典,但在陣元位置偏差、角度失配等非理想條件下,自適應(yīng)波束形成器的性能會急劇下降。

至今,已經(jīng)有許多學(xué)者在穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法方面展開了研究,例如加載類方法[1]、權(quán)重范數(shù)約束類算法[2]和協(xié)方差矩陣重構(gòu)類算法[3]。對角加載法雖然簡單,但是最優(yōu)的對角加載量難以確定。Feldman等人[4]提出了基于特征空間的波束形成器(Eigenspace-based Beamformer,ESB),在低信噪比條件下會增加信號導(dǎo)向矢量失配情況。Huang等人[5]提出了魯棒波束形成(Robust Capon Beamforming,RCB)算法,其主要思想是通過最大化陣列輸出功率,在用戶定義的不確定集中估計期望信號的導(dǎo)向矢量。Vorobyov等人[6]提出了最差性能最佳化(Worse-Case Performance Optimization,WCPO)方法,通過對不確定集合中所有可能的導(dǎo)向矢量進行無失真響應(yīng)約束來確保對期望信號的無失真接收。

由于上述各方法直接使用接收信號協(xié)方差矩陣計算最優(yōu)權(quán)值矢量,因此在高信噪比和期望信號導(dǎo)向矢量失配的條件下,包含期望信號在內(nèi)的接收數(shù)據(jù)會導(dǎo)致波束形成器的性能急劇惡化。因此,消除接收數(shù)據(jù)的信號分量[7]或重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣[8-9]可以提升波束形成器的性能。但是一般的重構(gòu)過程中會引入一些誤差,導(dǎo)致期望信號方位估計不準(zhǔn)確。文獻[10]通過對信號的來波方向范圍進行Capon譜估計,進一步得到信號導(dǎo)向矢量,但當(dāng)干擾來波方向產(chǎn)生誤差時,零陷無法對準(zhǔn)干擾方向,系統(tǒng)性能有所下降。文獻[11]通過構(gòu)造預(yù)處理矩陣消除訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的期望信號分量,并結(jié)合對角加載方法獲得最佳權(quán)矢量,解決了強干擾背景下對弱目標(biāo)的探測問題。文獻[12]通過構(gòu)建對消矩陣,增加零點約束實現(xiàn)干擾抑制,解決了穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法在高功率目標(biāo)信號下無法在干擾處產(chǎn)生零陷的問題。文獻[13]利用迭代自適應(yīng)估計和根據(jù)信源范圍扇區(qū)重構(gòu)的方法,有效抑制了存在導(dǎo)向矢量誤差時的相干干擾。文獻[14]將控制波束旁瓣級與重構(gòu)協(xié)方差矩陣結(jié)合,并轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題求解,克服了常規(guī)波束形成器在強干擾背景下虛警較多的問題。

針對常規(guī)利用Capon功率譜進行協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法結(jié)果不精確且不能很好解決干擾方向失配的問題,本文提出了一種雙層干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)(Double Interference and Noise Covariance Matrix,DINCM)的穩(wěn)健波束形成算法。首先,通過子空間投影去除接受數(shù)據(jù)中的干擾和噪聲分量,進行信號導(dǎo)向矢量的矯正;然后,利用Capon功率譜進行初步的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的估計重構(gòu),再利用多重信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)功率譜和干擾子空間的正交性對假定的干擾導(dǎo)向矢量進行優(yōu)化,重構(gòu)出更精確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。所提算法不僅可以矯正信號導(dǎo)向矢量,還可以矯正失配的干擾方向。仿真驗證了所提算法在導(dǎo)向矢量失配情況下,相比其他經(jīng)典算法有更好的性能。

1 波束形成基本理論

假設(shè)一個帶有M個天線單元的均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA),陣元各向同性,接收信號為窄帶遠場信號。假設(shè)有L個入射信號,其中一個期望信號從θ0方向入射,剩余L-1個干擾信號分別從θi(i=1,2,…,L-1) 方向入射。陣列在時間t觀測到的復(fù)向量表示為

(1)

式中:ai表示第i個信號源的導(dǎo)向矢量;si(t)表示第i個信號源的波形;n(t)表示加性高斯白噪聲。假定這里的期望信號、干擾和噪聲在統(tǒng)計上相互獨立。陣列的協(xié)方差矩陣可以表示為

R=E[x(t)xH(t)]=Rs+Ri+n。

(2)

陣列輸出信號可以表示為y(t)=wHx(t),其中w為波束形成器的復(fù)數(shù)權(quán)向量。因此,陣列輸出信干噪比((Signal-to-Interference plus Noise Ratio,SINR)定義為

(3)

通過最大化陣列輸出SINR來實現(xiàn)Capon波束形成器:

(4)

式(4)的解為

(5)

將式(5)代入式(3)中,得到最優(yōu)輸出SINR表達式:

(6)

(7)

式中:K為快拍數(shù)。由此可得采樣矩陣求逆算法(Sample Matrix Inversion,SMI)的權(quán)值為

(8)

2 基于導(dǎo)向矢量矯正和雙層協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法

2.1 目標(biāo)導(dǎo)向矢量估計

將整個觀測區(qū)間Θ劃分為信號區(qū)間Θs、干擾區(qū)間Θi和噪聲區(qū)間Θn,即Θs∪Θi∪Θn=Θ。本文使用Capon功率譜來計算剩余噪聲功率:

(9)

式中:θj是Θn的離散采樣點;J是采樣點數(shù)。根據(jù)文獻[15]提出的實際噪聲功率和剩余噪聲功率的關(guān)系,可以得出實際噪聲功率為

(10)

定義矩陣ψ為

(11)

可以認為ψ表示干擾導(dǎo)向矢量所在的干擾子空間。接著對其進行特征值分解:

ψ=BΓBH。

(12)

式中:B=[b1,b2,…,bM]和Γ=diag[γ1,γ2,…,γM]分別為酉矩陣和對角矩陣。取前L個較大特征值對應(yīng)的特征向量組成子空間B1=[b1,b2,…,bL],且L

PHa(θi)?0,θi∈Θi。

(13)

PHa0?a0。

(14)

利用式(13)和式(14)消除接收信號中的干擾分量:

PH[xs(t)+xi(t)+xn(t)]?

xs(t)+PHxn(t)。

(15)

接著利用式(7)計算投影樣本協(xié)方差矩陣:

(16)

利用式(15)計算投影樣本協(xié)方差矩陣:

(17)

結(jié)合式(16)和式(17),可以得到信號協(xié)方差矩陣:

(18)

(19)

(20)

2.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的雙層重構(gòu)

根據(jù)式(9)和式(10),更精確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣如式(21)所示:

(21)

(22)

(23)

(24)

定義矩陣φ:

(25)

對φ進行特征分解:

(26)

式中:B2=[b21,b22,…,b2M]和T=diag[t1,t2,…,tM]分別為酉矩陣和對角矩陣。取前N個較大特征值對應(yīng)的特征向量組成子空間H=[b21,b22,…,b2N],且N

U=HHH。

(27)

由于H的補子空間與a(θi)正交,則有

PsHa(θi)?0。

(28)

式中:Ps=I-U。正交性由于誤差而被影響,因此越接近真實的干擾導(dǎo)向矢量,PsHa(θi)越接近于0。定義誤差向量e,使得

(29)

(30a)

(30b)

(30c)

(30d)

將式(20)和式(21)代入式(8),可以得到權(quán)向量為

(31)

本文的DINCM算法步驟總結(jié)如下:

Step1 通過式(9)和式(10)計算剩余噪聲功率并估計實際噪聲功率。

Step2 通過式(12)計算信號投影矩陣。

Step3 通過式(16)和式(17)計算投影樣本協(xié)方差矩陣。

Step4 通過式(18)計算估計的信號協(xié)方差矩陣。

Step5 通過式(20)計算矯正信號導(dǎo)向矢量。

Step6 利用Capon功率譜初步計算干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

Step7 通過式(27)計算干擾投影矩陣。

Step8 通過式(30a)～(30d)計算精確的干擾導(dǎo)向矢量。

Step9 通過式(21)第二次重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

Step10 將式(20)和式(21)代入式(31)計算最優(yōu)權(quán)向量。

輸出:最優(yōu)權(quán)向量。

3 仿真分析

仿真基于8陣元的均勻線陣,陣元間距為半波長寬度。信號入射方向為0°,兩個干擾入射方向分別為-30°和40°,干噪比分別為20 dB和30 dB。信號和干擾來波方向誤差均為2°,即假定信號方向為-2°,兩個干擾的假定方向分別問-32°和38°。信號區(qū)間Θs為[-5°,5°],干擾區(qū)間Θi分別為[-35°,-25°]和[35°,45°]。積分區(qū)間離散采樣間隔為0.1°,噪聲設(shè)置為服從N(0,1)的高斯分布。將本文所提重構(gòu)算法(DINCM)與文獻[10]所提算法、對角加載(Loading Sample Matrix Inversion,LSMI)算法、特征空間(Eigen Space)算法、最差性能最優(yōu)化(Worst-case)算法和理論最優(yōu)值(Optimal)進行比較分析,實驗結(jié)果均為采用100次蒙特卡洛實驗后的結(jié)果。LSMI算法對角加載量為10 dB,Worst-case算法導(dǎo)向向量誤差范數(shù)上界ε0設(shè)為2。本文仿真運行環(huán)境為Matlab R2018a,電腦處理器為i7-7700HQ CPU 2.80 GHz。

3.1 不同輸入信噪比下的波束圖對比

仿真參數(shù)設(shè)置為輸入信號信噪比分別為20 dB和0 dB,快拍數(shù)為200。從圖1(a)中可以看出,在大信噪比條件下,本文所提算法不僅在期望信號的真實來波方向形成主波束,同時在干擾位置也形成了較深的零陷。文獻[10]雖然在期望信號方向形成主波束,但由于沒能矯正干擾信號方向失配,因此零陷沒有對準(zhǔn)真實干擾方向。LSMI算法雖然在干擾方向形成零陷最深,但在期望信號方向也形成了零陷,對其進行了抑制。Eigen Space算法的主波束也對準(zhǔn)了真實來波方向,但對干擾的抑制較差。Worst-case算法的主波束對準(zhǔn)了誤差方向。

(a)SNR=20 dB

從圖1(b)中可以看出,在小信噪比條件下,本文算法仍然可以在期望信號的真實方向形成主波束,并且保持較深零陷。文獻[10]的零陷方向仍無法對準(zhǔn)真實干擾方向。LSMI算法和Eigen Space算法的主波束無法對準(zhǔn)期望信號的真實來波方向?？傮w看來,本文算法在各信噪比條件下都有較強的干擾抑制和尋找真實信號方向的能力,具有較好的穩(wěn)健性。

3.2 輸入SNR和輸出SINR關(guān)系

仿真參數(shù)設(shè)置為輸入信噪比范圍為-10～30 dB,其余參數(shù)與3.1中相同。圖2(a)為無導(dǎo)向矢量失配時各算法的輸入SNR與輸出SINR關(guān)系圖,可見在低信噪比條件下本文算法與其他算法相比差別不大,在高信噪比下仍能保持很好的性能,各輸入SNR條件下始終比最優(yōu)值低約1 dB;文獻[10]所提算法與本文算法性能基本一致;LSMI算法和Eigen Space算法隨著信噪比增大逐漸趨于平緩;Worst-case算法性能最差。

(a)無導(dǎo)向矢量失配

圖2(b)為存在導(dǎo)向矢量失配時各算法的輸入SNR與輸出SINR關(guān)系圖,可以看出本文算法始終趨近于最優(yōu)輸出,尤其是在SNR為15 dB之后,更是體現(xiàn)出很好的穩(wěn)健性,輸出SINR在各輸入SNR條件下均比文獻[10]所提算法高出約5 dB;文獻[10]由于無法矯正干擾來波方向,因此在性能方面有一定的下降,僅在高信噪比情況下有一定優(yōu)勢;LSMI算法和Eigen Space算法隨著信噪比的增大,性能下降嚴(yán)重;Worst-case算法的曲線雖然保持逐漸上升,但性能較本文算法仍有很大的差距。

3.3 角度誤差和輸出SINR關(guān)系

仿真參數(shù)設(shè)置為輸入SNR為15 dB,導(dǎo)向矢量角度誤差范圍為-8°～8°,其余參數(shù)與3.1中相同。從圖3中可以發(fā)現(xiàn),隨著誤差角度增大,LSMI算法、Eigen Space算法和Worst-case算法的輸出SINR均有不同程度的下降,其中LSMI算法和Worst-case算法在誤差角度為8°時性能幾乎一樣;Eigen Space算法雖有一定程度的下降,但整體更加穩(wěn)定;文獻[10]雖能保持輸出SINR不隨誤差角度變化而變化,但數(shù)值始終比本文算法低約5 dB;本文算法在不同誤差角度的情況下始終保持輸出SINR接近最優(yōu)值,抗導(dǎo)向矢量角度失配能力強,性能相較于其余四種算法更加穩(wěn)定。

圖3 角度誤差與輸出SINR關(guān)系

3.4 快拍數(shù)與輸出SINR關(guān)系

仿真參數(shù)設(shè)置為輸入SNR為20 dB,快拍數(shù)為[10,400],其余參數(shù)與3.1中相同。從圖4中可以看出,LSMI算法隨著快拍數(shù)變化始終保持在較低輸出SINR,性能較差;Eigen Space算法和Worst-case算法在低快拍數(shù)呈現(xiàn)明顯上升趨勢,并隨著快拍數(shù)增大逐漸趨于平緩;文獻[10]算法具有一定穩(wěn)健性,整體呈水平直線,但在各快拍數(shù)條件下,輸出SINR始終比本文算法低約5 dB;本文算法整體呈水平直線,即使在低快拍數(shù)情況下仍能保持很好的性能,且始終接近最優(yōu)值。

圖4 快拍數(shù)與輸出SINR關(guān)系

3.5 不同陣元數(shù)下的波束圖對比

仿真參數(shù)設(shè)置為輸入SNR為15 dB,其余參數(shù)與3.1中相同。通過圖5(a)和(b)的對比可以看出,陣元數(shù)的增加會使主波束寬度變窄,即分辨率提高;本文算法在陣元數(shù)增加的情況下不僅能保持良好的波束指向性,更有比其余四種方法更低的旁瓣。

(a)8陣元

3.6 算法復(fù)雜度分析

從表1中可以看出,在相同運行環(huán)境下,本文所提算法比文獻[10]算法的運算時間多出約0.6 s,這是由于本文算法在矯正干擾方向失配時需要用到迭代優(yōu)化算法。雖然本文算法運行時間略高于其余算法,但本文算法在目標(biāo)和干擾導(dǎo)向矢量同時失配的情況下性能更好,穩(wěn)健性更強,且具有一定的實用性。

表1 算法運行時間比較

4 結(jié) 論

針對采樣協(xié)方差矩陣中含有信號分量和信號導(dǎo)向矢量失配造成的自適應(yīng)波束形成器性能下降的問題,本文提出了一種導(dǎo)向矢量矯正和雙層干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。本文算法通過濾除接收數(shù)據(jù)中的期望信號成分來提高波束形成器的穩(wěn)健性,即使在低快拍和大角度失配的情況下依然能保持良好的性能,在聲吶、雷達等領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。