范 鑫, 舒 送, 張俊寧, 肖 璐, 毛曉曄, 丁 虎

(1. 中國(guó)人民解放軍第5720工廠,安徽 蕪湖 241007; 2. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系,合肥 230026; 3. 上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海 200444)

液壓系統(tǒng)是機(jī)器、發(fā)動(dòng)機(jī)、飛機(jī)和許多工程機(jī)械的重要組成部分[1-3]。它通常包含許多用于輸送液體和提供壓力的管道。由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、激勵(lì)的多源性以及耦合的關(guān)聯(lián)性,使得其在工作過(guò)程中極易出現(xiàn)管道系統(tǒng)共振。由于涉及輸流管道的機(jī)械系統(tǒng)都輔有多個(gè)動(dòng)力設(shè)備,多個(gè)設(shè)備配合運(yùn)轉(zhuǎn)成為管路系統(tǒng)的主要振動(dòng)源,多個(gè)振動(dòng)源工作用加快了管道的疲勞故障進(jìn)程。因此,探究雙頻激勵(lì)下管道非線性動(dòng)力學(xué)行為,科學(xué)維系管道系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行,保障輸流管在雙頻強(qiáng)激勵(lì)環(huán)境下正常工作成為目前研究日益突出且至關(guān)重要的問(wèn)題。

要深入研究管道非線性振動(dòng)行為,需要考慮其自身的結(jié)構(gòu)形狀和材料性質(zhì)。由于工作環(huán)境及其自身重力的影響,管道的結(jié)構(gòu)參數(shù)將不可避免地發(fā)生變化。為了得到更準(zhǔn)確的非線性振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果,有必要考慮管道的初始形狀。學(xué)者們研究了微彎管道的各種振動(dòng)問(wèn)題[4-6]。李寶輝等[7]采用波動(dòng)法獲得振動(dòng)波的傳播和反射矩陣,提出了曲管平面內(nèi)振動(dòng)固有頻率的計(jì)算方法。謝孝文[8]采用分塊矩陣法討論了不同邊界條件下曲管的振動(dòng)特性。2021年,Oyelade等[9-10]考慮微彎黏彈性管道,研究了橫向振動(dòng)下輸送加壓流體非局部應(yīng)變梯度的非線性力學(xué)行為。Li等[11]分析了具有不同類型初始構(gòu)型的彎曲管道輸送流體的平面運(yùn)動(dòng)。Zhou等[12-13]分析了具有微小幾何缺陷的流體輸送支承管的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)。袁嘉瑞等[14]首次建立了基于Timoshenko理論的微彎管模型。Zhai等[15]研究了彎曲梁結(jié)構(gòu)在軸向載荷作用下的非線性振動(dòng)。曹建華等[16]基于樣條小波有限元法建立了沿軸線可伸長(zhǎng)的非線性輸流曲管。最近,微彎管道模型已發(fā)展到非平面型[17]以及超臨界區(qū)域[18-19]。以上的研究均是對(duì)單源激勵(lì)下微彎管道的振動(dòng)研究。雖然基于單頻激勵(lì)的管道動(dòng)力學(xué)研究能夠更加容易的實(shí)現(xiàn)特定的研究目的,但未針對(duì)多頻振動(dòng)激勵(lì)源之間的耦合作用進(jìn)行研究,而這種多頻激勵(lì)在工程中是非常常見(jiàn)的。

隨著系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作環(huán)境的越來(lái)越復(fù)雜,多頻多源激勵(lì)引起的振動(dòng)問(wèn)題日益突顯,并在多個(gè)領(lǐng)域備受關(guān)注。道路交通領(lǐng)域,Zhang等[20]在針對(duì)車(chē)-路相互作用關(guān)系研究中發(fā)現(xiàn),路面的破壞部分因素是由于車(chē)輛作用于路面的載荷激勵(lì)和路面的自身振動(dòng)共同作用引起的。軌道交通領(lǐng)域,Wu等[21]在針對(duì)高速列車(chē)牽引傳動(dòng)系統(tǒng)某結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期使用出現(xiàn)的疲勞問(wèn)題研究中發(fā)現(xiàn)它是由多個(gè)寬頻帶激勵(lì)之間的耦合導(dǎo)致。航空運(yùn)輸領(lǐng)域,航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片故障主要由機(jī)械激勵(lì)和氣動(dòng)激勵(lì)共同引起的[22]。然而,針對(duì)如此復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境,為方便研究,多數(shù)學(xué)者將多頻激勵(lì)振動(dòng)假定為多個(gè)單頻激勵(lì)的線性疊加,如Tan等[23-25],而忽略了多個(gè)激勵(lì)間的振動(dòng)耦合關(guān)系。但是僅依靠單頻激勵(lì)振動(dòng)是不能解釋管道的所有振動(dòng)問(wèn)題的。2021年,Gao等指出飛機(jī)液壓系統(tǒng)發(fā)生的振動(dòng)故障主要是由于流體的波動(dòng)和機(jī)身惡劣的振動(dòng)環(huán)境構(gòu)成的多激勵(lì)引起的。同年,汪博等[26]針對(duì)管道系統(tǒng)所表現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)特性及管道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié),強(qiáng)調(diào)管道系統(tǒng)不僅承受著復(fù)雜的多激勵(lì)問(wèn)題,在多載荷激勵(lì)下極易發(fā)生振動(dòng)超限,誘發(fā)管道及卡箍產(chǎn)生裂紋等故障。從以上的研究工作來(lái)看,目前針對(duì)管道的多頻激勵(lì)振動(dòng)問(wèn)題研究相對(duì)較少。另外,由于管道的構(gòu)形是復(fù)雜多樣的,考慮管道微曲,受傳遞路徑和介質(zhì)的影響,即便是同一激勵(lì)到達(dá)管道不同位置產(chǎn)生的振動(dòng)也會(huì)有所不同。以多頻激勵(lì)研究管道的振動(dòng)問(wèn)題不僅是緊跟當(dāng)前管道系統(tǒng)發(fā)展的趨勢(shì),而且還是保障發(fā)動(dòng)機(jī)乃至航空航天結(jié)構(gòu)安全可靠運(yùn)行的必然要求。本文從簡(jiǎn)單的雙頻激勵(lì)出發(fā),研究雙頻激勵(lì)發(fā)生時(shí)管道的非線性振動(dòng)特性。

本文針對(duì)固支液壓管道考慮管道的微彎曲建立了雙頻激勵(lì)下的力學(xué)模型,運(yùn)用Galerkin法(Galerkin method ,GM)將偏微分方程離散為一組非線性耦合常微分方程,并采用龍格庫(kù)塔法對(duì)方程組進(jìn)行數(shù)值求解,分析系統(tǒng)在雙頻激振耦合作用下液壓管道的振動(dòng)響應(yīng)。

1 動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示,一段微曲的液壓管道兩端固支,支撐之間的距離為L(zhǎng)p,管道的外徑和內(nèi)徑分別為D和d,管道的密度為ρp,楊氏模量為E,截面慣性矩為Ip,外激勵(lì)考慮為沿管道軸向均勻分布周期激勵(lì),其表達(dá)式為F(t)=F0[cos(Ω1t)+ηcos(Ω1t)],其中η為激勵(lì)分配系數(shù)。管道中充滿了航空液壓油,為簡(jiǎn)化理論模型,將液壓油視為無(wú)黏度的不可壓縮牛頓流體。根據(jù)這一假設(shè),管道中各處的油壓都是相同的,因此液壓油的壓力影響可以忽略不計(jì)。液壓油的密度為ρf,液壓油流速為 Г。表1給出了這些參數(shù)的值。

在理想條件下,管道在使用壽命期間將是直線形狀的,但是考慮到制造缺陷和蠕變變形,管道可能會(huì)有初始的彎曲幅值。初始曲線的存在對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響很大,這里記初始彎曲曲線為Y(x)。忽略外阻尼以及重力效應(yīng),因?yàn)檩S向運(yùn)動(dòng)很小,只考慮橫向運(yùn)動(dòng),使用廣義哈密頓原理建立管道的控制方程。

設(shè)管道的彎曲變形為u(x,t),因此管道動(dòng)能為

(1)

式中,Ap為管道的橫截面面積。液壓油沿管道流動(dòng)的動(dòng)能為

(2)

式中:Af為流體的橫截面面積;x或t前的逗號(hào)為x或t的偏導(dǎo)數(shù)。基于哈密頓原理,考慮管道的勢(shì)能為

δUp=?VEεxδεxdV

(3)

式中:V為管道體積;εx為一個(gè)微元體在x方向上的應(yīng)變,應(yīng)變-位移關(guān)系為

(4)

考慮沿管道均布諧波力的虛功,管道控制方程經(jīng)變分計(jì)算后如下

(5)

兩端固定邊界條件為

u(0,t)=0,u(Lp,t)=0,u,x(0,t)=0,u,x(Lp,t)=0

(6)

式中:F0為激勵(lì)幅值;η為無(wú)量綱參數(shù);Ω1和Ω2分別為兩個(gè)不同的激勵(lì)頻率。

管道黏彈性用Kelvin物質(zhì)導(dǎo)數(shù)描述,將以下本構(gòu)關(guān)系[27]代入式(5)中

(7)

式中,μ為管道材料的黏彈性系數(shù)。代入后,液壓管道控制方程為

(ρpAp+ρfAf)u,tt+2ρfAfΓu,xt+ρfAfΓ2u,xx+EIpu,xxxx+

F0[cos(Ω1t)+ηcos(Ω2t)]=0

(8)

其中,

(9)

考慮到邊界條件為兩端固定,可以使用以下函數(shù)來(lái)描述初始彎曲曲線

(10)

式中,A0為管道的初始彎曲幅值。

忽略外部激勵(lì)、阻尼和控制方程中的非線性項(xiàng),可以得到線性派生系統(tǒng)

(11)

假設(shè)對(duì)應(yīng)直梁的模態(tài)函數(shù)[28]為

φi(x)=C1icosβix+C2isinβix+C3icoshβix+C4isinhβix

(12)

將式(12)代入式(11)中可得

(13)

同樣的,為保證式(13)有非零解,其系數(shù)矩陣行列式必須為 0,于是可以得到多個(gè)不同的特征值,即微曲液壓管道的固有頻率。對(duì)應(yīng)于不同固有頻率,從式(13)可以求得微曲液壓管道近似模態(tài)。

根據(jù)Galerkin截?cái)嗨枷?將式(11)離散為具有N個(gè)廣義坐標(biāo)的常微分方程組。設(shè)解的形式如下

(14)

式中:φi(x)為從式(13)求得的模態(tài)函數(shù);q=[q1,q2,q3,…,qn]T;φ=[φ1,φ2,φ3,…,φn]。

將式(14)代入控制方程式(8),在方程兩邊都乘以試函數(shù)φk(x),并且從0～Lp積分,可以得到N個(gè)常微分方程

fk[cos(Ω1t)+ηcos(Ω2t)]

(15)

為了便于研究受迫激勵(lì)發(fā)生拍振時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng),兩個(gè)激振頻率可以寫(xiě)成如式(16)所示的形式

Ω1=Ω+δΩ,Ω2=Ω-δΩ

(16)

2 模型收斂性分析及驗(yàn)證

以流速121.5 m/s為例,圖2 給出了不同Galerkin截?cái)嚯A數(shù)下拱高變化時(shí)管道前兩階固有頻率以及時(shí)域下管道中點(diǎn)位置橫向運(yùn)動(dòng)的收斂性,其中外激勵(lì)幅值和激勵(lì)分配系數(shù)分別為F0=1 N/s,η=1?？梢钥闯?四階截?cái)嗍鞘諗康?因此在后面的討論中選擇N=4。

圖2 連續(xù)模型Galerkin離散收斂性分析

另外,為了收斂離散模型的正確性,將GM與直接數(shù)值方法-微分求積單元法(differential quadrature element method,DQEM)進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如圖3所示,兩種方法的幅頻仿真結(jié)果幾乎完全重合,證實(shí)了四階Galerkin截?cái)嘞到y(tǒng)可以在前兩階頻率范圍內(nèi)精確表達(dá)原連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。由此可見(jiàn)GM法作為一種模態(tài)離散方法,在關(guān)注模態(tài)頻率范圍內(nèi),有限自由度的截?cái)啾憧梢缘玫阶銐蚓_的動(dòng)力學(xué)結(jié)果,且解在空間和時(shí)間上是連續(xù)的,因此廣泛用于連續(xù)體動(dòng)力學(xué)分析。而DQEM是一種空間離散方法,為得到收斂的高精度結(jié)果,需要對(duì)連續(xù)體進(jìn)行多節(jié)點(diǎn)插值離散,計(jì)算方程較多,且僅在時(shí)間上連續(xù)。因此本工作中僅作為GM法的驗(yàn)證手段,而非主要研究手段。

圖3 四階離散模型與連續(xù)模型精度對(duì)比

3 算例分析

圖4分析了微彎液壓管道在受迫雙激勵(lì)作用下頻率離散系數(shù)取不同值時(shí)的幅頻響應(yīng)。由于頻率離散系數(shù)n決定了激勵(lì)頻率差大小,n取值越大,頻率差越小。由圖4可見(jiàn),隨著頻率差的減小,共振峰逐漸由兩個(gè)峰合并成為了一個(gè)峰。不過(guò),在此過(guò)程中,管道中點(diǎn)響應(yīng)并非一直是周期響應(yīng)。

圖4 雙共振峰隨激勵(lì)頻率差減小的合并演化過(guò)程

圖5給出了當(dāng)頻率離散系數(shù)n=20時(shí)不同平均激勵(lì)頻率下管道中點(diǎn)位置的時(shí)域響應(yīng)。易看出在雙頻激勵(lì)作用下發(fā)生拍振現(xiàn)象。從周期性來(lái)看,圖5(b)很難發(fā)現(xiàn)周期規(guī)律,而圖5(a)和圖5(c)是有一定的周期性的。

圖5 Ω取不同值時(shí)管道中點(diǎn)位置的時(shí)域響應(yīng)

圖6 給出了頻率離散系數(shù)n=20 時(shí)管道中點(diǎn)位置隨激勵(lì)平均頻率Ω變化的分岔圖,以及相對(duì)應(yīng)的最大李亞普諾夫穩(wěn)定性判定圖,最大李亞普諾夫判定具體方法參考文獻(xiàn)[29]。充分證實(shí)了Ω在 [178 181.7]存在混沌現(xiàn)象。

圖6 n=20時(shí)管道最大李亞普諾夫穩(wěn)定性判定

為了進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)振動(dòng)隨激勵(lì)頻率變化時(shí)存在非周期振動(dòng),圖7給出了頻率離散系數(shù)n分別為5,15,20,30,40和50時(shí)以Ω為分岔控制參數(shù)的分叉圖。圖中豎線區(qū)域內(nèi)為會(huì)發(fā)生非周期振動(dòng)的區(qū)間,從圖的分析結(jié)果可以當(dāng)n=5時(shí),未出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,如圖7(a)所示;當(dāng)n的取值分別為15,20,30,40時(shí)有明顯混沌現(xiàn)象發(fā)生,且混沌發(fā)生區(qū)域呈先增大后減小的趨勢(shì),如圖7(b)～ 圖7(e)所示;當(dāng)n=50時(shí),發(fā)生混沌的區(qū)域變小,且混沌現(xiàn)象變?nèi)?如圖7(f)所示。

圖7 以平均頻率Ω為分岔控制參數(shù)的橫向位移分叉圖

結(jié)合圖4和圖7分析發(fā)現(xiàn),由于n越大兩個(gè)激勵(lì)頻率就會(huì)越相近,當(dāng)兩個(gè)頻率差較大時(shí)(n較小時(shí))不會(huì)發(fā)生混沌現(xiàn)象,隨著兩個(gè)頻率的不斷靠近(n不斷增大)拍振現(xiàn)象出現(xiàn),在共振頻率附近出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,且混沌區(qū)域也隨之增大;當(dāng)兩個(gè)頻率靠的越來(lái)越近時(shí),混沌區(qū)域增大一定程度隨之減小,混沌現(xiàn)象也變?nèi)?從機(jī)理上分析,當(dāng)兩個(gè)頻率差趨近于0時(shí)(n→∞),兩個(gè)頻率重合為單頻激勵(lì)。

4 結(jié) 論

本文討論了雙頻激勵(lì)耦合作用下微曲液壓管道的非線性受迫振動(dòng)問(wèn)題,提出了以兩個(gè)外激勵(lì)頻率平均值為研究對(duì)象進(jìn)行微曲管道振動(dòng)分析的分析方式,分析了兩個(gè)激勵(lì)頻率差值對(duì)管道振動(dòng)響應(yīng)的影響,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象,得出如下結(jié)論:

(1) 微曲管道在周期雙頻受迫激勵(lì)作用下,激振頻率接近共振頻率時(shí),會(huì)發(fā)生強(qiáng)非周期振動(dòng)。

(2) 隨著兩個(gè)激勵(lì)頻率差值的減小,共振峰由兩個(gè)峰逐漸合成為一個(gè)峰。

(3) 兩個(gè)激勵(lì)頻率相差較小時(shí)在共振附近會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,隨著頻率差值的減小,管道的混沌區(qū)域先增大后減小,混沌現(xiàn)象隨之先增強(qiáng)后減弱。