孔 洋，汪璋淳，張桂榮，張 賢，梅聚福，劉中儀

(南京水利科學(xué)研究院巖土工程研究所，江蘇 南京 210024)

0 引 言

在巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則研究中，線性摩爾-庫(kù)倫(M-C)準(zhǔn)則適用于較低應(yīng)力水平情形，較高圍壓工況下其描述的巖石強(qiáng)度隨圍壓線性增大的特征與實(shí)際巖石力學(xué)試驗(yàn)結(jié)果不符[1]；胡克-布朗(H-B)準(zhǔn)則能反映巖石強(qiáng)度隨圍壓非線性增長(zhǎng)的特征，但存在一定程度的高應(yīng)力條件下過(guò)高估計(jì)巖石強(qiáng)度的問(wèn)題[2-3]。除經(jīng)典M-C準(zhǔn)則與H-B準(zhǔn)則外，常用的巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則還有指數(shù)型強(qiáng)度準(zhǔn)則[4]與冪函數(shù)形式強(qiáng)度準(zhǔn)則(如Bieniawski準(zhǔn)則[5]、Balmer準(zhǔn)則[6-7]等)，各強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)表達(dá)形式不一，其適用性應(yīng)根據(jù)巖石類型、節(jié)理裂隙發(fā)育情況、圍壓工況以及是否考慮抗拉強(qiáng)度指標(biāo)等具體分析。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于巖石臨界狀態(tài)或巖石臨界圍壓概念，對(duì)經(jīng)典M-C準(zhǔn)則與H-B準(zhǔn)則進(jìn)行了改進(jìn)研究[8-9]，認(rèn)為巖石進(jìn)入臨界狀態(tài)后其剪切應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的偏應(yīng)力不再隨圍壓發(fā)生變化，巖石進(jìn)入臨界狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的圍壓即臨界圍壓[1]。針對(duì)不同類型的巖石，雖然臨界狀態(tài)圍壓取值差異性較大，但既有研究成果均依據(jù)圍壓增大到一定量值時(shí)偏應(yīng)力趨近于常數(shù)概念進(jìn)行狀態(tài)判定。

筆者采用1stOpt軟件并基于共軛梯度法CGM+全局優(yōu)化算法研究發(fā)現(xiàn)，修正M-C準(zhǔn)則[10]與修正H-B準(zhǔn)則[11]在數(shù)據(jù)擬合過(guò)程中參數(shù)極易出現(xiàn)負(fù)數(shù)項(xiàng)，表明利用臨界圍壓狀態(tài)概念改進(jìn)后的強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)穩(wěn)定性較低，在脆性類巖石材料方面的適用性存在一定不足之處。為此，本文針對(duì)一種用于研究完整玄武巖塊體力學(xué)行為的典型脆性各向同性材料[12-14]，探究了H-B準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類巖石經(jīng)典非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則與Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性，基于臨界圍壓概念引入?yún)?shù)n，對(duì)Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進(jìn)行了修正。

1 脆性類巖石水泥砂漿材料

制備一種脆性各向同性質(zhì)量比為水泥∶河砂∶水∶減水劑=1∶0.5∶0.4∶0.002的試樣[12-14]，試樣制備與試驗(yàn)方案參照GB/T 50266—2013《工程巖體試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》，采用MTS311.31S型電液伺服試驗(yàn)機(jī)開(kāi)展單軸壓縮與巴西劈裂試驗(yàn)，采用Hoek三軸試驗(yàn)裝置開(kāi)展不同圍壓工況下的三軸壓縮試驗(yàn)。試驗(yàn)預(yù)設(shè)9組圍壓工況，分別為0、1.5、3.0、4.5、6.0、6.4、7.5、10.5 MPa和14.0 MPa。實(shí)測(cè)水泥砂漿材料的平均單軸抗壓強(qiáng)度為70.40 MPa，平均抗拉強(qiáng)度為4.43 MPa，基于前3組圍壓工況計(jì)算得到內(nèi)摩擦角為31.26°，材料壓拉比為15.89。

基于脆性類巖石水泥砂漿材料三軸試驗(yàn)結(jié)果，可將強(qiáng)度指標(biāo)整理成如圖1所示的3級(jí)圍壓段摩爾圓及其切線簇。圖1中，圍壓段1為0～3.0 MPa，圍壓段2為4.5～6.4 MPa，圍壓段3為7.5～14.0MPa。相似模型材料平均單軸抗壓強(qiáng)度為70.4 MPa，其中3.0～4.5 MPa圍壓區(qū)間內(nèi)包含5%峰值抗壓強(qiáng)度點(diǎn)3.52 MPa，6.4～7.5 MPa圍壓區(qū)間內(nèi)包含10%峰值抗壓強(qiáng)度點(diǎn)7.04 MPa。從圖1可以看出，不同圍壓段內(nèi)近似線性的強(qiáng)度包絡(luò)線差異較大，表明脆性類巖石水泥砂漿材料不同圍壓下，強(qiáng)度包絡(luò)線切點(diǎn)斜率是連續(xù)變化的曲線，即表現(xiàn)出典型強(qiáng)度演化非線性特征。

圖1 摩爾圓及其切線簇

2 經(jīng)典巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性研究

根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究成果，選取H-B準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類經(jīng)典巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，探究其對(duì)脆性類巖石水泥砂漿材料的適用性，利用非線性最小二乘優(yōu)化方法確定強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)，以擬合值與試驗(yàn)值的殘差平方和RSS[15]最小作為定量評(píng)價(jià)依據(jù)，強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)通過(guò)RocData軟件計(jì)算或1stOpt軟件非線性回歸分析得到。

為克服H-B準(zhǔn)則在工程應(yīng)用中的不足與局限性，Hoek與Brown多次對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行了補(bǔ)充與修正，得到廣義H-B準(zhǔn)則的表達(dá)式，即

σ1=σ3+σc(mbσ3/σc+s)κ

(1)

式中，σ1為最大主應(yīng)力；σ3為最小主應(yīng)力；σc為巖石類材料單軸抗壓強(qiáng)度；mb為描述巖體強(qiáng)度特征的折減材料參數(shù)；s為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，對(duì)于完整巖石材料取1；κ為材料常數(shù)。

大量試驗(yàn)結(jié)果表明黏土、堆石料與節(jié)理巖體等巖土材料失效包絡(luò)線是非線性的，特別是在較低法向應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)下，非線性特征比較顯著，該類型強(qiáng)度包絡(luò)線對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)力τ與法向應(yīng)力σn的關(guān)系符合Power Curve模型形式，即

τ=a(σn+d)b

(2)

式中，a、b與d為試驗(yàn)參數(shù)。

1974年Bieniawski提出了冪函數(shù)形式強(qiáng)度準(zhǔn)則，用以評(píng)估巖石的強(qiáng)度參數(shù)，即

(3)

式中，e為試驗(yàn)參數(shù)。

3類經(jīng)典非線性巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)9組圍壓工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見(jiàn)圖2。從圖2可知，3類強(qiáng)度準(zhǔn)則擬合結(jié)果中，單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則RSS值僅為0.019，為最優(yōu)擬合模型，可較好反映脆性類巖石材料非線性強(qiáng)度特征，但單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則無(wú)拉應(yīng)力象限，故無(wú)法考慮抗拉強(qiáng)度對(duì)強(qiáng)度指標(biāo)的影響；H-B準(zhǔn)則與Power Curve準(zhǔn)則均能反映抗壓強(qiáng)度指標(biāo)的非線性特征，但兩者均過(guò)高估計(jì)了抗拉強(qiáng)度值，即基于H-B準(zhǔn)則的抗拉強(qiáng)度擬合值為9.39 MPa，基于Power Curve準(zhǔn)則的抗拉強(qiáng)度擬合值為6.09 MPa，實(shí)測(cè)值為4.43 MPa。

圖2 經(jīng)典非線性巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

3 Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則修正研究

3.1 Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則基本形式

對(duì)于各向同性的干燥巖石材料，M. Singh與B. Singh于2005年提出了一種形式簡(jiǎn)單、非線性的拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則[16]，即

(4)

式中，(σ1-σ3)為偏應(yīng)力；A0、B0與C0為試驗(yàn)參數(shù)，可由下述邊界條件計(jì)算得到，即

假定當(dāng)σ3=σc時(shí)巖石進(jìn)入臨界狀態(tài)，即臨界狀態(tài)圍壓值σcrt=σc，則Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則的具體形式可表示為

式中，B0=-2A0σc，C0=σc，此時(shí)σc為試驗(yàn)已知值，僅有的未知項(xiàng)A0可由下式推算

(7)

3.2 Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性研究

本文選用的脆性類巖石水泥砂漿材料屬于標(biāo)準(zhǔn)的各向同性材料，同時(shí)在試樣制備階段進(jìn)行了充分干燥，故基于Hoek三軸試驗(yàn)結(jié)果式(4)中C0項(xiàng)應(yīng)取為試驗(yàn)值70.40 MPa，A0項(xiàng)由式(7)計(jì)算，為-0.106，則B0項(xiàng)應(yīng)為14.883，則依據(jù)本文試驗(yàn)結(jié)果，式(4)應(yīng)表述為

(8)

Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見(jiàn)圖3。從圖3可知，式(8)所述曲線與試驗(yàn)值偏差明顯，B0=-2A0σc項(xiàng)是導(dǎo)致曲線數(shù)值偏大的主要原因，故M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則假定巖石材料進(jìn)入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc的設(shè)想是值得商榷的，應(yīng)對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行修正。

圖3 Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

3.3 Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則的修正形式

式(4)在數(shù)據(jù)處理時(shí)，可等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，筆者得到脆性類巖石水泥砂漿材料的修正Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見(jiàn)圖4。圖4中，σ3i為試驗(yàn)材料進(jìn)入臨界狀態(tài)的圍壓值；σcrti為臨界狀態(tài)圍壓計(jì)算值。從圖4可以看出：

圖4 修正Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

(1)式(4)中，C0項(xiàng)本應(yīng)取為試驗(yàn)值70.40 MPa，但二次多項(xiàng)式擬合預(yù)估值約為69.95 MPa，與試驗(yàn)值相對(duì)誤差絕對(duì)值僅為0.64%，偏差較小，故將Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則等效為二次多項(xiàng)式擬合，并取擬合值C0項(xiàng)進(jìn)行研究是合理的。

(2)將Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項(xiàng)式，數(shù)據(jù)擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.976 1、殘差平方和RSS=55.47，擬合效果較好；僅在1.5 MPa與3.0 MPa低圍壓數(shù)據(jù)點(diǎn)存在一定偏差。

M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則假定巖石材料進(jìn)入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc，實(shí)際臨界圍壓值遠(yuǎn)比σc值??；可引入?yún)?shù)n表征巖石進(jìn)入臨界狀態(tài)時(shí)圍壓σcrt=nσc，對(duì)Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進(jìn)行了改進(jìn)，將式(5)修正為

將式(4)代入式(9)，可得修正的Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，B0=-2A0nσc，C0=σc，此時(shí)σc可取試驗(yàn)已知值或強(qiáng)度準(zhǔn)則公式數(shù)據(jù)擬合值，A0與n可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合得到。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)可模擬完整玄武巖塊體力學(xué)行為的脆性各向同性材料，探究了胡克-布朗(H-B)準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類巖石經(jīng)典非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則與Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性，并對(duì)Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進(jìn)行了修正，得到以下結(jié)論：

(1)單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則可較好反映脆性類巖石水泥砂漿材料非線性強(qiáng)度特征，數(shù)學(xué)形式擬合值與試驗(yàn)值的殘差平方和(RSS)最小，但Bienianski準(zhǔn)則無(wú)拉應(yīng)力象限；H-B準(zhǔn)則與Power Curve準(zhǔn)則均能反映抗壓強(qiáng)度指標(biāo)的非線性特征，但兩者均過(guò)高估計(jì)抗拉強(qiáng)度值。

(2)將Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項(xiàng)式，數(shù)據(jù)擬合效果較好，得到脆性類巖石水泥砂漿材料進(jìn)入臨界狀態(tài)的圍壓σcrt=0.314σc。

(3)M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則假定巖石材料進(jìn)入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc，實(shí)際臨界圍壓值遠(yuǎn)比σc值?。煌ㄟ^(guò)引入?yún)?shù)n表征巖石進(jìn)入臨界狀態(tài)時(shí)圍壓σcrt=nσc，得到了改進(jìn)的Singh拋物線型強(qiáng)度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式。