胡明曉，何才透

溫州大學(xué) 計算機(jī)與人工智能學(xué)院，浙江 溫州 325035

點(diǎn)云通常是3D設(shè)備（如3D照相機(jī)、LiDAR）采集的結(jié)果。曲面點(diǎn)云的處理在模式識別、機(jī)器人、醫(yī)學(xué)影像等領(lǐng)域非常有研究價值，研究人員需要大量的實拍點(diǎn)云進(jìn)行實驗，以檢驗算法的處理效果和性能。這種實驗不僅費(fèi)時費(fèi)力，而且成本昂貴。本文提供一種人造點(diǎn)云的生成算法，能夠快速、廉價地生成大量帶標(biāo)注3D 點(diǎn)云，以供醫(yī)學(xué)影像處理、逆向工程等研究者檢驗點(diǎn)云處理算法，為研究人員建立測試數(shù)據(jù)節(jié)省時間和精力[1-2]。同樣，在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，也存在點(diǎn)云庫的需求，大量帶標(biāo)注點(diǎn)云用來測試有監(jiān)督學(xué)習(xí)模型的性能和準(zhǔn)確度，提高樣本訓(xùn)練質(zhì)量[3-4]。此外，人造點(diǎn)云還可應(yīng)用于教學(xué)、廣告、動畫設(shè)計等領(lǐng)域。

目前，一些物理掃描方式形成的點(diǎn)云庫已建立，如斯坦福大學(xué)的3D Scanning Repository（http：//graphics.stanford.edu/data/3Dscanrep）。本算法面向非物理掃描方式建立大量的帶標(biāo)注點(diǎn)云，即人造點(diǎn)云或點(diǎn)云生成。目前點(diǎn)云生成的研究涉及以下幾個方面：基于2D 圖像的點(diǎn)云生成、基于已有3D 點(diǎn)云的點(diǎn)云修正（如補(bǔ)全、簡化、下采樣）、基于曲面方程或模型的3D點(diǎn)云生成（如采樣、合成）。

在2D圖像的人造點(diǎn)云方面，有許多研究文獻(xiàn)報道，其中一些研究使用物理模擬、藍(lán)噪音采樣等方法由2D模型生成看起來“均勻”的點(diǎn)云圖像[5-7]，也有據(jù)2D 照片合成3D點(diǎn)云的研究[8]。

生成式點(diǎn)云補(bǔ)全作為一種特殊的修正點(diǎn)云，近幾年研究較多，文獻(xiàn)[9]采用事件驅(qū)動相位噪音方法補(bǔ)全空白；文獻(xiàn)[10]討論了一種基于點(diǎn)素擴(kuò)散方法（point-voxel diffusion）的3D形狀不可見部位點(diǎn)云補(bǔ)全。這些研究結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)補(bǔ)全點(diǎn)云，不要求與事先給定模型相吻合。通過獲取模型參數(shù)（如密度、曲率）再修正點(diǎn)云亦屬人造點(diǎn)云，近年出現(xiàn)的研究有點(diǎn)云簡化[11]、點(diǎn)云下采樣（down-sampling）[12]等。

基于模型或方程的生成點(diǎn)云，已建有一些靜態(tài)數(shù)據(jù)庫，如華盛頓大學(xué)的OBJ/PLY2PCD 數(shù)據(jù)庫（http：//rgbddataset.cs.washington.edu），該庫提供一批RGB彩色點(diǎn)云以及3D實體模型OBJ/PLY到點(diǎn)云的轉(zhuǎn)換代碼和實例。

3D人造點(diǎn)云方面，用于特定使用場景（如自動駕駛環(huán)境）的實時生成算法如文獻(xiàn)[13]；模擬LiDAR拍攝，自動標(biāo)注點(diǎn)云的算法如文獻(xiàn)[14]。直接基于特定類型3D模型生成點(diǎn)云的研究如Montlahuc 等[15]的CAD 模型模擬點(diǎn)云生成方法，直接以CAD 文件為虛擬物體，生成CAD零件的均勻白噪音點(diǎn)云，同時也能模擬3D攝像機(jī)的角度、距離對生成過程進(jìn)行調(diào)節(jié)，模擬非理想點(diǎn)云。Chaudhury 等[16]在植物分型（plant phenotyping）研究中亦包含一個基于模型的點(diǎn)云生成步驟，對虛擬植物模型運(yùn)用類似L-systems 的方法對其表面進(jìn)行采樣，生成白噪音點(diǎn)云。

基于一般3D 模型的點(diǎn)云生成，Corsini 等[17]介紹一種使用約束Poisson 圓盤生成Monte Carlo 藍(lán)噪音點(diǎn)云的方法，該方法適用于曲面的三角網(wǎng)格表示，能產(chǎn)生曲面上均勻的點(diǎn)云。Kang 等[18]根據(jù)曲面方程，使用MLS（moving least squares）方法生成均勻、光滑采樣的點(diǎn)云，并經(jīng)曲面重建檢驗其光滑性，據(jù)其實驗效果優(yōu)于VGD（voxel grid sampling）。Huang 等[19]提出一種FPN點(diǎn)云采樣方法，不同于一般的隨機(jī)采樣和最遠(yuǎn)距離采樣，而是用快速點(diǎn)云網(wǎng)絡(luò)將隨機(jī)初始點(diǎn)驅(qū)趕至“最合適”的位置。

以上根據(jù)方程或模型生成點(diǎn)云的方法要么直接在精確的3D表面上生成點(diǎn)云，著重于點(diǎn)的精確定位，或者滿足一定的光滑性要求，要么僅關(guān)注曲面切向的均勻視覺效果，未考慮隨機(jī)點(diǎn)云的空間藍(lán)噪音化，生成點(diǎn)云不具有厚度。具有厚度尤其是基礎(chǔ)真實（ground truth）厚度的理想化點(diǎn)云在檢驗曲面重建算法和有監(jiān)督的機(jī)器學(xué)習(xí)中能客觀地反映算法性能，在科研領(lǐng)域存在質(zhì)和量上的需求，出于這一動機(jī)，本課題聚焦于生成具有統(tǒng)一厚度的理想化點(diǎn)云。

精確位于曲面上的點(diǎn)云是厚度為零的點(diǎn)云，一旦厚度加大，涉及法向偏移時，高曲率就會影響點(diǎn)云的理想化程度，因此通過以下創(chuàng)新點(diǎn)在切向均勻化的同時實現(xiàn)法向的模式化分布：

（1）曲率偏差現(xiàn)象的分析和曲率補(bǔ)償；

（2）以法向為主方向的藍(lán)噪音模擬。

本研究目標(biāo)是根據(jù)曲面的參數(shù)方程生成曲面切向均勻分布、曲面法向模式化分布、等標(biāo)準(zhǔn)差、各向同性的理想化3D點(diǎn)云，所述模式化分布是指密度函數(shù)對稱、單調(diào)、方差存在的分布，如正態(tài)分布、高階柯西分布。

1 問題描述

參數(shù)曲面具有解析性好、形式多樣、易于變換、易于插值、能分段拼接形成Bezier 曲面或NURBS 曲面等優(yōu)點(diǎn)，在幾何建模中廣泛使用，本文選擇參數(shù)曲面作為曲面的表示類型。

作為生成點(diǎn)云與之吻合的確定性模型，一般的參數(shù)曲面方程為：

其中，u、v為曲面參數(shù)。

記一階導(dǎo)數(shù)混合矩陣為：

其中，i,j,k為笛卡爾坐標(biāo)單位向量。

點(diǎn)p(u,v)處的法向量是：

單位法向量N=n/‖n‖2。

2D參數(shù)曲線的方程是：

其中，t為曲線參數(shù)。

類似地，3D參數(shù)曲線的方程是：

在原理示意時本文有時用曲線來說明。

本研究模擬理想3D掃描儀、LiDAR等3D數(shù)字化設(shè)備的獲取數(shù)據(jù)，生成人造點(diǎn)云，理想化目標(biāo)如下：

（R.1）沿曲面（2D時曲線）均勻分布。

（R.2）法線方向點(diǎn)云體密度（2D 時面密度）呈標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)一為σ的模式化分布(σ2)。

（R.3）3D藍(lán)噪音。

（R.4）各向同性。

2 生成算法

已知參數(shù)方程（1）中的函數(shù)f,g,h及一階、二階導(dǎo)函數(shù)。設(shè)參數(shù)區(qū)域為Ω，一般情況下，Ω=[a,b]×[c,d]。如圖1，點(diǎn)云生成的頂層步驟由方程預(yù)處理、曲面表面點(diǎn)采樣、法向模式化分布、曲率補(bǔ)償和空間主方向藍(lán)噪音模擬組成。在生成過程中，除了指定點(diǎn)數(shù)外，還需要指定兩個參量：標(biāo)準(zhǔn)差σ和截尾因子λ，前者用來表征統(tǒng)一的厚度，后者用于實現(xiàn)各向同性。模式化分布密度函數(shù)為(x)。

圖1 頂層流程圖Fig.1 Top-level pipeline

2.1 預(yù)處理：參數(shù)速度上限估計

曲面的參數(shù)速度為面積S的微分：

類似地，曲線的情形更簡單，2D 曲線或3D 曲線的參數(shù)速度為曲線長度的微分，即：

同樣方法可得上限估計值H。

2.2 曲面表面采樣

通過參數(shù)采樣即生成曲面點(diǎn)采樣，需要特別處理之處是要做基于參數(shù)速度的調(diào)節(jié)，保證采樣點(diǎn)的面密度均勻。為此，引入一個輔助隨機(jī)變量t。首先，隨機(jī)產(chǎn)生Ω×[0,H]中的隨機(jī)3D 點(diǎn)(u,v,t)，然后計算s(u,v)，再判斷t＜s(u,v)，如果成立，采樣，否則放棄，重新產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)(u,v,t)。由于參數(shù)速度是關(guān)于面積微元的變化率，參數(shù)速度越快的位置，采樣機(jī)會越大，容易分析其切向面密度是均勻的，從而實現(xiàn)理想化目標(biāo)（R.1）。

2.3 法向模式化分布

在曲面采樣點(diǎn)周圍的3D空間生成3維正態(tài)分布的隨機(jī)點(diǎn)。從理想點(diǎn)云的要求上看，應(yīng)該在點(diǎn)的曲面法向上等標(biāo)準(zhǔn)差高斯化，即在法向方向產(chǎn)生以曲面點(diǎn)為中心、以σ為統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)差的一維模式化分布，以高斯分布為例，相對密度函數(shù)為：

本文注意到簡單情況下3D高斯的疊加能生成法向的高斯或其近似，分析如下。

（1）3D平面點(diǎn)云的情況。不妨設(shè)O-XY平面分布有面密度為μ，在各中心點(diǎn)p有服從N(p,σ2)分布的3D點(diǎn)云，其疊加分布的密度函數(shù)是：

這說明一組點(diǎn)數(shù)相同、標(biāo)準(zhǔn)差均為σ的單點(diǎn)正態(tài)分布點(diǎn)云均勻分布在空間平面上，其疊加結(jié)果在平面法向的邊緣分布上仍服從標(biāo)準(zhǔn)差是σ的正態(tài)分布，與切平面平行的任意平面服從均勻分布（f(x,y,z)與x,y無關(guān)）。這正是本文想得到的分布。所以只需先產(chǎn)生曲面上點(diǎn)p的均勻分布，再產(chǎn)生點(diǎn)p為中心的3D正態(tài)分布，就能滿足要求（R.2）。此法無需考慮點(diǎn)p處的法向。

（2）2D 圓點(diǎn)云的情況。不妨設(shè)在一個以原點(diǎn)為圓心半徑為r的圓上分布有線密度為ρ，在各中心點(diǎn)p有服從N(p,σ2)分布的2D點(diǎn)云。在極坐標(biāo)系統(tǒng)下，θ處微元dθ處的點(diǎn)數(shù)量是ρrdθ，以二維正態(tài)分布于整個平面，疊加后的關(guān)于(R,Θ)的聯(lián)合分布密度為：

關(guān)于Θ的分布顯然均勻，關(guān)于R的分布不再是正態(tài)分布，利用辛普森數(shù)值積分：

可知該分布近似于如下分布：

這仍是以σ-高斯為主的分布，所以這種情況直接將單點(diǎn)3D高斯疊加即可基本滿足要求（R.2）。

單點(diǎn)疊加的總步驟是，先參數(shù)采樣p0(u,v)，然后按單點(diǎn)模式化分布律得偏移向量r，最后向量疊加，得采樣點(diǎn)p=p0+r。此外，對每個單點(diǎn)的隨機(jī)偏移，本文進(jìn)行圓形截尾（2D）或球形截尾（3D），還會使疊加點(diǎn)云各向同性，實現(xiàn)理想化目標(biāo)（R.4）。以2D 為例，圓形截尾的效果示意如圖2（c）。

圖2 截尾類型Fig.2 Tail-cutting types

2.4 曲率補(bǔ)償

理想點(diǎn)云的一個重要要求是3D點(diǎn)云體密度（或2D點(diǎn)云面密度）ρ服從關(guān)于點(diǎn)到曲面（或曲線）有符號幾何距離dG的模式化分布，即：

此種分布才保證點(diǎn)云在曲面高曲率部分呈現(xiàn)均勻的視覺效果。對簡單的曲面表面采樣和法向模式化分布，曲面高曲率處容易產(chǎn)生曲率中心內(nèi)側(cè)密度大外側(cè)密度小的曲率偏差現(xiàn)象（如圖3）。因此，需要進(jìn)行曲率補(bǔ)償，即在高曲率處模式化分布疊加后將一部分曲率中心內(nèi)側(cè)點(diǎn)搬移到外側(cè)點(diǎn)。

圖3 曲率偏差現(xiàn)象Fig.3 Curvature bias phenomenon

以正態(tài)分布為例，考慮曲面/曲線上固定點(diǎn)p0，設(shè)p0處離曲率中心的法向量為n，曲率半徑為R。p是法線上有符號幾何距離為x（曲率中心側(cè)為負(fù)）的點(diǎn)（如圖4），在極坐標(biāo)系O-rθη（2D時O-rθ）下，r軸上線密度偏差量正比于(x+R)2（2D曲線時(x+R)）。因此，用公式（8）調(diào)整相對密度函數(shù)（2D曲線用公式（9））能糾正偏差。公式（6）、（8）、（9）示意如圖5。

圖4 曲率偏差分析Fig.4 Curvature bias analysis

圖5 密度糾偏函數(shù)Fig.5 Density correcting functions

根據(jù)曲面的微分幾何，曲面的曲率有主曲率、高斯曲率和綜合曲率。隨機(jī)點(diǎn)云生成依據(jù)綜合曲率進(jìn)行曲率補(bǔ)償是最恰當(dāng)?shù)摹?/p>

記二階導(dǎo)數(shù)矩陣為：

在式（1）下，點(diǎn)p(u,v)=(f(u,v),g(u,v),h(u,v))T處的綜合曲率Hˉ是[20]：

由此得向心法向量為Sgn()·n。若0,n側(cè)點(diǎn)云應(yīng)變稀疏，否則n側(cè)點(diǎn)云應(yīng)變稠密。曲率半徑R=|1/|，據(jù)式（8）確定補(bǔ)償率。

實際上，為消除不同模式化分布函數(shù)的差異，降低曲率補(bǔ)償計算復(fù)雜性，本文只需估計曲率并分級處理?？勺鞑罘纸?，如：

圖6 表示出分級曲率補(bǔ)償前后的曲面內(nèi)外側(cè)密度比的分布情況。

圖6 分級曲率補(bǔ)償效果示意圖Fig.6 Illustration of discrete curvature compensation

對2D曲線，先計算曲線曲率：

向量n=(-g′(t),f′(t))T是參數(shù)遞增方向的左側(cè)法向量。若κ ＞0，說明n向心，否則離心。Sgn(κ)·n總是向心法向量，再據(jù)公式（9）確定補(bǔ)償率。3D曲線處理方式類似。

法向模式化分布與曲率補(bǔ)償結(jié)合，共同實現(xiàn)了理想化目標(biāo)（R.2）。

2.5 藍(lán)噪音模擬

理想點(diǎn)云的噪音模擬用單點(diǎn)的三維模式化分布疊加而成，在疊加前采用MBC（Mitchell’s best candidate）方法來模擬主方向藍(lán)噪音，實現(xiàn)點(diǎn)云的理想化目標(biāo)（R.3）。設(shè)噪音標(biāo)準(zhǔn)差為σ，當(dāng)前點(diǎn)云的點(diǎn)集為P。按照單點(diǎn)疊加的方法連續(xù)采樣k個曲面參數(shù)(ui,vi)和偏移ri(i=1,2,…,k)，主方向為點(diǎn)pi=p(ui,vi)處單位法向量Ni。分別計算法向偏移量：

及規(guī)范化距離：

圖7 單點(diǎn)模式化分布藍(lán)噪音點(diǎn)云Fig.7 Blue noised point clouds with patterned distributions

3 實驗結(jié)果

本算法用Visual C++.net+OpenGL 代碼實現(xiàn)，在2.6 GHz Pentium 雙核CPU、2 GB 內(nèi)存的計算機(jī)上進(jìn)行實驗，所涉及曲面/曲線都縮放至邊長為6 的包圍盒中。對封閉曲面，還限制在邊長為4的包圍盒中。未加特別說明的法向模式化分布都是高斯分布。

3.1 視覺效果

（1）簡單曲面曲線

圖8 是由2D 曲線拋物線生成的各種規(guī)格點(diǎn)云，點(diǎn)數(shù)N=10 000。

圖8 2D曲線生成點(diǎn)云Fig.8 2D curve point clouds

圖9是由3D曲線莫比烏斯帶邊緣線生成的各種規(guī)格點(diǎn)云，點(diǎn)數(shù)N=10 000。

圖9 3D曲線生成點(diǎn)云Fig.9 3D curve point clouds

圖10 是由同一環(huán)面生成的各種規(guī)格點(diǎn)云，點(diǎn)數(shù)N=20 000。圖11是不同環(huán)面生成的同種規(guī)格點(diǎn)云，其中環(huán)面的兩個半徑參數(shù)相對變化，從R=1.25,r=0.25開始，將r逐漸增大直至1.25 產(chǎn)生奇點(diǎn)，生成點(diǎn)云一直保持均勻的視覺效果。

圖10 曲面生成點(diǎn)云Fig.10 Surface point clouds

圖11 不同參量曲面生成點(diǎn)云Fig.11 Surface point clouds on different parameters

（2）復(fù)雜曲面

具有簡單解析式曲線曲面的生成點(diǎn)云視覺上達(dá)到理想的均勻分布效果，而任意復(fù)雜曲面可用三角網(wǎng)格表示，其中每個面片可以參數(shù)化，由此亦能生成理想點(diǎn)云，以Bunny Rabbit(N=50 000)和Utah Teapot(N=50 000)為例，各種規(guī)格點(diǎn)云如圖12、13。

圖12 三角網(wǎng)格曲面生成點(diǎn)云（一）Fig.12 Triangular meshed surface point clouds（1）

圖13 三角網(wǎng)格曲面生成點(diǎn)云（二）Fig.13 Triangular meshed surface point clouds（2）

（3）開放曲面

封閉曲面是3D實體的表面，除了封閉曲面之外，開放曲面的點(diǎn)云也能夠生成。圖14是由開放曲面生成的點(diǎn)云結(jié)果，點(diǎn)數(shù)N=50 000。

圖14 開放曲面生成點(diǎn)云Fig.14 Open surface point clouds

（4）非理想點(diǎn)云

為了與理想結(jié)果對比，本文生成一組非理想點(diǎn)云與理想點(diǎn)云圖12（b）對比。如圖15，（a）呈現(xiàn)條紋，非各向同性；（b）法向非模式化分布（均勻分布）；（c）未經(jīng)曲率補(bǔ)償，高曲率處內(nèi)外密度有偏差；（d）局部點(diǎn)集不均勻，非藍(lán)噪音采樣。3D點(diǎn)云（b）（c）肉眼較難分辨其不同之處，下一節(jié)給出量化對比。為更清晰展示理想點(diǎn)云的視覺效果，圖16給出一組2D情形的對比點(diǎn)云，其中（b）為理想點(diǎn)云，易見已基本消除高曲率處的密度偏差，（c）為法向非模式化分布，（d）為未曲率補(bǔ)償，易見其在頂端高曲率處的非理想結(jié)果。

圖15 非理想點(diǎn)云(σ=0.01,λ=5)Fig.15 Unqualified point clouds(σ=0.01,λ=5)

圖16 非理想2D點(diǎn)云Fig.16 Unqualified 2D point clouds

3.2 量化指標(biāo)比較

實驗結(jié)果用兩個指標(biāo)度量3D 曲面點(diǎn)云：面密度和厚度。面密度表征曲面切向密度，定義為曲面上小鄰域內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)量與鄰域面積之比：ρ=N/S。厚度表征點(diǎn)云在曲面法向的噪音強(qiáng)度，與標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系密切。由于[-d,d]噪音均勻分布時標(biāo)準(zhǔn)差是，因此，對噪音呈σ-模式化分布，用作為厚度。

點(diǎn)云中每個點(diǎn)的ρ和h都一一計算，方法如下：取點(diǎn)pi，根據(jù)測地距離構(gòu)造鄰域點(diǎn)集（方法如Cartesian grid based（CGB）[21]），假設(shè)點(diǎn)集包含ni個點(diǎn)，由圓并集面積算法得鄰域面積Si，于是

然后構(gòu)造scatter矩陣[22]，計算特征值，由于scatter是半正定對稱陣，特征值必非負(fù)，取最小特征值λi，即得標(biāo)準(zhǔn)差：

及厚度：

（1）與真實指標(biāo)比較

面密度和厚度的基礎(chǔ)真實值ρT、hT容易通過參數(shù)曲面及其參數(shù)范圍事先計算，它們都是全局指標(biāo)。厚度與標(biāo)準(zhǔn)差只差一個常數(shù)因子，故下面直接比較標(biāo)準(zhǔn)差。對生成的點(diǎn)云，按上述方法計算每個點(diǎn)的指標(biāo)后，再根據(jù)以下兩式計算全局平均值：

表1（相應(yīng)圖如圖17）列出3.1節(jié)大部分點(diǎn)云的全局平均密度和全局厚度與基礎(chǔ)真實值的比較，部分模型點(diǎn)數(shù)有增減，厚度僅用標(biāo)準(zhǔn)差代替。與基礎(chǔ)真實值相比，10個模型中有5個模型，全局密度的相對誤差在10%以內(nèi)，7 個模型在30%以內(nèi)；關(guān)于厚度，則有4 個模型相對誤差在10%以內(nèi)，7個模型在30%以內(nèi)?？梢钥闯?，指定的標(biāo)準(zhǔn)差ρT在0.001～0.1范圍內(nèi)生成點(diǎn)云的誤差很小，過小（≤0.001）或過大（≥0.1）都不利于理想點(diǎn)云的模擬。

表1 與真實值的比較Table 1 Comparison to ground truth

圖17 與基礎(chǔ)真實值的比較Fig.17 Comparison to ground truth

（2）與其他方法比較

依據(jù)參數(shù)曲面生成理想點(diǎn)云時，期望點(diǎn)云的面密度處處相同，厚度亦然。所以本文比較點(diǎn)云各點(diǎn)的局部面密度ρi=Ni/Si的均等程度，方案是選擇各種方法的一組實驗?zāi)Ｐ?，對每種方法，每個模型的密度分布的均值都?xì)w一化到單位1，再對各模型的歸一化分布作總評，得到單一分布，作為該方法的數(shù)量化表達(dá)。

對每種方法，計算面密度、厚度的總評（Summerized）分布標(biāo)準(zhǔn)差σρ、σσ，標(biāo)準(zhǔn)差越小說明均等程度越好。

歸一化處理可以合理地在不同模型、不同方法之間進(jìn)行點(diǎn)云生成質(zhì)量比較。本算法參與總評的點(diǎn)云模型來自3.1節(jié)。CAD Assembly模型來自文獻(xiàn)[15]的表格，括號中注明的是表號和行號。Plant Phenotyping 模型來自文獻(xiàn)[16]提供鏈接的4個下載文件，分別是：

Lilac1：Lilac_2Labels_onlyPoints.xyz

Lilac2：Lilac_multilabel_onlyPoints.xyz

Arabido.1：Arabidopsis_1_onlyPoints.xyz

Arabido.2：Arabidopsis_4_onlyPoints.xyz

面密度和厚度比較如表2，列出兩種方法（plant phenotyping 和CAD assembly）和本算法歸一化后的標(biāo)

表2 密度厚度均勻性比較Table 2 Comparison of density and thickness uniformity

注：來源附于模型名之后，例如：Tab.3-8表示來自文獻(xiàn)[15]Table 3第8行。準(zhǔn)差，本文的密度和厚度分布標(biāo)準(zhǔn)差都最小(σρ=0.108 2,σσ=0.223 2)。

表3 與非理想點(diǎn)云的量化比較Table 3 Quatitative comparison to unqualified

圖18 是密度分布情況，其中將[0,3σ]等分成22段。從圖中可看出，本算法不但標(biāo)準(zhǔn)差?。ǚ浅＜校?，而且偏度亦小（對稱性高），說明分布十分理想。

圖18 密度分布比較Fig.18 Comparison of density distribution

圖19是厚度分布情況，將[0,12σ]等分成22段。圖中可看出，本算法厚度分布標(biāo)準(zhǔn)差也小（比較集中），且偏度?。▽ΨQ性高），說明分布比較理想，點(diǎn)云的厚度基本上處處統(tǒng)一。

圖19 厚度分布比較Fig.19 Comparison of thickness distribution

（3）與非理想點(diǎn)云比較

對肉眼不易辨別的非理想點(diǎn)云（圖15（b）（c）），特別給出定量比較，如表3，列出它們的面密度、厚度的相對誤差eρ、eσ（與基礎(chǔ)真實比較）和分布標(biāo)準(zhǔn)差σρ、σσ，其中圖12（b）是本算法的理想化點(diǎn)云。

表3 中顯示，理想點(diǎn)云在視覺效果占優(yōu)的同時，數(shù)量指標(biāo)總體亦較優(yōu)，尤其是相對誤差，均為最優(yōu)。標(biāo)準(zhǔn)差略有損失，但不嚴(yán)重。

4 結(jié)束語

由參數(shù)方程生成理想點(diǎn)云的算法能以低成本生成人造點(diǎn)云，本算法能夠使人造點(diǎn)云模擬理想3D 掃描儀的拍攝結(jié)果，具有視覺上的“均勻性”，具體上說，面密度均等，法向同標(biāo)準(zhǔn)差分布，空間藍(lán)噪音，各向同性，高曲率處內(nèi)外密度偏差小?；谶@些特征，通過本算法能以低成本建立點(diǎn)云庫，而且易獲取伴隨點(diǎn)云的基礎(chǔ)真實值并加標(biāo)注，從而為3D 曲面重建的算法測試和機(jī)器學(xué)習(xí)的有監(jiān)督學(xué)習(xí)提供大規(guī)模的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。