劉子超, 王 江, 何紹溟,3,*

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081; 2. 北京理工大學(xué)中國-阿聯(lián)酋智能無人系統(tǒng)“一帶一路”聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室, 北京 100081; 3. 北京理工大學(xué)長三角研究院(嘉興), 浙江 嘉興 314019)

0 引 言

隨著反導(dǎo)防空技術(shù)的發(fā)展,重要戰(zhàn)略目標(biāo)的防御能力普遍提升,使導(dǎo)彈面臨嚴(yán)峻的攔截威脅。多彈協(xié)同攻擊能夠使反導(dǎo)系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到飽和,是突破敵方防空反導(dǎo)系統(tǒng)的一種有效手段[1]。為了取得更佳的毀傷效果,一般還需要導(dǎo)彈以一定的角度命中目標(biāo),因此一些制導(dǎo)律在實(shí)現(xiàn)飛行時(shí)間控制的同時(shí)引入了角度約束[2]。研究飛行時(shí)間和攻擊角度控制制導(dǎo)律具有重要的現(xiàn)實(shí)意義,本文研究了一種基于深度學(xué)習(xí)的時(shí)間角度控制制導(dǎo)律(impact time and angle control guidance, ITACG)。

現(xiàn)有的ITACG大部分需要精確預(yù)測剩余飛行時(shí)間。李斌等[3]將時(shí)間誤差和角度誤差視為跟蹤誤差,然后基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)了飛行時(shí)間誤差反饋制導(dǎo)指令;Chen等[4]推導(dǎo)了最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律的剩余飛行時(shí)間,使用閉環(huán)反饋控制的形式實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制,相對(duì)于其他開環(huán)制導(dǎo)律具有更好的魯棒性;文獻(xiàn)[5-6]構(gòu)造了視線角多項(xiàng)式,生成滿足角度約束的彈道軌跡,推導(dǎo)了軌跡長度,通過軌跡跟蹤實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制制導(dǎo);Wang等[7]考慮彈間存在通信鏈,基于一致性算法控制多彈的剩余飛行時(shí)間達(dá)到一致,該方法的優(yōu)勢在于不要求所有導(dǎo)彈具有相同的飛行速度。文獻(xiàn)[8-11]將時(shí)間角度控制制導(dǎo)律推廣至三維場景。上述制導(dǎo)律在設(shè)計(jì)階段均依賴常值速度假設(shè),應(yīng)用于實(shí)際環(huán)境時(shí)制導(dǎo)性能可能變差。Zhang等[12]考慮速度時(shí)變場景,構(gòu)建速度剖面,然后使用加權(quán)平均加速度對(duì)速度剖面近似線性化,一定程度上提高了剩余飛行時(shí)間的預(yù)測精度,但是需要一定的積分運(yùn)算,計(jì)算量較大。

由于剩余飛行時(shí)間的預(yù)測精度會(huì)對(duì)制導(dǎo)性能造成一定影響,因此也有學(xué)者從其他技術(shù)途徑開展研究。Harl等[13]設(shè)計(jì)了視線角的變化規(guī)律,從而生成滿足時(shí)間角度約束的視線角速率曲線,并且使用滑模制導(dǎo)律跟蹤曲線;吳放等[14]在Harl的基礎(chǔ)上改進(jìn)了視線角多項(xiàng)式,更易于工程實(shí)現(xiàn);Hu等[15]使用偽目標(biāo)將彈道分為兩段,根據(jù)期望飛行時(shí)間確定偽目標(biāo)的位置,采用滑模制導(dǎo)與比例導(dǎo)引實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制;Chen等[16]將時(shí)間約束和角度約束轉(zhuǎn)化為狀態(tài)約束,使用滑模制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)狀態(tài)控制;Hou等[17]通過滑模制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)了針對(duì)常值機(jī)動(dòng)目標(biāo)的時(shí)間角度控制制導(dǎo);Wang等[18]通過滑模制導(dǎo)律進(jìn)一步研究了目標(biāo)執(zhí)行正弦機(jī)動(dòng)的時(shí)間角度控制制導(dǎo);Li等[19]將滑模制導(dǎo)律推廣至三維場景;Wang等[20]通過模型預(yù)測控制實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制;Zhu等[21]設(shè)計(jì)了一種確定的機(jī)動(dòng)策略,根據(jù)期望飛行時(shí)間執(zhí)行額外機(jī)動(dòng);Yan等[22]基于空間幾何關(guān)系推導(dǎo)了三維時(shí)間角度制導(dǎo)律;Kim等[23]設(shè)計(jì)了一種多項(xiàng)式制導(dǎo)方法,在生成多項(xiàng)式曲線時(shí)首先引入角度約束,通過調(diào)節(jié)多項(xiàng)式參數(shù)調(diào)節(jié)軌跡長度,從而實(shí)現(xiàn)時(shí)間控制;Surve等[24]設(shè)計(jì)視線角多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制;Deng等[25]使用迭代計(jì)算求解帶有時(shí)間角度約束的最優(yōu)控制問題;楊秀霞等[26]以兩段圓弧作為飛行軌跡實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制,該制導(dǎo)律工程應(yīng)用簡單,但是機(jī)動(dòng)幅度較大,不適用于導(dǎo)彈平臺(tái)。

隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)日趨成熟,近年來學(xué)者們開始探索將深度學(xué)習(xí)技術(shù)應(yīng)用于制導(dǎo)領(lǐng)域[27]。黃等[28]提出了一種兩階段控制策略,第一階段使用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測剩余飛行時(shí)間,當(dāng)剩余飛行時(shí)間滿足期望時(shí)間時(shí)進(jìn)入第二階段,使用角度控制制導(dǎo)律飛行。該方法沒有考慮速度變化;Liu等[29]基于速度時(shí)變模型實(shí)現(xiàn)了飛行時(shí)間控制,但沒有考慮角度約束。

本文基于預(yù)測校正制導(dǎo)思想,將時(shí)間角度協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)飛行時(shí)間誤差和角度誤差的控制問題。首先使用最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律控制角度誤差,然后以最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律為基礎(chǔ),通過深度學(xué)習(xí)計(jì)算飛行時(shí)間誤差,設(shè)計(jì)校正制導(dǎo)律,使飛行時(shí)間誤差收斂。本文的主要貢獻(xiàn)如下:① 使用深度學(xué)習(xí)提高了預(yù)測校正制導(dǎo)的計(jì)算效率;② 設(shè)計(jì)前饋環(huán)節(jié)融合了理論模型與深度學(xué)習(xí)方法,改善了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效果;③ 引入了導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)模型,更接近實(shí)際工程應(yīng)用環(huán)境,具有一定的實(shí)用價(jià)值。

1 問題描述

針對(duì)導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo)的時(shí)間角度控制問題,建立如圖1所示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的模型。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1中,R表示彈目相對(duì)距離,λ表示彈目視線角,v表示導(dǎo)彈速度,θ表示導(dǎo)彈的彈道傾角,η表示速度方向誤差角,L表示彈道軌跡長度,FL、FD、FG分別表示升力、阻力與重力。

導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:x表示導(dǎo)彈在平面中的橫向位置;y表示導(dǎo)彈的高度;m為導(dǎo)彈質(zhì)量;

升力、阻力與重力的計(jì)算公式為

(2)

式中:CL表示升力系數(shù);CD表示阻力系數(shù);g表示重力加速度;S表示導(dǎo)彈的參考面積;Q表示動(dòng)壓,形式為

(3)

式中:ρ為大氣密度,使用北半球標(biāo)準(zhǔn)大氣模型計(jì)算。

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

導(dǎo)彈終端約束為

(5)

式中:(xf,yf)為導(dǎo)彈的目標(biāo)位置;td為期望的飛行時(shí)間;λd為期望的攻擊角度。

2 ITACG框架

本文設(shè)計(jì)的ITACG的框架如圖2所示,圖中tgo表示導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間。該制導(dǎo)律以預(yù)測校正制導(dǎo)框架為基礎(chǔ),在最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加飛行時(shí)間誤差反饋項(xiàng),使用深度學(xué)習(xí)方法精確預(yù)測最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律的剩余飛行時(shí)間,通過校正制導(dǎo)律使導(dǎo)彈的飛行時(shí)間誤差收斂至0附近,最終實(shí)現(xiàn)飛行時(shí)間和攻擊角度的共同控制。

圖2 基于深度學(xué)習(xí)的ITACG框架

預(yù)測模塊以導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)以及期望攻擊角度為輸入,以剩余飛行時(shí)間為輸出?，F(xiàn)有的預(yù)測校正制導(dǎo)中,預(yù)測模塊普遍需要通過數(shù)值積分預(yù)測導(dǎo)彈的終端狀態(tài),計(jì)算量較大[27]?；谏疃葘W(xué)習(xí)的剩余飛行時(shí)間預(yù)測模塊從樣本數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)輸入輸出之間的復(fù)雜映射關(guān)系,使用少量的運(yùn)算即可獲得精確的預(yù)測結(jié)果,因此能夠顯著提高算法的實(shí)時(shí)性。

校正模塊使用比例控制算法,根據(jù)剩余飛行時(shí)間誤差計(jì)算校正制導(dǎo)指令。由于預(yù)測模塊使用的樣本分布具有馬爾可夫性,并且校正模塊生成的校正指令使預(yù)測誤差逐漸收斂,因此基于深度學(xué)習(xí)的ITACG對(duì)歷史誤差不敏感,能夠更好地適應(yīng)導(dǎo)彈模型偏差與環(huán)境擾動(dòng),魯棒性和抗擾性較好。

3 剩余飛行時(shí)間預(yù)測

最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律[30]可表示為

(6)

式中:η=λ-θ;ηe=λd-λ。剩余飛行時(shí)間tgo定義[18]為

(7)

式中:彈道軌跡長度L為

(8)

若飛行速度v為常值,最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律的剩余飛行時(shí)間tgo的理論值[3]為

(9)

常值速度假設(shè)將剩余飛行時(shí)間預(yù)測問題轉(zhuǎn)化為剩余軌跡長度預(yù)測問題,因此式(9)在常值速度模型具有較高的預(yù)測精度。但是考慮速度變化后,在某些場景預(yù)測精度可能會(huì)顯著下降。

以x=-20 km,y=20 km,v=210 m/s,θ=0°為初始條件,使用式(6)的制導(dǎo)律并且以λd=90°為終端角度約束攻擊位于原點(diǎn)處的固定目標(biāo),采用常值速度模型與考慮速度變化的模型分別進(jìn)行仿真,并使用式(9)預(yù)測剩余飛行時(shí)間,預(yù)測結(jié)果如圖3和圖4所示。在常值速度模型下,式(9)的預(yù)測精度較高,但是在引入導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)模型后,該公式的預(yù)測誤差明顯增大。

圖3 基于常值速度模型的剩余飛行時(shí)間預(yù)測結(jié)果

圖4 基于速度時(shí)變模型的剩余飛行時(shí)間預(yù)測結(jié)果

在實(shí)際應(yīng)用中,式(9)的預(yù)測誤差可能導(dǎo)致制導(dǎo)性能下降,甚至任務(wù)失敗。因此,在對(duì)最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律進(jìn)行剩余飛行時(shí)間估算時(shí),不僅要考慮過載指令對(duì)彈道曲率的影響,還應(yīng)當(dāng)考慮氣動(dòng)力對(duì)飛行速度的影響。然而,在引入氣動(dòng)力后,導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程求解難度較大,一般無法使用解析方法求解。

由式(7)可見,tgo是飛行速度v和彈道長度L的函數(shù),彈道長度受彈道曲率θ與剩余航程x影響。按照式(6)的制導(dǎo)律攻擊目標(biāo)時(shí),彈道曲率的變化規(guī)律由v,R,θ,λ,λd確定。注意到v的動(dòng)力學(xué)主要受到氣動(dòng)力的影響,而氣動(dòng)力中的大氣密度ρ又能夠表示為高度y的函數(shù)。由于目標(biāo)靜止,彈目相對(duì)幾何關(guān)系(R,λ)與導(dǎo)彈在慣性空間的位置(x,y)等價(jià)。因此,可將tgo表示為

tgo=f(v,θ,λd,x,y)

(10)

使用深度學(xué)習(xí)方法可以擬合式(10)表示的映射關(guān)系,但是由于tgo的值域范圍較大,可能需要更多的訓(xùn)練步數(shù),預(yù)測精度也有可能降低。為了進(jìn)一步提高訓(xùn)練效率與訓(xùn)練精度,將tgo表示為

(11)

對(duì)tgo的估計(jì)由兩部分組成:基于模型的理論值與基于數(shù)據(jù)的擬合值Δt。Δt是理論模型對(duì)剩余飛行時(shí)間的估計(jì)誤差,使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合Δt時(shí),基于模型的理論值能夠使目標(biāo)值域縮小,提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度,同時(shí)改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度。剩余飛行時(shí)間預(yù)測模塊如圖5所示。

圖5 剩余飛行時(shí)間預(yù)測模塊

本文使用的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為具有10個(gè)隱層的殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[31],每個(gè)隱層包含100個(gè)神經(jīng)元。殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決了網(wǎng)絡(luò)深度的退化問題,能夠進(jìn)一步提高網(wǎng)絡(luò)性能。深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)來源于蒙特卡羅仿真飛行實(shí)驗(yàn),仿真飛行使用帶有氣動(dòng)力的模型。在仿真飛行的初始階段,除了隨機(jī)給定初始位置(x,y)與初始速度(v,θ),同時(shí)隨機(jī)給定期望的攻擊角度λd。當(dāng)樣本采集完成后,對(duì)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。

將深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)定義為β,定義損失函數(shù)為網(wǎng)絡(luò)參數(shù)β的函數(shù)為

(12)

(13)

式中:αβ為學(xué)習(xí)率。

4 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

ITACG的制導(dǎo)指令表示為

aM=aOA+aIT

(14)

式中:aIT為飛行時(shí)間控制制導(dǎo)指令項(xiàng)。

定義εt為飛行時(shí)間誤差:

εt=td-tf=td-(t+tgo)

(15)

在設(shè)計(jì)校正制導(dǎo)指令時(shí),可以假設(shè)v為常值。忽略飛行速度變化可能導(dǎo)致校正指令無法滿足最優(yōu)性,但是在引入精確的預(yù)測環(huán)節(jié)后,校正指令能夠使εt正確地收斂。引入式(9)對(duì)飛行時(shí)間tf=t+tgo求導(dǎo)

(16)

(17)

由于式(17)不顯含控制指令,使用飛行時(shí)間控制制導(dǎo)指令項(xiàng)簡化彈道傾角的動(dòng)力學(xué)為

(18)

將式(15)、式(18)代入式(17),可得εt的導(dǎo)數(shù)為

(19)

忽略式(19)的高階項(xiàng),將εt的導(dǎo)數(shù)簡化為

(20)

設(shè)計(jì)期望誤差動(dòng)力學(xué)為

(21)

式中:K>0為比例系數(shù),K值越大,εt的收斂速度越快。

求解式(21)的微分方程可得εt的解為

εt=ε0e-Kt

(22)

式中:ε0為誤差的初值。

按照式(21)的期望誤差動(dòng)力學(xué)可以令誤差按指數(shù)函數(shù)形式迅速收斂,將式(20)代入式(21),得到飛行時(shí)間控制制導(dǎo)指令項(xiàng)aIT為

(23)

將式(6)、式(23)代入式(14),可得ITACG為

(24)

當(dāng)εt收斂為零后,式(24)的ITACG退化為角度控制制導(dǎo)律。

5 仿真分析

5.1 剩余飛行時(shí)間預(yù)測模塊仿真分析

導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)可近似表示為

(25)

表1 導(dǎo)彈氣動(dòng)系數(shù)

導(dǎo)彈攻角在飛行過程中取平衡攻角,計(jì)算公式為

(26)

導(dǎo)彈初始飛行狀態(tài)的取值范圍如表2所示。彈體的參考面積S=0.05 m2,重力加速度g=9.81 m/s2,攻角取值范圍限制于區(qū)間[-15°,15°]內(nèi)。

表2 導(dǎo)彈初始飛行狀態(tài)

運(yùn)行1 000次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),共獲得19 407 425組樣本,將樣本的80%作為訓(xùn)練集,剩余20%作為測試集,設(shè)置學(xué)習(xí)率αβ=0.001,使用訓(xùn)練集對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。

使用測試集測試訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),測試結(jié)果如圖6所示。由圖可見本文設(shè)計(jì)的預(yù)測模塊實(shí)現(xiàn)了較高精度的剩余飛行時(shí)間預(yù)測,預(yù)測誤差不大于1 s。

圖6 剩余飛行時(shí)間預(yù)測模塊的測試結(jié)果

5.2 時(shí)間角度協(xié)同制導(dǎo)律仿真分析

本節(jié)將式(24)中的參數(shù)K設(shè)置為0.1,以x0=-10 km,y0=10 km,v0=300 m/s,θ0=0°為初始狀態(tài)開展一系列仿真實(shí)驗(yàn)。圖7對(duì)比了基于精確tgo的ITACG與基于式(9)解析tgo的ITACG,由圖可見基于解析tgo的ITACG脫靶,這是因?yàn)槭?9)的推導(dǎo)過程引入了常值速度假設(shè),預(yù)測誤差增大,導(dǎo)致制導(dǎo)指令不合理。

圖7 兩種不同ITACG的仿真結(jié)果對(duì)比

設(shè)定一系列的場景對(duì)本文提出的ITACG進(jìn)行仿真,首先設(shè)置不同的期望飛行時(shí)間和相同的期望攻擊角度,期望飛行時(shí)間分別設(shè)置為td=60 s,80 s,100 s,期望攻擊角度設(shè)置為λd=90°,仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同期望飛行時(shí)間的制導(dǎo)性能

然后設(shè)置不同的期望攻擊角度和相同的期望飛行時(shí)間,期望攻擊角度分別設(shè)置為λd=30°,60°,90°,期望飛行時(shí)間設(shè)置為td=60 s,仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同期望攻擊角度的制導(dǎo)性能

從圖8和圖9可見,本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方法能夠使導(dǎo)彈在命中目標(biāo)的同時(shí)滿足飛行時(shí)間約束與攻擊角度約束,驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的ITACG的有效性。

為了進(jìn)一步說明本文設(shè)計(jì)的ITACG相對(duì)現(xiàn)有制導(dǎo)律的優(yōu)勢,使用文獻(xiàn)[3-4]設(shè)計(jì)的ITACG與本文提出的ITACG進(jìn)行對(duì)比。期望攻擊角度設(shè)置為λd=90°,期望飛行時(shí)間設(shè)置為td=60 s,仿真結(jié)果如圖10所示,導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)的性能如表3所示。

表3 3種不同ITACG的性能

圖10 3種不同ITACG的仿真結(jié)果

從圖10和表3中可以看出,3種制導(dǎo)律都能按照期望的飛行時(shí)間命中目標(biāo),但是文獻(xiàn)[3-4]的攻擊角度誤差較大。導(dǎo)彈使用本文的ITACG命中目標(biāo)時(shí),相對(duì)于其他兩種ITACG具有更大的終端速度與終端動(dòng)能,在實(shí)際應(yīng)用時(shí)具有更好的毀傷效果。

5.3 時(shí)間角度協(xié)同制導(dǎo)律仿真分析

使用蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)測試ITACG在不同狀況下的制導(dǎo)性能,飛行時(shí)間與攻擊角度分別從[60 s,100 s]、[30°,90°]中隨機(jī)選取。重復(fù)1 000次實(shí)驗(yàn),繪制各次實(shí)驗(yàn)的飛行時(shí)間誤差εt與攻擊角度誤差εa如圖11所示。從圖11可見,本文的ITACG在不同初始情況與目標(biāo)條件下均能以較小的誤差命中目標(biāo)。

圖11 蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

6 結(jié)束語

本文針對(duì)飛行時(shí)間和攻擊角度約束,提出了一種基于深度學(xué)習(xí)的ITACG,該制導(dǎo)律引入了導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)模型,以預(yù)測校正制導(dǎo)框架為基礎(chǔ),應(yīng)用深度學(xué)習(xí)方法預(yù)測剩余飛行時(shí)間,實(shí)現(xiàn)時(shí)間角度控制制導(dǎo)。在預(yù)測剩余飛行時(shí)間時(shí),設(shè)計(jì)前饋環(huán)節(jié)融合了理論模型與數(shù)值方法,改善了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練效果。仿真結(jié)果表明,相對(duì)于傳統(tǒng)的飛行時(shí)間估計(jì)方法,深度學(xué)習(xí)能夠?qū)崿F(xiàn)更加精確的剩余飛行時(shí)間估計(jì),而更精確的估計(jì)結(jié)果能夠顯著改善時(shí)間角度控制制導(dǎo)律在實(shí)際場景中的性能。下一步的研究方向包括針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的時(shí)間角度控制制導(dǎo),以及考慮能量最優(yōu)性的校正制導(dǎo)指令設(shè)計(jì)。