李璇, 瞿偉斌, 壽任禎, 馬兆有, 王曉玉

(1.公安部交通管理科學(xué)研究所, 江蘇 無錫 214151;2.山東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司, 山東 濟(jì)南 250101)

公路平面線形指標(biāo)恢復(fù)在公路改擴(kuò)建、交通事故路段安全性鑒定中應(yīng)用較多。從工程實(shí)踐和研究情況來看,當(dāng)設(shè)計(jì)圖已知,即平面線形中直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、圓緩點(diǎn)、緩直點(diǎn)等特征點(diǎn)位置明確時(shí),通過實(shí)測(cè)道路中線平面坐標(biāo),采用數(shù)值分析、軟件輔助等方法恢復(fù)得到的路段平面線形指標(biāo)差異不大且足夠精確。張航等以某S形曲線(圓曲線半徑R1=330 m)路段為例,分別采用拉格朗日插值法、最小二乘擬合法、三次樣條插值法、緯地軟件擬合法進(jìn)行分析,依次得到R1=331.55 m、R1=330.03 m、R1=330.25 m、R1=331.99 m,誤差分別為0.470%、0.009%、0.076%、0.603%[1]。

因公路設(shè)計(jì)時(shí)間久遠(yuǎn)、原始設(shè)計(jì)圖丟失,根據(jù)測(cè)量坐標(biāo)難以判斷特征點(diǎn)位置,須研究如何恢復(fù)公路平面線形指標(biāo)。部分學(xué)者采用“先直線、圓曲線,后緩和曲線”的思路恢復(fù)公路平面線形指標(biāo),如楊軫等采用最小二乘法擬合直線,根據(jù)三點(diǎn)確定唯一圓原理計(jì)算若干圓心坐標(biāo),采用重心計(jì)算公式求解平均圓心坐標(biāo),若干測(cè)量坐標(biāo)與平均圓心坐標(biāo)的距離即為圓曲線擬合半徑,該方法對(duì)坐標(biāo)測(cè)量誤差的容忍度高,擬合效果好且計(jì)算簡(jiǎn)便[2-3];張航等將測(cè)量所得公路中線平面坐標(biāo)導(dǎo)入CAD,人工判斷特征點(diǎn)位置并劃分恢復(fù)線元的區(qū)間,采用三次樣條插值法計(jì)算各區(qū)段的線形指標(biāo),該方法在測(cè)量精度較小時(shí)適用性好[4]。但上述方法沒有回答“哪些測(cè)量點(diǎn)納入直線坐標(biāo)擬合,哪些測(cè)量點(diǎn)納入圓曲線坐標(biāo)計(jì)算”,確定特征點(diǎn)位置的主觀性較強(qiáng)且相關(guān)人員須具備公路路線設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。為規(guī)避這一問題,鄔鎮(zhèn)倫等直接采用三次樣條函數(shù)對(duì)公路設(shè)計(jì)中線平面點(diǎn)云坐標(biāo)進(jìn)行插值[5],求得各測(cè)量點(diǎn)處的曲率,根據(jù)曲率變化確定線元屬性[6],其中圓曲線半徑取對(duì)應(yīng)線元范圍內(nèi)各點(diǎn)半徑的均值,緩和曲線參數(shù)采用黃金分割優(yōu)選法求得[7]。張志偉等將公路平面線形恢復(fù)分為兩個(gè)步驟,第一步采用三次B樣條函數(shù)對(duì)公路設(shè)計(jì)中線測(cè)量坐標(biāo)進(jìn)行插值,求出各測(cè)量點(diǎn)的曲率,并根據(jù)曲率變化劃分線元(直線、緩和曲線、圓曲線);第二步采用最小二乘法擬合直線和圓曲線參數(shù)[8-9]。Easa S. M.等通過衛(wèi)星地圖提取道路平面線形要素[10]。Li Z. X.等以曲線識(shí)別為基礎(chǔ)識(shí)別線形單元,利用線形單元特性進(jìn)行擬合[11]。Ai C. B.等提出基于GPS數(shù)據(jù)的道路線形識(shí)別和線形要素測(cè)設(shè)方法[12]。Ding J. J.等提出基于MATLAB和CAD平臺(tái)的道路線形擬合方法[13]。

既有平面線形恢復(fù)方法總體上包括插值、擬合等數(shù)值分析法和軟件計(jì)算法兩大類,在實(shí)際應(yīng)用中指導(dǎo)性強(qiáng),但對(duì)不同測(cè)量偏差數(shù)據(jù)源的線形指標(biāo)恢復(fù)方法研究較少。此外,插值法應(yīng)用場(chǎng)景描述不夠明確,擬合法也需首先由人工判斷圓曲線、直線的大致范圍。為此,本文基于理想道路中線平面坐標(biāo)數(shù)據(jù)及實(shí)測(cè)道路中線平面坐標(biāo)數(shù)據(jù),研究三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地智能布線法的適用性和穩(wěn)定性,同時(shí)提出無須人工判斷線元屬性的等距分組最小二乘擬合圓曲線法,為完善既有公路平面線形恢復(fù)方法理論體系及公路改擴(kuò)建、事故路段安全性鑒定等提供理論支撐。

1 公路平面線形恢復(fù)方法

1.1 三次樣條插值法

公路平面線形由直線、緩和曲線、圓曲線3種單元順適銜接而成,采用插值法恢復(fù)平面線形時(shí),插值函數(shù)應(yīng)具有光滑性、凹凸性和精確性,分段低次多項(xiàng)式插值可提高插值精度并避免龍格現(xiàn)象,其中三次樣條插值法是恢復(fù)公路平面線形的有效方法[4]。

三次樣條插值法是在每?jī)牲c(diǎn)之間構(gòu)造三次函數(shù),使各分段函數(shù)之間二階及以下導(dǎo)數(shù)連續(xù),確保各點(diǎn)之間光滑銜接。假設(shè)在區(qū)間[a,b]上有n+1個(gè)樣本點(diǎn),即[a,b]區(qū)間劃分為n個(gè)區(qū)間(x0,x1),(x1,x2),…,(xn-1,xn),其中兩個(gè)端點(diǎn)x0=a,xn=b,則三次樣條插值函數(shù)S(x)為:

每個(gè)區(qū)間有4個(gè)未知數(shù),共有n個(gè)區(qū)間。建立插值函數(shù)的條件如下:1) 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。除兩端點(diǎn)外,其余n-1個(gè)內(nèi)部點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),即左右兩個(gè)三次函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)值相同。2) 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。除兩端點(diǎn)外,其余n-1個(gè)內(nèi)部點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),即左右兩個(gè)三次函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)值相同。3) 每個(gè)樣本點(diǎn)處連續(xù)。除兩端點(diǎn)外,其余n-1個(gè)內(nèi)部點(diǎn)連續(xù),即左右兩個(gè)三次函數(shù)值相同。4) 自然邊界條件。兩個(gè)端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)為零。

曲率半徑k大于10 000 m時(shí),路段為直線;k接近某一定值R時(shí),路段為圓曲線;R≤k≤10 000 m時(shí),路段為緩和曲線[1]。

1.2 最小二乘擬合法

公路平面線形由直線、緩和曲線、圓曲線組成,從測(cè)量數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖很難直接判斷特征點(diǎn)的位置,而且緩和曲線擬合較困難。為此,提出等距分組最小二乘擬合圓曲線法:將所有線元視作半徑不同的圓曲線,依次選擇若干數(shù)量的坐標(biāo)點(diǎn)連續(xù)擬合圓曲線,根據(jù)半徑變化規(guī)律判斷線元屬性,規(guī)避首先由人工判斷直線、圓曲線范圍的步驟。圓曲線擬合方程為:

R2=x2-2Ax+A2+y2-2By+B2

令a=-2A,b=-2B,c=A2+B2-R2,圓曲線擬合方程變?yōu)?

x2+y2+ax+by+c=0

令目標(biāo)函數(shù)Q最小,分別對(duì)a、b、c求偏導(dǎo)數(shù):

令:

D=N∑xiyi-∑xi∑yi

解得:

1.3 緯地平面智能布線法

緯地三維道路設(shè)計(jì)軟件具有智能布線功能,步驟如下:1) 將公路中線上測(cè)量的若干平面坐標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)入CAD。2) 打開緯地設(shè)計(jì)功能→智能布線→點(diǎn)擊“hpmnh”命令圖標(biāo)。3) 選擇全部坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)象。4) 輸出擬合報(bào)告和擬合路線。

2 基于理想坐標(biāo)及實(shí)測(cè)坐標(biāo)的平面線形指標(biāo)恢復(fù)

2.1 路段數(shù)據(jù)

某二級(jí)省道干線公路的設(shè)計(jì)速度為80 km/h。選取前后800 m范圍的某處彎道路段,該路段平曲線參數(shù)設(shè)計(jì)值見表1。

表1 某路段平曲線參數(shù)設(shè)計(jì)值

2.2 基于理想坐標(biāo)的平面線形指標(biāo)恢復(fù)

理想坐標(biāo)數(shù)據(jù)是指平面坐標(biāo)均嚴(yán)格落在道路中線上,由公路逐樁坐標(biāo)表獲取。以坐標(biāo)測(cè)量密度1處/(10 m)為例,將該路段的中線坐標(biāo)導(dǎo)入CAD繪制散點(diǎn)圖(見圖1)。

圖1 分析路段中線坐標(biāo)散點(diǎn)圖

2.2.1 三次樣條插值法恢復(fù)

采用三次樣條插值法恢復(fù)路段平面線形指標(biāo),以坐標(biāo)測(cè)量密度1處/(10 m)為例,共計(jì)79個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。對(duì)78個(gè)區(qū)間進(jìn)行三次樣條插值,計(jì)算得到每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率半徑,根據(jù)曲率半徑變化判斷線元屬性(見表2)。

表2 三次樣條插值法所得路段各點(diǎn)曲率半徑

根據(jù)表2,坐標(biāo)點(diǎn)32～56之間為圓曲線,半徑為449.56 m。選用CAD輔助計(jì)算緩和曲線長(zhǎng)度,將坐標(biāo)點(diǎn)24～32導(dǎo)入CAD,用樣條曲線依次連接,測(cè)量得到緩和曲線1的長(zhǎng)度為80.03 m。同理,測(cè)量得到緩和曲線2的長(zhǎng)度為85.01 m。依次計(jì)算不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表3。

表3 基于三次樣條插值法的不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.2 最小二乘擬合法恢復(fù)

采用最小二乘擬合法恢復(fù)路段平面線形指標(biāo),以坐標(biāo)測(cè)量密度1處/(10 m)為例,共計(jì)79個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。將該路段視為由不同半徑圓曲線組成的曲線,以20個(gè)點(diǎn)為一組,依次按照?qǐng)A曲線方程擬合,計(jì)算得到每條圓曲線的半徑,根據(jù)半徑變化判斷線元屬性(見表4)。

表4 基于最小二乘擬合法的系列圓半徑

根據(jù)圓曲線半徑的變化,以坐標(biāo)點(diǎn)5～24擬合結(jié)果為界限,對(duì)應(yīng)的圓曲線半徑減少幅度較大,認(rèn)為坐標(biāo)點(diǎn)24是直線和緩和曲線的臨界點(diǎn)。綜合計(jì)算結(jié)果來看,圓曲線半徑在450 m左右,圓曲線半徑擬合值為450 m左右時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為30～49,認(rèn)為坐標(biāo)點(diǎn)30是緩和曲線和圓曲線的臨界點(diǎn)。同理,依次確定各線元范圍并計(jì)算長(zhǎng)度,其中緩和曲線長(zhǎng)度采用CAD輔助計(jì)算。

依次計(jì)算不同坐標(biāo)測(cè)量密度下路段平曲線線元參數(shù),隨坐標(biāo)測(cè)量密度的增加,選取的每組擬合點(diǎn)數(shù)量逐漸減少。計(jì)算結(jié)果見表5。

表5 基于最小二乘擬合法的不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.3 緯地平面智能布線法恢復(fù)

在緯地三維道路設(shè)計(jì)軟件中恢復(fù)平面線形,坐標(biāo)測(cè)量密度為1處/(10 m)時(shí),緯地平面智能布線結(jié)果見圖2。依次計(jì)算不同坐標(biāo)測(cè)量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表6。

圖2 基于理想坐標(biāo)的緯地平面智能布線(單位:m)

表6 基于緯地平面智能布線的不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.4 恢復(fù)方法比較

(1) 平面坐標(biāo)點(diǎn)完全落在實(shí)際道路中線上時(shí),采用三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑均可靠。

(2) 采用最小二乘擬合法恢復(fù)得到的緩和曲線長(zhǎng)度的穩(wěn)定性差,采用三次樣條插值法和緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的緩和曲線長(zhǎng)度較可靠。

2.3 基于實(shí)測(cè)坐標(biāo)的平面線形指標(biāo)恢復(fù)

由于測(cè)量?jī)x器操作偏差、測(cè)量點(diǎn)定位誤差,加上從測(cè)量面域坐標(biāo)中提取道路中線坐標(biāo)時(shí)獲取的若干坐標(biāo)通常難以嚴(yán)格落在理想的道路路線上,實(shí)測(cè)坐標(biāo)往往存在一定偏差。將坐標(biāo)測(cè)量密度設(shè)為1處/(10 m),采用GPS測(cè)量該路段數(shù)據(jù)(與2.2節(jié)道路中線實(shí)際坐標(biāo)數(shù)據(jù)相比,此次測(cè)量坐標(biāo)在偏實(shí)際道路中線±25 cm范圍內(nèi)),選擇三次樣條插值法、最小二乘擬合法及緯地平面智能布線法依次恢復(fù)不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)。

2.3.1 三次樣條插值法恢復(fù)

采用三次樣條插值法恢復(fù)該路段平面線形指標(biāo),以坐標(biāo)測(cè)量密度1處/(10 m)為例,共計(jì)79個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。對(duì)78個(gè)區(qū)間進(jìn)行三次樣條插值,計(jì)算得到每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率半徑,根據(jù)曲率半徑變化判斷線元屬性(見表7)。

表7 基于三次樣條插值法的路段各點(diǎn)曲率半徑

各區(qū)段的端點(diǎn)測(cè)量坐標(biāo)存在誤差,采用三次樣條插值法恢復(fù)線形指標(biāo)時(shí),在確保各區(qū)段光滑連接的情況下,各端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率半徑穩(wěn)定性差、跳躍性強(qiáng),據(jù)此判斷線形指標(biāo)較困難。

2.3.2 最小二乘擬合法恢復(fù)

采用最小二乘擬合法恢復(fù)該路段平面線形指標(biāo),以坐標(biāo)測(cè)量密度1處/(10 m)為例,共計(jì)79個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。認(rèn)為該路段是由不同半徑圓曲線組成的曲線,以20個(gè)點(diǎn)為一組,依次按照?qǐng)A曲線方程擬合,計(jì)算得到每條圓曲線的半徑,根據(jù)半徑變化判斷線元屬性(見表8)。

表8 基于最小二乘擬合法的系列圓半徑

根據(jù)圓曲線半徑的變化規(guī)律,判斷各特征點(diǎn)位置,并依次計(jì)算不同坐標(biāo)測(cè)量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表9。

表9 基于最小二乘擬合法的不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.3.3 緯地平面智能布線法恢復(fù)

基于實(shí)測(cè)坐標(biāo),在緯地三維道路設(shè)計(jì)軟件中恢復(fù)平面線形,坐標(biāo)測(cè)量密度為1處/(10 m)時(shí)緯地平面智能布線結(jié)果見圖3。依次計(jì)算不同坐標(biāo)測(cè)量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表10。

圖3 基于實(shí)測(cè)坐標(biāo)的緯地平面智能布線(單位:m)

表10 基于緯地平面智能布線法的不同坐標(biāo)測(cè)量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.3.4 恢復(fù)方法比較

(1) 基于存在測(cè)量偏差的實(shí)測(cè)道路中線平面坐標(biāo)數(shù)據(jù),采用三次樣條插值法恢復(fù)道路線形指標(biāo)的適用性差,采用最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑相對(duì)可靠。

(2) 坐標(biāo)測(cè)量密度足夠大,如1處/(5 m),對(duì)于提升緩和曲線長(zhǎng)度恢復(fù)的可靠性有一定作用,但穩(wěn)定性不強(qiáng)。

3 結(jié)論

本文明確了三次樣條插值法在公路平面線形恢復(fù)中的概念,提出了恢復(fù)道路平面線形指標(biāo)時(shí)無須人工判斷線元屬性的等距分組最小二乘擬合圓曲線法。針對(duì)某干線公路,分析三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地智能布線法用于公路平面線形指標(biāo)恢復(fù)時(shí)的適用性和穩(wěn)定性,主要結(jié)論如下:

(1) 當(dāng)?shù)缆分芯€測(cè)量坐標(biāo)為理想數(shù)據(jù)或逼近實(shí)際道路中線時(shí),采用三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑均可靠,采用三次樣條插值法、緯地平面智能布線法得到的緩和曲線長(zhǎng)度較可靠。

(2) 基于實(shí)測(cè)道路中線平面坐標(biāo)數(shù)據(jù),采用三次樣條插值法恢復(fù)道路線形指標(biāo)的適用性差,且增大測(cè)量點(diǎn)密度不能提升恢復(fù)結(jié)果的可靠性和穩(wěn)定性。

(3) 基于實(shí)測(cè)道路中線平面坐標(biāo)數(shù)據(jù),采用最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑相對(duì)可靠,且增大測(cè)量點(diǎn)密度可提升緩和曲線長(zhǎng)度恢復(fù)的可靠性,但穩(wěn)定性不強(qiáng)。

(4) 公路改擴(kuò)建工程中,恢復(fù)道路線形建議采用緯地平面智能布線法;道路交通事故鑒定中,涉及事故路段圓曲線半徑評(píng)估時(shí),建議采用最小二乘擬合法。

道路線形恢復(fù)方法較多,本文僅對(duì)比分析了3種較常見的平面線形恢復(fù)方法,其他方法的適用場(chǎng)景及優(yōu)劣對(duì)比有待進(jìn)一步研究。