徐雁韜

【摘要】經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是學(xué)生在高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)或金融學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的必修課之一，主要包括概率論內(nèi)容、線性代數(shù)內(nèi)容等.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，除了線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)知識以外，概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容占比較大，也是學(xué)生在日常學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、考評測評中經(jīng)常出現(xiàn)問題的一個(gè)模塊.文章基于概率與統(tǒng)計(jì)的概念內(nèi)容，結(jié)合一線教師教學(xué)經(jīng)歷，探究在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概率與統(tǒng)計(jì)類題目關(guān)于解題的教學(xué)實(shí)踐與反思.

【關(guān)鍵詞】經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；概率與統(tǒng)計(jì)；解題研究

一、概率與統(tǒng)計(jì)解題概述

概率與統(tǒng)計(jì)是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中重要的組成部分，概率與統(tǒng)計(jì)也是我國學(xué)生從小學(xué)到高中唯一一個(gè)一直在深化認(rèn)識、不斷學(xué)習(xí)的知識模塊，知識難度呈現(xiàn)螺旋式升高的特點(diǎn).如此大規(guī)模地學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，也從一定程度說明了我國對于概率與統(tǒng)計(jì)知識的重視.同時(shí)，小、初、高三個(gè)不同階段對于概率與統(tǒng)計(jì)的要求也是不盡相同的，從最初的感受數(shù)、感受概率，到后來的描述數(shù)、確定概率，再到最終的計(jì)算數(shù)與概率，這一系列的知識都是學(xué)生們學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的重要知識儲備.雖然概率與統(tǒng)計(jì)是學(xué)生一直在接觸與學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，由于題目過于簡單，直接把學(xué)習(xí)目標(biāo)指向了解答出題目，卻忽略了對解題的過程的反思.這種反思的缺少使得學(xué)生的思維的發(fā)展受到了一定的阻礙，往往限制了學(xué)生思維的靈活性.因此筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對概率與統(tǒng)計(jì)中啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行反思的方式方法加以總結(jié).并且隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，越來越多的數(shù)據(jù)需要我們進(jìn)行分析、統(tǒng)計(jì)、整理并得到相關(guān)結(jié)果.這樣一種數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)整理的能力與意識也是概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容重點(diǎn)培養(yǎng)與考查的.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)對數(shù)據(jù)和數(shù)值比較關(guān)注，由于其學(xué)科背景是典型的交叉學(xué)科，即經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的跨學(xué)科交叉，因此其具有廣泛的應(yīng)用性的特點(diǎn).無論是對于生活生產(chǎn)中的實(shí)際問題，還是對于經(jīng)濟(jì)工作的推動都有著重要的作用，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的決策、預(yù)算、控制等方面都需要學(xué)生具備充分的概率與統(tǒng)計(jì)的思維和能力.因此概率與統(tǒng)計(jì)也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要學(xué)科.通過對概率與統(tǒng)計(jì)問題進(jìn)行的解題活動，學(xué)生們的思維可以得到有效的訓(xùn)練與提升.這樣一種解題的思維過程，是具有獨(dú)一性的思維活動，因此教師要給予學(xué)生充分的自主空間進(jìn)行解題的實(shí)踐與反思.

二、概率與統(tǒng)計(jì)的解題教學(xué)的目的

（一）概率與統(tǒng)計(jì)解題應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在概率與統(tǒng)計(jì)中，教師往往以看待傳統(tǒng)知識的眼光看待概率或統(tǒng)計(jì)知識的解題教學(xué).但是事實(shí)并非如此，概率與統(tǒng)計(jì)的概念課、習(xí)題課中都蘊(yùn)含著發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要渠道.這種數(shù)學(xué)抽象的過程蘊(yùn)含于概念生成、解題過程、知識理解的各個(gè)方面.因此教師在教學(xué)過程當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)胤怕俣?，給予學(xué)生充分的反應(yīng)與思考的時(shí)間.學(xué)生通過自己思考、理解后生成概念再進(jìn)行學(xué)習(xí)可以較為有效地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是指以數(shù)量關(guān)系和空間表現(xiàn)形式揭示客觀對象本質(zhì)和規(guī)律的一種研究方法.概率與統(tǒng)計(jì)部分相對于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中其他模塊而言，概念比較簡單，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)抽象主要分為三步：第一步，理解并把握事物特征；第二步，深刻體會事物本質(zhì)并抽象出一般概念；第三步，通過知識遷移和同化建構(gòu)對一般抽象概念進(jìn)行高級抽象.如教師在講授概率與統(tǒng)計(jì)中的部分概念時(shí)，第一步，讓學(xué)生通過觀察，找到生活中某類事物與概念的共同特征；第二步，引導(dǎo)學(xué)生將共同特征用數(shù)學(xué)語言加以描述，得到相關(guān)概念；第三步，最終利用探究出來的概念定義及其性質(zhì)或例題對生活實(shí)際中的問題進(jìn)行解決.通過以上三步，學(xué)生們不僅能潛移默化地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，還能將概率與統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)知識逐漸遷移到其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容當(dāng)中.

（二）概率與統(tǒng)計(jì)解題應(yīng)當(dāng)注重基本概念的生成

在概率與統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，解題教學(xué)的基礎(chǔ)來源于基本概念的生成.而這些重要的概念生成一定是有緊湊的流程伴隨的.一般來說，可以分為以下四個(gè)階段.第一階段（活動階段）：主要為數(shù)學(xué)概念的引入，它的知識基礎(chǔ)為學(xué)生已有的認(rèn)知，教師可結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況與認(rèn)識發(fā)展規(guī)律，在分析所要講解概念的內(nèi)容和內(nèi)涵以及在整個(gè)概念體系中所處的位置后，設(shè)置出合適的“活動”，讓學(xué)生通過親身感受，對數(shù)學(xué)概念主動建構(gòu).第二階段（過程階段）：主要為概念的定義，在經(jīng)過從整體的角度對概念進(jìn)行分析后，發(fā)掘其具備的特點(diǎn)，抽象出概念的本質(zhì)，從而形成概念的一般定義.第三階段（對象階段）：主要為概念的分析，將概念用符號表示，通過一系列手段進(jìn)行深加工，使其成為一個(gè)具體的“對象”，并將它與學(xué)習(xí)過的其他概念相聯(lián)系，形成自己的知識體系.第四階段（概型階段）：主要為概念的運(yùn)用，把數(shù)學(xué)概念作為一種新的方法，用于解決生活中的實(shí)際問題，使概念具有一定的實(shí)際意義和實(shí)用價(jià)值，這一過程，也會對概念本身進(jìn)行深化.通過以上四個(gè)階段的解題中基礎(chǔ)概念的教學(xué)，學(xué)生能夠更好地理解概念的本質(zhì)，也有益于數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的主干，本身具有高度的抽象性和概括性，又與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容有深刻聯(lián)系，所以，作為教師，講解好概率與統(tǒng)計(jì)中的概念十分重要.在課堂中，教師要充分掌握概念的內(nèi)涵和外延，具體的做法可以是，將一個(gè)復(fù)雜的概念進(jìn)行拆解與簡化，用實(shí)例去說明，同時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生用自己的話解釋概念，從而達(dá)到對概念的消化理解.教師需要幫助學(xué)生在新、舊知識之間建立銜接，并使其感受到從小學(xué)到高中的概率與統(tǒng)計(jì)知識體系呈螺旋上升式結(jié)構(gòu)，最終形成一個(gè)龐大的知識體系.在教學(xué)中，教師的主要任務(wù)是要幫助學(xué)生建立各個(gè)章節(jié)間、新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，最終將所學(xué)知識串聯(lián)起來形成體系，具體可以細(xì)化到對每節(jié)課進(jìn)行課堂小結(jié)，每章進(jìn)行章末總結(jié)，讓學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖等方式.

（三）概率與統(tǒng)計(jì)解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)規(guī)范學(xué)生解題流程

在概率與統(tǒng)計(jì)中，解題教學(xué)有助于學(xué)生增強(qiáng)理解能力，提高表達(dá)水平.許多公式、定理為了方便書寫和表達(dá)經(jīng)常用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行刻畫，另外由于數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)，會有一些概念比較晦澀難懂，所以提高學(xué)生的理解能力十分必要.在解題中.學(xué)生要根據(jù)題干信息理解題干所要表達(dá)的具體含義，領(lǐng)會出題人的意圖，從而獲得解題思路.規(guī)范地使用數(shù)學(xué)語言也是學(xué)生必須掌握的技能，尤其是證明題，證明過程需要十分嚴(yán)謹(jǐn)，這就需要學(xué)生熟練地使用數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行描述.在教學(xué)中，教師應(yīng)該對學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言的規(guī)范性嚴(yán)格要求，為學(xué)生打下良好基礎(chǔ).滲透思想方法，重視過程教學(xué)，在高中的數(shù)學(xué)知識中就蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想是在對大量的知識進(jìn)行深化、對問題進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上所總結(jié)出的解決一類問題的思維模式，蘊(yùn)含著高度的抽象性.強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題的意識，不僅深化了知識層面的學(xué)習(xí)，更重要的是思維能力的提升.在具體的教學(xué)過程中，教師可以利用定理、公式的推導(dǎo)過程，自然地讓學(xué)生了解該思想方法的內(nèi)涵，同時(shí)在解題教學(xué)的過程中，通過對題型的歸納和總結(jié)讓學(xué)生在充分掌握數(shù)學(xué)思想后進(jìn)一步規(guī)范解題流程.習(xí)題的背后也蘊(yùn)藏著大量的思想方法.所以，教師應(yīng)該重視過程教學(xué).

（四）概率與統(tǒng)計(jì)解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際

無論是在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，還是其他學(xué)科，學(xué)習(xí)主體仍然是學(xué)生，并且經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，如果脫離了應(yīng)用的實(shí)際情況，就脫離了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).因此教學(xué)一方面不能脫離生活實(shí)際，另一方面一定不能脫離學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，更要使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后利用目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而達(dá)到事半功倍的效果.

三、概率與統(tǒng)計(jì)解題教學(xué)的反思

（一）培養(yǎng)學(xué)生反思解題方法

概率與統(tǒng)計(jì)問題當(dāng)中，包含著十分豐富的解題方法，而這些解題方法又是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行思考與反思的重要載體.方法意味著一種解題的規(guī)則與模式，包含著對題目要點(diǎn)的個(gè)性化處理，可能是利用公式、定理，或者其他知識點(diǎn).而對解題方法的反思可以做到讓學(xué)生進(jìn)行方法與方法之間的對比，進(jìn)行比較性的學(xué)習(xí)，通過相同或相近方法的比較，從而進(jìn)行類比性的學(xué)習(xí).教師通過概率與統(tǒng)計(jì)問題解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生們對解題方法的反思，使其可以較好地將解題技巧拓展到其他數(shù)學(xué)內(nèi)容當(dāng)中.并且學(xué)生們通過對解題方法的反思，可以較為迅速地對題目進(jìn)行分類，建立完整的知識結(jié)構(gòu).對解題方法進(jìn)行歸類后的反思，也是學(xué)生們再一次解決該類問題的過程，起到了既加強(qiáng)學(xué)生知識儲備，又起到發(fā)展學(xué)生思維能力的作用.筆者在實(shí)際教學(xué)中，通過給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行解題反思發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往能夠更加明晰解題思路，在教師再次提問或面對類似問題時(shí)，經(jīng)過反思的學(xué)生往往有更好的表現(xiàn).因此，這樣通過對概率與統(tǒng)計(jì)的解題方法的反思，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生解決具體的一類問題，有助于完善學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

（二）培養(yǎng)學(xué)生反思解題結(jié)果

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，概率與統(tǒng)計(jì)問題的另外一層重要作用，就是培養(yǎng)學(xué)生對求解結(jié)果的敏感度.這樣一種對解題結(jié)果的敏感性對于學(xué)生而言是必不可少的.由于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的高度應(yīng)用性的特點(diǎn)，以及我國現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，生活中很多的項(xiàng)目都是為經(jīng)濟(jì)建設(shè)而服務(wù)的.因此在日常的統(tǒng)計(jì)實(shí)踐當(dāng)中，如果計(jì)算者缺乏了對結(jié)果的最基本的判斷，就不易發(fā)現(xiàn)解題或計(jì)算中存在的錯(cuò)誤，進(jìn)而就有可能造成不可挽回的損失.并且對數(shù)值的敏感性也是衡量一名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的重要依據(jù)之一.因此概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生對解題結(jié)果的反思，一方面包括對結(jié)果的方向性的感受，比如，對統(tǒng)計(jì)結(jié)果的大致判斷，是否脫離了實(shí)際意義，是否滿足生活實(shí)際情況，在特殊情況下能否實(shí)現(xiàn)等.另一方面包括對結(jié)果細(xì)節(jié)的把握，比如說結(jié)果的所在區(qū)間，數(shù)據(jù)的細(xì)微變化所帶來的結(jié)果的細(xì)微變化等.這樣一種對解題結(jié)果的反思，也有益于學(xué)生進(jìn)行解題過程的回顧和解題模式的構(gòu)建.可以說通過對反思解題結(jié)果的回顧，學(xué)生相當(dāng)于重新復(fù)習(xí)了一遍做題的過程，具有溫故而知新的效果，也有利于學(xué)生通過一道例題進(jìn)行拓展性的發(fā)散與思考.通過筆者前面指出的教學(xué)實(shí)例也可以看出，題目本身可能難度并不高，但是在筆者實(shí)際教學(xué)的過程當(dāng)中，很大一部分學(xué)生仍然不能準(zhǔn)確、有指向性地估算解題結(jié)果，說明在實(shí)際培養(yǎng)學(xué)生的解題能力的過程當(dāng)中，在一定程度上忽視了對學(xué)生的數(shù)學(xué)的直覺性的培養(yǎng).因此，面對概率與統(tǒng)計(jì)問題，教師應(yīng)著力發(fā)展學(xué)生對解題結(jié)果的反思能力，使學(xué)生有能力估算、估值，做到對預(yù)求結(jié)果的區(qū)間范圍的大致把握，能夠通過數(shù)據(jù)的波動估算一定的因果關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

（三）培養(yǎng)學(xué)生反思問題特征

概率與統(tǒng)計(jì)的解題活動當(dāng)中，另外一個(gè)重要的培養(yǎng)目標(biāo)就是教會學(xué)生反思題目特征或問題特征.所謂問題特征，就是指在概率與統(tǒng)計(jì)問題當(dāng)中，命題者隱藏起的解題關(guān)鍵點(diǎn)，也是學(xué)生們在進(jìn)行解題時(shí)尋找的破題點(diǎn).通過把握問題特征，可以更輕松地理解出題者的意圖，從而通過較為簡單的角度對問題進(jìn)行解決.這種問題特征不等價(jià)于題干條件，而是問題所具有代表性和所突出的問題意圖.而大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，往往將目標(biāo)放置在解答出問題上，而在解題以后，忽略了反思問題的關(guān)鍵特點(diǎn)，這樣就忽略了問題的本質(zhì).比如，在統(tǒng)計(jì)題目當(dāng)中，一部分的問題就是讀圖及讀表，這類圖表讀取信息的問題特征就在考查學(xué)生的信息讀取能力.另一部分的問題是利用已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)對未來目標(biāo)進(jìn)行估值或求解，這類問題就主要考查了學(xué)生的運(yùn)算與求解的能力.并且在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)當(dāng)中，非常重要的一個(gè)問題特征就是問題的生活性，這種具有實(shí)際背景意義的問題往往抽象于實(shí)際的生產(chǎn)生活和實(shí)踐.把握問題中的生活性也是培養(yǎng)學(xué)生反思問題，提升解題能力的重要角度.

（四）培養(yǎng)學(xué)生反思解題規(guī)律

著名數(shù)學(xué)解題大師喬治波利亞也曾經(jīng)針對解題說過：“解題是規(guī)律化的思維過程.”因此，教師應(yīng)當(dāng)通過概率與統(tǒng)計(jì)的習(xí)題，注重學(xué)生進(jìn)行解題規(guī)律的反思，讓學(xué)生深刻把握解題規(guī)律.從學(xué)生的角度而言，解題規(guī)律的反思，一方面可以提高學(xué)生們的解題速度與準(zhǔn)確性，因?yàn)閷σ?guī)律的把握就是對整個(gè)解題流程的熟悉與把握.另一方面學(xué)生通過解題規(guī)律的掌握，可以更好地進(jìn)行反思活動，形成良性思維的閉環(huán)模式.對于經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)而言，一部分的模型和算法是十分重要的，是幫助學(xué)生構(gòu)建合理推測的重要工具.在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，學(xué)生能夠進(jìn)行規(guī)律性的反思，形成規(guī)律性的思維也是十分重要的.因此在實(shí)際教學(xué)中，教師可以在一定程度上強(qiáng)調(diào)解題規(guī)律的重要性，并且讓學(xué)生在課上或課后讀一些數(shù)學(xué)家的解題故事發(fā)展學(xué)生的解題能力.

總之，在概率與統(tǒng)計(jì)的解題教學(xué)中，教師要從反思解題方法、結(jié)果、問題特征和解題規(guī)律四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思活動，學(xué)生只有深刻地反思這四個(gè)方面，才能對解題進(jìn)行較為全面的理解和掌握，也更有助于后續(xù)的學(xué)習(xí).通過以上對解題教學(xué)的思考以及培養(yǎng)學(xué)生解題反思的途徑，可以看出，概率與統(tǒng)計(jì)知識對于學(xué)生的重要作用.而在實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)，教師更應(yīng)當(dāng)注重經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計(jì)部分的解題教學(xué)與反思，讓學(xué)生進(jìn)行主動的思考，進(jìn)一步完善自身的學(xué)習(xí)體系.

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