艾小川 翟亞利 紀(jì)祥鯤

【摘要】線性代數(shù)是一門內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)的課程，為了加快加深學(xué)生對(duì)線性代數(shù)中相關(guān)概念、定理的理解，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)是一種非常有效的方法.文章從反例的含義、作用、構(gòu)造等方面進(jìn)行了研究，給出線性代數(shù)中的一些具體反例并進(jìn)行了延伸和拓展，旨在增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念理解的準(zhǔn)確性、深刻性、靈活性和批判性，并且能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，提高學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；反例；矩陣；秩；線性方程組

【基金項(xiàng)目】海軍教育理論課題（HJ20206313606）；海軍工程大學(xué)教學(xué)成果立項(xiàng)培育項(xiàng)目（HJGC20219102）

引 言

線性代數(shù)是我國(guó)高校理工農(nóng)、管理、經(jīng)濟(jì)等專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)課程，具有概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象等特點(diǎn)，加上與實(shí)際生活聯(lián)系少，學(xué)生在初學(xué)時(shí)具有一定的難度，極富挑戰(zhàn)性.因此，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，如何更好地理解和掌握相關(guān)的概念和定理，如何正確地證明命題結(jié)論，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)很大的難點(diǎn).著名的科學(xué)家、哲學(xué)家波普爾（KalRaimund Popper）曾說，知識(shí)成長(zhǎng)的邏輯是“在猜想和反駁中成長(zhǎng)著的”.對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤知識(shí)的反駁不僅是可能的，而且有一個(gè)十分有效的標(biāo)準(zhǔn)方法———反例，反例方法是證偽、糾錯(cuò)和發(fā)現(xiàn)正確認(rèn)識(shí)的極富說服力的思想方法.反例不僅是對(duì)命題非常簡(jiǎn)明的否定，而且是對(duì)否命題非常有說服力的肯定.它往往能起到正向證明難以發(fā)揮的作用，對(duì)解決某些問題有很大的幫助.通過構(gòu)造和展示反例，學(xué)生可以從不同角度闡明概念、定理等內(nèi)容的本質(zhì)，能夠加深對(duì)這些內(nèi)容的理解和把握，從而避免出現(xiàn)一些似是而非的錯(cuò)誤.

習(xí)近平總書記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)：要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，各類課程都要與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng).現(xiàn)在思政元素已經(jīng)滲透到各門課程的教學(xué)中，努力踐行“立德樹人”的宗旨.在《線性代數(shù)》課程的內(nèi)容中，反例蘊(yùn)含著豐富的思政元素、哲學(xué)思想，因此深入挖掘反例中蘊(yùn)含的思政元素既能提升學(xué)生對(duì)基本概念和基本定理的掌握，又能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思想素養(yǎng).

本文針對(duì)線性代數(shù)中矩陣的運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性、矩陣與向量組的秩、線性方程理論等相關(guān)命題給出具體反例，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解，從而更好地掌握相關(guān)理論知識(shí).

一、反例及其作用

一個(gè)正確的數(shù)學(xué)命題需要嚴(yán)密的證明，而錯(cuò)誤的命題則只需要依靠一個(gè)具體的反例即可，舉出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，卻不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例.反例具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等突出特點(diǎn).

初學(xué)者在學(xué)習(xí)或使用反例的過程中，往往會(huì)忽視其中一個(gè)看起來不重要的條件，最終導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤，所以討論命題中的反例，有利于學(xué)生對(duì)命題進(jìn)行更深層的理解和掌握，更深刻地領(lǐng)悟命題中的各個(gè)條件不是可有可無的.

在《線性代數(shù)》中，教師要善于通過反例進(jìn)行教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生厘清對(duì)某些概念和性質(zhì)，消除對(duì)一些知識(shí)的認(rèn)知偏差和習(xí)慣性錯(cuò)誤思維，構(gòu)建準(zhǔn)確完整的知識(shí)體系，還能提高學(xué)生的思維能力和科學(xué)素養(yǎng).

二、反例選取的標(biāo)準(zhǔn)

反例的選取一般有這樣兩條標(biāo)準(zhǔn)：一是要簡(jiǎn)單明了，使人印象深刻，便于記憶；二是一個(gè)例子可以用來說明多個(gè)問題.人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)過程，通常是一個(gè)從具體到抽象，從視覺直覺到理性思考的過程.如果學(xué)生記住一個(gè)反例，他們往往就能記住與它相關(guān)的屬性，這會(huì)使證明更容易獲得事半功倍的效果.這兩個(gè)反例的選擇標(biāo)準(zhǔn)可以幫助學(xué)生“借助具體認(rèn)識(shí)抽象”，從而更好地理解抽象的內(nèi)容.

反例的構(gòu)造，其實(shí)并不是件很容易的事情，有時(shí)甚至比給出證明還要困難.本文根據(jù)教學(xué)實(shí)踐積累列舉一些線性代數(shù)中的反例.

三、線性代數(shù)教學(xué)反例

知識(shí)點(diǎn)1 矩陣的乘法滿足交換律嗎？

矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)非常重要的概念，在引入矩陣的概念之后，就要介紹矩陣的各類運(yùn)算，如加法、減法、數(shù)乘、乘法等.矩陣的加法與減法歸結(jié)為對(duì)應(yīng)元素的相加和相減，數(shù)與矩陣相乘歸結(jié)為數(shù)與矩陣的每一個(gè)元素相乘，這些都是學(xué)生易于接受和理解的知識(shí)點(diǎn).

矩陣的乘法是新引入的概念，其實(shí)質(zhì)為左邊矩陣的行乘以右邊矩陣的列，而并非兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素的乘積，因此矩陣的乘法不同于數(shù)的乘法.數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律與消去律，而矩陣的乘法滿足結(jié)合律（空間位置不變，時(shí)間次序可變），但并不滿足交換律與消去律，這兩點(diǎn)是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.如果學(xué)生不理解新知識(shí)的本質(zhì)，就會(huì)很自然地認(rèn)為矩陣乘法和數(shù)的乘法一樣，有可能會(huì)認(rèn)為矩陣乘法也滿足交換律和消去律，從而產(chǎn)生不準(zhǔn)確的認(rèn)知.對(duì)于此類問題，最好的方法就是給出具體的反例.

（1）若m≠n，則AB為m×n矩陣，而B與A不能相乘，顯然不滿足交換律.

（2）若m=n≠s，則AB為m階方陣，BA為s階方陣，AB與BA不是同型矩陣，不可能相等，不滿足交換律.

知識(shí)點(diǎn)2 矩陣乘法滿足消去律嗎？

即已知AB=O，A≠O，能否推出B=O.

反例展示

設(shè)

容易計(jì)算得AB=O.

實(shí)際上，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)1中的反例同樣可以說明矩陣乘法不滿足消去律.

因此矩陣乘法不滿足消去律，其另一種等價(jià)形式為：

已知AX=AY，即使A≠O，也無法推出X=Y.

說明：AX=AY？A（X-Y）=O，即使A≠O，也不能推出X-Y=O，即無法證明X=Y.

知識(shí)延伸

（1）若A2=O，無法推出A=O.

（2）若A2=A，無法推出A=E或A=O.

那么在什么條件下結(jié)論成立呢？

注：（1）若已知AB=O，A為可逆矩陣，則可推出B=O.

（2）若已知AX=AY，A為可逆矩陣，則推出X=Y.

由此教師可提醒學(xué)生在數(shù)的乘法運(yùn)算中形成的可交換與可消去的計(jì)算習(xí)慣必須改變，否則將引起很多錯(cuò)誤.

向量組的線性相關(guān)性、線性無關(guān)性是《線性代數(shù)》的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)生對(duì)于線性相關(guān)性的定義理解總是存在著很多的誤區(qū).

知識(shí)點(diǎn)4 等價(jià)矩陣有相等的秩，反之若兩個(gè)矩陣的秩相等，是否等價(jià)呢？

分析：兩個(gè)矩陣不同型，其秩可能相等，但不可能等價(jià).

知識(shí)點(diǎn)5 等價(jià)的向量組有相等的秩，若兩個(gè)向量組的秩相等，是否等價(jià)呢？

分析：若兩個(gè)向量組所含向量的維數(shù)不同，即使秩相等，也不等價(jià).

那么若兩個(gè)向量組所含向量維數(shù)相同，且秩相等，一定等價(jià)嗎？

知識(shí)點(diǎn)6 矩陣相似必等價(jià)，等價(jià)一定相似嗎？

概念辨析 矩陣等價(jià)指的是，矩陣A能經(jīng)過初等變換變成B，

即A≈B？？可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B.

實(shí)際上矩陣的等價(jià)并不一定限制為方陣.而矩陣的相似是針對(duì)方陣來講的.

矩陣相似指的是，在A，B為同階方陣的前提下，A～B？？可逆矩陣P使得P-1AP=B.

實(shí)際上，由定義可以看出，相似必等價(jià)，而等價(jià)不一定相似，其原因?yàn)椋?/p>

（1）等價(jià)的兩個(gè)矩陣不一定是方陣，相似的前提滿足不了.

（2）即使等價(jià)的矩陣是方陣，也不一定相似，因?yàn)樵诘葍r(jià)的充要條件PAQ=B中，P和Q并不一定互為逆矩陣.

結(jié) 語

反例思維是深入思考的必經(jīng)之路，教師在《線性代數(shù)》的教學(xué)中，要特別注意積累合適的反例，正確運(yùn)用反例，帶領(lǐng)學(xué)生突破某一數(shù)學(xué)方法和手段的局限性.反例教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力和創(chuàng)新思維能力，加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的精準(zhǔn)分析，加強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性和研判能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和思考能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，提高教學(xué)效果，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.教師在《線性代數(shù)》的教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用好反例構(gòu)造的思維方法，能夠充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

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