馬加立,費樹岷 ,崔國增

(1.東南大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210096;2.蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,江蘇蘇州 215009)

1 引言

作為一類特殊的混雜系統(tǒng),非線性切換系統(tǒng)廣泛存在于各類實際工程應(yīng)用中,例如電力系統(tǒng)、化工系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等[1].并且相較于單個系統(tǒng),切換系統(tǒng)的控制問題更加棘手[2].因此,切換系統(tǒng)的控制問題吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.隨著共同Lyapunov函數(shù)法、多Lyapunov函數(shù)法以及駐留時間法的提出,非線性切換系統(tǒng)的分析和控制得到了長足的發(fā)展[3–6],但仍然存在一些棘手問題尚未解決.

一方面,隨著計算機與網(wǎng)絡(luò)通訊技術(shù)的迅速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)因其可靠性高、靈活性高以及便于維護等優(yōu)點,已經(jīng)在軍事、醫(yī)療、航空航天等復(fù)雜工業(yè)控制領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用.然而在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中,由于量化技術(shù)產(chǎn)生的量化誤差往往會增加閉環(huán)系統(tǒng)的分析和設(shè)計的難度,甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定現(xiàn)象的產(chǎn)生.因此量化控制顯得尤為重要.借助于反步設(shè)計方法和自適應(yīng)技術(shù),量化控制已經(jīng)在各類非線性系統(tǒng)上取得了豐碩的成果,包括嚴格反饋系統(tǒng)[7]、純反饋系統(tǒng)[8]、非嚴格反饋系統(tǒng)[9]以及多智能體系統(tǒng)[10].并且借助共同Lyapunov函數(shù)法,非線性切換系統(tǒng)的量化控制問題同樣得到了解決[11–13].然而需要指出的是,上述結(jié)論往往建立在量化器參數(shù)已知的前提下.在實際工程應(yīng)用中,系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是復(fù)雜多變的,量化器參數(shù)信息往往不可獲得.因此,對于量化器參數(shù)未知的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計還有待研究.

另一方面,現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展對系統(tǒng)的收斂速度要求越來越高,通常要求系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂,因此上述文獻[7–13]所獲得的漸近穩(wěn)定結(jié)論已經(jīng)很難滿足控制要求.近年來,有限時間控制因其收斂速度快、跟蹤精度高以及抗干擾能力強等優(yōu)點,吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究,并且已經(jīng)取得了顯著的成果.例如,文獻[14]利用增加冪次積分法,解決了嚴格反饋非線性系統(tǒng)的有限時間量化控制.通過結(jié)合增加冪次積分法和共同Lyapunov函數(shù)法,嚴格反饋非線性切換系統(tǒng)[15]、高階切換系統(tǒng)[16]以及隨機切換系統(tǒng)[17]的有限時間控制問題已經(jīng)得到了解決.除此以外,借助有限時間濾波器,文獻[18–19]設(shè)計了基于命令濾波器的有限時間控制器,解決了“復(fù)雜性爆炸”問題.然而需要指出的是,有限時間控制的收斂時間依賴于初始狀態(tài).當(dāng)初始條件未知時,系統(tǒng)的收斂時間很難獲得.上述問題一定程度上限制了有限時間控制的應(yīng)用.為此,文獻[20]提出了改進的有限時間控制方法,即固定時間控制,從而保證收斂時間獨立于初始條件.在文獻[20]的基礎(chǔ)上,文獻[21–22]實現(xiàn)了單一非線性系統(tǒng)的固定時間量化控制.另外利用增加冪次積分法和共同Lyapunov函數(shù)法,高階切換系統(tǒng)[23]、隨機切換系統(tǒng)[24]以及時滯切換系統(tǒng)[25]的固定時間控制也同樣得到了解決.然而現(xiàn)階段關(guān)于切換系統(tǒng)的固定時間量化控制結(jié)論還相對較少,并且往往要求系統(tǒng)的量化器參數(shù)已知[21–22],保守性較大.另外需要指出的是,上述固定時間控制結(jié)論都是建立在系統(tǒng)的控制系數(shù)已知的前提下[21–25].當(dāng)控制系數(shù)未知時,系統(tǒng)的固定時間控制問題將變得更加困難.原因在于: 現(xiàn)階段處理未知控制系數(shù)的主要方法是Nussbaum函數(shù)法,然而此類方法只能保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,無法實現(xiàn)固定時間控制[26].如何在控制系數(shù)未知的前提下實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的固定時間控制仍是控制領(lǐng)域的一大難點.

基于以上分析,本文研究了帶有未知控制系數(shù)和量化輸入的不確定非線性切換系統(tǒng)的固定時間控制問題.利用增加冪次積分法和共同Lyapunov函數(shù)法,設(shè)計了切換類型的自適應(yīng)固定時間控制器,并給出了相應(yīng)的參數(shù)切換律,最終保證了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性.本文的主要創(chuàng)新點如下: 1)本文首次研究了不確定切換系統(tǒng)的固定時間量化控制問題.相較于現(xiàn)有文獻[21–22]里的單個非線性系統(tǒng),本文研究了一類結(jié)構(gòu)特性更加復(fù)雜的混雜系統(tǒng);2)與文獻[21–22]中的結(jié)論相比,本文不要求系統(tǒng)的量化器參數(shù)及其上下界已知.通過設(shè)計新穎的自適應(yīng)控制器可以有效補償未知量化器參數(shù),從而減小了所得結(jié)論的保守性;3)不同于文獻[21–25],本文允許系統(tǒng)的控制系數(shù)及其上下界未知.并且不同于傳統(tǒng)的Nussbaum函數(shù)方法,本文提出了一類切換類型的自適應(yīng)控制器來處理未知的控制系數(shù),并基于改進的固定時間控制理論設(shè)計了新穎的參數(shù)切換律,有效補償了未知的系統(tǒng)參數(shù),最終實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間收斂性.

2 問題描述及預(yù)備知識

考慮如下不確定非線性切換系統(tǒng):

其中:x=[x1···xn]T∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量;切換信號δ(t):[0,+∞)→?={1,2,···,K}表示未知的分段連續(xù)函數(shù);K表示子系統(tǒng)數(shù)量;對于任意的k∈?,bi,k(x,t)表示系統(tǒng)的未知的控制系數(shù);光滑函數(shù)fi,k(,θ)滿足fi,k(0,θ)=0,其中=[x1···xi]T,θ是未知的系統(tǒng)參數(shù);本文采用如下遲滯量化器建模量化輸入q(u)[7]:

其中:ui=σ1-iu0(i=1,2,···),u0>0決定了q(u)的死區(qū)范圍,0<σ<1表示量化密度的度量,δ=.在本文中量化參數(shù)u0和σ是未知的.根據(jù)文獻[14],量化輸入q(u)滿足以下關(guān)系:

注1在現(xiàn)有文獻[11–14,21–22]中,系統(tǒng)的量化器參數(shù)u0和σ往往是已知的.然而在實際工程應(yīng)用中,量化器參數(shù)信息有時候不可獲得[7].針對此類情況,本文去除了對量化器參數(shù)的限制條件,從而減小了系統(tǒng)的保守性.

注2相較于對數(shù)量化器,本文采用了遲滯量化器來避免抖振現(xiàn)象.如文獻[7]所示,當(dāng)u發(fā)生振蕩時,遲滯量化器的量化值q(u)是間接變化,這種間接變化為量化值提供了停留時間,從而避免了抖振現(xiàn)象.

本文的控制目標是設(shè)計一類自適應(yīng)控制器使得系統(tǒng)在任意切換信號作用下狀態(tài)x都可以在固定時間內(nèi)收斂到零點.為了實現(xiàn)控制目標,首先給出以下假設(shè)條件.

假設(shè)1對于任意k∈?,存在光滑函數(shù)ψi,k()≥0和未知常數(shù)θk>0使得系統(tǒng)函數(shù)fi,k(,θ)滿足

注3假設(shè)1是解決非線性系統(tǒng)自適應(yīng)控制問題的普遍條件[14].并且考慮到fi,k(i,θ)滿足fi,k(0,θ)=0,結(jié)合文獻[28]中引理2.2、引理2.5和泰勒展開式,同樣容易得到假設(shè)1.在現(xiàn)有關(guān)于非線性系統(tǒng)的固定時間控制的結(jié)論中[21–25],系統(tǒng)的控制系數(shù)bi,k或者其上下界往往要求已知.

注4作為處理未知控制系數(shù)的經(jīng)典方法,Nussbaum函數(shù)法只能保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近收斂性,無法實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的固定時間收斂性.因此在現(xiàn)有的關(guān)于非線性系統(tǒng)的固定時間控制文獻[21–25]往往要求系統(tǒng)的控制系數(shù)或者其上下界已知.在假設(shè)2中,本文放寬了控制系數(shù)的假設(shè)條件,研究了更一般非線性切換系統(tǒng)的固定時間控制問題.本文將設(shè)計一類切換類型的控制器實現(xiàn)對未知控制系數(shù)的補償,從而保證閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間收斂性.

引理2[24]對于任意xi ∈R和實數(shù)γ>0,以下不等式成立:

引理3[26]給定常數(shù)μ>0,ν>0 以及函數(shù)γ(x,y)>0,對于任意實數(shù)x和y以下不等式成立:

引理4[27]假定正定函數(shù)V(t)滿足以下條件:

其中:a>0,0<μ<1,ν>1以及μ+ν=2,則以下結(jié)論成立:

3 主要結(jié)論

3.1 控制器設(shè)計

本節(jié)將結(jié)合增加冪次積分法和共同Lyapunov函數(shù)法設(shè)計系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器.首先定義如下參數(shù):

并且引入如下虛擬控制器和坐標變換:

其中s是可調(diào)節(jié)的控制器參數(shù).

步驟1令.考慮如下共同Lyapunov候補函數(shù):

針對每一個子系統(tǒng)k,由式(1)和式(9)可得V1對時間的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)假設(shè)1可得

將式(13)–(14)代入式(12)可得

步驟i(i=2,···,n-1)選取如下共同Lyapunov候補函數(shù):

針對每一個子系統(tǒng)k,由式(17)可得Vi對時間的導(dǎo)數(shù)滿足

下面對式(18)右邊幾項進行估計.首先根據(jù)引理1和引理3可得

由假設(shè)1及式(9)可得

根據(jù)式(20),由引理3可得

其中:δik2≥0為未知常數(shù),?i,k2≥0為已知C1函數(shù).

類似的,利用引理1和引理3可以得到

其中:δik3≥0為未知常數(shù),?i,k3≥0為已知C1函數(shù).

將式(19)–(22)代入式(18)可得

將式(24)代入式(22)可得

步驟n選取如下共同Lyapunov候補函數(shù):

同步驟i類似,針對每一個子系統(tǒng)k,Vn對時間的導(dǎo)數(shù)滿足以下不等式:

設(shè)計系統(tǒng)的控制輸入u為

其中:sgn(·)為符號函數(shù),

將式(29)–(30)代入式(28)得到

3.2 切換律設(shè)計

在第3.1節(jié)設(shè)計了帶有可調(diào)參數(shù)s的控制器,在這一節(jié)將設(shè)計參數(shù)切換算法在線調(diào)節(jié)控制器參數(shù)s,從而實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定.

首先定義如下正定函數(shù):

驟1初始化: 令s=1,t1=0,選取合適的單調(diào)遞增函數(shù)h(s);

步驟2切換條件:對于t>ts,如果

則令ts+1=t,s →s+1.否則ts和s保持不變.跳到步驟3;

步驟3重復(fù)步驟2.

注5第3.1 節(jié)設(shè)計了帶有可調(diào)參數(shù)s的系統(tǒng)控制器.第3.2節(jié)基于固定時間穩(wěn)定性理論,設(shè)計了自適應(yīng)參數(shù)切換律,動態(tài)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)s,從而完成對未知參數(shù)bi,δ(t)(x,t)和θ的補償,實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間收斂性.

4 穩(wěn)定性分析

定理1考慮不確定非線性切換系統(tǒng)(1),在假設(shè)1–2條件下,可以設(shè)計自適應(yīng)控制器(29)和相應(yīng)的參數(shù)切換律使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的,并且系統(tǒng)狀態(tài)x可以固定時間內(nèi)收斂到零點.

證首先由第3.2節(jié)可得,在區(qū)間[ts,ts+1)不發(fā)生切換,且下式成立:

由式(36)可以看出x在區(qū)間[ts,ts+1)上是有界的.假定最后一次切換發(fā)生在t時.則對于t≥t,下式同樣成立:

即x在[t,+∞)上是有界的.因此x在[0,+∞)都是有界的.

因為?j0≥0,且?jk≥0,結(jié)合假設(shè)2和式(38)可得

對于t≥ts?,將式(39)–(41)代入式(31)可得

利用引理2可得

由式(45)–(46)可知

恒成立.對于t≥ts?,利用引理4,根據(jù)式(47)可以得到

根據(jù)式(48)可以看出切換條件(35)不再滿足,因此對于t≥ts?,s不會再發(fā)生切換.s:1-→s?經(jīng)歷了s?-1次切換,因此s的切換次數(shù)是有限的,不存在有限時間內(nèi)切換無數(shù)次的現(xiàn)象.

最后將證明系統(tǒng)狀態(tài)x可以在固定時間內(nèi)收斂到零點.一方面,假設(shè)存在

顯然存在矛盾.因此對于任意的

即x(t)≡0.考慮到x=0是系統(tǒng)的平衡點,可以推出x(ts+1)=0,則s在ts+1時刻不會發(fā)生切換,顯然矛盾,所以ts+1-ts≤?s.根據(jù)以上結(jié)論可以得到系統(tǒng)的收斂時間滿足

即閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性成立.證畢.

注6不同于現(xiàn)有結(jié)論,本文并沒有采用Nussbaum函數(shù)法處理未知的控制系數(shù).而是利用改進的固定時間控制理論,在第3.2節(jié)設(shè)計了一類基于狀態(tài)的參數(shù)調(diào)節(jié)律.并且如第4節(jié)所示,所提出的參數(shù)調(diào)節(jié)律有效補償了未知的系統(tǒng)參數(shù),進而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性.

5 仿真結(jié)果與分析

例1考慮如下非線性切換系統(tǒng):

在仿真實驗過程中,系統(tǒng)參數(shù)選取如下: 切換信號δ(t):[0,+∞)→?={1,2},其響應(yīng)曲線如圖1所示;系統(tǒng)的非線性函數(shù)f2,1=x2-x1-0.25,f2,2=-1.5x2|x2|;控制系數(shù)b1,1=1,b1,2=1,b2,1=0.25,b2,2=0.25;量化器參數(shù)σ=0.2,u0=0.02.

首先,當(dāng)系統(tǒng)的初始條件為x0=[x1(0)x2(0)]T=[5-5]T時,選取控制參數(shù)為:c1=2,c2=2,β0=1.2,分別選取h(s)為h(s)=0.2s和h(s)=0.4s,則仿真結(jié)果如圖2–4所示,其中圖2和3給出了系統(tǒng)狀態(tài)x的響應(yīng)曲線,圖4刻畫了控制器參數(shù)s的響應(yīng)曲線.在不同的控制參數(shù)下,系統(tǒng)狀態(tài)x都可以收斂到零點.結(jié)合圖2–4可以看出,不同的控制參數(shù)h(s)可以改變系統(tǒng)的收斂時間以及s的切換次數(shù).但根據(jù)第4節(jié)中結(jié)論:,由圖2–3可以看出收斂時間T0≤T,即固定時間穩(wěn)定性成立.

圖2 狀態(tài)變量x1的軌跡Fig.2 Trajectories of x1

圖3 狀態(tài)變量x2的軌跡Fig.3 Trajectories of x2

圖4 控制器參數(shù)s的軌跡Fig.4 Trajectories of controller parameter s

其次,選取不同的初始條件x0=[x1(0)x2(0)]T=[2-2]T,x0=[x1(0)x2(0)]T=[5-5]T以及x0=[x1(0)x2(0)]T=[6-60]T,在相同的控制器參數(shù)c1=2,c2=2,β0=1.2,h(s)=0.4s情況下,系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖5–6所示.由圖5–6可以看出,雖然不同初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線有所差別,但收斂時間幾乎相同,并沒有隨著初始條件的增大而增長,即收斂時間不依賴初始條件,上述仿真結(jié)果再一次驗證了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性.

圖5 狀態(tài)變量x1的軌跡Fig.5 Trajectories of x1

圖6 狀態(tài)變量x2的軌跡Fig.6 Trajectories of x2

6 結(jié)論

本文研究了具有未知控制系數(shù)和量化輸入信號的不確定非線性切換系統(tǒng)的全局固定時間控制問題.相較于現(xiàn)有結(jié)論,本文放寬了對控制系數(shù)和量化器參數(shù)的假設(shè)條件.不同于傳統(tǒng)的Nussbaum函數(shù)法,本文借助于增加冪次積分法和共同Lyapunov函數(shù),設(shè)計了切換類型的自適應(yīng)控制器.并基于改進的固定時間控制理論,提出了新穎的參數(shù)調(diào)節(jié)律,通過在線調(diào)節(jié)控制器參數(shù)有效補償了未知的系統(tǒng)參數(shù),從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性.所提供的仿真實驗驗證了所提算法的可行性.

需要指出的是本文未考慮外部噪聲情況.眾所周知,隨機非線性系統(tǒng)一直是控制領(lǐng)域的研究熱點,其控制問題吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.因此,未來筆者也將會著重研究非線性隨機切換系統(tǒng)的固定時間控制問題.