吳 涵 ,柴 利,田玉楚

(1.武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖北武漢 430080;2.浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院,浙江杭州 310027;3.昆士蘭科技大學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院,澳大利亞 昆士蘭州 布里斯班 4001)

1 引言

新能源發(fā)電的波動性、間歇性給智能電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行帶來了新的挑戰(zhàn)[1–3],而儲能電池能夠快速響應(yīng)提供或吸收有功功率,相較于傳統(tǒng)的大容量集中式儲能,分布式儲能系統(tǒng)可以實現(xiàn)靈活的即插即用,其功率的均衡分配是智能電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)高效運行的前提[4–6].

現(xiàn)有儲能電池功率分配大都是基于電池剩余電量(state-of-charge,SoC)一致、快速一致來設(shè)計的[7].Lu等[8]將自適應(yīng)下垂控制系數(shù)設(shè)計為SoC值n次方的反比,通過調(diào)節(jié)n實現(xiàn)SoC和功率的平衡.Cai和Hu[9]設(shè)計了平均估計器和能量協(xié)調(diào)控制算法估計電池組需要輸出的平均功率,對每個電池組的電流進(jìn)行控制來實現(xiàn)輸出功率的跟蹤和SoC 平衡.Huang和Qahouq[10]對連接儲能電池和母線電壓的轉(zhuǎn)換器進(jìn)行分布式控制,同時實現(xiàn)了SoC平衡和電壓穩(wěn)定.Morstyn等[11]提出了基于非線性滑模控制的分布式同步控制算法,實現(xiàn)了SoC快速同步.

由于SoC變化率與功率大小成正比,當(dāng)電池SoC初始值偏差較大時,基于SoC快速一致的功率分配方案會引起部分電池過分出力,輕則減少電池壽命,重則損壞電池甚至造成安全事故.于是,文獻(xiàn)[12]提出一種基于相同相對SoC變化率的連續(xù)時間功率分配控制方案,使所有電池SoC值保持相同的相對變化率,從而在充滿電或者放完電時同時達(dá)到SoC一致,避免出現(xiàn)某些電池過分出力的情況.注意到,當(dāng)時間趨于無窮時,文獻(xiàn)[12]對集總變量平均值的估計值與實際值之間存在靜態(tài)誤差.另外,在實際控制系統(tǒng)中,連續(xù)信號需要被采樣為離散信號以用于數(shù)字計算設(shè)備的處理.因此,還需要在離散時間下進(jìn)一步開發(fā)新的分布式控制方法,提高平均一致估計算法的精度,從而更好的實現(xiàn)基于相同相對SoC變化率的功率分配.

關(guān)于分布式平均一致的研究已經(jīng)比較成熟[13–14].Xiao和Boyd[15]將快速平均一致問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)權(quán)重設(shè)計問題,得到了最優(yōu)的收斂率.Aysal等[16]根據(jù)原始狀態(tài)和預(yù)測狀態(tài)值進(jìn)行迭代更新,加快了分布式平均一致算法的收斂.文獻(xiàn)[17–18]基于圖濾波器設(shè)計得到有限時間實現(xiàn)平均一致的近似算法.Yi等[19]直觀地揭示了一致性協(xié)議和圖濾波的本質(zhì)聯(lián)系,建立了一致性協(xié)議及其收斂率與圖濾波多項式設(shè)計的直接顯式關(guān)系,給出了具有時變控制參數(shù)及周期時變控制參數(shù)的平均一致的充要條件,以及收斂率的精確表達(dá)式.

根據(jù)以上分析,本文設(shè)計了基于快速平均一致算法和多采樣率的分布式功率分配控制方法,在電池單個控制周期內(nèi),設(shè)計參數(shù)時變的平均一致估計算法,快速精確地得到功率分配值,更精準(zhǔn)的實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的功率分配.本文主要貢獻(xiàn)如下:

1)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時,采用線性有限時間平均一致算法,其收斂時間與初始狀態(tài)無關(guān),只與拉普拉斯矩陣的非零非重特征根個數(shù)和算法采樣時間有關(guān),在有限時間內(nèi)得到了準(zhǔn)確的功率分配值,實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的功率分配;

2)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,采用具有最優(yōu)收斂率的平均一致算法,根據(jù)拉普拉斯矩陣非零特征根上下界設(shè)計周期時變的控制參數(shù),快速得到了比時不變控制、單周期控制和基于等分點的多周期時變控制更精確的功率分配值,實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的精準(zhǔn)功率分配;

3)不僅加速了單個控制周期內(nèi)快速平均一致算法的收斂率,而且給出了包含儲能電池動力學(xué)和平均一致算法的整個控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析.

2 模型建立與問題描述

考慮一個由n個儲能電池構(gòu)成的分布式儲能系統(tǒng)(distributed energy storage system,DESS),每個儲能電池的動力學(xué)模型為

其中:i=1,2,···,n,SoCi(t)為電池i在t時刻的電量狀態(tài),Qi為電池i的容量,ρi為電池i的庫侖效率,Pi(t)為電池i的輸出功率(Pi(t)>0)或輸入功率(Pi(t)<0),Vi為電池i的端電壓.令電池控制周期為T,將式(1)離散化可得

其中:k=0,1,···,SoCi(kT)和Pi(kT)分別為第k個控制時刻電池i的SoC和輸出功率(或輸入功率).

本文的控制目標(biāo)是利用分布式控制方法,實現(xiàn)各儲能電池功率的快速精準(zhǔn)分配,保證供需平衡的同時,使得各電池以相同相對SoC變化率進(jìn)行充放電.主要問題描述如下.

問題1假設(shè)總的發(fā)電量和需求量之間的不平衡功率為P,每個儲能電池的輸出功率或輸入功率Pi(kT)需要滿足以下兩個條件:

2)每個電池以相同的相對SoC變化率進(jìn)行充放電.

針對問題1,文獻(xiàn)[20]提出了基于多采樣率的分布式控制策略.為方便說明,首先給出各電池功率,以及相關(guān)變量定義.電池i的功率為

充電情況下的相對SoC變化率為

為避免用到式(3)中全局平均值,文獻(xiàn)[20]采用分布式平均一致算法得到了全局平均值的估計值.注意到估計值的精度將直接影響到功率分配方案的實現(xiàn).為了更快速地實現(xiàn)精準(zhǔn)功率分配,本文進(jìn)一步提出快速平均一致算法與多采樣率相結(jié)合的控制方法.

用一個無向連通圖G表示n個儲能電池的通信拓?fù)?鄰接矩陣A=[aij]∈Rn×n(i,j=1,2,···,n),其中aii=0,aij=1 表示電池i和j能夠互相傳遞信息,否則aij=0.度矩陣D=[dii]∈Rn×n,其中dii=拉普拉斯矩陣為L=D-A,其特征根表示為0=λ1<λ2≤···≤λn.

其中:i=1,2,···,n,k′=0,1,···,m-1,β(k′)為時變參數(shù),(kT+(k′+1)Te)是電池i對(kT)的估計值.T=(m+1)Te,Te為平均一致算法采樣周期.當(dāng)k′=0時,(kT+k′Te)=xi(kT),(kT+k′Te)=xj(kT).

注意到,算法(4)在經(jīng)過m次迭代后得到(kT)的估計值i(kT+mTe).式(1)中各電池功率分配值Pi(t)可表示為

因此,式(2)可轉(zhuǎn)化為

綜上所述,問題1進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為問題2.

問題2設(shè)計公式(4)中平均一致算法的時變參數(shù)β(k′),快速得到(kT)的精確估計值,從而實現(xiàn)功率的精準(zhǔn)分配,使得下面的等式成立:

1)t ∈[kT+mTe,(k+1)T+mTe)時,

3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時有限時間分布式功率分配

首先給出通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時,一階線性多智能體系統(tǒng)有限時間達(dá)到平均一致的結(jié)果.

引理1[19]對一個包含n個智能體的無向連通圖G,假設(shè)其拉普拉斯矩陣有m個非零非重特征根λpk′(k′=0,1,···,m-1).智能體i的動力學(xué)為

其中:zi(k)為智能體i在k時刻的狀態(tài),控制輸入

將引理1中的方法應(yīng)用到(4)中的平均一致算法,定理1將給出有限時間實現(xiàn)基于相同相對SoC變化率功率分配的具體分析和證明.

定理1對一個包含n個電池的DESS,通信拓?fù)溆脽o向連通圖G表示.假設(shè)其拉普拉斯矩陣的非零非重特征根為λpk′(k′=0,1,···,m-1).令算法(4)中時變控制參數(shù),每個電池功率如式(5)所示.當(dāng)t≥mTe時,在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的功率分配.

將式(9)兩邊同時乘以QiVi/ρi可進(jìn)一步變換得到

由式(3)(10)可得

因此,在mTe時刻可以得到T時刻的準(zhǔn)確功率分配值Pi(T).將(mTe)代入公式(2)依次迭代可得

上述分析表明,在mTe時刻得到(0)的準(zhǔn)確估計值后,Pi(kT)(k=1,2,···)的值就可以計算出來,即Pi(kT)=Pi(mTe).

此時,各電池功率值可具體表示為

將式(11)代入式(2)–(3)可以得到

因此,t≥mTe時,問題2中條件1)和2)成立.證畢.

4 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時的快速分布式功率分配

當(dāng)通信拓?fù)湮粗獣r,無法得到拉普拉斯矩陣的特征根,然而已有文獻(xiàn)提供了確定非零特征根上下界的方法[22].假設(shè)非零特征根滿足λi ∈[a,b],引理2給出了基于最優(yōu)多周期時變控制的快速平均一致算法.

引理2[19]對一個包含n個智能體的無向連通圖G,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知,鄰接矩陣A表示電池間的通信關(guān)系,智能體i的動力學(xué)模型為

其中:zi(k)為智能體i在k時刻的狀態(tài),控制輸入

接下來進(jìn)一步給出采用快速平均一致算法時,基于多采樣率的快速精準(zhǔn)功率分配及穩(wěn)定性分析.

定理2對一個包含n個電池的DESS,通信拓?fù)銰未知,其拉普拉斯矩陣L非零特征根的上下界為λi ∈[a,b].令算法(4)中β(jM+k′)=1/rk′,其中:k′=0,1,···,M-1,j=0,1,···,c-1.令m=cM,T=(m+1)Te,各電池輸出功率或輸入功率分配如式(5)所示,那么

1)對固定的k,在電池控制時刻kT和(k+1)T之間,估計誤差與初始誤差的關(guān)系為

其中:k=0,1,···,c為正整數(shù),c≥2;

證由引理2可知,在電池單個控制周期內(nèi),平均一致算法收斂率ρM≤γM<1.算法(4)中的控制參數(shù)采用多周期時變控制序列時,在固定的采樣時刻k,對(kT)的估計誤差與初始誤差關(guān)系可以表示為‖e(kT+mTe)‖2≤‖e(kT)‖2.

因此,在kT和(k+1)T之間,估計誤差是遞減的.接下來還需要證明,在電池每個采樣時刻,集總參數(shù)xi(kT)與其全局平均值(kT)的誤差ei(kT)也是遞減的,從而說明整個控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

以放電情況為例,將式(6)代入式(7)可得

兩邊同時乘以QiVi/ρi,進(jìn)一步得到

在放電和充電情況下,xi(kT)是遞減的,根據(jù)式(13)可知

于是,當(dāng)t →∞時,放電情況和充電情況分別有

滿足問題2中的條件1)–2).證畢.

注1拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,如果依次取M個點將非零特征根上下界區(qū)間進(jìn)行等分,即

對式(4)中的平均一致算法,若采用時不變控制,當(dāng)β=(a+b)/2 時,收斂率最快,為ρ=(b-a)/(b+a)[21].而采用最優(yōu)多周期時變控制時,收斂率γM<(b-a)/(b+a).c=1時為單周期控制,估計誤差收斂率為γM;c≥2時為多周期控制,收斂率為.由于γM<1,<γM.另外,文獻(xiàn)[19]表明,根據(jù)特征根區(qū)間等分點倒數(shù)設(shè)計時變控制參數(shù)時,收斂率γM?>γM.因此,采用最優(yōu)多周期時變控制序列的平均一致算法,能更快的得到比時不變控制、單周期控制和基于等分點的多周期時變控制更精確的估計值,從而得到精確的功率分配值,更精準(zhǔn)的實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的功率分配.

注2對一個包含n個節(jié)點的無向連通圖,其拉普拉斯矩陣非零特征根上下界滿足2/n≤λi≤n(i=2,···,n)[22].拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,定理2僅需用到節(jié)點個數(shù)信息得到拉普拉斯矩陣非零特征根的上下界,再根據(jù)上下界來設(shè)計快速平均一致性協(xié)議的時變參數(shù),給出了基于快速平均一致算法和多采樣率的功率分配控制方法.因此,節(jié)點個數(shù)一定時,在保證無向網(wǎng)絡(luò)連通的前提下,所提方法適用于任一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

5 仿真實驗與分析

假設(shè)DESS由8個儲能電池組成,參數(shù)設(shè)置如表1所示.本節(jié)將針對放電和充電兩種工作模式來驗證本文所給出的控制方法和主要結(jié)果.情況1為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時,采用時變控制的有限時間功率分配結(jié)果,用于驗證定理1.情況2為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,采用最優(yōu)多周期時變控制時的功率分配結(jié)果,用于驗證定理2.情況3為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,基于等分點的多周期時變控制結(jié)果,用于與情況2作對比.

情況1當(dāng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時,假設(shè)8個儲能電池的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為一條無向路徑.按照定理1設(shè)置控制參數(shù),將控制參數(shù)設(shè)計為拉普拉斯矩陣非零非重特征根倒數(shù)由小到大組成的序列.放電和充電下的仿真結(jié)果分別如圖1和圖2所示.

圖1 放電情況: 采用定理1中時變控制方法的仿真結(jié)果(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知)Fig 1 Discharging case: Simulation results with the timevarying method proposed in Theorem 1 (topology is known)

圖2 充電情況: 采用定理1中時變控制方法的仿真結(jié)果(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知)Fig 2 Charging case: Simulation results with the time-varying method proposed in Theorem 1(topology is known)

圖1(a)和圖2(a)表明,在t=mTe=2.8 s 時得到d(0)和c(0)的準(zhǔn)確估計值,di(2.8)=dj(2.8)=d(0),ci(2.8)=cj(2.8)=c(0).圖1(b)和圖2(b)分別給出了各儲能電池輸出功率和輸入功率.如圖1(c)和圖2(c)所示,在放完電或者充滿電時同時達(dá)到SoC一致,并且各儲能電池具有相同的相對SoC變化率(如圖1(d)和圖2(d)所示).

情況2拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,假設(shè)λi ∈[0.25,8],采用最優(yōu)多周期控制方法來估計全局平均值,控制參數(shù)根據(jù)定理2進(jìn)行設(shè)計,放電和充電下的仿真結(jié)果分別如圖3和圖4所示.

圖3 放電情況: 采用定理2中最優(yōu)多周期時變控制方法的仿真結(jié)果(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知)Fig 3 Discharging case:Simulation results with the optimal multi-periodic time-varying method proposed in Theorem 2(topology is unknown)

圖4 充電情況: 采用定理2中最優(yōu)多周期時變控制方法的仿真結(jié)果(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知)Fig 4 Charging case: Simulation results with the optimal multi-periodic time-varying method proposed in Theorem 2(topology is unknown)

情況3拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,采用基于等分點的多周期控制方法來估計全局平均值,放電情況下的仿真結(jié)果分別如圖5所示.

圖5 放電情況: 采用基于等分點的多周期時變控制方法的仿真結(jié)果(拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知)Fig 5 Discharging case: Simulation results with the multiperiodic time-varying method based on points in[a,b]with equal distance(topology is unknown)

由于平均一致算法的時變參數(shù)僅用到非零特征根上下界的信息,而非零特征根上下界僅和節(jié)點數(shù)有關(guān),因此,在節(jié)點個數(shù)不變且網(wǎng)絡(luò)連通的情況下,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化不會影響仿真結(jié)果.仿真時情況2和情況3中各電池的通信拓?fù)渑c情況1相同,為一條無向路徑.

與圖5(a)相比,圖3(a)中的估計值更快趨近于實際值.圖3(b)中各電池功率在初始波動階段比圖5(b)中功率更加穩(wěn)定.圖3(c)中不平衡功率與電池總功率比值在初始波動階段比圖5(c)更穩(wěn)定.圖3(d)中各電池相對SoC變化率在20 s時的偏差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圖5(d)分別在40 s時的偏差.結(jié)果表明,與采用基于等分點的多周期時變控制相比,最優(yōu)多周期時變控制能更快更精準(zhǔn)的實現(xiàn)功率分配策略.

6 結(jié)論

本文針對具有連續(xù)時間動力學(xué)模型的儲能系統(tǒng),提出了基于快速平均一致和多采樣率的離散時間控制策略,實現(xiàn)了快速精準(zhǔn)功率分配.不同于傳統(tǒng)連續(xù)時間控制方法僅分析了平均一致算法的收斂性,沒有考慮包含儲能電池動力學(xué)和平均一致算法的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,本文不僅建立了估計誤差的精確表達(dá)式,而且給出了整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.在電池單個控制周期內(nèi),平均一致算法快速精確的估計出計算功率分配值需要的全局平均值.儲能電池拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已知時,在有限時間內(nèi)得到了準(zhǔn)確的功率分配值;拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知時,以更快的收斂率實現(xiàn)了比時不變控制、單周期控制和基于等分點的多周期控制更精確的功率分配.理論分析表明,所提方法實現(xiàn)了基于相同相對SoC變化率的快速精準(zhǔn)功率分配.最后,通過仿真實驗驗證了所提控制策略的優(yōu)越性.