王國(guó)慶,姚鳳麒

(安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,安徽馬鞍山 243032)

1 引言

眾所周知,隨機(jī)擾動(dòng)和時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于實(shí)際工程系統(tǒng)中,包括隨機(jī)時(shí)滯微分系統(tǒng)在內(nèi)的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)在電力系統(tǒng)分析以及控制工程領(lǐng)域中有著非常深刻的影響[1].因此,近年來該系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究引起了眾多研究者的關(guān)注,并在此趨勢(shì)下誕生了一系列新的研究成果[2–5].另一方面,脈沖效應(yīng)也是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的干擾因素之一,它會(huì)使系統(tǒng)狀態(tài)在某一時(shí)刻突然變化或者重置.脈沖可分為3種類型,分別為輸入干擾型脈沖、中立型脈沖和穩(wěn)定型脈沖[6].

脈沖與時(shí)滯的引入將使隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的研究更加復(fù)雜.最近,在對(duì)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究方面有許多新的進(jìn)展[7–14].在這些文章中,研究者們都利用了Lyapunov-Like函數(shù)法與It?公式相結(jié)合,求解李亞普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定的研究.在這其中,文獻(xiàn)[7–9]應(yīng)用Razumikhin技巧建立了脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定的條件,其優(yōu)點(diǎn)是不要求Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)定,減少了一些保守性.參考文獻(xiàn)[10,13]主要是對(duì)具有無限時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究.Yao等人[11]利用比較原理得到了脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性定理.在參考文獻(xiàn)[15]中作者提出了平均脈沖區(qū)間的概念,其允許脈沖發(fā)生的頻率在不同區(qū)間內(nèi)是不同的.顯然,這個(gè)概念在描述非均勻分布脈沖的頻率方面具有優(yōu)勢(shì).基于這一優(yōu)勢(shì),該條件從提出起就受到了許多研究人員的廣泛關(guān)注[9–12,16–18].

然而,上述這些研究主要是討論隨機(jī)脈沖泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定,而很少有對(duì)該系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定進(jìn)行研究.有限時(shí)間穩(wěn)定的概念是由俄羅斯研究者Kamenkov[19]在大約70年前首次提出的,并且在20世紀(jì)60年代和70 年代也有少量提及[20].有限時(shí)間穩(wěn)定不同于Lyapunov穩(wěn)定,它要求系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)固定的范圍.近年來,各種類型系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定理論得到廣泛研究,如非線性系統(tǒng)[2,21–22]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]、隨機(jī)系統(tǒng)[17,23]等.Weiss 和Infante在文獻(xiàn)[24]中基于有限時(shí)間穩(wěn)定提出了有限時(shí)間漸近穩(wěn)定這一新概念,其要求系統(tǒng)的狀態(tài)在滿足有限時(shí)間穩(wěn)定的前提下收斂到一個(gè)小于初始值的閾值內(nèi).隨著兩個(gè)概念的提出,研究者們?cè)谶@一方向上進(jìn)行了更深入的研究與拓展.在文獻(xiàn)[25]中,作者利用Lyapunov-Razumikhin法建立了時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定以及有限時(shí)間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準(zhǔn)則,并將結(jié)論應(yīng)用于一類線性時(shí)變系統(tǒng).而含有脈沖的隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題一直是研究的熱門話題之一[26–28].文獻(xiàn)[18]利用平均脈沖區(qū)間條件和多重Lyapunov-like函數(shù)建立了非線性脈沖隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的均方有限時(shí)間穩(wěn)定.但很少有研究者提及如何建立脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間漸近穩(wěn)定這類問題,這促使本文接下來的工作.

本文將利用Lyapunov-Razumikhin法和平均駐留時(shí)間的概念研究具有有界時(shí)滯的脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間漸近穩(wěn)定問題.文章的結(jié)構(gòu)如下: 首先,第2節(jié)將介紹相關(guān)系統(tǒng)的概念,符號(hào)的含義和定理中將使用的基本定義;第3節(jié)將介紹主要結(jié)論及其證明過程;在第4節(jié)中,將給出具體數(shù)值的例子來驗(yàn)證本文的結(jié)論;最后,第5節(jié)會(huì)對(duì)文章進(jìn)行總結(jié).

2 準(zhǔn)備知識(shí)

在本文中除非另有說明,否則將采用以下符號(hào).令(?,F,{Ft}t≥0,P)為完備概率空間,{Ft}t≥0滿足右連續(xù)并且F0包含所有P的空集.令w(t)=(w1(t)···wm(t))T是定義在概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的m維布朗運(yùn)動(dòng).E[·]是關(guān)于概率測(cè)度的期望算子.R,R+,N分別代表實(shí)數(shù)、非負(fù)實(shí)數(shù)和正整數(shù).Rn記為歐幾里得范數(shù)|·|的n維實(shí)數(shù)空間.Rn×m是n×m實(shí)矩陣.對(duì)于τ>0,用C1,2([t0-τ,+∞)×Rn,R+)表示定義在[t0-τ,+∞)×Rn上所有非負(fù)實(shí)值函數(shù)V(t,x)的族,其對(duì)t有一次偏導(dǎo),對(duì)x有二次偏導(dǎo).若a,b為常數(shù),則a∨b=max{a,b};a∧b=min{a,b};mod(a,b)表示a除以b取余.若A是一個(gè)向量或矩陣,則AT表示其轉(zhuǎn)置.

若τ>0,PC([-τ,0];Rn)={φ: [-τ,0]→Rn|φ(t),在[-τ,0]上所有但至多有限個(gè)點(diǎn)存在φ(t-)且φ(t-)=φ(t)},式中φ(t-),φ(t+)分別表示函數(shù)φ(t)在t處的左右極限.另外其范數(shù)定義為‖φ‖τ=

定義1如果存在正常數(shù)T,c1,c2滿足c1

則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時(shí)間穩(wěn)定.

定義2如果存在正常數(shù)T,c1,c2,η,σ滿足η

則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.

注1相較于文獻(xiàn)[21–22,25,27]的有限時(shí)間穩(wěn)定分析,本文綜合考慮了脈沖、時(shí)滯以及隨機(jī)噪聲的影響,使得所研究的系統(tǒng)(1)更具有一般性.

注2區(qū)別于Lyapunov穩(wěn)定,滿足有限時(shí)間穩(wěn)定的系統(tǒng)可能不會(huì)滿足Lyapunov穩(wěn)定,反之亦然.定義1描述了一個(gè)系統(tǒng)從給定的初始狀態(tài)開始運(yùn)動(dòng),并且其狀態(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)不超過指定的閾值.有限時(shí)間漸近穩(wěn)定在滿足有限時(shí)間穩(wěn)定的前提下,還需要在到達(dá)終止時(shí)刻之前將狀態(tài)變量收縮到小于初始狀態(tài)的范圍內(nèi).

3 主要結(jié)果

在本節(jié)中,將利用Lyapunov-Razumikhin法建立脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準(zhǔn)則.

定理1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β為正常數(shù),γ ∈R,其中η

則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.

注3與文獻(xiàn)[17]相比,本文綜合考慮了鎮(zhèn)定型與反鎮(zhèn)定型兩種脈沖對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響.

證令x(t;t0,?)表示系統(tǒng)(1)在(t0,?)處的解,簡(jiǎn)寫為x(t;t0,?)=x(t).令V(t,x)=V(t),且

EV(t)在t ∈[t0,T]內(nèi)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).首先對(duì)于?t ∈[tl,tl+1),l=0,1,···,需驗(yàn)證

在區(qū)間t ∈[t0-τ,T]內(nèi)定義

其中ε是足夠小的正數(shù).因此,證明式(2)只需證明

下面,將使用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)式(3)進(jìn)行證明.

步驟1首先將證明式(3)在t ∈[t0,t1)時(shí)成立.若t ∈[t0,t1)時(shí),由于N(t,t0)=0,式(3)可以寫成

由?ε(t)的定義有

如果式(4)不成立,則存在t ∈[t0,t1)使得

定義t?=inf{t∈[t0,t1):?ε(t)>EV0}.由函數(shù)連續(xù)性可以看出

結(jié)合式(5)–(6)得出

然后對(duì)于?s ∈[-τ,0],有

結(jié)合條件ii)可知ELV(t?)<Γ(t?)EV(t?).由It?公式得到

這與式(7)相矛盾,因此式(3)在t ∈[t0,t1)內(nèi)成立.

步驟2假設(shè)式(3)在t ∈[tl,tl+1),l=1,2,···,k-1內(nèi)成立,然后需要證明式(3)在l=k時(shí)成立,即

結(jié)合條件iii),有

由反證法,如果式(8)不成立,則存在t ∈[tk,tk+1)內(nèi)使得

通過式(9)–(10)得到

上式等價(jià)于

情形1+s≥t0,則式(12)可以寫成

考慮脈沖序列{tk}k∈N的平均脈沖間隔等于Ta,得到

因此,對(duì)于?β>0,由式(14)–(15)可得

將式(16)代入到式(13)得到

情形2t0-τ≤+s≤t0.式(12)可以寫成

與式(16)類似的,可以得到

將式(19)代入式(18)得出

結(jié)合式(17)(20),并且令ε→0,則有

利用條件ii)有

這與式(11)相矛盾.因此式(8)成立.即式(3)在t ∈[tk,tk+1)時(shí)都成立.通過數(shù)學(xué)歸納,式(3)在t∈[t0,T]上成立.所以式(2)成立.

由條件i)可知

因此,如果E‖?‖p

再由平均脈沖區(qū)間的概念可知,如果β<1,有

由式(22)–(24)和條件v),得到

因此,系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時(shí)間穩(wěn)定.根據(jù)式(22),條件vi)和條件vii)推導(dǎo)出:如果β<1,則

如果β≥1,則

由式(26)–(27)表明

因此系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,T,σ)的p階矩有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.證畢.

注4定理1中的條件ii)是Razumikhin型條件.條件iii)中利用函數(shù)ψ(t,s)處理時(shí)滯的影響.Γ(·):R+→R的取值范圍表明Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)˙V并非必須滿足負(fù)定或半負(fù)定.對(duì)比文獻(xiàn)[27]定理1的條件ii)要求D+V(t,x(t))<0,本文結(jié)論更具一般性.此外,結(jié)合本文定理1的條件iv)和條件v),若α1c2>α2c1,即在[t0,T]內(nèi)可能存在某些時(shí)刻使得Γ(·)>0;而條件vi)和條件vii)表明在[T-σ,T]內(nèi)必須有Γ(·)<0成立,從而保證系統(tǒng)的有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.

注5定理1中,當(dāng)脈沖強(qiáng)度β<1時(shí),其對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有鎮(zhèn)定作用,此時(shí)平均脈沖區(qū)間Ta內(nèi)發(fā)生的脈沖次數(shù)越多,越利于系統(tǒng)穩(wěn)定.而脈沖強(qiáng)度β>1對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有反鎮(zhèn)定作用.其對(duì)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的影響較小.但對(duì)于有限時(shí)間漸近穩(wěn)定而言,脈沖強(qiáng)度越大會(huì)使條件ii)中構(gòu)造的函數(shù)ψ(·)的保守性越高.另外從ψ(t,s)的表達(dá)式可知,β取值應(yīng)接近于1,以保證系統(tǒng)連續(xù)部分增長(zhǎng)不會(huì)太快.

當(dāng)系統(tǒng)(1)是不考慮脈沖影響的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)

參照定理1的證明過程,下面將直接給出該系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的結(jié)論.

推論1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β為正常數(shù),γ ∈R,其中η

則稱系統(tǒng)(28)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時(shí)間穩(wěn)定.此外,如果存在常數(shù)<0使得

則稱系統(tǒng)(28)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.

4 數(shù)值例子

例1考慮如下一個(gè)具有鎮(zhèn)定型脈沖的隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng):

構(gòu)建的脈沖區(qū)間如圖1所示,其中:Ta=0.4,?=0.2,N0=3.取函數(shù)V(t,x)=x2,α1=α2=1,并且Γ(t)=-0.02tcost2-5 cost2+0.013.由系統(tǒng)(29)的第2個(gè)等式可知β=0.81.因此

假設(shè)只考慮系統(tǒng)(29)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的有限時(shí)間穩(wěn)定,通過計(jì)算得到

即有EV(t+s)≤0.164EV(t).由It?公式可得

推導(dǎo)可得,t ∈[0,π]時(shí)

令c1=1,結(jié)合定理1的條件v)可知

則系統(tǒng)(29)是關(guān)于(1,1.88,π)的均方有限時(shí)間穩(wěn)定.取σ=0.5,則有

由定理1的條件vii)得

則系統(tǒng)(29)是關(guān)于(1,1.88,0.12,0.5,π)的均方有限時(shí)間漸近穩(wěn)定.系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖2所示.

圖2 例1系統(tǒng)均方狀態(tài)軌跡Fig.2 The mean square state trajectory of Example 1

注6由文獻(xiàn)[9–10,27]的數(shù)值例子可見,如何構(gòu)造輔助函數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵.相較于文獻(xiàn)[27]例1中直接令其為H(t)=1,本文例1中先假設(shè)出Γ(t)的最大值求解出式(31)的下確界,再通過It?公式以及不等式的放縮估算Γ(t).此方法雖有改進(jìn)但同樣存在一定保守性.

例2考慮如下一個(gè)具有反鎮(zhèn)定型脈沖的隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng):

其中τ(t)=1-e-t.脈沖信號(hào)滿足式(30).令Ta=?=0.5,即tk-tk-1=0.5.取V(t,x)=x2,α1=α2=1,且顯然β=1.21.通過定理1以及仿照例1的證明可以得出E|x(t)|2<14,t ∈[0,3].再根據(jù)有限時(shí)間漸近穩(wěn)定的條件得到當(dāng)σ=1.5 時(shí),即t ∈[1.5,3],E|x(t)|2<6.系統(tǒng)在t ∈[0,3]內(nèi)的均方狀態(tài)軌跡如圖3所示.圖4是t ∈[0,10]內(nèi)系統(tǒng)的均方狀態(tài)軌跡表明系統(tǒng)(32)是有限時(shí)間穩(wěn)定以及有限時(shí)間漸近穩(wěn)定的,但不滿足Lyapunov穩(wěn)定.

圖3 例2系統(tǒng)t ∈[0,3]均方狀態(tài)軌跡Fig.3 The mean square state trajectory on t ∈[0,3]of Example 2

圖4 例2系統(tǒng)t ∈[0,10]均方狀態(tài)軌跡Fig.4 The mean square state trajectory on t ∈[0,10]of Example 2

5 結(jié)論

本文研究了脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的p階矩有限時(shí)間穩(wěn)定以及有限時(shí)間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準(zhǔn)則.本文的重點(diǎn)是對(duì)時(shí)滯項(xiàng)的處理,即利用Razumikhin型條件,引入輔助函數(shù)來處理時(shí)滯的影響.通過脈沖控制和平均停留時(shí)間方法得到該系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并通過數(shù)值例子證明了結(jié)論的有效性.由于本文研究的系統(tǒng)時(shí)滯是有界的.因此接下來的研究方向可以是討論具有無窮時(shí)滯的脈沖隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定及其漸近穩(wěn)定問題.另一方面,本文研究的是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,對(duì)于研究結(jié)果也可以應(yīng)用于線性系統(tǒng).