孟繁喆

（柳州長虹航天技術有限公司， 廣西 柳州 545002）

0 引言

經(jīng)濟型數(shù)控機床已廣泛應用于汽車、石油、軍工等機械加工行業(yè)，。此類機床機床結(jié)構(gòu)成熟，但功能簡單、性能較差，使得加工零件的圓輪廓精度無法保證[1]。 而圓輪廓誤差的控制及補償是保證零件圓輪廓精度的關鍵[2]。 因此， 經(jīng)濟型數(shù)控機床圓輪廓誤差補償方法的研究對提高其圓輪廓加工精度具有重要意義。

數(shù)控加工過程中， 產(chǎn)生圓輪廓誤差的主要原因有機械結(jié)構(gòu)誤差、負載擾動以及伺服增益不匹配等[3-4]。基于上述原因，國內(nèi)外學者提出多種圓輪廓誤差補償策略，可概括為如下三類：第一類，Koren[5]提出的交叉耦合控制器，可借由各軸間的影響來相互補償直接減小圓輪廓誤差，但控制器設計復雜，輪廓誤差計算量大，導致系統(tǒng)響應速度慢；第二類，Tomizuka[6]提出的ZPETC 算法，通過降低跟蹤誤差進而間接減少圓輪廓誤差，但由于死區(qū)、摩擦力、定位力等的干擾， 使得此類開環(huán)控制方法不能有效地改善系統(tǒng)的圓輪廓誤差[7]；第三類，通過調(diào)整各軸的伺服增益參數(shù)來優(yōu)化其動態(tài)特性，進而降低圓輪廓誤差。 如張彥方等[8]通過匹配雙軸伺服系統(tǒng)增益抑制系統(tǒng)出現(xiàn)的動蕩和抖動，進而降低圓輪廓誤差；孫建仁等[9]通過理論推導，得出高的伺服增益或使兩軸伺服增益盡可能相等對降低圓輪廓誤差十分有用。 第三類方法較前兩類方法有簡單、穩(wěn)定且易于實現(xiàn)等特點， 很適用于經(jīng)濟型數(shù)控機床的圓輪廓誤差控制。

此外，由于經(jīng)濟型數(shù)控機床多以絲杠為傳動件，而絲杠存在反向間隙誤差會影響圓輪廓誤差[10]。 因此，在優(yōu)化伺服增益的基礎上推導反向間隙誤差對圓輪廓誤差的影響機理， 并提出基于伺服增益優(yōu)化及反向間隙補償?shù)慕?jīng)濟型數(shù)控機床圓輪廓誤差補償方法。 在VMC850 數(shù)控機床X-Y 進給系統(tǒng)上驗證該方法的有效性和可行性。

1 伺服增益不匹配產(chǎn)生的圓輪廓誤差

XY 兩軸在實際加工過程中圓輪廓誤差如圖1 所示，其中A、A' 分別為半徑R 圓弧輪廓某時刻理論位置點與實際位置點，ΔR 為實際位置點A' 半徑誤差量； 當前X軸、Y 軸運動速度分量分 別 為Vx、Vy，Ex，Ey，跟隨誤差分別為Ex、Ey，角度α 為過圓心O 與理想位置點A 連線和X軸之間夾角。

圖1 圓輪廓誤差模型圖

由圖1 中幾何關系分析得：

式中：Kx、Ky分別為X 軸、Y 軸伺服系統(tǒng)增益。 由于ΔR 為無窮小量，忽略ΔR2，則：

式（2）說明伺服系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時伺服增益與輪廓誤差的關系，由公式可知，當Kx、Ky增益同時減小時，輪廓誤差也會減小。此外，在實際輪廓加工運動控制過程中伺服系統(tǒng)動態(tài)特性對圓輪廓誤差的影響也不可忽視。

為研究伺服系統(tǒng)動態(tài)特性對圓輪廓誤差的影響，設Kx、Ky分別為X 軸、Y 軸伺服系統(tǒng)閉環(huán)增益，Tx、Ty分別為X 軸、Y 軸時間常數(shù)，K 為系統(tǒng)閉環(huán)增益，T 為系統(tǒng)時間常數(shù)。 則X、Y 兩軸聯(lián)動系統(tǒng)運動方程為：

式中：Xc（t）、Yc（t）—t 時刻目標位置點；Xa（t）、Ya（t）—t 時刻實際位置點。

當XY 平面內(nèi)兩軸運行軌跡為半徑R 圓弧時， 輸入信號為：

式（5）為實際圓弧軌跡穩(wěn)態(tài)解，根據(jù)Xa2（t）+Ya2（t）=（R+ΔR）2，略去高階項ΔR2，得到t 時刻理想圓弧軌跡與實際圓弧軌跡之間誤差ea為：

將式（5）代入式（6）后展開，由于Tω＜1 ，略去其三階以上項可得：

分析式（7）可知，在其余變量保持不變的情況下，增大Kx和Ky或者使Kx與Ky盡量相等都能降低t 時刻理想圓弧軌跡與實際圓弧軌跡之間輪廓誤差ea；此外，增加Tx或Ty同樣能降低輪廓誤差ea。

2 反向間隙誤差產(chǎn)生的圓輪廓誤差

在以滾珠絲杠為傳動部件的X-Y 平臺中，反向間隙誤差始終存在。由于X 軸、Y 軸在圓輪廓加工過程中需要不斷改變運動方向， 所以反向間隙誤差勢必會影響圓輪廓誤差。為分析反向間隙誤差對圓輪廓誤差的作用機理，假設X 軸、Y 軸伺服特性相同且K=1，X 軸、Y 軸的間隙誤差量分別為2Δx和2Δy。 軌跡x1（t）、y1（t）的穩(wěn)態(tài)解為：

假設起點位于xp（0）=rp-Δx，yp（0）=-Δy，則根據(jù)間隙非線性關系輸入輸出特性得到實際xp（t）、yp（t）為：

根據(jù)理想軌跡xc2（t）+yc2（t）=r2，設XY 兩進給軸的方向誤差分量分別為ex和ey，則半徑誤差er為：

將實際軌跡表達式（9）代入式（10）并簡化后得半徑誤差er的表達式：

一般情況下間隙誤差量Δx、Δy遠遠小于rp，故θx、θy很小，可忽略。則分析式（11）可知半徑誤差er在各象限內(nèi)按照余弦規(guī)律變化，而在換象限處有一跳躍變化。

3 圓輪廓誤差的補償策略及實驗

3.1 圓輪廓誤差補償策略

基于伺服增益優(yōu)化及反向間隙誤差補償?shù)膱A輪廓誤差補償策略分為如下兩步：

第一步， 依據(jù)伺服增益產(chǎn)生圓輪廓誤差的機理對伺服增益進行調(diào)整，進而對圓輪廓誤差進行補償。 采用單因素法依次對位置比例增益、前饋增益、速度比例增益以及速度積分常數(shù)等伺服參數(shù)進行調(diào)整， 觀察對應的響應曲線并選擇出一組最優(yōu)參數(shù)，如表1 所示。

表1 X/Y 軸伺服驅(qū)動器參數(shù)調(diào)整表

第二步，在伺服參數(shù)優(yōu)化的基礎上，基于自適應加減速反向間隙誤差補償法分別補償X 軸、Y 軸的反向間隙誤差，進一步改善圓輪廓誤差。

3.2 實驗平臺

為驗證通過優(yōu)化伺服增益和反向間隙誤差補償降低圓輪廓誤差方法的有效性，搭建如圖2 所示的實驗平臺。該平臺主要由VMC850 數(shù)控機床、 運動控制系統(tǒng)和雷尼紹QC20-W 無線球桿儀測量系統(tǒng)三部分構(gòu)成。 實驗選取數(shù)控機床的X-Y 平面進行測量，X 軸行程0～780mm，Y軸行程0～330mm。QC20-W 球桿儀的標稱長度為100mm，行 程-1.25 ～+1.75mm，分辨率為0.1μm。

圖2 實驗平臺

參照現(xiàn)行國家標準GB/T17421.4—2003 《機床檢驗通則第4 部分-數(shù)控機床的圓檢驗內(nèi)容》，將實驗分為三組： 第一組，在默認的伺服參數(shù)且未進行反向間隙誤差補償?shù)那闆r下進行圓輪廓誤差測量；第二組，伺服參數(shù)按表1 優(yōu)化但未加入反向間隙誤差補償時進行測量；第三組，既優(yōu)化伺服參數(shù)又進行反向間隙誤差補償，然后再測量圓輪廓誤差。三組實驗的因素對比表如表2。

表2 三組實驗因素對比表

三組實驗分別在順時針方向與逆時針方向進行檢驗。結(jié)合數(shù)控機床X 軸、Y 軸行程與雷尼紹QC20-W 無線球桿儀設備條件選擇測量直徑D=200mm，進給率在常用速度段內(nèi)選用F=400mm/min。 為減少隨機誤差，每組實驗都在同等實驗條件下重復3 次， 并以3 次測試結(jié)果的算術平均值作為實驗結(jié)果。

3.3 實驗結(jié)果與分析

依據(jù)實驗條件， 分別按表2 實驗條件對X 軸和Y 軸聯(lián)動圓輪廓誤差各進行3 次測量。 測量誤差項主要包括逆時針圓偏差Gxy、順時針圓偏差Gyx和圓滯后H，三組實驗的測量結(jié)果如表3 所示。

表3 X-Y 進給系統(tǒng)圓弧輪廓精度評價表

將三組實驗的結(jié)果進行對比分析可知： 第二組與第一組相比， 逆時針圓度偏差Gxy由0.0461mm 減少到0.0276mm，降低40.13%；順時針圓度偏差Gyx由0.0397mm減少到0.0293mm，減少26.20%；圓滯后H 由0.0207mm 減少到0.0153mm，減少26.09%。 第三組與第二組相比，逆時針圓度偏差Gxy由0.0276mm 增加至0.0306mm；順時針圓度偏差Gyx由0.0293mm 減少到0.0268mm，減少8.53%；圓滯后H 由0.0153mm 減少到0.0135mm，降低11.76%。三組實驗的圓輪廓誤差評價直方圖如圖3 所示。

圖3 三組實驗的圓輪廓誤差直方圖

由圖3， 加入反向間隙誤差補償后圓度和圓滯后指標并沒有明顯改善，為進一步驗證反向間隙誤差補償對圓輪廓誤差的作用，分析圖4 所示的圓輪廓誤差診斷圖。 對比圖4（b）和圖4（a）可見，經(jīng)過伺服參數(shù)優(yōu)化后，有效改善由伺服動態(tài)特性不匹配導致的圓輪廓誤差劇烈波動， 有效減小機床圓度誤差。 再將加入反向間隙補償后的圓輪廓誤差診斷圖4（c）同圖4（b）對比可知，加入間隙誤差補償能有效避免圓輪廓在換象限處的跳躍誤差， 間接降低圓偏差和圓滯后。

圖4 三組實驗的圓輪廓誤差診斷圖

4 結(jié)束語

以VMC850 數(shù)控機床XY 軸進行圓輪廓誤差補償研究，通過對伺服增益、反向間隙誤差產(chǎn)生輪廓誤差的機理進行推導， 并分別對比默認伺服參數(shù)且未加入反向間隙誤差補償、優(yōu)化伺服參數(shù)但未加入反向間隙誤差補償、優(yōu)化伺服參數(shù)且加入反向間隙誤差補償三組圓輪廓誤差測量實驗，得到如下結(jié)論：

（1） 基于伺服參數(shù)優(yōu)化的圓輪廓誤差補償法以其操作簡單、 不需改動現(xiàn)有硬件等特點可有效降低機床XY平面的圓輪廓誤差。 對比未優(yōu)化時，逆時針圓度偏差Gxy降低40.13%；順時針圓度偏差Gyx減少26.20%。圓滯后H減少26.09%。

（2）反向間隙補償相比于伺服參數(shù)優(yōu)化，對圓輪廓誤差評價指標Gxy、Gyx、H 等改善并不明顯。 但對圓輪廓誤差診斷圖分析可知， 反向間隙誤差補償能有效避免圓輪廓在換向處的階梯性跳躍現(xiàn)象。