厲天揚，陳興杰

(上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，上海 201620)

0 引言

電子密度是聚變等離子體的重要參數(shù)之一，聚變的反應(yīng)率與等離子體電子密度的平方成正比，高密度下的等離子體運行更是各個聚變裝置希望達到的目標[1]。目前用于測量等離子體密度的HCN 干涉儀，波長為337μm[2]，在彈丸注入導(dǎo)致等離子體密度急劇上升時，需要進行16～20 次的密度翻轉(zhuǎn)[3]，這提升了等離子體密度測量錯誤的概率。短波長干涉儀密度翻轉(zhuǎn)次數(shù)少，然而聚變裝置運行過程中產(chǎn)生的機械振動將導(dǎo)致短波長干涉儀測量結(jié)果產(chǎn)生極大誤差。

CO2色散干涉儀的波長為10.6μm，具有條紋翻轉(zhuǎn)次數(shù)少，同時能夠抑制機械振動的優(yōu)點[4]，因此被應(yīng)用于等離子體密度測量中。CO2 色散干涉儀運行的過程中，無法保證激光束調(diào)制的諧波與光學(xué)彈性調(diào)制器(PEM)產(chǎn)生的方波傳輸?shù)耐叫?。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)吳彤宇先生針對此問題提出一種相位差校準方法。此方法通過尋找兩路信號的初始相位差，根據(jù)兩路信號的初始相位差來對輸入的諧波信號進行相位差補償，來保證參考測量信號的同步性。此方法通過遍歷的方式尋找兩路信號的起始相位差，耗時1s[5]，實時性較差，無法保證CO2 色散干涉儀在運行過程中方波與諧波的傳輸?shù)耐叫浴?/p>

針對上述問題，本文提出了一種基于正交解調(diào)的相位差實時校準方法，用于實時校正參考信號與測量信號之間傳輸不同步導(dǎo)致的相位差。并將該相位差校準方法在XC7K325T-2IFFG900 型FPGA 上實現(xiàn)。該相位差校準算法能夠進一步提升等離子體密度的測量結(jié)果，校正相位差的速度為原本的3600 倍，相位測量精度可達0.7°。

1 CO2色散干涉儀測量原理

CO2色散干涉原理圖如圖1所示[6]，干涉儀系統(tǒng)包括了激光器，倍頻晶體，光學(xué)彈性調(diào)制器，等離子體，濾光片，光電探測器以及數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)。

圖1 色散干涉儀原理圖

CO2色散光學(xué)部分的工作原理為：

CO2 激光器提供一束初始偏振方向為垂直的激光(頻率為ωm)。該束激光經(jīng)過光學(xué)倍頻晶體(SHG)以后，產(chǎn)生一束偏振方向為水平的倍頻波[7]。倍頻波通過了光學(xué)彈性調(diào)制器(PEM)與等離子體以后，基波經(jīng)過第二個光學(xué)倍頻晶體(SHG)，產(chǎn)生第二路倍頻波。此時，兩路倍頻波的相位可以表示為：

其中，為激光經(jīng)過等離子體后帶來的相位變化，，由等離子體線密度積分決定，4π?為干涉儀運行過程中機械振動導(dǎo)致的光路長度變化帶來的相位影響，g sin(ωmt)表示了激光經(jīng)過光學(xué)彈性調(diào)制器(PEM)產(chǎn)生的相位變化。ψ1與ψ0分別為兩個倍頻波的初始相位。

兩路倍頻波經(jīng)過濾光片(filter)以后，在探測器處混頻，可得到基波頻率為ωm的多次諧波I：

可以得出通過混頻的方法，機械振動的影響2πω?l c已經(jīng)被消除。為了求出多次諧波I中的基波與二次諧波。對多次諧波進行傅里葉展開，提取出頻率為ωm與2ωm的信號的強度，可以表示為以下形式：

其中，J1(g)和J2(g)分別對應(yīng)了第一類貝塞爾函數(shù)。當g=1.3149 時，J1(g)=J2(g)。最終可以得到測量結(jié)果為：

CO2色散干涉儀數(shù)據(jù)處理部分的工作原理為：

探測器端產(chǎn)生的周期性諧波在去除直流分量與噪聲后，經(jīng)過傅里葉展開后可以表達為[8]：

為了提取諧波中的基頻項強度，將輸入諧波與sin(ωmt)混頻后展開可得：

取一個諧波周期內(nèi)輸入諧波與sin(ωmt)的互相關(guān)結(jié)果可得諧波中的基頻項：

同理，通過提取諧波中的倍頻項強度，將輸入諧波與cos(ωmt)混頻并展開后可得：

取一個周期內(nèi)的互相關(guān)結(jié)果可得諧波中的倍頻項：

通過互相關(guān)函數(shù)，可得到一個諧波周期內(nèi)的基于頻率ωm的基頻項強度與倍頻項強度I1與I2的均值。其中，互相關(guān)函數(shù)可以用FIR低通濾波器代替，來提升測量結(jié)果的時間分辨率。然后根據(jù)公式⑹就可以求得離子體密度。

2 相位差校準算法的改進

第1 節(jié)的推論基于理想條件下，光學(xué)彈性調(diào)制器(PEM)產(chǎn)生的方波與光電探測器產(chǎn)生的諧波的傳輸是同步的。然而在CO2 色散干涉儀實際運行的過程中，由于探測器與光學(xué)彈性調(diào)制器內(nèi)部的電路延遲，導(dǎo)致了探測器輸出信號與光學(xué)彈性調(diào)制器輸出信號輸出時間不同步，產(chǎn)生了一個相位差θ。

此時輸入信號可以表達為：

將輸入信號分別與sin(ωmt)以及cos(2ωmt)混頻，并分別求得一個諧波周期內(nèi)的互相關(guān)結(jié)果。則求得基頻信號與倍頻信號的幅值分別為：

可見，相位差θ的引入導(dǎo)致了基頻信號的幅值M1與倍頻信號的幅值M2衰減程度不同，此時無法通過求兩路信號的幅值比M12來求得等離子體密度。因此需要求得相位差θ，并基于該相位差構(gòu)造兩組波形sin(ωmt+θ)與cos(2ωmt+2θ)，用構(gòu)造的兩組波形進行混頻，從而消除相位差θ對測量結(jié)果的影響。

為了避免因兩路信號之間的相位差θ對測量結(jié)果的影響，同時提升尋找相位差θ的速度，本文提出了一種基于正交解調(diào)的實時相位差校準方法，此方法相比于遍歷尋找相位差的方法，求得相位差的速度提升為原本的3600倍。

基于遍歷方式尋找相位差方法的步驟如下：

⑴構(gòu)造sin(ωmt+β)與cos(2ωmt+2β)兩組波形。

⑵分別與諧波混頻后低通濾波，求得濾波后的幅值M1與M2。

⑶將β從0°到360°的情況下依次混頻，互相關(guān)，通過尋找比較在每個角度β下的幅值最大幅值M1max與M2max。

⑷通過M1max與M2max得出幅值所對應(yīng)的角度β，便可以得到θ=β。

此方法消耗時間長，在所求相位差的精度為0.1°的情況下，尋找一次相位差需要混頻3600 次，實時性差。針對此問題，本文提出的實時相位差校準算法在尋得正確的相位差的前提下，尋找相位差速度相比于遍歷方式提升了3600 倍，同時算法復(fù)雜度低，利于FPGA實現(xiàn)。

實時相位校準步驟如下：

⑴分別產(chǎn)生兩組頻率為ωm的正弦波與余弦波，其表達式分別為sin(ωmt)和cos(ωmt)。

⑵將輸入的存在相位偏移的諧波分別與sin(ωmt)和cos(ωmt)混頻，可得以下公式：

取兩路信號在一個周期內(nèi)的互相關(guān)函數(shù)可得：

取兩路信號的幅值比反正切，便可以得到相位差θ：

同理，產(chǎn)生兩組頻率為2ωm的正弦波與余弦波，也可以求得相位差2θ。最后，通過實時相位校正方法便可去除相位差θ的干擾。

3 相位差校正算法的FPGA實現(xiàn)

該相位差校正算法以125M 的時鐘頻率在型號為XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上運 行，圖2 為相位差校正算法的FPGA設(shè)計原理圖。

圖2 相位差校正算法的FPGA原理圖

在圖2 中，干涉儀信號與光學(xué)彈性調(diào)制器信號經(jīng)采樣率為20MSPS 的雙通道ADC 采樣后進入FPGA中。首先對輸入信號進行降采樣處理，采樣率變?yōu)?MSPS。由于輸入信號的頻率ωm為50kHz，滿足奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理2ωm

濾波后的方波用于提供諧波的參考時間t，波形發(fā)生器基于t來生成混頻波形。為了保證方波與諧波的處理同步性，通過長度為100 階的移位寄存器(Shift Registers)向濾波后的方波提供0.1ms的延遲。

諧波經(jīng)過降采樣處理后，數(shù)據(jù)流向分為兩路，一路暫存到FIFO 中，另一路用于實現(xiàn)相位差的校正。相位差校正通過將輸入的諧波與sin(ωt+β)以及cos(ωt+β)混頻，求出互相關(guān)的結(jié)果。通過將兩路互相關(guān)結(jié)果進行反正切，就可以得到相位差θ。旋轉(zhuǎn)坐標系算法(CORDIC)基于此相位差θ以及方波提供的參考時間t，生成兩組解調(diào)波形sin(ωt+θ)與cos(2ωt+2θ)。將暫存在FIFO 內(nèi)部的諧波與這兩組解調(diào)波形混頻，通過求兩路信號混頻后的互相關(guān)結(jié)果，最后求互相關(guān)結(jié)果的反正切值就可得到初始相位。將初始相位通過相位跳轉(zhuǎn)算法(RPJP)處理后[9]，便可得到處理結(jié)果。

測量結(jié)果通過直接內(nèi)存訪問(Direct Memory Access，DMA)模塊傳輸?shù)缴衔粰C中，上位機接收到測量結(jié)果后將測量結(jié)果顯示。測量結(jié)果通過DDR3控制器暫存到DDR3 中，放電結(jié)束后，DMA 模塊經(jīng)過AXI互聯(lián)矩陣(AXI Interconnect)讀取DDR3 內(nèi)部的數(shù)據(jù)，通過PXIe 總線將數(shù)據(jù)傳輸?shù)缴衔粰C的內(nèi)存中。上位機接收DDR3 中的數(shù)據(jù)完成后，將測量結(jié)果通過以太網(wǎng)上傳到中控系統(tǒng)中。

4 實驗結(jié)果

圖3 為電子學(xué)的實驗平臺，輸入諧波與方波經(jīng)ADC 采樣進入FPGA 中，F(xiàn)PGA 將采樣數(shù)據(jù)進行實時處理，同時將輸入數(shù)據(jù)與處理結(jié)果暫存到DDR3內(nèi)部，PXIe 機箱通過PXIe 總線獲取FPGA 暫存在DDR3 上的處理結(jié)果。

圖3 CO2色散干涉儀電子學(xué)實驗平臺

為了驗證該相位差校正算法的效果，通過信號源產(chǎn)生一組已知相位變化的諧波與方波，將FPGA 的測量結(jié)果與已知的相位變化對比，從而求得測量精度。諧波與方波的表達式為：

在上述公式中，ρ0=2.6299，ωm=50kHz，sin(2πt)模擬了色散干涉儀運行過程中相位差θ的變化。

本文通過在MATLAB R2020b 的環(huán)境下生成后這兩組波形后，將波形存儲到RIGOL 公司生產(chǎn)的型號為DG4162 的信號源內(nèi)，信號源通過讀取存儲文件并輸出諧波與方波來模擬CO2 色散干涉儀運行過程中產(chǎn)生的信號。

通過PXIe 總線獲取新的相位差校正方法的相位計算結(jié)果，并與參考相位變化θ(t)=(π12)t進行對照。實驗結(jié)果如圖4所示。

圖4 信號源輸入測量結(jié)果

從圖4 實驗結(jié)果可得，使用新的相位差校正算法的測量結(jié)果與參考相位變化θ(t)=(π12)t基本吻合，測量結(jié)果最大誤差為0.7°，同時新的相位差校正算法能夠?qū)Ω缮鎯x運行及其相位變化進行實時校正。

其次在激光房內(nèi)搭建光路，來模擬托卡馬克裝置放電的流程。在等到CO2色散干涉儀的產(chǎn)生了穩(wěn)定的多次諧波后，通過電動平移臺移動ZnSe 鍥片，來模擬放電過程中等離子體密度的變化[10]，并且按照裝置上光路實際設(shè)計距離來實現(xiàn)模擬測試，便可以得到變化的相位信號。圖5為移動ZnSe鍥片測得的實驗結(jié)果。

圖5 移動ZnSe鍥片的測量結(jié)果

5 總結(jié)

本文提出了一種改進后的CO2 色散干涉儀上的相位校正算法，并將改進后的相位校正算法以125MHz 的頻率在型號為XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上運行。改進后的相位校正方法實現(xiàn)了相位的實時校正，相位校正速度為原本的3600倍。實驗結(jié)果表明，改進后的相位校正方法能夠可靠地跟蹤等離子體密度的變化，測量精度可達0.7°。同時該相位校正方法能夠正確測量因CO2 色散干涉儀上ZnSe 鍥片的移動帶來的相位變化。本文提出的CO2 色散干涉儀上的相位校正方法，可以進一步應(yīng)用于托卡馬克裝置放電過程中等離子體密度的測量。