張 軍，代永強(qiáng)，施秋紅

(1.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)信息網(wǎng)絡(luò)中心)

0 引言

灰狼優(yōu)化算法[1（]grey wolf optimization，GWO）是Mirjalili 等人于2014 年提出的一種群體智能算法，通過模擬自然界中灰狼的領(lǐng)導(dǎo)層級(jí)和狩獵機(jī)制，采用搜索、包圍和追捕攻擊等群體行為，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的優(yōu)化，具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，該算法廣泛應(yīng)用于路徑規(guī)劃[2]、工程設(shè)計(jì)[3]、輔助醫(yī)學(xué)圖像分析[4]、廣域電力系統(tǒng)穩(wěn)定器[5]等方面。

雖然GWO 已經(jīng)在工程和科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但該算法仍存在一些缺點(diǎn)，如尋優(yōu)精度低、缺乏多樣性、探索和開發(fā)的不平衡以及在處理大規(guī)模問題中易過早收斂。針對(duì)以上問題，專家學(xué)者們提出了許多改進(jìn)方法，如朱海波等[6]將差分進(jìn)化與優(yōu)勝劣汰混合策略加入算法中，提高了GWO 算法運(yùn)算前期的探索能力和后期的開發(fā)能力。劉成漢等[7]為了提高算法的收斂精度，引入了改進(jìn)的鯰魚效應(yīng)策略，以保證種群活力。王敏等[8]通過對(duì)當(dāng)前群體中最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行Rosenbrock 局部搜索，增強(qiáng)了GWO 算法的局部搜索能力并加快收斂速度。張悅等[9]利用自適應(yīng)調(diào)整策略來控制參數(shù)調(diào)整和位置更新，提高了算法的收斂速度。Saremi 等[10]將動(dòng)態(tài)進(jìn)化種群（evolutionary population dynamics，EPD）算子引入GWO 算法，加快了算法收斂速度，增強(qiáng)了局部搜索能力。Zhu 等[11]將GWO 算法與差分進(jìn)化算法結(jié)合，利用差分進(jìn)化算法強(qiáng)大的搜索能力使GWO及時(shí)跳出停滯，提高了算法收斂速度。

基于以上分析，本文提出一種改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法(dynamic approach gray wolf optimizer,DAGWO)。首先，為灰狼個(gè)體增加直接跟隨最優(yōu)頭狼攻擊獵物的行為方式，從而增加其捕獲獵物的機(jī)會(huì)，以提升算法的收斂速度和尋優(yōu)精度。其次，提出基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略，以增加種群多樣性，從而提高跳出局部最優(yōu)的能力。

1 DAGWO算法

DAGWO 算法在每一次迭代中，群體中最優(yōu)個(gè)體稱為α狼，次優(yōu)個(gè)體稱為β狼，第三優(yōu)個(gè)體稱為δ狼，剩余個(gè)體稱為ω狼。狩獵過程中，ω狼接受α、β、δ狼的領(lǐng)導(dǎo)向獵物位置靠近。狼群的捕獵行為分為跟蹤、包圍和攻擊獵物三個(gè)階段?；依侨后w逐漸接近并包圍獵物的數(shù)學(xué)模型如公式⑴所示：

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)；為第t次迭代時(shí)獵物的位置；x(t+1)為第t+1 次迭代時(shí)灰狼的位置；A和C為系數(shù)向量。當(dāng)|A|＜1 時(shí)，狼群攻擊獵物，當(dāng)|A|＞1 時(shí)，狼群尋找獵物。A和C的定義分別為：

其中，r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，a稱為收斂因子，其隨迭代次數(shù)增加從2線性減小到0，即：

⑷式⑷中，tmax為最大迭代次數(shù)。狼群中其他灰狼個(gè)體根據(jù)α、β、δ狼的位置xα、xβ、xδ來更新各自的位置：

x(t+1)即為灰狼個(gè)體根據(jù)α、β、δ狼位置信息調(diào)整后的更新位置。迭代完成后，xα即為所求獵物位置。

2 新移動(dòng)策略的DAGWO算法

在標(biāo)準(zhǔn)GWO 算法中，首先，由于ω狼在狩獵過程中向三只頭狼（α、β、δ狼）所圍成的區(qū)域移動(dòng)，而不是向獵物最有可能的位置即α狼所在位置移動(dòng)，因此并不能最快速的沖向獵物發(fā)起攻擊，導(dǎo)致算法的收斂速度變慢。其次，在尋優(yōu)后期，灰狼群體逐漸聚集于α、β、δ狼所確定的位置周圍，有可能陷入小范圍優(yōu)化而導(dǎo)致算法無法求出目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)值。為解決上述問題，提出兩種策略來改進(jìn)GWO算法：

⑴提出一種新的ω狼位置移動(dòng)策略，使得ω狼能夠直接向獵物靠近。

⑵提出一種基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略，避免算法陷入局部最優(yōu)。

2.1 ω狼位置新移動(dòng)策略

DAGWO 算法中，增加ω狼直接跟隨α狼，向獵物位置發(fā)起攻擊或堵截的行為，以提高算法的收斂速度。改進(jìn)策略的數(shù)學(xué)模型如下：

其中，r3，r4為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，F(xiàn)為控制搜索方向參數(shù)，隨機(jī)取值為-1或1。xt為第t次迭代時(shí)ω狼的位置，為第t次迭代時(shí)α狼的位置，K 為卡方分布隨機(jī)數(shù)，本文取值6。M 為一個(gè)控制系數(shù)，用來控制跟隨α狼進(jìn)行捕獵的ω狼數(shù)量，當(dāng)M=0.2，表示有20%的ω狼會(huì)跟隨α狼攻擊獵物。x(t+1)為更新后的ω狼位置。式⑻中，當(dāng)r4M 時(shí)，ω狼根據(jù)三只頭狼（α、β、δ狼）的位置進(jìn)行位置更新。由于r4是個(gè)隨機(jī)數(shù)，因此在迭代過程中任意的ω狼都可以被選擇來跟隨α狼攻擊獵物。這種隨機(jī)選擇一定數(shù)量的ω狼直接對(duì)獵物進(jìn)行攻擊的方式與自然界中狼群在捕獵時(shí)交替進(jìn)行包圍、攻擊的行為非常相似。這里提出的ω狼在兩種移動(dòng)方式中隨機(jī)切換的位置移動(dòng)策略，增加了狼群攻擊的多樣性和隨機(jī)性，有助于提高捕獵成功率，從而達(dá)到提高算法收斂速度和尋優(yōu)精度的目的。

灰狼個(gè)體與理論最優(yōu)值的歐式距離（d）反映了整個(gè)種群與理論最優(yōu)值的聚集程度。當(dāng)d 較小時(shí)，表明整個(gè)種群聚集程度高，如果d迅速變小，則種群迅速聚集。本文采用GWO 和DAGWO 優(yōu)化同一函數(shù)，記錄迭代過程中d 的變化，圖1 顯示DAGWO 算法的迭代過程種群迅速聚集，而GWO 算法的迭代過程聚集過程緩慢，且d值遠(yuǎn)高于DAGWO 算法。因此，本文提出的ω狼位置移動(dòng)策略能夠顯著提高算法的收斂速度。

圖1 種群聚集程度

2.2 基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略

標(biāo)準(zhǔn)GWO 算法尋優(yōu)至中后期時(shí)，整個(gè)灰狼種群都趨向α、β、δ狼所在區(qū)域移動(dòng)，一旦頭狼陷入局部最優(yōu)，就會(huì)使整個(gè)狼群陷入局部最優(yōu)，從而導(dǎo)致算法出現(xiàn)停滯，無法探索更多區(qū)域。因此，需要對(duì)部分個(gè)體位置進(jìn)行劇烈變動(dòng)，尋找新的位置，帶動(dòng)整個(gè)種群跳出局部最優(yōu)。本文提出一種基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略，在迭代過程中當(dāng)適應(yīng)度的變化率小于設(shè)定值時(shí)，則判定算法停滯，對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)初始化。其中，適應(yīng)度變化率計(jì)算公式表示如下：

其中，fcur表示當(dāng)前迭代次數(shù)的最優(yōu)值，fbest表示當(dāng)前迭代次數(shù)之前取得的全局最優(yōu)值。rate表示最優(yōu)值的變化程度，本文中取值10-5。當(dāng)rate大于10-5則表明算法運(yùn)行良好，不需要干預(yù)，反之當(dāng)rate小于10-5時(shí)則表明算法停滯，需要對(duì)灰狼種群進(jìn)行隨機(jī)初始化?；谕z測的隨機(jī)初始化策略偽代碼如下：

其中，r5、r6為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，a，b為搜索空間的下限和上限表示隨機(jī)從灰狼中選擇一個(gè)個(gè)體將其位置進(jìn)行重新初始化。R 為控制系數(shù)，用來控制進(jìn)行隨機(jī)初始化的灰狼的概率。如果rate<10-5，則表明算法陷入了停滯需要采取增加多樣性措施。ran是個(gè)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)r5

2.3 參數(shù)敏感性

DAGWO 算法的性能受到控制系數(shù)M 和R 的影響，需要謹(jǐn)慎選擇這些參數(shù)。為了分析它們的影響并選擇最佳組合，通過對(duì)CEC Composition Function 2（N=3）進(jìn)行敏感性分析，在不同的M和R值組合下繪制了5 種場景，如表1 和圖2 所示。結(jié)果表明，當(dāng)M=0.2，R=0.1 時(shí)適應(yīng)度值最佳。因此，DAGWO 算法的最佳控制系數(shù)為M=0.2，R=0.1。

表1 M和R參數(shù)敏感性分析

圖2 參數(shù)M和R參數(shù)敏感性分析圖

2.4 DAGWO算法步驟

DAGWO算法執(zhí)行步驟描述如下：

算法1：DAGWO算法

輸入：種群大小N,最大迭代次數(shù)max

輸出：最優(yōu)位置xα

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

本文所有仿真實(shí)驗(yàn)均在CPU 為Inte（lR）Xeon（R）Gold 5118 CPU @ 2.30 GHz，內(nèi)存為16GB 的主機(jī)上開發(fā)和執(zhí)行。編程軟件為Python 3.7。所有算法設(shè)置相同的種群數(shù)量和迭代次數(shù)，種群數(shù)量為30，迭代次數(shù)為500，搜索維度為30，以算法獨(dú)立運(yùn)行30 次的適應(yīng)度值的平均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（Std）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果中的最優(yōu)數(shù)據(jù)以加粗方式顯示。

3.2 基準(zhǔn)測試函數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證DAGWO 算法的有效性和優(yōu)勢，將DAGWO 算法與GWO 算法和其他參考文獻(xiàn)中改進(jìn)的灰狼算法：AGWO[12]、MGWO[13]、I-GWO[14]，以及其他三種著名智能算法：飛蛾撲火算法[15（]moth flame optimization，MFO）、多元宇宙優(yōu)化算法[16]（multiverse optimizer，MVO）、樽海鞘群算法[17（]salp swarm algorithm，SSA）進(jìn)行比較。選擇與文獻(xiàn)[18]相同的12 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)測試算法的性能。測試函數(shù)如下：Sphere(f1)、Schwefel's problems 2.22(f2)、Generalized Rosenbrock's function(f3)、Quartic function with noise(f4)、Generalized Schwefel's problem 2.26(f5)、Generalized Rastrigin's function(f6)、Ackley's function(f7)、Generalized penalized function(f8)、Shekel's Foxholes function(f9)、Kowalik's function(f10)、Sixhump camel-back function(f11)、Branin function(f12)。其中f1-f4為多峰函數(shù)，f5-f8為多峰函數(shù)，f9-f12為為固定維度多峰函數(shù)。實(shí)驗(yàn)中各算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 算法參數(shù)設(shè)置

3.2.1 求解精度分析

在元啟發(fā)式算法中，求解精度和收斂速度可以用單峰函數(shù)來衡量。因此，使用適應(yīng)度值的平均值(mean)和標(biāo)準(zhǔn)偏差(std)來研究所提出算法的整體開發(fā)行為。表3 和表4 分別列出了DAGWO 與其他算法的測試結(jié)果。表3 中DAGWO 算法能在單峰測試函數(shù)f1、f2上找到最優(yōu)適應(yīng)度值，表明ω狼位置移動(dòng)策略能夠顯著提升DAGWO的開發(fā)能力。在函數(shù)f4上DAGWO的性能僅次于I-GWO。表4中，對(duì)于函數(shù)f1-f4，DAGWO算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都優(yōu)于其他三種算法。這些結(jié)果均表明ω狼位置移動(dòng)策略可以有效提高DAGWO算法的求解精度和收斂速度。

表4 DAGWO算法與MFO、MVO、SSA算法測試結(jié)果對(duì)比

多峰函數(shù)（f5-f8）和固定維度多峰函數(shù)（f9-f12）具有多個(gè)局部最優(yōu)解，會(huì)導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。因此可用于評(píng)估算法的全局探索能力及跳出局部最優(yōu)的能力。表3 和表4 所列實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明DAGWO 算法在函數(shù)f5-f8上取得了有競爭力的結(jié)果。表3 表明DAGWO算法在函數(shù)f11-f12上取得了理論最優(yōu)值。表4表明，對(duì)于固定維多峰函數(shù)f9-f12，DAGWO 算法在其中3 個(gè)函數(shù)上的尋優(yōu)精度均優(yōu)于其他算法。

基于上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文提出的DAGWO 算法采用的ω狼位置移動(dòng)策略能夠有效地提升算法開發(fā)能力，提高尋優(yōu)精度；采用的基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略可以在一定程度上平衡算法開發(fā)和探索能力，在優(yōu)化多峰函數(shù)時(shí)能夠有效增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，幫助算法獲得最優(yōu)值。

3.2.2 收斂曲線分析

為了驗(yàn)證DAGWO 算法的收斂性能，以及跳出局部最優(yōu)的能力，本實(shí)驗(yàn)列出了DAGWO 算法與其他智能算法基準(zhǔn)測試函數(shù)迭代收斂曲線的對(duì)比圖（圖3）。限于篇幅限制，這里僅選取單峰函數(shù)f1、f3、f4，多峰函數(shù)f5、f7、f8，固定維度多峰函數(shù)f10、f11的收斂曲線對(duì)比圖。由圖3 可知，在單峰函數(shù)f1中，DAGWO 能夠快速收斂到理論最優(yōu)值且收斂速度大幅度領(lǐng)先，而其他算法均無法取得較好的收斂精度；在單峰函數(shù)f3、f4中，DAGWO 雖然未收斂到理論最優(yōu)值，但在迭代前期收斂速度均快于其他算法；在多峰函數(shù)f5、f7中，DAGWO能夠收斂到理論最優(yōu)值且具有較快的收斂速度。在固定維度多峰函數(shù)f10、f11中可以看出，相比其他算法DAGWO 具有更強(qiáng)的全局搜索能力。在函數(shù)f11中，GWO、DAGWO均收斂到了最優(yōu)值。

圖3 算法收斂曲線對(duì)比

綜上分析，DAGWO 算法在處理簡單的單峰函數(shù)時(shí)，在收斂精度及收斂速度上優(yōu)勢明顯，具有更優(yōu)的收斂精度；在處理多峰函數(shù)時(shí)也能夠跳出局部最優(yōu)，獲得較好的收斂精度。

4 工程應(yīng)用及結(jié)果分析

為驗(yàn)證DAGWO 算法的實(shí)用性，通過經(jīng)典的工程應(yīng)用優(yōu)化案例-減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，對(duì)DAGWO 算法進(jìn)行測試。設(shè)置算法的種群數(shù)量為50，迭代次數(shù)為1000，以算法獨(dú)立運(yùn)行30 次的最佳結(jié)果（包括最優(yōu)值和最優(yōu)設(shè)計(jì)變量）與人工峰群算法[19（]Artificial bee colony algorithm，ABC）、花斑鬣狗算法[20]（Spotted hyena optimizer，SHO）、MGWO[21]算法、RW-GWO[22]算法、WF-GWO[23]算法、GWO 算法進(jìn)行比較。為確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，相關(guān)算法數(shù)據(jù)均來自于原文獻(xiàn)。

DAGWO算法的應(yīng)用之一是減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)是使減速器的體積(或重量)最小，其設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖4[24]所示，該問題包含7 個(gè)設(shè)計(jì)變量和11 個(gè)約束條件，其中設(shè)計(jì)變量分別為：端面寬度x1、齒模x2、小齒輪齒數(shù)x3、第一軸長度x4、第二軸長度x5、第一軸的直徑x6、第二軸的直徑x7。其數(shù)學(xué)模型如下：

圖4 減速器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖

表5列出了不同算法求解減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的最優(yōu)解。從表5 可知，在減速器優(yōu)化尋優(yōu)結(jié)果中，DAGWO 獲得了最佳解決方案，且優(yōu)勢較為明顯。這表明其在用于解決實(shí)際工程問題時(shí)具有較好的尋優(yōu)能力及實(shí)用性。

表5 不同算法求解減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解對(duì)比

5 結(jié)束語

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)GWO 算法收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)問題，本文提出了一種新的基于移動(dòng)策略的灰狼優(yōu)化算法。新的ω狼位置移動(dòng)策略增加了狼群攻擊的多樣性和隨機(jī)性，提高了算法的收斂速度和尋優(yōu)精度。同時(shí)，基于停滯檢測的隨機(jī)初始化策略增加了種群多樣性，提高了算法的全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DAGWO 算法兩種改進(jìn)策略可以有效提高收斂速度和求解精度。減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)工程實(shí)例的結(jié)果驗(yàn)證了DAGWO 算法在解決工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)的適用性。未來的研究將聚焦于DAGWO算法在更多實(shí)際優(yōu)化問題上的應(yīng)用。