李海彬 陳政元

1.廣西廣播電視臺(tái) 廣西 南寧市 530022 2.廣西民族大學(xué) 廣西 南寧市 530005

引言

在使用非編系統(tǒng)制作電視節(jié)目時(shí)，經(jīng)常需要將不同來源的視音頻素材轉(zhuǎn)換為電視制作所需要的格式，這當(dāng)中會(huì)涉及到音頻采樣率的轉(zhuǎn)換。本文主要介紹音頻采樣率轉(zhuǎn)換的一些插值算法，并通過數(shù)據(jù)化的分析和測(cè)試，綜合比較不同算法的優(yōu)劣。

1 音頻A/D 轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)知識(shí)

聲波是一個(gè)連續(xù)的波形信號(hào)，但是在數(shù)字化的過程中（即A/D 轉(zhuǎn)換），不可能將全部的聲音信號(hào)存儲(chǔ)下來，只能根據(jù)設(shè)定的采樣率和量化精度，每間隔一段很短的時(shí)間對(duì)這個(gè)波形進(jìn)行采樣和量化，并取得這組采樣數(shù)據(jù)的量化值。聲波進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換的過程，如圖1所示。

圖1 聲波A/D 轉(zhuǎn)換

圖1 紅色曲線是正弦波的信號(hào)線，它是一段連續(xù)的信號(hào)，水平方向是時(shí)間軸，垂直方向表示聲音的振幅。A/D 轉(zhuǎn)換過程中，根據(jù)采樣率來決定兩次采樣之間的時(shí)間間隔，如采樣率設(shè)為1000Hz 時(shí)，即每秒鐘采樣1000 次，每間隔1 毫秒采樣1次，如圖1 藍(lán)色線就是每次采樣的時(shí)間點(diǎn)。對(duì)于采樣得到的數(shù)據(jù)，還要根據(jù)量化精度將它們進(jìn)行歸類存儲(chǔ)，如圖1 的A1、A2 兩次采樣點(diǎn)，其真實(shí)的采樣數(shù)據(jù)是不相同的，但是如果設(shè)置的量化精度低，使得它們位于同一個(gè)量化級(jí)別上，在存儲(chǔ)時(shí)變成了相同的數(shù)值，這樣就會(huì)造成音頻失真。

要減少聲波A/D 轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的音頻失真，使得重放時(shí)的波形更接近模擬音頻波形，只有采用更高的采樣率和量化精度，但這會(huì)使得存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量大幅增加，因此一般根據(jù)人耳的聽力范圍選取一個(gè)折衷的方法。

人耳所能聽到的聲音頻率是20Hz～20kHz 之間，根據(jù)奈奎斯特定理，如果要保存原始信號(hào)的所有信息，必須用不小于原始信號(hào)2 倍的頻率進(jìn)行采樣，即40kHz 以上的采樣率就能夠滿足高質(zhì)量的音頻收聽需要，如CD 的音頻采樣率為44.1kHz，略高于人耳能聽到的20kHz 高頻信號(hào)的2 倍。

而在量化精度上，一般按存儲(chǔ)的字節(jié)來進(jìn)行分級(jí)，如8Bit、 16Bit、 24Bit、 32Bit 等，其中8Bit 可以實(shí)現(xiàn)256 級(jí)的量化，16Bit 達(dá)到了65536 級(jí)。

2 常用的音頻采樣率標(biāo)準(zhǔn)

在業(yè)界內(nèi)有三套音頻采樣率標(biāo)準(zhǔn)并存，每套標(biāo)準(zhǔn)的上、下采樣次數(shù)相差1 倍：

（1） 5.5kHz、 11.025kHz、22.05kHz、 44.1kHz、 88.2kHz、176.4kHz

（2）12kHz、24kHz、48kHz、96kHz、192kHz

（3）8kHz、16kHz、32kHz、64kHz

在廣電行業(yè)和新媒體應(yīng)用中，過低的采樣率會(huì)使音頻變差，而過高的采樣率不利于存儲(chǔ)和傳輸，因此常用的音頻采樣率主要有以下幾種：

11.025 kHz：新媒體語音所用的采樣率；

22.05 kHz：無線電廣播所用采樣率；

32kHz： miniDV、 數(shù)碼視頻、camcorder、DAT（LP mode）所用采樣率；

44.1 kHz：音頻CD，也常用于MPEG-1 音頻（VCD、SVCD、MP3）所用采樣率；

48kHz：miniDV、DVD、電影和電視行業(yè)數(shù)字聲音所用采樣率。

這些常用的音頻采樣率分別來自上述的3 種標(biāo)準(zhǔn)，它們之間經(jīng)常需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

3 音頻采樣率轉(zhuǎn)換對(duì)音頻質(zhì)量的影響

音頻采樣率決定了每秒鐘內(nèi)各個(gè)采樣點(diǎn)在時(shí)間線上的位置，當(dāng)轉(zhuǎn)換前后的音頻采樣率是整倍數(shù)關(guān)系時(shí)，原有采樣點(diǎn)的部分或全數(shù)數(shù)據(jù)值仍然可以使用，如圖2 所示標(biāo)明了對(duì)音頻波形進(jìn)行22.05kHz 和44.1kHz 采樣時(shí)，各個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn)的位置。

圖2 22.05kHz 和44.1kHz 采樣點(diǎn)

圖2 中向上的藍(lán)色線是44.1kHz 的采樣點(diǎn)，向下的綠色線是 22.05kHz 的采樣點(diǎn)，22.05kHz 的采樣數(shù)據(jù)， 在44.1kHz 中是同樣存在的。

如將 22.05kHz 轉(zhuǎn)換為44.1kHz 時(shí)，原采樣數(shù)據(jù)全部保留，每個(gè)舊采樣點(diǎn)后新插值產(chǎn)生一個(gè)新采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)（如圖2 所標(biāo)注的“Ax”點(diǎn)）；當(dāng)反過來將44.1kHz 轉(zhuǎn)換為22.05kHz 時(shí)，只需保留原來的奇數(shù)采樣點(diǎn)，去除偶數(shù)采樣點(diǎn)即可，雖然損失了一半的音頻數(shù)據(jù)，但保留下的音頻數(shù)據(jù)仍然是真實(shí)的。

當(dāng)轉(zhuǎn)換前后的音頻采樣率不是整倍數(shù)關(guān)系時(shí)，新采樣點(diǎn)位置與舊采樣點(diǎn)位置會(huì)有一定的偏移，因此新采樣點(diǎn)的音頻數(shù)據(jù)值是通過插值算法估算出來的，與實(shí)際采樣的數(shù)據(jù)值可能有一定的差別。如圖3 所示標(biāo)明了對(duì)音頻波形分別進(jìn)行48kHz和44.1kHz 采樣時(shí)，不同采樣率下各自采樣時(shí)間點(diǎn)的位置。

圖3 48kHz 和44.1kHz 采樣點(diǎn)

從圖3 可以看出，當(dāng)兩者的采樣率不是整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，其采樣點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間很少會(huì)重疊，因此在進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換時(shí)，原來的采樣數(shù)據(jù)基本上不能保留，需要重新計(jì)算轉(zhuǎn)換后每個(gè)采樣點(diǎn)的數(shù)據(jù)值，即轉(zhuǎn)換后新的采樣數(shù)據(jù)是通過插值算法估算出來的，因此插值算法的準(zhǔn)確性決定了音頻質(zhì)量的損失多少。

4 常用的插值算法

插值算法有很多種，本文編寫了一個(gè)測(cè)試程序，通過分?jǐn)?shù)倍采樣率法、分段線性插值法、三次樣條插值法、拉格朗日插值法、牛頓插值法等5 種算法，看看哪種算法更符合于音頻采樣率的轉(zhuǎn)換。測(cè)試程序運(yùn)行界面截圖，如圖4 所示。

圖4 測(cè)試程序運(yùn)行截圖

下文是這5 種插值算法的簡(jiǎn)介，由于某些算法公式的推導(dǎo)過程非常復(fù)雜，限于文章篇幅不在此說明，讀者可自行查閱這些算法的相關(guān)資料。

（1）分?jǐn)?shù)倍采樣率法：將輸入與輸出音頻采樣率的比例系數(shù)設(shè)為L(zhǎng)/M，如輸入采樣率為40kHz，輸出為50kHz，其L/M=4/5。它的算法是：將輸入音頻的每1 個(gè)采樣點(diǎn)經(jīng)過插值變成M個(gè)，對(duì)增大M 倍后的音頻數(shù)據(jù)每間隔L 點(diǎn)抽取1 個(gè)。其插值的數(shù)據(jù)可以用以下公式計(jì)算：

其中yn表示當(dāng)前采樣值，yn-1表示下一個(gè)采樣值，yn（x）表示在yn點(diǎn)根據(jù)公式產(chǎn)生的插值，x 的取值范圍是0～M-1，代入公式進(jìn)行M 次計(jì)算，從而將1個(gè)采樣點(diǎn)插值為M 個(gè)。

（2）分段線性插值法：將每?jī)蓚€(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數(shù)，在計(jì)算x 點(diǎn)的插值時(shí)，只用到其左右兩邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，假設(shè)x 點(diǎn)在x1、x2之間，x1和x2的函數(shù)值為y1和y2，通過以下公式計(jì)算x 點(diǎn)的插值y（x）：

（3）三次樣條插值法：將一個(gè)區(qū)間（a，b）分成n 段，通過已知的n+1 個(gè)點(diǎn)來插入3 次多項(xiàng)式，并使這個(gè)多項(xiàng)式的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，多項(xiàng)式的公式為：

每個(gè)區(qū)間存在4 個(gè)未知數(shù)（ai，bi，ci，di），因此需要列4個(gè)方程求解，共有n 個(gè)區(qū)間則方程總數(shù)為4n 個(gè)。要解此方程需要滿足以下條件：

每個(gè)分段S（x）=Si（x）都是一個(gè)三次方程；

滿足 Si（x） =yi（i=0，1，...，n）的插值條件；

S （x） 及其一階導(dǎo)數(shù)S'（x）、二階導(dǎo)數(shù)S"（x）連續(xù)。

根據(jù)以上3 個(gè)條件，列出4n個(gè)方程并進(jìn)行求解，從而得到插值。

（4）拉格朗日插值法：以法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法，可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值。其計(jì)算公式如下：

其算法是根據(jù)已知的x1～xn和y1～yn 點(diǎn)的值，通過此多項(xiàng)式計(jì)算出某個(gè)插值點(diǎn)x 的值。由于每個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)單項(xiàng)式，因此輸入的采樣點(diǎn)越多，則計(jì)算速度越慢。

（5）牛頓插值法：與拉格朗日插值法相似，這兩種方法在同階時(shí)產(chǎn)生的多項(xiàng)式在化簡(jiǎn)以后是一樣的，余項(xiàng)也是一樣的，但牛頓插值引入了差商的概念，其先根據(jù)差商公式計(jì)算出差商表，再代入多項(xiàng)式中計(jì)算x 點(diǎn)的插值，使其在插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)便于計(jì)算。

牛頓多項(xiàng)式為：

其中a0～an是待定系數(shù)，可通過差商公式計(jì)算（k=0，1，...，N）：

分?jǐn)?shù)倍采樣率法、分段線性插值法是基于線性插值計(jì)算的，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，速度較快，缺點(diǎn)是插值后的線段在節(jié)點(diǎn)處不光滑。

三次樣條插值法由于需要求導(dǎo)及解方程，因此計(jì)算速度較慢，其可以保證插值后各小段曲線的連續(xù)性，但不能保證整條曲線的光滑性。

拉格朗日、牛頓插值法采用相同的多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，雖然計(jì)算方法不同，但其計(jì)算結(jié)果相差很小，缺點(diǎn)是高次插值可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象（插值次數(shù)越高，插值結(jié)果越偏離原函數(shù)的現(xiàn)象）。

5 幾種插值算法的實(shí)際測(cè)試

上節(jié)談到的幾種插值算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際工作中哪個(gè)更優(yōu)秀呢？根據(jù)表1 所列的測(cè)試環(huán)境和參數(shù)下，分別進(jìn)行測(cè)試。

表1 測(cè)試環(huán)境和參數(shù)

表1 所列出的一些測(cè)試參數(shù)，與廣電行業(yè)的應(yīng)用息息相關(guān)。例如對(duì)于電視行業(yè)來說，經(jīng)常需要將采樣率為44.1kHz 的新媒體音頻轉(zhuǎn)換為電視行業(yè)使用的48kHz 音頻，在轉(zhuǎn)換時(shí)還可能會(huì)涉及到實(shí)時(shí)音頻轉(zhuǎn)換，國內(nèi)電視每秒25 幀圖像（40ms 每幀），則44100÷25=1764 是該采樣率下單個(gè)聲道1 幀音頻數(shù)據(jù)的大小，根據(jù)插值1 幀音頻數(shù)據(jù)所消耗的時(shí)長(zhǎng)，可以判斷算法是否適用于實(shí)時(shí)音頻信號(hào)的轉(zhuǎn)換。

三次樣條、拉格朗日、牛頓等插值算法需要一定數(shù)量的樣本進(jìn)行插值，輸入樣本數(shù)越多則計(jì)算速度越慢，但不代表獲得的結(jié)果是最好的，例如將三次樣條插值法的樣本數(shù)設(shè)為100，其計(jì)算速度更慢，但結(jié)果與樣本數(shù)設(shè)為7 時(shí)相差很小，因此樣本數(shù)設(shè)為7 時(shí)性價(jià)比更高，而拉格朗日、牛頓插值法的樣本數(shù)設(shè)為60 即可，太高可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。

測(cè)試程序分別進(jìn)行插值，因?yàn)橐容^插值前后每個(gè)音頻采樣點(diǎn)的差異，所以實(shí)際進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)換，即先將采樣率為44.1kHz 的音頻插值為48kHz，再 將 48kHz 音 頻 插 值 回44.1kHz，最后將前、后兩次44.1kHz 音頻數(shù)據(jù)逐一比較，從而得到誤差，但插值耗時(shí)僅取第1 次計(jì)算所消耗的時(shí)間。測(cè)試結(jié)果如表2 所示：

首先比較各算法所消耗的時(shí)間，三次樣條插值法超出了40 毫秒，在電視直播時(shí)無法按時(shí)完成轉(zhuǎn)換工作；牛頓插值法需時(shí)30 毫秒，但測(cè)試時(shí)只使用了單聲道1 幀的音頻數(shù)據(jù)量，在進(jìn)行多聲道采樣率轉(zhuǎn)換時(shí)需要多線程運(yùn)算才能保證不會(huì)超時(shí)；拉格朗日插值法需時(shí)17 毫秒，可以實(shí)時(shí)完成立體聲音頻的采樣率轉(zhuǎn)換；分?jǐn)?shù)倍采樣率法、分段線性插值法的計(jì)算耗時(shí)較少，可以輕松完成多聲道的實(shí)時(shí)音頻采樣率轉(zhuǎn)換，二者的計(jì)算結(jié)果基本相同，但后者速度更快且內(nèi)存花銷更小。

其次比較插值正確率，這里將誤差值在±1 內(nèi)的在采樣點(diǎn)稱為“正確樣點(diǎn)”，則拉格朗日和牛頓插值法的正確樣點(diǎn)為1748 個(gè)，正確率為99.09%，但拉格朗日插值法的無誤差采樣點(diǎn)數(shù)更多；三次樣條插值法的正確樣點(diǎn)為396 個(gè)，正確率為22.45%；分段線性插值法、分?jǐn)?shù)倍采樣率法的正確樣點(diǎn)為46，正確率為2.61%。

根據(jù)計(jì)算耗時(shí)和正確率進(jìn)行綜合比較，拉格朗日插值法最適用于音頻采樣率的轉(zhuǎn)換，牛頓插值的計(jì)算結(jié)果與拉格朗日插值相差不大，但耗時(shí)更多，產(chǎn)生這個(gè)問題的原因在于測(cè)試程序無法利用牛頓插值計(jì)算出的差商，而是每次重復(fù)公式計(jì)算，因而增加了耗時(shí)。三次樣條插值法的基礎(chǔ)是產(chǎn)生光滑的曲線，作為音頻采樣率轉(zhuǎn)換算法而言沒有優(yōu)勢(shì)；分?jǐn)?shù)倍采樣率、分段線性插值法采用簡(jiǎn)單粗暴的線性計(jì)算，因此誤差較大，但勝在耗時(shí)極小，適用于對(duì)時(shí)間有要求而對(duì)精度要求不高的應(yīng)用。

結(jié)語

當(dāng)轉(zhuǎn)換前/后的采樣率為非整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，其插值后的數(shù)據(jù)誤差要大于整倍數(shù)關(guān)系時(shí)，特別是進(jìn)行多次轉(zhuǎn)換后，會(huì)帶來音質(zhì)的下降，因此對(duì)于一段音頻內(nèi)容，盡可能不要進(jìn)行多次的采樣率轉(zhuǎn)換，另外在選擇轉(zhuǎn)換工具軟件時(shí)，最好比較一下轉(zhuǎn)換前后的插值誤差，避免因算法較差而造成音頻數(shù)據(jù)的失真。