丁洪良

(丹陽市教師發(fā)展中心,江蘇 丹陽 212300)

帶電粒子在電磁復合場中的運動問題是高中物理教學的重難點,同時也是高考命題的重點.一方面在于其此類情境通常與現代前沿科學技術的發(fā)展密切相關,能體現中國高考評價體系要求的“應用性”和“創(chuàng)新性”;另一方面在于此類情境通常涉及力、電、能等知識板塊內容,體現了高考評價體系要求的“基礎性”和“綜合性”,考查頻率相對較高．“滾輪線運動模型”又是其中最為經典之一.其中2008年江蘇省高考卷、2011年和2013年福建省高考卷、2022年全國高考卷都考查了這一模型.2023年江蘇高考物理卷第16題再次對此進行了考查.下面對本次江蘇壓軸題的命題和解答進行相關剖析．

1 原題再現

(2023年江蘇卷)霍爾推進器某局部區(qū)域可抽象成如圖1所示的模型．Oxy平面內存在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場,磁感應強度為B．質量為m、電荷量為e的電子從O點沿x軸正方向水平入射．入射速度為v0時,電子沿x軸做直線運動;入射速度小于v0時,電子的運動軌跡如圖中的虛線所示,且在最高點與在最低點所受的合力大小相等．不計重力及電子間相互作用．

圖1

(1) 求電場強度的大小E;

2 模型溯源

2.1 速度選擇器模型

圖2

2.2 滾輪線運動模型

滾輪線又稱圓滾線或擺線,是一個剛性圓形滾輪在水平地面上沿直線做純滾動時,輪沿上的任一點的運動軌跡(如圖3所示)．本題中,當粒子速度不等于v0時,粒子就會向上或向下發(fā)生偏轉,做軌跡恰為滾輪線的復雜曲線運動,故可從運動合成和分解的角度入手,找到一條便捷的思路,第(2)(3)小問均可考慮此法．

圖3

3 多種解法

以第(3)小問為例,可以從不同的角度出發(fā),選擇不同方法求解.

解法1:設電子以速度v入射時,剛好能達到的最高點位置的縱坐標為y2(圖4),且對應速度為vm,根據題干條件“電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等”,由受力分析示意圖知兩合外力分別為evmB-Ee和Ee+evB,故有evmB-Ee=Ee+evB,結合E=v0B解得

圖4

vm+v=2v0.

(1)

再根據動能定理得

(2)

由式(1)(2)聯立解得

(3)

解法2:粒子運動過程中,由于x方向不受電場力作用,故其x方向上動量的變化一定是由洛倫茲力的沖量引起的,則由動量定理寫出微分表達式并求和,得到

∑BevyΔt=Bey2=mvm-mv.

(4)

聯立式(2)(4)求得

這種解法,無須用到題干給出的“電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等”這個關鍵條件．

解法3:前面提到,通過運動的分解思想,可以將電子的實際運動等效為一個勻速直線運動和一個勻速圓周運動的合運動.這需要做一些技術處理,一般稱之為“配速”.“配速”程序如下:第1步首先確定粒子做勻速直線運動的分速度v1,方法是根據粒子所受的洛倫茲力與電場力二力平衡從而解出v1(不妨將v1稱作直線速度);第2步根據3個速度滿足矢量運算法則v=v1+v2求出分速度v2.v2所對應的洛倫茲力使粒子做勻速圓周運動(不妨將v2稱作圓周速度);第3步利用左手定則判斷其圓周運動繞行方向.

具體到本題,首先根據兩力平衡得Ee=ev1B,再將第(1)問求出的E=v0B代入可得直線速度v1=v0．故當入射速度v

圖5

v2=v0-v.

(5)

圖6

同樣,以上方法也可用于第(2)問,相對簡單,不再贅述.

4 反思拓展

問題1:題干中說“入射速度小于v0時,電子的運動軌跡如圖中的虛線所示”,那如果入射速度大于v0,電子的運動軌跡又是何種形式?

分析:如果v>v0,粒子所受洛倫茲力大于電場力,會向下偏轉,根據v的大小不同,可能有以下3種情形,不同情形取決于粒子在最低點的合速度方向．

(1) 情形1: 若v0

圖7 圖8

(2) 情形2: 若v=2v0,入射O點的兩個分速度如圖9所示,由于v2=v0,當電子運動到最低點時,v合=0,故電子實際軌跡應如圖10所示.

圖9 圖10

(3) 情形3: 若v>2v0,入射O點的兩個分速度如圖11所示,由于v2>v0,當電子運動到最低點時,v合=v2-v0,方向向左,故電子實際軌跡應如圖12所示.

圖11 圖12

問題2:題干中說 “電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等”,為什么會是這樣?

分析:從“等效替代觀念”看,由于電子的運動可以視為勻速直線運動和勻速圓周運動的疊加,故其所受合外力也即勻速圓周運動的向心力,所以電子不僅在最高點和最低點所受合外力大小相等,其實在軌跡上任何一點所受合外力大小也一定是相等的．

問題3:求解過程中的式(2)為“vm+v=2v0”,即電子在軌跡最高點的速度和最低點的速度之和正好等于2v0,這也是必然嗎?

分析:當電子通過最高(低)點時,當兩個分運動速度方向相同時,可得最大速度vmax=v0+v2;當兩個分運動速度方向相反時,得最小速度v=v0-v2;vmax+v=2v0,故式(2)為必然結果．

本題中帶電粒子的運動學方程和速度分量方程如下(推導及求解過程略)．

也可以從運動學方程出發(fā)求解上述問題.

但不管是從什么角度出發(fā)思考和解決問題,關鍵前提是能弄清現象背后的物理學本質,只有理解透徹、“悟理”明晰,自能融會貫通.

本題較好考查了學生的物理觀念和科學思維水平,對學生物理觀念的形成、科學思維能力的提升都能起到較好的促進作用,特別對學有余力的優(yōu)秀學生更能有效促進其數理融合應用能力,提升學科核心素養(yǎng),同時對廣大物理教師也有較好的啟發(fā)、借鑒和參考價值．