楊一鳴 劉博文 石 磊

(1. 南京師范大學(xué)附屬中學(xué),江蘇 南京 210000; 2. 復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系,上海 200433)

《抱銀貂的女人》是達(dá)·芬奇所畫的世界名畫.在創(chuàng)作此畫的過程中,如何寫實(shí)地描繪畫中主人公脖頸上所戴的一串黑色珍珠項(xiàng)鏈,讓達(dá)·芬奇陷入了沉思:固定項(xiàng)鏈的兩端,使其在重力的作用下自然下垂,項(xiàng)鏈所形成的曲線應(yīng)該是什么?在高中階段學(xué)習(xí)了力學(xué)和曲線方程的情況下,高中學(xué)生可能對(duì)這個(gè)問題感到好奇,但因?yàn)槿狈ξ⒎e分知識(shí),無法進(jìn)一步探究.

計(jì)算機(jī)在當(dāng)今科學(xué)研究中起到重要作用,利用計(jì)算機(jī)輔助解決問題的思路也有很大價(jià)值.盡早讓高中生提前接觸這類思想可以幫助他們自主探究一些原本在高中階段難以討論的問題,拓展思維寬度,益處良多.[1]在本文中,我們將主要介紹如何利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,處理原本需要高階變分?jǐn)?shù)學(xué)技巧才能解決的懸鏈線問題.在此過程中,我們還將介紹與懸鏈線問題相關(guān)的最小作用量原理和最小勢(shì)能原理.這將有助于高中生開闊視野,理解書本上的物理知識(shí)背后的圖像和原理,形成一種完整統(tǒng)一的物理觀.

1 最小作用量原理、最小勢(shì)能原理

物理學(xué)家們有一個(gè)信念:“大自然不會(huì)做徒勞無功的事情(Nature does nothing in vain).”即一切物理現(xiàn)象的發(fā)生一定是因?yàn)檫@樣發(fā)生最為“省勁”,大自然傾向于以“作用量”最小的方式運(yùn)行,這就是“最小作用量原理”.[2]

物理學(xué)家們始終在探討何為“作用量”.不同的科學(xué)家提出了各種不同的“作用量”.費(fèi)馬提出“最短時(shí)間原理”,即光線移動(dòng)的路徑是用時(shí)最少的路徑.莫佩爾蒂提出作用量為質(zhì)量和速率的積在運(yùn)動(dòng)路徑上的積分.哈密頓提出作用量為動(dòng)能與勢(shì)能的差在運(yùn)動(dòng)時(shí)空上的積分等.而針對(duì)靜力學(xué)問題,伯努利提出了“最小勢(shì)能原理”:當(dāng)一個(gè)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí),其系統(tǒng)的勢(shì)能最小.本文將依據(jù)此原理進(jìn)行探討.

2 懸鏈線問題

懸鏈線問題是一個(gè)非常古老的問題,伽利略認(rèn)為是拋物線但并未證實(shí),達(dá)·芬奇提出問題后還沒有找到問題的答案便去世了,最終伯努利利用最小勢(shì)能原理解決了懸鏈線問題.[3]懸鏈線問題的具體描述是:兩端固定的一條均勻(粗細(xì)與質(zhì)量分布)、柔軟(不能伸長(zhǎng))的鏈條,在重力的作用下所具有的曲線形狀.在本文中,不考慮繩子的彈性勢(shì)能,僅僅考慮重力勢(shì)能.在實(shí)際的教學(xué)探索中,也可以鼓勵(lì)學(xué)生自主探究考慮彈性勢(shì)能的情況.本質(zhì)上,從最小勢(shì)能原理出發(fā),懸鏈線問題是一個(gè)數(shù)學(xué)上的變分問題,在高中階段原本是難以討論處理的.但事實(shí)上,高中生可以借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,在避開微積分的情況下,將積分問題轉(zhuǎn)化為求和問題,直接計(jì)算機(jī)模擬得到懸鏈線問題的近似解.

如圖1,將懸鏈線分成很多小段,設(shè)每一小段水平長(zhǎng)度為Δx,豎直長(zhǎng)度為Δy,坐標(biāo)為(x,y),繩子密度為ρ=ml,并且其數(shù)值被設(shè)定為1.則對(duì)于每一小段,它的長(zhǎng)度為

(1)

這一小段質(zhì)量為

(2)

因此該小段的勢(shì)能ΔV為

(3)

將每一小段的勢(shì)能累加求和,便得到整個(gè)懸鏈線的總勢(shì)能,為

(4)

根據(jù)最小勢(shì)能原理,懸鏈線應(yīng)是總勢(shì)能取最小值時(shí)的曲線.對(duì)于這樣一個(gè)求和問題,學(xué)生可以借助于計(jì)算機(jī)很容易地實(shí)現(xiàn).同時(shí),也能夠利用交互式的界面,通過改變曲線的形狀,直觀地感受不同形狀對(duì)應(yīng)的勢(shì)能大小,以及符合最小勢(shì)能情況下的懸鏈線曲線.

具體而言,學(xué)生可以在計(jì)算機(jī)顯示屏上生成一個(gè)交互式界面,界面中創(chuàng)建許多滑動(dòng)條,每一個(gè)滑動(dòng)條對(duì)應(yīng)于懸鏈線上的一個(gè)點(diǎn),而兩點(diǎn)之間的橫縱坐標(biāo)差即是Δx和Δy,并利用式(4)實(shí)時(shí)計(jì)算出總勢(shì)能并顯示在屏幕上.通過調(diào)整曲線形狀、觀察勢(shì)能值,就可以認(rèn)識(shí)到懸鏈線的形狀以及深刻理解最小勢(shì)能原理.

3 使用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬懸鏈線形狀

下面介紹具體的代碼實(shí)現(xiàn)過程.本文以mathematica為例,其他的程序語言,例如python等均可完成任務(wù).

定義懸鏈線的兩固定端的坐標(biāo)為(-1,0)和(1,0),從-1到1每0.2取一個(gè)點(diǎn).該點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在程序中分別為x和y.這里,為了方便起見,沒有賦予數(shù)字的具體單位.教師可以根據(jù)實(shí)際需要定義.首先,利用公式(4)計(jì)算總勢(shì)能的程序?yàn)?

為了更加直觀,也增加程序與學(xué)生的交互性,如前所述,我們可以制作交互式界面,通過滑動(dòng)條控制構(gòu)成懸鏈線上的點(diǎn),進(jìn)而調(diào)節(jié)懸鏈線形狀.通過在屏幕上實(shí)時(shí)顯示曲線形狀和所計(jì)算的總勢(shì)能,體現(xiàn)形狀和勢(shì)能的關(guān)系.具體可以利用mathematica中的ListLinePlot函數(shù)和manipulate函數(shù)實(shí)現(xiàn).具體程序?qū)崿F(xiàn)如下:

值得注意的是,確保探究正確的基本條件是保證總繩長(zhǎng)不變.如果直接從-1到1設(shè)立多個(gè)滑動(dòng)條會(huì)導(dǎo)致總繩長(zhǎng)受到影響,進(jìn)而影響結(jié)果.一種解決方法是,空出中間橫坐標(biāo)為0的點(diǎn),自動(dòng)改變它的位置以保證總長(zhǎng)不變.設(shè)它左右兩側(cè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1,y2,當(dāng)前總長(zhǎng)度與總長(zhǎng)度的差值為Δl,得到方程

(5)

只要解出方程(5),即可得到此時(shí)中間點(diǎn)的縱坐標(biāo),以保證總長(zhǎng)度l相同.可以用如下語句解出方程,并將輸出作為函數(shù)calcmid的定義(程序中的y/.可以將Solve函數(shù)的輸出中的y替代為calcmid):

然后我們可以定義len函數(shù)來計(jì)算y1和y2,并利用它計(jì)算中間坐標(biāo).

定義好函數(shù)后,可以按如下方式計(jì)算中間點(diǎn)的坐標(biāo):

為了方便,在實(shí)際的編程中,教師可以預(yù)先利用已知的懸鏈線曲線獲得懸鏈線的總長(zhǎng)度l.最終的程序交互式界面如圖2所示.運(yùn)行程序后,在調(diào)整圖像形狀的同時(shí),界面上可以直接顯示總勢(shì)能的變化.可以看出,當(dāng)曲線逐漸接近懸鏈線時(shí),總勢(shì)能也在不斷減小.最終得到的曲線即為近似的懸鏈線.

圖2

圖2為最小勢(shì)能模擬計(jì)算機(jī)界面.左側(cè)的滑動(dòng)條分別對(duì)應(yīng)著右側(cè)圖中點(diǎn)的縱坐標(biāo),可以通過拖動(dòng)滑動(dòng)條改變點(diǎn)的位置。右圖會(huì)顯示出所有點(diǎn)的位置,并計(jì)算出此時(shí)對(duì)應(yīng)的勢(shì)能。(假設(shè),橫縱坐標(biāo)單位為m)

4 做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證

為了驗(yàn)證在實(shí)際生活中很多固定兩端的懸鏈線的形狀的確是符合最小勢(shì)能原理,可以使用珍珠項(xiàng)鏈等進(jìn)行簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn).以珍珠項(xiàng)鏈為例,測(cè)量出項(xiàng)鏈長(zhǎng)度后,控制兩端點(diǎn)間的距離為15 cm和20 cm,將程序中l(wèi)設(shè)為總長(zhǎng)與短點(diǎn)距離比值的兩倍(因?yàn)槌绦蛑袑啥它c(diǎn)距離設(shè)為2).觀察項(xiàng)鏈形狀,并與擬合出的形狀進(jìn)行比較.可以發(fā)現(xiàn)曲線是幾乎重合的(如圖3),因此可以認(rèn)為得到的懸鏈線曲線的確是最小勢(shì)能情況.也可以讓學(xué)生運(yùn)用相同方法自主探究?jī)啥它c(diǎn)不等高的情形,拓展思維.

圖3

圖3將珍珠項(xiàng)鏈兩端點(diǎn)距離控制為15 cm和20 cm,并輸入到程序中,模擬出勢(shì)能最小時(shí)的曲線,并與原圖進(jìn)行對(duì)比.圖像坐標(biāo)軸單位為任意單位.

5 與拋物線的區(qū)別

懸鏈線和拋物線看起來非常相似,相信有很多學(xué)生會(huì)猜測(cè)懸鏈線曲線形狀實(shí)際上就是拋物線.但是我們通過程序模擬,可以排除掉懸鏈線是拋物線的可能性.

如圖4,先通過上述方法調(diào)整出懸鏈線圖案(實(shí)線),然后分別作出過曲線兩端點(diǎn)和極值點(diǎn)(A、B、C3點(diǎn))的拋物線(虛線).因?yàn)?點(diǎn)可以確定一個(gè)這樣的拋物線,如果懸鏈線曲線為拋物線,實(shí)線和虛線形狀應(yīng)相近.然而可以發(fā)現(xiàn)懸鏈線長(zhǎng)度與兩端點(diǎn)距離的比值越大(懸鏈線豎直方向上越長(zhǎng)),它的圖像和拋物線差異越大,因此可以排除懸鏈線為拋物線的可能性.

圖4

6 生活中的懸鏈線

進(jìn)一步,還可以組織學(xué)生尋找生活中的懸鏈線并進(jìn)行自主探索.例如,找到生活中的懸鏈線并拍照.通過測(cè)量估算出大致繩長(zhǎng)后,輸入到程序中,通過拖動(dòng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)找到最小勢(shì)能曲線,再將曲線與實(shí)際情況進(jìn)行比較.

例如,圖5是一張常見的河邊石墩間鐵鏈的照片.設(shè)兩端點(diǎn)距離數(shù)值為2,則可以用棉線測(cè)出它的對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度數(shù)值約為17/8.將程序中的長(zhǎng)度數(shù)值設(shè)為17/8,再不斷拖動(dòng)點(diǎn),達(dá)到勢(shì)能最小時(shí),觀察線的形狀.最終可以發(fā)現(xiàn)與圖片中懸鏈線形狀相似.

圖5

7 結(jié)語

本文主要介紹如何通過計(jì)算機(jī)模擬的方式,結(jié)合最小作用量原理在高中教學(xué)中探討懸鏈線問題.利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算的強(qiáng)大能力,將積分轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛?并借助交互式界面這樣一個(gè)有趣的方式,彌補(bǔ)高中生現(xiàn)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的不足,使高中生對(duì)懸鏈線問題和最小作用量原理有較為直觀的理解.

更為重要的是,本論文的嘗試說明了利用計(jì)算機(jī)模擬的思路在高中學(xué)習(xí)中將會(huì)起到重要作用.鼓勵(lì)高中學(xué)生在遇到無法憑借自己現(xiàn)有知識(shí)解決的問題時(shí),運(yùn)用信息技術(shù),通過計(jì)算機(jī)模擬的方式得到近似結(jié)果,將有助于學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培養(yǎng).

本文受到復(fù)旦大學(xué)“步青計(jì)劃學(xué)術(shù)見習(xí)課程:物理學(xué)中的作用量”課程的支持.