周綱,黃瑞,劉謀海,李丹,胡軍華,高云鵬

(1.國(guó)網(wǎng)湖南省電力有限公司,長(zhǎng)沙 410004; 2.智能電氣量測(cè)與應(yīng)用技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙 410004;3.湖南大學(xué),長(zhǎng)沙 410082)

0 引 言

三相不平衡是衡量電能質(zhì)量的重要指標(biāo)[1]。隨著當(dāng)前智能電網(wǎng)各種沖擊性和非線性負(fù)載的大量應(yīng)用,電能質(zhì)量不斷惡化,電壓或電流中存在大量負(fù)序分量,不僅影響供電質(zhì)量,也給電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行帶來(lái)隱患[2]。為降低電網(wǎng)不平衡給系統(tǒng)帶來(lái)的危害,減少因供電質(zhì)量下降而造成的不必要損失,需對(duì)電網(wǎng)三相不平衡進(jìn)行準(zhǔn)確檢測(cè)與分析[3]。

遵循國(guó)標(biāo)《電能質(zhì)量 三相電壓不平衡》和國(guó)際大電網(wǎng)委員會(huì)定義,三相不平衡度分為線電壓和相電壓兩種計(jì)算方法,在實(shí)際檢測(cè)裝置中,通常只能得到相電壓的幅值與相角,經(jīng)過(guò)換算才得到線電壓,計(jì)算過(guò)程繁瑣[4],而相電壓計(jì)算方法中相序分量求取涉及平方運(yùn)算,且相序間相角求取易受電網(wǎng)電壓噪聲影響,嵌入式系統(tǒng)計(jì)算準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性亟待提高。

檢測(cè)三相不平衡度分為兩個(gè)階段,首先檢測(cè)電壓基波分量的幅值和相位,再應(yīng)用對(duì)稱分量法檢測(cè)出基波分量中的正序、負(fù)序和零序相序分量。在基波測(cè)量方面,快速FFT變換是常用算法,但非同步采樣時(shí)存在頻譜混疊、頻譜泄漏等影響。為此文獻(xiàn)[5]提出基于三維空間法向量的三相電壓幅值檢測(cè)算法,但因含有濾波器存在時(shí)延,且缺乏相位檢測(cè)信息。文獻(xiàn)[6]提出混合基FFT算法計(jì)算基波分量,結(jié)合對(duì)稱分量法計(jì)算不平衡度,但采樣點(diǎn)基數(shù)有限。文獻(xiàn)[7]提出改進(jìn)的S變換檢測(cè)電壓的幅值和相位,但涉及調(diào)節(jié)參數(shù),難以兼顧檢測(cè)精度和速度;在相序分量測(cè)量方面,因最小二乘法[8]、卡爾曼濾波法[9]易受噪聲影響,使相角計(jì)算出現(xiàn)誤差。文獻(xiàn)[10]提出瞬時(shí)序分量提取方法獲得序列分量幅值相位,但依賴于鎖相環(huán)精度?；阪i相環(huán)檢測(cè)法響應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)和易受電壓分量不平衡的影響,文獻(xiàn)[11]提到采用雙二階廣義積分器的正序電流分量檢測(cè)方法,并對(duì)分離正序電流跟蹤補(bǔ)償。文獻(xiàn)[12-13]提出假設(shè)檢驗(yàn)檢測(cè)理論,并應(yīng)用廣義似然比求解系統(tǒng)頻率的近似極大似然估計(jì)值,但受電網(wǎng)頻率波動(dòng)影響大。文獻(xiàn)[14]利用向量測(cè)量單元進(jìn)行三相不平衡檢測(cè),給出非正常頻率下的相序分量的模型和假設(shè)檢驗(yàn)的框架,但嵌入式系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜。文獻(xiàn)[15]提出基于FBD基波正負(fù)序檢測(cè)算法,但依賴于低通濾波器改進(jìn)。文獻(xiàn)[16-17]提出相量快速算法來(lái)計(jì)算不平衡度,但對(duì)于基波分量的求取精度未做太多介紹,文獻(xiàn)[18]提出準(zhǔn)同步采樣算法和相量快速算法結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)不平衡度測(cè)量,但遞推過(guò)程繁瑣。文獻(xiàn)[19]采用加窗快速傅里葉變換和坐標(biāo)分區(qū)法結(jié)合計(jì)算不平衡度,解決信號(hào)的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)等問(wèn)題,但現(xiàn)有窗函數(shù)對(duì)于基波分量的求取精度不高。

因此,為實(shí)現(xiàn)三相不平衡度的準(zhǔn)確檢測(cè),文中構(gòu)建Blackman-Harris窗和Nuttall窗互卷積新型窗函數(shù),其頻譜性能結(jié)合兩窗的旁瓣優(yōu)勢(shì),具有較低的旁瓣峰值,更快的旁瓣衰減速率,推導(dǎo)了新型B-N卷積窗的三譜線改進(jìn)FFT修正算式,并在原有的坐標(biāo)分區(qū)法基礎(chǔ)上增加分區(qū)數(shù)目,提出改進(jìn)坐標(biāo)分區(qū)法實(shí)現(xiàn)相序分量與不平衡度求解,據(jù)此提出基于新型B-N卷積窗和改進(jìn)分區(qū)法的三相不平衡度檢測(cè)方法,提高了基波計(jì)算精度,同時(shí)避免復(fù)雜開(kāi)方運(yùn)算和三角函數(shù)運(yùn)算最后采用仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)文中提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證與分析。

1 三相不平衡度計(jì)算

負(fù)序電壓不平衡度為電壓基波負(fù)序分量有效值與基波正序分量有效值的比值,零序電壓不平衡度為電壓基波零序分量有效值與基波正序分量有效值的比值,表達(dá)式分別為:

(1)

(2)

式中εn為負(fù)序不平衡度;ε0為零序不平衡度;Up為基波電壓正序分量;Un為基波電壓負(fù)序分量;U0為基波電壓零序分量。

根據(jù)對(duì)稱分量法原理,可得系統(tǒng)三相相電壓和相序分量的關(guān)系,表達(dá)式為:

(3)

式中α為旋轉(zhuǎn)算子,α=ej2π/3

設(shè)三相電壓基波幅值分別為|Ua|、|Ub|、|Uc|,相位分別為φa、φb、φc,則相序分量與基波分量的關(guān)系可表示為

j(|Ua|sinφa+|Ub|sin(φb)+|Uc|sin(φc)

(4)

(5)

(6)

通過(guò)式(4)～式(6)計(jì)算,獲得相序分量的有效值與相位,再經(jīng)過(guò)式(1)與式(2)可計(jì)算出三相不平衡度。

2 新型B-N窗基波分量求解

基波幅值和相位準(zhǔn)確檢測(cè)是相序分量計(jì)算與三相不平衡準(zhǔn)確檢測(cè)的基礎(chǔ),而基于優(yōu)化窗函數(shù)改進(jìn)FFT修正可有效提高基波分量的檢測(cè)精度。4項(xiàng)Blackman-Harris窗旁瓣峰值電平為-92 dB,4項(xiàng)5階Nuttall窗旁瓣衰減速率為42 dB/oct,旁瓣峰值電平較小,具有良好的旁瓣性能。因此文中采用4項(xiàng)5階Nuttall窗與Blackman-Harris窗構(gòu)造新型B-N混合互卷積窗,分析其歸一化頻譜,并推導(dǎo)三譜線插值修正計(jì)算式。

4項(xiàng)Blackman-Harris窗和4項(xiàng)5階Nuttall窗均屬于余弦窗,其時(shí)域表達(dá)式為:

(7)

式中M為窗函數(shù)項(xiàng)數(shù),n=0,1,….N-1;Blackman-Harris窗的b0=0.358 75,b1=0.488 29,b2=0.141 28,b3=0.011 68;4項(xiàng)5階Nuttall窗的b0=0.312 5,b1=0.468 75,b2=0.187 5,b3=0.031 25。

通過(guò)性能優(yōu)良的窗函數(shù)互卷積構(gòu)建新型混合卷積B-N窗時(shí)域表達(dá)式為:

(8)

根據(jù)時(shí)域卷積定理,獲得新型B-N互卷積窗的頻域表達(dá)式為:

WB-N(ω)=WB(ω)·WN(ω)

(9)

Blackman-Harris窗、4項(xiàng)5階Nuttall窗及本文構(gòu)建新型B-N窗的歸一化對(duì)數(shù)頻譜如圖1所示。

圖1 窗函數(shù)的歸一化對(duì)數(shù)頻譜

由圖1可知,與Blackman-Harris窗和Nuttall窗相比,新型B-N卷積窗具有更低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速率,顯著提升了余弦窗的旁瓣性能,能更好抑制頻譜泄露,提高檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度。

設(shè)電壓信號(hào)含有H次諧波,以采樣頻率fs對(duì)單相信號(hào)采樣后得:

(10)

用卷積窗對(duì)x(n)進(jìn)行處理,可得加窗后的離散傅里葉表達(dá)式為:

(11)

式中Δf=fs/N為信號(hào)平均采樣間隔。由于非同步采樣和柵欄效應(yīng)影響,信號(hào)實(shí)際峰值頻點(diǎn)khΔf很難正好位于采樣頻點(diǎn),為使電壓基波分量計(jì)算精度更高,本文利用實(shí)際峰值點(diǎn)及其附近兩條譜線,計(jì)算新型B-N互卷積窗插值下的電壓基波分量。

信號(hào)頻譜最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為kh,但由于非同步采樣,該點(diǎn)并未被采集到,而采集到其附近最大值對(duì)應(yīng)的譜線km,與其靠近右側(cè)和左側(cè)的兩根譜線分別為km+1和km-1,令ε=kh-km,則-0.5<ε<0.5,三根譜線對(duì)應(yīng)的幅值分別為y1=|X(km-1Δf)|,y2=|X(kmΔf)|,y3=|X(km+1Δf)|,記:

(12)

將參數(shù)ε代入式(12),可得:

(13)

記β=f(ε),求得ε=f-1(β),用函數(shù)近似求解擬合法獲得參數(shù)ε,根據(jù)頻率與實(shí)際頻譜最高點(diǎn)間對(duì)應(yīng)關(guān)系,可獲得頻率計(jì)算式為:

fh=(kh+ε)Δf

(14)

通過(guò)加權(quán)設(shè)置,可得到電壓基波幅值和相位修正式分別為:

A1=

(15)

(16)

同理,用逼近方法求解多項(xiàng)式g(e),經(jīng)多次擬合求得新型B-N互卷積窗三譜線插值參數(shù)e和g(e)計(jì)算式分別為:

ε=1.76925764β-0.12413716β3+0.01825458β5-0.00327175β7

(17)

g(ε)=2.31811912+0.32870923β2+0.02421399β4+0.00125990β6

(18)

3 改進(jìn)分區(qū)法三相不平衡度檢測(cè)

相序分量求取結(jié)果與三相基波電壓的幅值和相位的精度直接相關(guān),由式(4)～式(6)可知,相序分量需經(jīng)過(guò)三相電壓相量的和求模獲得,通常求相量和的模有兩種方法,即公式法與坐標(biāo)法,而公式法運(yùn)算量大,故本文選取建立新型坐標(biāo)系的坐標(biāo)法來(lái)計(jì)算相序分量,在原有以3和4為基底的坐標(biāo)分區(qū)法基礎(chǔ)上通過(guò)增加分區(qū)數(shù)建立改進(jìn)分區(qū)法,實(shí)現(xiàn)以5為基底,并進(jìn)一步推導(dǎo)得出5分區(qū)、10分區(qū)和15分區(qū)的不平衡度,比較三個(gè)分區(qū)下不平衡度檢測(cè)結(jié)果,據(jù)此驗(yàn)證構(gòu)建改進(jìn)分區(qū)法的準(zhǔn)確性和有效性。

設(shè)有三相電壓相量,A、B、C三相電壓的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則有:

(19)

tanθ=(y1+y2+y3)/(x1+x2+x3)

(20)

式中θ為三相電壓相量和的模的相位,在直角坐標(biāo)系中,若電壓A相幅值為Ua,相位為α,則相量A相坐標(biāo)為(Uacosα,Uasinα),同理B相坐標(biāo)為(Ubcosβ,Ubsinβ),C相坐標(biāo)為(Uccosγ,Ucsinγ)。

由式(19)與式(20)可計(jì)算出三相電壓和的幅值與相位,但涉及開(kāi)方與三角函數(shù)運(yùn)算,計(jì)算量較大,為簡(jiǎn)化運(yùn)算,需建立新型直角坐標(biāo)系。本文取a相所在相量為x軸,則A相坐標(biāo)為(Ua,0),B相坐標(biāo)為(Ubcos(φb-φa),Ubsin(φb-φa)),C相坐標(biāo)為(Uccos(φc-φa),Ucsin(φc-φa)),在新坐標(biāo)系中相序分量的求取能省去開(kāi)方與三角函數(shù)計(jì)算,減少計(jì)算量,有效加快相量求取速度,以負(fù)序分量Un計(jì)算為例建立負(fù)序分量坐標(biāo)圖如圖2所示。

圖2 計(jì)算負(fù)序分量坐標(biāo)圖

由圖2可知,負(fù)序分量OUn的幅值即為所求負(fù)序分量值,而點(diǎn)Un到原點(diǎn)O的距離即為負(fù)序分量OUn的幅值。設(shè)負(fù)序分量Un坐標(biāo)為(xn,yn),則:

(21)

假定xn>yn,在相量Unxn上任取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)線段OC到A點(diǎn),使|OA=OUn|,為計(jì)算方便,作UnP⊥OA,BUn⊥OUn,則有:

|OUn|=|OA|=|OC|+|CP|+|PA|

(22)

由圖2可知,令θ為相量OUn與x軸的夾角,則θ=arctan(yn)/xn,x’軸為相量計(jì)算方便而選取軸,β為x’軸與x軸間的夾角,γ=θ-β,則相量|OC|、|CP|和|PB|分別表示為:

(23)

|CP|=(yn-xntanβ)sinβ

(24)

(25)

因A點(diǎn)位于相量PB之間,所以在相量PA與PB間必存在一個(gè)0與1間的系數(shù)η,使|PA=ηPB|,即:

(26)

式中η為比例因子,k0=1/cosβ,k1=sinβ,k2=η·

(cosβ)2。

由此可見(jiàn),相量OUn求取轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求和形式,為進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算量,本文將三角函數(shù)運(yùn)算用簡(jiǎn)單的線性函數(shù)代替,并依據(jù)本文提出的以5為基底的改進(jìn)坐標(biāo)分區(qū)法,進(jìn)一步分析5分區(qū)、10分區(qū)及15分區(qū)相關(guān)系數(shù)和不平衡度的檢測(cè)結(jié)果。以xn值為基準(zhǔn)建立正方形坐標(biāo)區(qū)域,建立5分區(qū)法如圖3所示。

由圖3可知,在y軸上選取四個(gè)點(diǎn),將y軸分為五等份,即yn1=yn2/2=…yn5/5=xn/5,設(shè)OUn在第i分區(qū),則有(i-1)xn/n≤yn≤ixn/n,β為i-1個(gè)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的夾角,有:

(27)

由圖2幾何關(guān)系可得,相量UnA為∠PUnB的角平分線,則:

(28)

式中γ=θ-β。為減少三角函數(shù)復(fù)雜運(yùn)算,用一次線性函數(shù)y1=b1γ和y2=b2γ分別逼近tanγ、tan(γ/2),則:

(29)

由式(29)可得,η僅由b1和b2決定,不同分區(qū)數(shù)的η值不同,通過(guò)函數(shù)擬合得到不同分區(qū)的b1,b2和η值如表1所示。

表1 3個(gè)分區(qū)的b1、b2、η值

根據(jù)k0、k1、k2與β的三角函數(shù)關(guān)系,以5分區(qū)和10分區(qū)為例仿真,得到5分區(qū)和10分區(qū)k0、k1、k2值如表2所示。

表2 5分區(qū)和10分區(qū)幅值的系數(shù)

當(dāng)n=5時(shí),設(shè)|OUn|在1區(qū),由表2得k0=1.019 803 900,k1=0.196 116 135,k2=0.479 196 302,代入式(26),計(jì)算負(fù)序分量即|OUn|的值;若xn≤yn,可在x軸進(jìn)行分區(qū)域計(jì)算,計(jì)算思路與xn>yn一致,依此原理可計(jì)算出正序分量與零序分量的值,代入式(1)與(2),計(jì)算得出不平衡度的最終結(jié)果。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證文中提出的基于新型B-N窗和改進(jìn)分區(qū)法的三相不平衡度檢測(cè)方法計(jì)算精度,取國(guó)標(biāo)推薦方法為基準(zhǔn)值,對(duì)三組含基波電壓信號(hào)和含有五次諧波及高斯白噪聲信號(hào)進(jìn)行仿真,其中基波頻率為50 Hz,諧波頻率fh=hf1,采樣頻率為fs=8 kHz,采樣長(zhǎng)度為N=2 048。

4.1 僅含基波的電壓信號(hào)仿真

對(duì)3組僅含基波的A、B、C三相電壓信號(hào)進(jìn)行仿真分析,電壓信號(hào)幅值與相位如表3所示。采用GB/T 15543-2008推薦方法和本文方法求取電壓信號(hào)的基波分量和相序分量,進(jìn)而求得三組信號(hào)的負(fù)序不平衡度(VUFn)和零序不平衡度(VUF0)結(jié)果如表4所示。

表3 三相基波電壓信號(hào)參數(shù)

表4 電壓不平衡度仿真結(jié)果

由表4可知,隨著分區(qū)數(shù)的增加,基于本文方法得到的不平衡度檢測(cè)結(jié)果與國(guó)標(biāo)檢測(cè)結(jié)果接近,經(jīng)十分區(qū)和十五分區(qū)仿真得到的結(jié)果更接近國(guó)標(biāo)推薦方法的檢測(cè)值。

為比較不同分區(qū)下不平衡度的相對(duì)誤差,以GB/T 15543-2008方法為真值,不同分區(qū)的相對(duì)誤差表達(dá)式為:

(30)

式中R為不同分區(qū)下計(jì)算的實(shí)際值;I為國(guó)標(biāo)推薦方法計(jì)算真值。對(duì)1-3組電壓信號(hào)仿真,所得相對(duì)誤差如圖4所示。

圖4 不平衡度的相對(duì)誤差圖

由圖4可知,五分區(qū)電壓不平衡度相對(duì)誤差最低為10-5%左右,而十分區(qū)、十五分區(qū)的不平衡度誤差可達(dá)到10-7%～10-6%之間,可見(jiàn),采用十分區(qū)和十五分區(qū)得到的仿真效果更好。

為驗(yàn)證文中提出的新型B-N卷積窗函數(shù)對(duì)不平衡度計(jì)算結(jié)果的影響,分別采用基于Hanning窗、Blackman-Harris窗和4項(xiàng)5階Nuttall窗以及本文構(gòu)建的新型B-N卷積窗,以10分區(qū)為例,分別對(duì)上述電壓信號(hào)不平衡度進(jìn)行計(jì)算,得到不同窗函數(shù)的電壓不平衡度測(cè)量相對(duì)誤差曲線如圖5所示。

圖5 不同窗函數(shù)的電壓不平衡度相對(duì)誤差

由圖5可知,四種窗函數(shù)仿真中Hanning窗得到的不平衡度相對(duì)誤差最大,應(yīng)用本文新型B-N卷積窗得到不平衡度的相對(duì)誤差最小。由此可見(jiàn),不同窗函數(shù)與改進(jìn)分區(qū)法的結(jié)合影響不平衡度計(jì)算的結(jié)果,文中提出的新型B-N卷積窗改進(jìn)分區(qū)法可降低不平衡度計(jì)算的相對(duì)誤差,提高測(cè)量的準(zhǔn)確度。

4.2 含諧波信號(hào)的仿真

非線性負(fù)荷常給電網(wǎng)注入大量諧波,為驗(yàn)證本文算法在電壓信號(hào)含有諧波情況下仍有很好的計(jì)算精度,向第四組電壓信號(hào)中加入七次諧波,仿真信號(hào)基波及各次諧波的幅值和相位如表5所示。

表5 含有諧波的三相電壓系數(shù)

分別以國(guó)標(biāo)推薦方法和本文方法進(jìn)行仿真得到的不平衡度結(jié)果如表6所示。

表6 不平衡度仿真結(jié)果

4.3 含噪聲信號(hào)的仿真

為驗(yàn)證文中算法在含有噪聲情況下的計(jì)算精度,設(shè)第五組電壓信號(hào)含有3、5、7次諧波,各相電壓基波和諧波的幅值與相位參數(shù)如表7所示,A相、B相和C相分別加入信噪比為40 dB、18 dB和80 dB高斯白噪聲,分別以國(guó)標(biāo)推薦方法和文章方法仿真得到的不平衡度結(jié)果如表8所示。

表8 不平衡度仿真結(jié)果

由表7和表8可知,文中提出算法在含有諧波和噪聲的電壓信號(hào)下檢測(cè)出的不平衡度可達(dá)到與GB/T方法相同的數(shù)量級(jí),其中十分區(qū)法和十五分法計(jì)算出的電壓不平衡度與標(biāo)準(zhǔn)方法計(jì)算結(jié)果間的誤差不超過(guò)10-6%,驗(yàn)證了文中算法在諧波和噪聲干擾的準(zhǔn)確度。

5 結(jié)束語(yǔ)

文中提出基于新型B-N卷積窗和改進(jìn)分區(qū)法的三相不平衡度檢測(cè)算法。新型B-N互卷積窗能準(zhǔn)確計(jì)算出三相電壓的基波和幅值,比傳統(tǒng)優(yōu)化窗函數(shù)實(shí)現(xiàn)效果更好,以5為基底的改進(jìn)分區(qū)法中10分區(qū)和15分區(qū)法計(jì)算出三相不平衡度的誤差更小,提高了不平衡度計(jì)算的準(zhǔn)確度。從仿真實(shí)驗(yàn)與分析的結(jié)果可知,文中提出的新型B-N卷積窗結(jié)合改進(jìn)分區(qū)法的三相不平衡度檢測(cè)結(jié)果滿足GB/T15543-2008的準(zhǔn)確度要求,同時(shí)避免復(fù)雜開(kāi)方和三角函數(shù)運(yùn)算,減少了運(yùn)算時(shí)間,有效提高了檢測(cè)的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性。