田潔華，孫迪，屈峰，白俊強(qiáng)

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

隨著飛行器的經(jīng)濟(jì)性、安全性、環(huán)保性等各項(xiàng)性能指標(biāo)要求的提高，氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)在飛行器設(shè)計(jì)中占據(jù)越來越重要的地位［1-3］。其中，幾何參數(shù)化方法的特性對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的尋優(yōu)區(qū)間和計(jì)算效率有著深刻的影響［4］。一個(gè)好的參數(shù)化方法，需保證最優(yōu)解包含在設(shè)計(jì)空間中的同時(shí)，能夠用盡量少的參數(shù)和足夠高的精度來定義幾何外形，以減少設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算量。

傳統(tǒng)的參數(shù)化方法，如Bezier曲線［5］、B樣條方 法［6］、自 由 變形（FFD）法［7］、解 析 函數(shù) 疊 加法［8］、類別形狀函數(shù)變換（Class and Shape Transformation， CST）法［9］等，往往需要較多的設(shè)計(jì)參數(shù)才能對(duì)翼型進(jìn)行準(zhǔn)確描述，這對(duì)依賴高精度CFD仿真的氣動(dòng)優(yōu)化技術(shù)提出了巨大挑戰(zhàn)。在氣動(dòng)外形優(yōu)化中，越高的設(shè)計(jì)維度和越大的設(shè)計(jì)變量范圍，會(huì)覆蓋更廣的設(shè)計(jì)探索空間，由此也會(huì)產(chǎn)生大量CFD計(jì)算問題，加劇“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象［10］。

為克服“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象，許多學(xué)者開展了對(duì)設(shè)計(jì)空間降維方法［11-15］的研究。張威等［16］使用主成分分析（PCA）方法，提取了翼型的主要幾何變形模態(tài)，并以此作為設(shè)計(jì)變量，對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行了優(yōu)化。Wu等［17］采用本征正交分解（POD）方法對(duì)CST基函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行降維處理，結(jié)果表明POD參數(shù)化方法可以用更少的參數(shù)個(gè)數(shù)，達(dá)到與高階CST方法相近的翼型表示效果。此外，非線性降維方法也被應(yīng)用于緩解“維數(shù)災(zāi)難”，吳則良等［18］提出了一種基于深度自動(dòng)編碼器（DAE）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將該模型用于翼型參數(shù)的非線性降維，并與POD和CST方法進(jìn)行對(duì)比，實(shí)現(xiàn)了更高的優(yōu)化效率。

在大尺度設(shè)計(jì)空間中，可能包含較多奇異外形，使得優(yōu)化過程對(duì)無效設(shè)計(jì)的探索次數(shù)增加，優(yōu)化效率仍有較大提升空間。針對(duì)此問題，部分學(xué)者采用深度生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)對(duì)有效外形設(shè)計(jì)的分布進(jìn)行學(xué)習(xí)，以進(jìn)一步改善設(shè)計(jì)空間。Chen等［19］在Info-GAN中 融 入Bezier層 構(gòu) 造 了Bezier-GAN，研究結(jié)果表明該模型能夠減少設(shè)計(jì)空間中的奇異外形，提升優(yōu)化效率。Du等［20］利用外形控制能力更好的B樣條曲線，構(gòu)造了BSpline-GAN，進(jìn)一步提升了翼型表示能力。盡管如此，這些模型的性能依然受限于Bezier和Bspline參數(shù)化方法，需要較多控制點(diǎn)才能對(duì)翼型外形進(jìn)行準(zhǔn)確描述。

與Bezier和B-spline參數(shù)化方法相比，CST方法對(duì)翼型曲線有更加靈活的控制能力，能夠用更少的設(shè)計(jì)變量較為精確的描述幾何外形［21］，其設(shè)計(jì)參數(shù)還具有明確的物理意義，可以方便地對(duì)前緣曲率半徑、后緣角及后緣厚度進(jìn)行控制［22］。為此，本文充分利用CST方法的優(yōu)點(diǎn)，在Info-GAN中融入CST層，構(gòu)造新的翼型表示方法：CST-GAN，以進(jìn)一步提升翼型表示能力，減少設(shè)計(jì)空間中的奇異外形，從而提高優(yōu)化效率，節(jié)約計(jì)算成本。

1 CST-GAN參數(shù)化方法

1.1 CST參數(shù)化方法

CST參數(shù)化方法最初由Kulfan等［23］提出，通過一個(gè)類別函數(shù)和一個(gè)形狀函數(shù)來描述幾何外形，用公式表示為

式中：ζ=y/c；ψ=x/c；c為翼型弦長；x為翼型x軸坐標(biāo)；y為翼型y軸坐標(biāo)；ζTE為翼型后緣相對(duì)y軸坐標(biāo)。

類別函數(shù)可以表示為

N1和N2定義了所表示的幾何外形的類別。美國國家航空咨詢委員會(huì)（NACA）系列圓頭尖尾翼型類別函數(shù)取N1=0.5，N2=1.0；對(duì)于雙圓弧翼型，取N1=1.0，N2=1.0；Sear-Haack旋成體的類別函數(shù)則取N1=0.75，N2=0.75，如圖1所示。

圖1 類別函數(shù)定義的外形Fig.1 Geometric shape described by class function

CST方法的形狀函數(shù)S(ψ)通常用n階Bernstein多項(xiàng)式的加權(quán)和表示：

式中：Bin為Bernstein多項(xiàng)式，i為多項(xiàng)式中的指數(shù)，n為多項(xiàng)式的階數(shù)；Kin為組合數(shù)；wi(i=0，1， … ，n)為權(quán)重因子，組成幾何外形的n+1階參數(shù)向量w。圖2為形狀函數(shù)不同基函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線形狀。

圖2 形狀函數(shù)的基函數(shù)曲線Fig.2 Basis function curves of shape function

在文獻(xiàn)［23］中，Kulfan等提出并證明了形狀函數(shù)在前后緣的取值分別與前緣曲率半徑RLE、后緣角β和后緣厚度yTE有關(guān)，表示形式為

通過對(duì)CST函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，可得翼型前緣點(diǎn)曲率的精確計(jì)算公式為

忽略小量，可得近似公式為

式中：κx=0表示前緣點(diǎn)曲率；w0表示第1個(gè)CST參數(shù)；w1表示第2個(gè)CST參數(shù)。

1.2 生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)

生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（Generative Adversarial Network， GAN）是GoodFellow等［24］于2020年提出的一種深度生成模型，如圖3所示。生成器G以服從某種先驗(yàn)分布（如正態(tài)分布、均勻分布）的噪聲z作為輸入，生成與真實(shí)數(shù)據(jù)分布相近的樣本G(z)，判別器D則接收生成數(shù)據(jù)x~=G(z)和真實(shí)樣本數(shù)據(jù)x，并辨別真假，其損失可以表示為

圖3 生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Generative adversarial network

標(biāo)準(zhǔn)生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)旨在學(xué)習(xí)樣本的潛在概率模型并且生成符合該分布的數(shù)據(jù)，能夠?qū)崿F(xiàn)高維數(shù)據(jù)的低維表示。其學(xué)到的特征在數(shù)據(jù)空間中以一種復(fù)雜無序的方式編碼，高度耦合，不具備可解釋性［25］。為彌補(bǔ)該缺陷，信息最大化生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（Info-GAN）［26］被提出，如圖4所示。

圖4 信息最大化生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Information maximizing generative adversarial network

Info-GAN的生成器以潛在變量c和不可壓縮噪聲z作為輸入，在判別器末端不僅輸出接收樣本來自真實(shí)樣本數(shù)據(jù)的概率，還輸出對(duì)潛在變量的預(yù)測(cè)c^，通過最大化生成數(shù)據(jù)x~和潛在變量c之間的互信息I(c；G(c，z))來學(xué)習(xí)樣本的可解釋性特征，但由于互信息難以計(jì)算，故采用最大化其下界的方式來近似代替，互信息下界為

式中：H(c)表示潛在變量的熵值；Q是為了近似P(c|x)引入的輔助分布。對(duì)LI的詳細(xì)推導(dǎo)可以參考文獻(xiàn)［26］。Info-GAN的總損失函數(shù)表示為

這里的Pc是潛在變量的先驗(yàn)分布，λ是信息損失的權(quán)重參數(shù)。c的分布一般是固定的，所以H(c)可以作為一個(gè)常量處理。

1.3 CST-GAN參數(shù)化模型

GAN可以通過生成器G生成一系列離散點(diǎn)表示幾何外形，然而，該離散表示無法保證翼型曲線是光滑的，此外，噪聲變量所描述的幾何特征高度耦合，不具有物理可解釋性，很難為優(yōu)化算法在設(shè)計(jì)空間中的探索提供有效反饋。針對(duì)這些問題，本文在Info-GAN的生成器中引入CST參數(shù)化層，構(gòu)造了CST-GAN，以保證在學(xué)習(xí)可解釋性特征的同時(shí)，能夠生成光滑的翼型曲線。

通過對(duì)有效設(shè)計(jì)外形的分布進(jìn)行學(xué)習(xí)，CST-GAN可以建立已知先驗(yàn)分布與有效設(shè)計(jì)外形分布的映射關(guān)系，進(jìn)而對(duì)先驗(yàn)分布采樣，通過生成器獲得服從有效設(shè)計(jì)分布的翼型，以避免優(yōu)化過程中出現(xiàn)奇異外形。

CST-GAN使用與Info-GAN相似的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并在生成器的末端添加了CST參數(shù)化層，如圖5所示。在CST-GAN中，潛在變量c和噪聲變量z作為生成器的輸入，經(jīng)過反卷積層產(chǎn)生控制翼型上下表面的參數(shù)wupper和wlower，最后通過CST層合成翼型外形。

圖5 CST-GAN模型結(jié)構(gòu)Fig.5 Model architecture of CST-GAN

翼型x坐標(biāo)為

式中：m表示CST曲線上的點(diǎn)數(shù)；x位于[0， 1]區(qū)間；y坐標(biāo)按式（1）計(jì)算。

考慮到數(shù)值穩(wěn)定性，CST方法中的Bernstein多項(xiàng)式為

式中：Γ表示數(shù)學(xué)中的gamma函數(shù)；exp為指數(shù)函數(shù)。

除了生成對(duì)抗損失和互信息損失，還添加正則項(xiàng)以進(jìn)一步提高翼型生成效果。

1）翼型交叉損失

為防止生成翼型的上下表面出現(xiàn)交叉，在模型中添加如下正則項(xiàng)：

式中：N是批樣本數(shù)量；m是CST曲線上點(diǎn)數(shù)；yki，l表示第k個(gè)樣本下表面CST曲線上第i個(gè)點(diǎn)的y坐標(biāo)；yki，u表示第k個(gè)樣本上表面CST曲線上第i個(gè)點(diǎn)的y坐標(biāo)。

2）前緣點(diǎn)曲率損失

為避免產(chǎn)生尖前緣翼型，添加如下正則項(xiàng)：

式中：w0，u和w0，l分別為控制翼型上下表面曲線的第1個(gè)CST參數(shù)。

綜上，CST-GAN的總損失函數(shù)為

2 算例分析

2.1 模型訓(xùn)練

本文使用UIUC翼型數(shù)據(jù)庫作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)庫約含有1 600個(gè)翼型。采用CST方法對(duì)翼型重新擬合，擬合后的翼型上下表面各有128個(gè)點(diǎn)，均為外形光滑的有效設(shè)計(jì)。

表1給出了CST-GAN的網(wǎng)絡(luò)層設(shè)置。CST參數(shù)化層采用7階Bernstein多項(xiàng)式，即生成器生成的翼型共由16個(gè)CST參數(shù)控制，類別函數(shù)取N1=0.5，N2=1.0。潛在變量服從均勻分布Pc=Unif(-1， 1)，噪聲變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Pz=N(0， 1)。對(duì) 于 式（15）中 的 參 數(shù)，取λ=1，λ1=10，λ2=10。采用Adam優(yōu)化器［27］進(jìn)行反向傳播以更新梯度，batch size設(shè)置為32，訓(xùn)練步數(shù)設(shè)置為10 000，初始學(xué)習(xí)率為0.000 1。

表1 CST-GAN的網(wǎng)絡(luò)層設(shè)置Table 1 Network layers setup of CST-GAN

圖6為CST-GAN在潛在維度dc=3、噪聲維度dz=8時(shí)隨機(jī)采樣翼型的幾何外形及曲率分布。其中，k表示曲率?？梢钥闯?，由CST-GAN生成的翼型，其外形光滑，曲率連續(xù)，具有良好的幾何性能。

圖6 CST-GAN生成翼型外形及曲率分布Fig.6 Geometric shape and curvature distribution ofairfoils synthesized by CST-GAN

圖7給出了翼型外形隨潛在變量c1、c2、c3和噪聲變量z1、z2、z3的變化。當(dāng)潛在變量均勻變化時(shí)，翼型的幾何特征也呈規(guī)律性變化，比如在c2=0時(shí)，隨著c3的增大，翼型厚度也逐漸增大，c1的改變則會(huì)引起翼型彎度的變化，而噪聲變量只引起翼型外形的微小改變。這表明，CST-GAN方法的潛在變量可以描述翼型的主要幾何特征，能夠直觀地反映翼型幾何外形的變化，具有一定的物理可解釋性，而噪聲變量只能控制翼型外形的微小特征。

圖7 翼型外形隨潛在變量和噪聲變量的變化Fig.7 Airfoil shape variation with latent code and noise variable

2.2 超參數(shù)影響

為了將CST-GAN應(yīng)用于翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，進(jìn)一步研究潛在維度和噪聲維度對(duì)CST-GAN參數(shù)化的影響，以確定合理的設(shè)計(jì)變量數(shù)量，將主要從模型對(duì)數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)情況和翼型擬合精度2方面開展研究。

首先，本文采用最大平均差異（MMD）［28］評(píng)估生成設(shè)計(jì)的質(zhì)量。MMD測(cè)量的是兩個(gè)分布之間的相似程度，值越小，說明兩個(gè)分布越接近，因而可以用來衡量生成數(shù)據(jù)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)分布的相似性，評(píng)估模型對(duì)數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)程度。MMD的計(jì)算公式為

式 中：k(x，x′)=exp(-‖x-x′‖2/(2σ2))是 高 斯核函數(shù)；σ是核長度尺度，一般取為1。

圖8為不同噪聲維度下MMD隨潛在維度的變化，可以看到，隨著潛在維度增加，生成數(shù)據(jù)的質(zhì)量也大幅提升，而在達(dá)到8個(gè)潛在維度后，提升的幅度減小。另一方面，當(dāng)潛在維度較低時(shí)，噪聲維度的增加會(huì)提高生成數(shù)據(jù)的質(zhì)量；而當(dāng)潛在維度較高時(shí)，噪聲維度增加到一定程度反而會(huì)使生成質(zhì)量下降，這是因?yàn)樽銐虻臐撛谧兞亢驮肼曌兞渴沟脤?duì)翼型的表示能力趨于飽和，進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)維度反而會(huì)對(duì)模型的訓(xùn)練提出挑戰(zhàn)，降低生成質(zhì)量。此外，相比于噪聲維度，潛在維度的增加引起生成質(zhì)量提升幅度更大，這印證了圖7得出的結(jié)論：潛在變量描述翼型的主要幾何特征，而噪聲變量只控制翼型外形的微小變化。

圖8 MMD隨潛在維度的變化Fig.8 MMD variation with latent dimension

根據(jù)以上分析，CST-GAN比較合理的潛在維度為8。進(jìn)一步，在該潛在維度下，研究噪聲維度對(duì)生成質(zhì)量的影響，如圖9所示?？梢钥吹?，MMD隨噪聲維度的變化較小，在噪聲維度達(dá)到8之后生成數(shù)據(jù)的質(zhì)量很難再有提升，因此，MMD評(píng)估結(jié)果表明，CST-GAN比較合理的潛在維度和噪聲維度為8。

圖9 MMD隨噪聲維度的變化Fig.9 MMD variation with noise dimension

其次，研究了潛在維度和噪聲維度對(duì)CSTGAN翼型擬合精度的影響。由于CST-GAN對(duì)翼型的擬合無法解析求解，故而采用遺傳算法［29］（GA）通過迭代的方式獲取使翼型坐標(biāo)均方誤差最小的設(shè)計(jì)變量。圖10給出了在不同噪聲維度下，潛在維度對(duì)翼型擬合精度的影響，這里用均方根誤差（RMSE）衡量擬合精度。可以看到，隨著潛在維度增加，翼型擬合精度逐漸提高，而在達(dá)到8個(gè)潛在維度后難以繼續(xù)提升，這與圖8的結(jié)果基本一致。在翼型擬合精度方面，CSTGAN比較合理的潛在維度為8。

圖10 潛在維度對(duì)CST-GAN擬合精度的影響Fig.10 Influence of latent dimension on fitting accuracy of CST-GAN

圖11給出了CST-GAN在潛在維度dc=8時(shí)翼型擬合精度隨噪聲維度的變化，以及與其他參數(shù)化方法的對(duì)比，這里采用均方差（MSE）作為擬合精度的衡量指標(biāo)，注意橫坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量總個(gè)數(shù)?？梢钥吹?，CST-GAN的翼型擬合精度隨噪聲維度變化較小，當(dāng)設(shè)計(jì)維度大于16時(shí)，擬合效果很難再提升。因此，CST-GAN比較合理的潛在維度和噪聲維度都是8，與MMD評(píng)估結(jié)果一致，這也將在后文研究工作中采用。

此外，當(dāng)設(shè)計(jì)變量數(shù)量小于18時(shí)，CSTGAN的翼型擬合精度明顯高于Bezier和Bspline方法。PCA降階參數(shù)化方法在10個(gè)維度以上對(duì)翼型的擬合誤差最小，這是因?yàn)镃STGAN擬合翼型需要通過迭代來獲取近似解，精度有所下降，而PCA方法通過求解最小二乘問題可以獲得更高的擬合精度。然而，這并不妨礙CST-GAN具有更好的翼型表示能力和優(yōu)化性能，本文后面的研究工作將對(duì)此進(jìn)行證明。

2.3 幾何空間與目標(biāo)空間分析

通過幾何空間與目標(biāo)空間分析，進(jìn)一步研究CST-GAN和其他參數(shù)化方法的翼型表示能力。

在本文中，PCA方法采用前10個(gè)主成分作為設(shè)計(jì)變量，取值范圍對(duì)應(yīng)UIUC翼型數(shù)據(jù)庫的擬合邊界。CST和FFD方法均以NACA0012翼型為基準(zhǔn)翼型，采用16個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)其擾動(dòng)以獲取新翼型。其中，F(xiàn)FD參數(shù)的擾動(dòng)范圍參考文獻(xiàn)［19］，取±0.2，CST參數(shù)的擾動(dòng)范圍取±0.5。CST-GAN則采用8個(gè)潛在變量和8個(gè)噪聲變量作為設(shè)計(jì)參數(shù)，并按照對(duì)應(yīng)的分布采樣取值。

圖12為不同參數(shù)化方法隨機(jī)采樣翼型的幾何外形?？梢钥吹?，由CST-GAN采樣生成的翼型都是外形光滑的有效設(shè)計(jì)，而PCA、CST、FFD方法依次出現(xiàn)了更多的奇異外形，表明CSTGAN具有較好的翼型表示能力。

圖12 隨機(jī)采樣翼型Fig.12 Airfoils by random sampling

圖13為UIUC數(shù)據(jù)庫和不同參數(shù)化方法隨機(jī)采樣1 500個(gè)翼型對(duì)應(yīng)的目標(biāo)空間。氣動(dòng)力均通過XFOIL［30］計(jì)算獲得，圖中（0，0）點(diǎn)表示交叉翼型或者XFOIL計(jì)算失敗的翼型?？梢钥吹剑珻ST-GAN隨機(jī)采樣翼型的目標(biāo)空間與UIUC數(shù)據(jù)庫最接近，說明CST-GAN成功地學(xué)習(xí)到了樣本數(shù)據(jù)的分布。CST和FFD方法的目標(biāo)空間分布與UIUC數(shù)據(jù)庫相差很大，出現(xiàn)了較多負(fù)升力和高阻力的翼型，這是因?yàn)樗鼈兊膸缀慰臻g中含有較多的奇異外形，如圖12所示。PCA方法在樣本數(shù)據(jù)上對(duì)翼型進(jìn)行了學(xué)習(xí)，使得其目標(biāo)空間分布較CST和FFD方法有所改善，但由于PCA方法未能學(xué)到樣本數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，故與UIUC數(shù)據(jù)庫仍有較大差別。

圖13 隨機(jī)采樣翼型的目標(biāo)空間Fig.13 Target space for randomly sampled airfoils

幾何空間與目標(biāo)空間的分析結(jié)果均表明，CST-GAN具有較好的翼型表示能力。

2.4 翼型外形優(yōu)化

在表2描述的翼型優(yōu)化算例上，對(duì)CSTGAN參數(shù)化方法進(jìn)行測(cè)試。CST-GAN的設(shè)計(jì)參數(shù)包括8個(gè)潛在變量和8個(gè)噪聲變量，其中，潛在變量c在［-1，1］內(nèi)取值，噪聲變量z在［-3，3］內(nèi)取值。對(duì)于其他參數(shù)化方法，均沿用前文所述的配置。采用全局尋優(yōu)性能良好的遺傳算法（GA）作為優(yōu)化框架，初代種群使用拉丁超立方采 樣（LHS）［31］生 成，種 群 大 小 為36，共 優(yōu) 化500代。翼型氣動(dòng)力通過XFOIL計(jì)算獲得。

表2 優(yōu)化算例Table 2 Optimization case description

對(duì)于每種參數(shù)化方法，各優(yōu)化10次。圖14為平均優(yōu)化收斂曲線，表3列出了優(yōu)化設(shè)計(jì)的性能參數(shù)，表4對(duì)比了不同方法的優(yōu)化耗時(shí)，圖15給出了不同方法的10次優(yōu)化翼型和對(duì)應(yīng)的升阻比。從優(yōu)化收斂曲線可以看出，CST-GAN的初 代種群就含有較好的翼型設(shè)計(jì)，且在70代時(shí)基本收斂，具有最快的優(yōu)化收斂速度，PCA次之，而CST和FFD直到300代才趨于平緩。這是因?yàn)镃ST-GAN采樣生成的是外形光滑的有效設(shè)計(jì)，而PCA、CST和FFD方法依次出現(xiàn)了更多的奇異外形，如圖12所示，使得在優(yōu)化過程中對(duì)無效設(shè)計(jì)的探索次數(shù)增加，導(dǎo)致優(yōu)化效率降低。同時(shí)，表4說明CST-GAN優(yōu)化耗時(shí)最少，有效減少了計(jì)算成本。

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的性能參數(shù)Table 3 Performance parameters of optimization design

表4 優(yōu)化耗時(shí)Table 4 Time consumption after optimization

圖14 平均優(yōu)化收斂曲線Fig.14 Mean optimization convergence history

圖15 優(yōu)化翼型Fig.15 Optimized airfoils

圖15表明CST-GAN優(yōu)化的翼型外形更加光滑，表3則展示了CST-GAN較好的優(yōu)化效果，對(duì)升阻比優(yōu)化的平均值和最優(yōu)值均領(lǐng)先其他方法，證明CST-GAN具有良好的翼型表示能力，可以提供有潛力的翼型設(shè)計(jì)。此外，CST-GAN多次優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)差為8.86，相對(duì)較小，說明CSTGAN的優(yōu)化效果更加穩(wěn)定。

這些結(jié)果充分表明，本文構(gòu)造的CST-GAN具有良好的翼型表示能力，可以加快優(yōu)化收斂速度，提高優(yōu)化效率，節(jié)約計(jì)算成本。

3 結(jié) 論

基于UIUC翼型數(shù)據(jù)庫，結(jié)合CST參數(shù)化方法和生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)，提出了一種更高效的翼型表示方法：CST-GAN方法。通過超參數(shù)影響研究、幾何空間與目標(biāo)空間分析發(fā)現(xiàn)，CST-GAN具有良好的翼型表示能力，最后基于該方法開展了翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出如下結(jié)論：

1）CST-GAN可以生成外形光滑的有效設(shè)計(jì)，具有良好的幾何性能。其潛在變量描述了翼型的主要幾何特征，能夠直觀地反映出翼型外形的變化，具有一定的物理可解釋性，而噪聲變量只控制翼型外形的微小特征。

2）CST-GAN能夠以較少的設(shè)計(jì)變量實(shí)現(xiàn)較高的翼型擬合精度，并能獲得與樣本集相似的目標(biāo)空間分布，具有良好的翼型表示能力。

3）與其他幾種參數(shù)化方法相比，CST-GAN可以實(shí)現(xiàn)更有潛力的翼型設(shè)計(jì)，獲取更加穩(wěn)定的優(yōu)化結(jié)果，其良好的翼型表示能力，可以加快優(yōu)化收斂速度，提升優(yōu)化效率，節(jié)約計(jì)算成本。此外，該方法魯棒性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)，有拓展至三維機(jī)翼及整機(jī)的參數(shù)化建模并進(jìn)行氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用潛力。