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        空間任意運(yùn)動(dòng)剛體速度瞬軸位置的分析

        2023-10-14 02:53:18孫慧恬盧其宜
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2023年23期

        樊 薇,孫慧恬,盧其宜

        (江西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江西 南昌)

        在工程實(shí)際中,經(jīng)常會(huì)遇到分析平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度問題,其中有一種常用的方法為速度瞬心法,只要確定了速度瞬心的位置,剛體就可以視為繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng),從而避免了求矢量合成的問題,使得求速度問題更加簡便。也有文章(如文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2])討論了用加速度瞬心法求加速度問題,由此可見,瞬心法有其便捷性。進(jìn)一步想象一下,如果能確定空間任意運(yùn)動(dòng)剛體速度瞬軸的位置,則可以用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的有關(guān)方法求解剛體上各點(diǎn)的速度問題,從而簡化了求解過程。經(jīng)文獻(xiàn)檢索,文獻(xiàn)[3]雖然討論了確定空間任意運(yùn)動(dòng)剛體速度瞬軸的位置,但我們認(rèn)為還不夠全面。為此,我們對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究,提出了“軸向速度投影定理”。最后得出的結(jié)論認(rèn)為,空間任意運(yùn)動(dòng)剛體存在速度瞬軸或速度動(dòng)軸,因而,剛體繞速度瞬軸作轉(zhuǎn)動(dòng)或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng);或剛體沿速度動(dòng)軸方向作螺旋運(yùn)動(dòng)或瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng),也即剛體沿速度動(dòng)軸的軸向平移和繞速度動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。

        1 定理的提出

        軸向速度投影定理:空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度沿角速度矢方向上的投影相等。

        圖1 軸向速度投影定理的證明

        由于點(diǎn)A 和B 是剛體上任取的兩點(diǎn),于是上述定理得證。

        軸向速度投影定理表明,剛體沿角速度矢方向上的運(yùn)動(dòng)類似于剛體的平移,但與真正的平移是有區(qū)別的,因?yàn)閯傮w上各點(diǎn)在垂直于角速度矢的方向上還有旋轉(zhuǎn)速度,因此將空間任意運(yùn)動(dòng)剛體沿角速度矢方向上的運(yùn)動(dòng)稱為軸向平移。

        2 各種情況下速度瞬軸位置的分析

        下面分四種情況討論。

        圖2 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

        由文獻(xiàn)[3]可知,當(dāng) ω與 ωe平行時(shí),剛體的速度瞬軸Z 也與 ω、ωe平行,又= 0,故剛體的速度瞬軸Z 通過點(diǎn)A 并沿 ω方向。此瞬時(shí)剛體繞速度瞬軸Z作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

        2.2.1 剛體的牽連角速度 ωe與 ω平行,如圖3(a)所示。

        圖3 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

        圖4 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

        這里有一個(gè)問題要注意,在2.2.1 的情況下,剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于固連在該軸上的動(dòng)系相對(duì)于定系作平移,兩坐標(biāo)系之間沒有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),故 ω就是絕對(duì)角速度矢(等于針對(duì)動(dòng)系的相對(duì)角速度矢),如圖7(a)所示;在2.2.2 的情況下,剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于固連在該軸上的動(dòng)系相對(duì)于定系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),故 ω不是絕對(duì)角速度矢,而是針對(duì)動(dòng)系的相對(duì)角速度矢,兩者不相等。

        圖5 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度動(dòng)軸位置的分析

        圖6 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度動(dòng)軸位置的分析

        3 例題

        例 半徑為r 的陀螺繞自身對(duì)稱軸OO 旋轉(zhuǎn)的角速度為 ω,軸OO 繞定軸O1O1作勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓柱面運(yùn)動(dòng)),其速度為υ,如圖7(a)所示。試確定陀螺的速度瞬軸的位置。

        圖7 繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的陀螺上速度瞬軸位置的分析

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