樊 薇，孫慧恬，盧其宜

（江西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 南昌）

在工程實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到分析平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度問題，其中有一種常用的方法為速度瞬心法，只要確定了速度瞬心的位置，剛體就可以視為繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)，從而避免了求矢量合成的問題，使得求速度問題更加簡便。也有文章（如文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]）討論了用加速度瞬心法求加速度問題，由此可見，瞬心法有其便捷性。進(jìn)一步想象一下，如果能確定空間任意運(yùn)動(dòng)剛體速度瞬軸的位置，則可以用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的有關(guān)方法求解剛體上各點(diǎn)的速度問題，從而簡化了求解過程。經(jīng)文獻(xiàn)檢索，文獻(xiàn)[3]雖然討論了確定空間任意運(yùn)動(dòng)剛體速度瞬軸的位置，但我們認(rèn)為還不夠全面。為此，我們對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究，提出了“軸向速度投影定理”。最后得出的結(jié)論認(rèn)為，空間任意運(yùn)動(dòng)剛體存在速度瞬軸或速度動(dòng)軸，因而，剛體繞速度瞬軸作轉(zhuǎn)動(dòng)或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)；或剛體沿速度動(dòng)軸方向作螺旋運(yùn)動(dòng)或瞬時(shí)螺旋運(yùn)動(dòng)，也即剛體沿速度動(dòng)軸的軸向平移和繞速度動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。

1 定理的提出

軸向速度投影定理：空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度沿角速度矢方向上的投影相等。

圖1 軸向速度投影定理的證明

由于點(diǎn)A 和B 是剛體上任取的兩點(diǎn)，于是上述定理得證。

軸向速度投影定理表明，剛體沿角速度矢方向上的運(yùn)動(dòng)類似于剛體的平移，但與真正的平移是有區(qū)別的，因?yàn)閯傮w上各點(diǎn)在垂直于角速度矢的方向上還有旋轉(zhuǎn)速度，因此將空間任意運(yùn)動(dòng)剛體沿角速度矢方向上的運(yùn)動(dòng)稱為軸向平移。

2 各種情況下速度瞬軸位置的分析

下面分四種情況討論。

圖2 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

由文獻(xiàn)[3]可知，當(dāng) ω與 ωe平行時(shí)，剛體的速度瞬軸Z 也與 ω、ωe平行，又= 0，故剛體的速度瞬軸Z 通過點(diǎn)A 并沿 ω方向。此瞬時(shí)剛體繞速度瞬軸Z作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.2.1 剛體的牽連角速度 ωe與 ω平行，如圖3（a）所示。

圖3 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

圖4 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度瞬軸位置的分析

這里有一個(gè)問題要注意，在2.2.1 的情況下，剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于固連在該軸上的動(dòng)系相對(duì)于定系作平移，兩坐標(biāo)系之間沒有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，故 ω就是絕對(duì)角速度矢（等于針對(duì)動(dòng)系的相對(duì)角速度矢），如圖7（a）所示；在2.2.2 的情況下，剛體繞自身某軸以角速度矢 ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于固連在該軸上的動(dòng)系相對(duì)于定系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故 ω不是絕對(duì)角速度矢，而是針對(duì)動(dòng)系的相對(duì)角速度矢，兩者不相等。

圖5 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度動(dòng)軸位置的分析

圖6 空間任意運(yùn)動(dòng)剛體上速度動(dòng)軸位置的分析

3 例題

例 半徑為r 的陀螺繞自身對(duì)稱軸OO 旋轉(zhuǎn)的角速度為 ω，軸OO 繞定軸O1O1作勻速圓周運(yùn)動(dòng)（圓柱面運(yùn)動(dòng)），其速度為υ，如圖7（a）所示。試確定陀螺的速度瞬軸的位置。

圖7 繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的陀螺上速度瞬軸位置的分析