陳修龍,樊慧凱

(山東科技大學 機械電子工程學院,山東 青島 266590)

0 引言

并聯(lián)機構具有結構穩(wěn)定、剛度好、累計誤差小、精度高等優(yōu)點[1-2],已在工程中得到廣泛應用。球面副是空間并聯(lián)機構中最為典型的運動副之一,由于加工和裝配帶來的誤差,在球面副中不可避免地存在間隙,從而導致機構在運行過程中產(chǎn)生振動,影響并聯(lián)機構的精度和壽命[3-4]。因此,工程中常常在球面副關節(jié)處添加潤滑油來抵消沖擊振動等消極影響,潤滑油的使用可以使關節(jié)處兩接觸面相互分離,減少運動副的磨損和因沖擊導致的動力系統(tǒng)的能量損失,也使得建立的空間并聯(lián)機構動力學模型更加接近實際。因此,建立考慮含球面副潤滑間隙的空間并聯(lián)機構動力學模型具有重要的意義。

近年來,國內外學者對含有潤滑間隙的機構動力學特性開展了較深入的研究,但大都針對平面機構,涉及考慮潤滑間隙空間并聯(lián)機構動力學特性的研究很少。鄭恩來等[5]建立了一種考慮平面多連桿機構的潤滑間隙和曲軸轉子—軸承相互配合柔性建模動力學模型,并分析了潤滑油的存在對多連桿機構運動性能的影響。李貞靖等[6]基于二狀態(tài)接觸模型與流體潤滑模型,建立了以曲柄滑塊機構為主體的干摩擦模型與潤滑模型。李園園等[7]采用Sommerfeld潤滑條件,建立了軸承—軸頸的潤滑力模型來分析空載四連桿機構運行過程中的性能表現(xiàn)。GUO等[8]建立了考慮活塞二次運動的動力學模型,通過調整間隙來評估曲柄傳動系統(tǒng)動力學特性影響。DONG等[9]建立了具有混合潤滑間隙關節(jié)的柔性肘桿機構的動力學模型,并對不同載荷和速度下的動態(tài)響應進行了實驗研究,結果表明,連桿的柔性和潤滑可以緩沖混合間隙的沖擊。FLORES等[10]從雷諾方程中導出潤滑作用力,并將該作用力作為外力添加到動力學方程中,比較和分析了空間四桿機構在干摩擦和潤滑條件下的動力學響應。

因此,本文以一種含有球面副的典型2RPS-SPR(轉動副—移動副—球面副—球面副—移動副—轉動副)空間并聯(lián)機構為研究對象,建立了含潤滑間隙的空間并聯(lián)機構動力學模型,同時對潤滑間隙、理想情況和干摩擦間隙動力學響應進行對比分析,研究了不同參數(shù)對機構動力學響應的影響。

1 球面副間隙潤滑模型建立

1.1 球面副間隙潤滑的運動學模型

如圖1所示為潤滑間隙示意圖,在球窩中心處建立直角坐標系o-xyz,同時,為便于描述該球面關節(jié),引入球坐標系(r,θl,βl),P為球頭表面任意一點,pk和pl為球窩與球頭中心,n為接觸面的法向向量。

圖1 球面副潤滑間隙示意圖

考慮偏心率ξ(球頭相對球窩)的公式如下：

(1)

在多體系統(tǒng)建模過程中對雷諾方程進行求解時,采用Gümbel邊界條件。等溫雷諾方程的一般形式[11]如下：

(2)

式中：Rk表示球窩半徑,βl表示點P與x軸方向的夾角,θl表示點P與z軸方向的夾角,hd表示油膜層厚度,μd表示潤滑油的動力粘度,p為潤滑油的壓力大小。

假設球面副中的潤滑油充滿半個球窩,則其壓力邊界條件如下：

(3)

含擠壓油膜的球面副壓力分布如圖2所示,球頭相對于球窩偏心的距離為e,θd表示任一點與油膜壓力合力方向的夾角,油膜厚度的計算公式為：

圖2 球面副潤滑間隙平面示意圖

hd=c(1-ξsinθd)。

(4)

1.2 球面副間隙潤滑油膜承載力模型

油膜的壓力梯度計算公式[12]如下：

(5)

為保證積分的連續(xù)性,需要考慮油膜厚度為0處的邊界條件,對下半球區(qū)域積分得到整個壓力場的分布：

(6)

對整個下半球區(qū)域積分,得到純擠壓油膜條件下的油膜承載力積分形式為

(7)

將式(6)代入式(7),可得到油膜承載力的計算公式為：

(8)

油膜承載力將作為廣義力矢量引入含干摩擦間隙的并聯(lián)機構動力學模型。

當球頭與球窩之間運動表面無限接近時,過薄的油膜將導致油膜承載力趨近于無窮,此時將由干摩擦接觸力模型來替代潤滑作用力模型,而這種力的突變將導致模型后續(xù)的數(shù)值計算不具有連續(xù)性,引入過渡力模型來過渡潤滑和干摩擦之間的狀態(tài),可以保證后續(xù)計算的收斂性。綜合考慮,潤滑間隙過渡力模型可表示如下：

(9)

式中：F干為球頭與球窩的干摩擦接觸碰撞力[13],由法向接觸力和切向摩擦力組成;e為球頭相對于球窩的偏心距離;給定的e0為偏心度公差;F潤為潤滑間隙的作用力,球頭對球窩的作用力

(10)

則球窩對球頭的作用力

(11)

2 含球面副潤滑間隙的2RPS-SPR空間并聯(lián)機構動力學模型建立

2.1 坐標系建立及動力學建模

2.1.1 2RPS-SPR空間并聯(lián)機構特征

2RPS-SPR空間并聯(lián)機構如圖3所示,該機構由定平臺、動平臺、2條RPS驅動支鏈,以及1條SPR驅動支鏈組成,3條支鏈成120°分布,其中每個驅動支鏈中包含一個擺動桿和一個伸縮桿。通過改進的Kutzbach-Grübler公式計算可得[14],該機構有3個自由度,分別為2個方向上的轉動和1個方向上的移動,在給3條驅動支鏈添加驅動后,能實現(xiàn)動平臺位姿的精準控制。該機構可以作為測量機的主體部分或混聯(lián)機床的主體機構來使用。

圖3 2RPS-SPR空間并聯(lián)機構

如圖4所示為該并聯(lián)機構結構簡圖,定平臺用A表示,伸縮桿用1,2,3表示,擺動桿用4,5,6表示,動平臺用B表示。其中轉動副R1、球面副S1和轉動副R2連接定平臺與4,5,6號擺動桿,球面副S2、轉動副R3和球面副S3連接1,2,3號伸縮桿與動平臺,通過移動副Pi(i=1,2,3)連接擺動桿與伸縮桿。將潤滑間隙設定在球面副S1與S2處,其余運動副按理想副處理。

圖4 2RPS-SPR空間并聯(lián)機構簡圖0

2.1.2 坐標系建立

定平臺的質量為mA,在定平臺的質心處建立全局坐標系OA-XAYAZA,在以OA為圓心,rA為半徑的圓上,布置有轉動副R1、球面副S1和轉動副R2且各運動副之間呈2π/3均布。

動平臺的質量為mB,在動平臺質心處建立局部坐標系OB-XBYBZB,在以OB為圓心,rB為半徑的圓上,布置有運動副S2、R3和S3排列方式與定平臺相對應。

擺動桿的質量用mj(j=4,5,6)表示,長度用lj(j=4,5,6)表示,將桿長的中心點近似地看作質心,建立局部坐標系oj-xjyjzj(j=4,5,6),伸縮桿的質量用mi(i=1,2,3)表示,長度用li(i=1,2,3)表示,同理,建立局部坐標系oi-xiyizi(i=1,2,3)。

局部坐標系姿態(tài)轉換為歐拉角轉換,旋轉順序為X-Z-Y。

2.1.3 動力學模型的建立

建立2RPS-SPR空間并聯(lián)機構中7個活動構件的廣義坐標如下：

(12)

ΦSi(i=1,2,3),ΦRi(i=1,2,3)和ΦPi(i=1,2,3)分別表示球面副、轉動副和移動副的約束方程,得到含潤滑間隙2RPS-SPR空間并聯(lián)機構對應的約束方程為：

Φ(q)*=(ΦS3ΦR1ΦR2ΦR3ΦP1ΦP2ΦP3)T=033×1。

(13)

λ為拉格朗日乘子,微分代數(shù)形式的動力學方程如下：

(14)

(15)

式中αb和βb為修正系數(shù)。

2.2 求解過程

將求解參數(shù)輸入MATLAB軟件,通過四階Runge-Kutta算法計算,利用Ode45求解器得到結果,如圖5所示,其具體流程如下：

圖5 含潤滑間隙動力學求解流程圖

(1)定義空間并聯(lián)機構的初始參數(shù)。

(2)求解動力學方程。判斷間隙處元素間位置關系,當ec+e0時,間隙處廣義力為干摩擦接觸力。然后根據(jù)接觸力的求解獲得此時所有構件的動力參數(shù),并進入下一步判斷。

(3)判斷仿真是否結束。判斷是否為最終時刻,若判定為否,則對時間賦值為T=T+ΔT,再次循環(huán),若判定為是,則保存上述計算結果并輸出,求解過程結束。

2.3 空間并聯(lián)機構參數(shù)設定

2RPS-SPR空間并聯(lián)機構各構件參數(shù)詳情如表1所示,利用MATLAB軟件進行動力學建模時,其各項參數(shù)詳情如表2所示。

表1 2RPS-SPR并聯(lián)機構參數(shù)

表2 2RPS-SPR空間并聯(lián)機構動力學建模求解參數(shù)

3 含多個球面副潤滑間隙的空間并聯(lián)機構動力學響應分析及驗證

3.1 考慮潤滑間隙對機構動力學響應的影響

2RPS-SPR空間并聯(lián)機構的動平臺3個自由度分別為沿X軸方向上的移動,以及繞X軸,γ軸方向的轉動,通過運動學反解方法,設定動平臺采用如下運動軌跡(單位：rad/m)：

x=0.1sin(πt)+0.5;α=0;

γ=0.1sin(πt)。

(16)

利用MATLAB軟件進行數(shù)值求解并分別得到機構的干摩擦動力學響應圖像和潤滑動力學響應圖像,就干摩擦間隙模型與潤滑間隙模型對2RPS-SPR空間并聯(lián)機構動態(tài)響應情況進行了分析,同時與理想情況(關節(jié)處不添加間隙)進行了對比分析,得到潤滑間隙對機構動態(tài)響應的影響。干摩擦間隙模型與潤滑間隙模型均考慮S1處和S2處球面副間隙的存在,間隙值均設置為0.2 mm,驅動軌跡如式(16),潤滑油的動力粘度取為400 cP。另外加入ADAMS虛擬樣機干摩擦間隙仿真曲線(間隙值大小,間隙數(shù)量和位置同理論值一致)進行對比分析,來驗證模型結果的正確性。

由如圖6所示的干摩擦間隙動力學響應理論曲線可知,與理想情況相比,動平臺的速度和加速度在初始時刻都有明顯波動,且γ方向上的曲線波動程度無論是速度還是加速度都較為劇烈,說明干摩擦間隙的存在對機構動平臺的影響較大,且通過與ADAMS虛擬樣機的結果對比驗證了這一結論。

圖6 動平臺動力學響應

由圖6潤滑間隙動力學響應理論曲線可知,由于潤滑油膜的潤滑作用,在X方向上,速度的初始波動范圍很小,且波動于0.05 s趨于平穩(wěn);加速度的初始波動范圍為(-2.116 m/s2,3.781 m/s2),對應波動時間區(qū)間為(0 s,0.05 s),且波動于0.05 s趨于平穩(wěn);在γ方向上,角速度的初始波動范圍為(0.275 7 rad/s,0.628 1 rad/s),對應時間區(qū)間為(0 s,0.05 s),且波動于0.05 s趨于平穩(wěn);角加速度的初始波動范圍為(-95.17 rad/s2,132.9 rad/s2),對應時間區(qū)間為(0 s,0.05 s),且波動于0.05 s趨于平穩(wěn)。由圖像對比數(shù)據(jù)可知,球面副潤滑間隙模型的引入,改善了區(qū)間波動的峰值大小,減少了達到穩(wěn)態(tài)所需要的時間,并且達到穩(wěn)態(tài)時與理想情況基本一致,說明了該潤滑模型對含球面副間隙2RPS-SPR空間并聯(lián)機構的運行具有良好的改善作用。

如圖7所示為球面副S1和S2在干摩擦和潤滑條件下的球頭中心軌跡對比圖,由圖可知潤滑模型作用下的中心軌跡較為平穩(wěn),運動范圍小,有效改善了干摩擦間隙的運動狀況。如圖8所示為潤滑間隙模型和干摩擦間隙模型下S1和S2球面副間的接觸力對比曲線,S1接觸力峰值由215.3 N降低為41.21 N,S2接觸力峰值由121.1 N降低為12.49 N,且初始波動時間縮短了0.15 s,表明球面副潤滑對改善間隙內碰撞,增加運行的平穩(wěn)性等方面具有一定作用。

a S1球中心軌跡圖

a S1接觸力對比圖

3.2 不同動力粘度對機構動力學響應的影響

分析了不同潤滑油的動力粘度所對應的含潤滑間隙2RPS-SPR空間并聯(lián)機構的響應情況。潤滑動力粘度分別采用80 cP,150 cP和400 cP,其中1號和2號球面副處被設置了潤滑間隙,其間隙值大小均為0.2 mm,并與理想情況(關節(jié)處不添加間隙)進行對比分析,得到動平臺的動力學響應圖像如圖9所示。

a X方向位移圖 b X方向速度圖 c X方向加速度圖

如圖9所示曲線圖可知,不同潤滑油的動力粘度對動平臺的位移影響較小,而在速度方面,動平臺γ方向角速度在初始時刻出現(xiàn)明顯波動,在時間t=0.008 s時角速度波動最大,此時刻按照動力粘度從低到高順序分別對應的角速度值為1.014 rad/s,0.896 rad/s,0.812 rad/s,呈減小趨勢。在X方向上加速度波動峰值按照動力粘度的增大,依次為-36.87 m/s2,-9.503 m/s2,-6.128 m/s2,在γ

角方向上加速度波動峰值按照動力粘度的增大,依次為-1 363 rad/s2,-376.3 rad/s2,-264.2 rad/s2,均呈減小趨勢。同時如圖10所示球面副S1與S2的接觸力變化曲線可知,隨著動力粘度值的增大,S1接觸力對應的最大峰值分別為285.8 N,94.06 N,72.23 N,S2接觸力對應的最大峰值分別為85.13 N,49.7 N和29.76 N,均呈減小趨勢。說明隨著潤滑油動力粘度增大,機構間隙關節(jié)處的碰撞減弱,并聯(lián)機構動力學特性得到一定改善。

圖10 接觸力對比圖

3.3 不同間隙值對機構動力學響應的影響

分析了不同間隙值下含潤滑間隙2RPS-SPR空間并聯(lián)機構的響應變化情況。本節(jié)的間隙值大小分別被設置為0.2 mm,0.3 mm和0.4 mm,其中1號和2號球面副處間隙值大小一致,潤滑油的動力粘度均為400 cP,得到動平臺的動力學響應圖像如圖11所示。

d γ方向位移圖 e γ方向角速度圖 f γ方向角加速度圖圖11 動平臺動力學響應對比圖

由圖11可得,不同間隙值情況下,位移圖像上動平臺位移的波動較小,而在速度方面,動平臺γ方向速度在初始時刻出現(xiàn)明顯波動,其速度波動峰值分別為0.72 rad/s,0.56 rad/s,0.42 rad/s,對比可得,隨著間隙值的增大,初始時刻波動幅度也逐漸增大,且達到平穩(wěn)的時間也隨之延長。在加速度曲線上,X方向加速度峰值隨著間隙值增大分別為-2.116 m/s2,-10.36 m/s2,-22.16 m/s2,γ角方向上加速度波動峰值按照間隙值的增大,依次為-95.17 rad/s2,-436.5 rad/s2,-888.6 rad/s2,均呈增大趨勢。同時如圖12中球面副S1與S2的接觸力變化曲線可知,隨著間隙值的增大,S1接觸力對應的最大峰值分別為29.5 N,34.57 N,41.91 N,S2接觸力對應的最大峰值分別為8.98 N,13.9 N和28.47 N,呈增大趨勢。說明間隙值增大,運動副內的碰撞加劇,機構的動力響應特性變差。

a S1接觸力對比圖 b S2接觸力對比圖圖12 接觸力對比圖

4.結束語

本文對考慮球面副潤滑間隙的空間并聯(lián)機構動力學建模與響應分析進行研究,建立了含球面副潤滑間隙2RPS-SPR空間并聯(lián)機構的動力學模型,分別分析了不考慮間隙的理想情況、含干摩擦間隙和含潤滑間隙的動力學特性,以及不同動力粘度和不同間隙值大小對機構動力響應的影響。研究表明,潤滑對含球面副間隙空間并聯(lián)機構的動力響應具有一定的改善作用,且隨著潤滑油動力粘度增大和球面副間隙值的減小,機構動力學響應特性更好。未來將開展空間并聯(lián)機構中運動副間隙優(yōu)化設計,并過對含間隙機構進行參數(shù)優(yōu)化設計,進一步提高并聯(lián)機構的動力學性能和穩(wěn)定性。