丁翔宇, 范啟富

(1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院,上海 200240; 2.昕諾飛(中國)投資有限公司,上海 200233)

相比傳統(tǒng)軸承,主動(dòng)磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing,AMB)具有無摩擦、無污染、允許轉(zhuǎn)速高和使用壽命長等優(yōu)點(diǎn),性能顯著優(yōu)于傳統(tǒng)軸承,被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域和半導(dǎo)體制造等工業(yè)領(lǐng)域[1]。

為了減小磁浮電流從而減少線圈發(fā)熱,大多數(shù)AMB系統(tǒng)中,電磁鐵與轉(zhuǎn)子的間隙都在0.5 mm以下。為了保證穩(wěn)定的主動(dòng)懸浮, AMB對機(jī)械部分的加工精度以及定子與轉(zhuǎn)子之間的裝配精度提出很高的要求,但這些高要求極大地增加了電磁軸承的加工難度和成本。分析常見的加工誤差對AMB性能的影響,以及分析通過改進(jìn)控制方式降低加工誤差的影響,具有重要的意義。

轉(zhuǎn)子圓度誤差是AMB加工誤差中的常見形式。但是前人在轉(zhuǎn)子圓度誤差對AMB控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響方面的研究成果較少。崔東輝等[2]對位移傳感器檢測面的圓度誤差進(jìn)行了分析,給出了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)干擾電流的形式,得出了圓度誤差越大干擾電流越大的結(jié)論,但是沒有分析圓度誤差對穩(wěn)定性的影響。胡林福等[3]研究了存在圓度誤差的轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)響應(yīng),并嘗試通過調(diào)整PID參數(shù)對振動(dòng)進(jìn)行抑制,但沒有說明調(diào)整參數(shù)的理論依據(jù)。

因?yàn)锳MB是開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng),必須通過閉環(huán)控制才能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮,所以控制器的設(shè)計(jì)是AMB設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。目前,雖然有多種控制方法用于AMB的控制,例如線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制[4]、滑?？刂芠5]、無模型控制[6]、魯棒控制[7]和模態(tài)解耦控制[8]等,但是這些控制方法均有不足之處。例如LQR控制器的加權(quán)矩陣難以選取;魯棒控制方法的控制器階數(shù)高,不易實(shí)現(xiàn);模態(tài)解耦采用比例微分(Proportional Derivative,PD)控制,而實(shí)際應(yīng)用中通常需要積分環(huán)節(jié)消除靜態(tài)誤差。因此PID控制仍然是AMB中使用最廣泛的控制方法,也是本文所采用的控制方法。

由于前人在工作中并未研究轉(zhuǎn)子圓度誤差對四自由度AMB穩(wěn)定性的影響,也沒有給出轉(zhuǎn)子圓度誤差導(dǎo)致不穩(wěn)定的解決方法,因此,本文的目標(biāo)是研究轉(zhuǎn)子圓度誤差對四自由度AMB的穩(wěn)定性影響,若圓度誤差導(dǎo)致四自由度AMB不穩(wěn)定,須研究如何使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。本文通過建立四自由度AMB的轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型,基于PID控制方法推導(dǎo)了四自由度AMB的閉環(huán)特征方程,通過閉環(huán)特征方程系數(shù)的性質(zhì),分析了轉(zhuǎn)子圓度誤差和PID控制參數(shù)對四自由度AMB穩(wěn)定性的影響,最終通過仿真和實(shí)驗(yàn)證實(shí)了理論的正確性。成果既可為四自由度AMB轉(zhuǎn)子容許圓度誤差的確定提供參考,同時(shí)為四自由度AMB中PID參數(shù)的確定和優(yōu)化提供了依據(jù)。

1 四自由度AMB剛體轉(zhuǎn)子的建模

四自由度AMB采用了立式AMB裝置,轉(zhuǎn)子可以簡化成理想的物理模型[9],如圖1所示。轉(zhuǎn)子兩端所受電磁力作用于轉(zhuǎn)子,A端和B端是電磁力作用于轉(zhuǎn)子的位置,徑向4個(gè)自由度分別為XA、YA、XB、YB,軸向的自由度為Z。OA和OB分別是轉(zhuǎn)子在A端和B端的質(zhì)心,O為轉(zhuǎn)子的質(zhì)心。

從圖1可以看出,Fxa、Fxb、Fya、Fyb分別為四個(gè)自由度所受的電磁力合力;la、lb分別為A端和B端質(zhì)心到轉(zhuǎn)子質(zhì)心O的距離;θx、θy、ω分別為轉(zhuǎn)子繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

從圖1可以看出,由轉(zhuǎn)子的牛頓第二定律,根據(jù)轉(zhuǎn)子A端和B端受力和力矩的作用,可以推出四自由度AMB轉(zhuǎn)子理想情況下的動(dòng)力學(xué)模型[10]為

(1)

式中:m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量;J、Jz分別為轉(zhuǎn)子徑向和軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;x、y分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)心在x軸和y軸方向的位移。

由圖1中轉(zhuǎn)子平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系[11]可得:

(2)

式中:xa、xb、ya、yb分別為轉(zhuǎn)子在XA、XB、YA、YB自由度上的位移。

對各自由度在平衡位置附近進(jìn)行線性化[12],得到:

{Fxa=kx_xaxa+ki_xaixaFxb=kx_xbxb+ki_xbixbFya=kx_yaya+ki_yaiyaFyb=kx_ybyb+ki_ybiyb

(3)

式中:ixa、ixb、iya、iyb分別為XA、XB、YA、YB自由度上電磁鐵的差分電流;kx_xa、kx_xb、kx_ya、kx_yb分別為轉(zhuǎn)子在XA、XB、YA、YB自由度上的力-位移系數(shù);ki_xa、ki_xb、ki_ya、ki_yb分別為轉(zhuǎn)子在XA、XB、YA、YB自由度上的力-電流系數(shù)。

整理式(1)～式(3)可得:

(4)

式中:

式(4)描述的狀態(tài)空間模型中,因?yàn)閝i產(chǎn)生電磁力,電磁力決定了輸出量qx,所以該狀態(tài)空間模型的輸入為qi=[ixa,ixb,iya,iyb]T,輸出為qx=[xa,xb,ya,yb]T。

2 理論分析與推導(dǎo)

為研究轉(zhuǎn)子圓度誤差對穩(wěn)定性的影響,首先,分析圓度誤差對四自由度AMB參數(shù)的影響;然后,推導(dǎo)四自由度AMB的閉環(huán)特征方程,分析四自由度AMB的閉環(huán)穩(wěn)定性與哪些參數(shù)相關(guān);最后,分析圓度誤差對四自由度AMB穩(wěn)定性的影響。

2.1 轉(zhuǎn)子圓度誤差的影響分析

轉(zhuǎn)子的圓度誤差用于描述轉(zhuǎn)子在垂直于轉(zhuǎn)軸的截面上,輪廓相對其理想圓的偏差量。本文中假設(shè)軸承由于圓度誤差,截面形狀為橢圓形,且轉(zhuǎn)子模型中A端和B端位置的圓度誤差一致。

需要注意的是,當(dāng)每個(gè)自由度只有一個(gè)位移傳感器時(shí),會(huì)產(chǎn)生干擾電流。為了消除圓度誤差產(chǎn)生的干擾電流,每個(gè)自由度用一對位移傳感器,而不是一個(gè)位移傳感器[2]。

圖2為轉(zhuǎn)子的圓度誤差示意圖。A端截面應(yīng)為半徑為R的圓,但由于機(jī)械加工的圓度誤差,實(shí)際轉(zhuǎn)子表面的x方向直徑比y方向直徑長2ε,則圓度誤差為ε。

圖2 轉(zhuǎn)子的圓度誤差示意圖

圖3為轉(zhuǎn)子相對水平位置轉(zhuǎn)動(dòng)θ后電磁鐵與轉(zhuǎn)子間隙示意圖。

圖3 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)后電磁鐵與轉(zhuǎn)子間隙示意圖

從圖3可以看出,電磁鐵到轉(zhuǎn)子的間隙g隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ發(fā)生變化[2],為

g=x0-εcos2θ,θ∈[0,2π]

(5)

式中:x0為轉(zhuǎn)子在平衡位置時(shí)電磁鐵與轉(zhuǎn)子的間隙。

轉(zhuǎn)子在平衡位置處的線性化模型中,力-電流系數(shù)ki和力-位移系數(shù)kx的表達(dá)式如下:

(6)

根據(jù)式(5)和式(6), 當(dāng)ε>0時(shí),可得:

(7)

式中:k為電磁力系數(shù);α為電磁鐵與中軸的夾角的半角;I為電磁鐵的偏置電流。

(8)

根據(jù)式(6)～式(8),可得出力-電流系數(shù)ki、力-位移系數(shù)kx與圓度誤差的關(guān)系,如圖4所示。

圖4 不同圓度誤差下ki和kx的增大倍數(shù)

因?yàn)锳MB的轉(zhuǎn)子是車床加工,如果加工誤差中只有圓度誤差,則加工誤差等于圓度誤差的2倍,為2ε。

隨著加工精度降低,圓度誤差迅速增大。當(dāng)加工精度不高時(shí),即使是細(xì)轉(zhuǎn)子,圓度誤差也會(huì)對ki和kx產(chǎn)生顯著影響。

因此,關(guān)于圓度誤差對ki和kx影響的研究,當(dāng)AMB轉(zhuǎn)子加工精度較低,尤其是AMB轉(zhuǎn)子尺寸較大時(shí),是非常必要的。

2.2 單自由度AMB的閉環(huán)穩(wěn)定性分析

由于分析四自由度AMB的穩(wěn)定性需要參考單自由度AMB,并且四自由度AMB的控制參數(shù)選取需要參考單自由度AMB,因此,必須先分析單自由度AMB的穩(wěn)定性,然后在此基礎(chǔ)上分析四自由度AMB的穩(wěn)定性。

單自由度AMB的物理模型如圖5所示。

圖5 單自由度AMB的物理模型

圖5中,x為轉(zhuǎn)子實(shí)際位置相對于平衡位置的位移;i為電磁鐵中的差分電流。

吸引力的合力為

(9)

式中:∑F(x,i)為轉(zhuǎn)子相對平衡位置位移為x,電磁鐵差分電流為i時(shí),所受的電磁力合力;N為電磁鐵的圈數(shù);μ0為空氣的磁導(dǎo)率,大小為4π×10-7(H/m);Ae為電磁鐵的截面積。

在x=0,i=0處,將∑F(x,i)進(jìn)行線性化可得:

∑F(x,i)=kii+kxx

(10)

當(dāng)不考慮外界擾動(dòng),對于AMB系統(tǒng),輸入為電流i,輸出為位移x,可得:

(11)

由式(11)和式(9)可得AMB開環(huán)傳遞函數(shù)為

(12)

圖6 單自由度AMB的閉環(huán)控制框圖

圖6中,R(s)為參考信號;X(s)為AMB轉(zhuǎn)子的位移;I(s)為AMB線圈的差分控制電流;Gc(s)為控制器的傳遞函數(shù);Ga為功放的放大倍數(shù);Gs為傳感器的放大倍數(shù);Fd為外界擾動(dòng)力。

不考慮外界擾動(dòng),則Fd=0,則有

I(s)=(R(s)-X(s)Gs)Gc(s)Ga

(13)

將式(12)代入式(13)可得:

(14)

因?yàn)椴捎肞ID控制,可得:

(15)

式中:kP為比例項(xiàng);kI為積分項(xiàng);kD為微分項(xiàng)。

將式(15)代入式(14)后整理可得單自由度AMB閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(16)

勞斯表第1列如表1所示。

表1 勞斯表第1列

根據(jù)勞斯判據(jù),單自由度AMB閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為第1列系數(shù)全為正。根據(jù)表1可得單自由度AMB穩(wěn)定的充要條件為

(17)

分析式(17)中各式的成立條件,具體如下。

不等式(1)、不等式(2)、不等式(4):kI>0,kD>0即可。

2.3 四自由度AMB的閉環(huán)穩(wěn)定性分析

基于對單自由度穩(wěn)定性的分析,將分析擴(kuò)展到四自由度AMB。

分析基于以下前提條件:

① 四自由度AMB轉(zhuǎn)子為質(zhì)量均勻分布的剛體,適用于式(4)的數(shù)學(xué)模型。

② 擾動(dòng)較小,此時(shí)才能近似成線性系統(tǒng)分析。

③ 由于研究的是轉(zhuǎn)子靜止?fàn)顟B(tài),并且AMB系統(tǒng)徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般為軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的10倍左右,忽略陀螺效應(yīng),X方向和Y方向解耦。

四自由度AMB的閉環(huán)控制框圖如圖7所示。

圖7 四自由度AMB的閉環(huán)控制框圖

圖7中,R(s)為參考信號向量;P(s)為四自由度AMB的數(shù)學(xué)模型對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣;Gc(s)為控制器的傳遞函數(shù)矩陣;Ga為功放的放大倍數(shù)矩陣;Gs為傳感器的放大倍數(shù)矩陣;Fd為外界擾動(dòng)力向量,不考慮外界擾動(dòng),則Fd=0。上述變量的表達(dá)式為

(18)

式中:Gxa(s)為XA自由度的控制環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù);kP_xa、kI_xa、kD_xa為XA自由度的PID控制參數(shù);Ga_xa為XA自由度功放的放大倍數(shù);Gs_xa為XA自由度傳感器的放大倍數(shù);其余參數(shù)分別是其他3個(gè)自由度的對應(yīng)參數(shù),不加贅述。

式(4)通過拉氏變換并整理可以得到:

qx=(ML1s2-LKx)-1LKiqi

(19)

設(shè):

P(s)=(ML1s2-LKx)-1LKi

(20)

則式(19)可寫為

qx=P(s)qi

(21)

因?yàn)樗淖杂啥華MB要求轉(zhuǎn)子在4個(gè)自由度都處在平衡位置,因此輸入R(s)=[0,0,0,0]T,代入得到:

qi=(0-Gsqx)Gc(s)Ga

(22)

由式(21)和式(22)可推得:

qx=P(s)qi=-GsGaP(s)Gc(s)qx

(23)

由此可得:

qx(I+P(s)GsGaGc(s))=0

(24)

令A(yù)=I+P(s)GsGaGc(s),則A為四自由度AMB的閉環(huán)特征方程矩陣。

(25)

式中:

2.4 PID參數(shù)設(shè)計(jì)與圓度誤差影響的分析

四自由度AMB系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是D(s)各項(xiàng)系數(shù)大于0,于是分析式(25)中系數(shù)a0～a6均大于0的條件。其中,a0、a1和a6的形式比較簡單;為了簡化a2～a5的分析,分析基于以下兩個(gè)假設(shè)。

①XA自由度和XB自由度的各參數(shù)相同;

② 由式(6),若cosθ=1,則有

(26)

將式(26)代入式(25)中,簡化后a2～a5為

(27)

通過分析式(25)～式(27),可以得到以下結(jié)論。

① 根據(jù)式(25),由a0的表達(dá)式,a0>0一定成立;由a1的表達(dá)式,若a1>0,則4個(gè)自由度各自的PID的微分項(xiàng)必須不全為0;由a6的表達(dá)式,若a6>0,4個(gè)自由度各自的PID的積分項(xiàng)必須各自大于0。

② 根據(jù)式(27),a2和a4表達(dá)式中含有大的正項(xiàng),因此容易滿足大于0;但圓度誤差ε仍然不能太大。當(dāng)ε增大至接近x0,式(26)迅速變大,a2和a4可能小于0,導(dǎo)致四自由度AMB系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。

③ 根據(jù)式(27),a3>0,則kP_xa不能太小,且最重要的是kx_xa不能太大,也即圓度誤差ε不能太大。

④ 根據(jù)式(27),a5>0,則kP_xa不能太小,且圓度誤差ε不能太大。

⑤ 由于a3和a5的表達(dá)式不包含較大的正項(xiàng),因此a3和a5比其他參數(shù)更難滿足大于0的條件。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,kP_xa不能太小,且圓度誤差ε不能太大。

⑥ 由a2～a5的表達(dá)式均可發(fā)現(xiàn):當(dāng)圓度誤差過大而導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),可以通過增大PID參數(shù)中的kP_xa使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

3 仿真

3.1 仿真參數(shù)的選取

仿真參數(shù)按照實(shí)際AMB系統(tǒng)的參數(shù)選取,如表2所示。

在確定四自由度AMB的PID控制參數(shù)時(shí),可以先選取單自由度的參數(shù),初始狀態(tài)下將4個(gè)自由度設(shè)為相同。

代入表2的參數(shù),根據(jù)式(10)計(jì)算得到平衡位置處ki=19.22,kx=32683。根據(jù)式(17)中單自由度系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,代入?yún)?shù)計(jì)算得到:PID參數(shù)的取值范圍是:kP>0.03,kI>0,kD>0。

根據(jù)前文的分析,kP可以在滿足取值范圍的基礎(chǔ)上略微加大。初始PID參數(shù)不妨選取為:kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01,并將每個(gè)自由度的初始PID參數(shù)設(shè)為相同。

由于轉(zhuǎn)子在平衡位置時(shí)的間隙為0.25 mm,為了避免機(jī)械上的干涉和電磁鐵飽和,仿真中圓度誤差ε的取值不大于0.2 mm。

由于AMB為鎮(zhèn)定系統(tǒng),為考察其穩(wěn)定性,采用單位階躍信號[13]作為外部擾動(dòng),因此外部擾動(dòng)的大小取單位階躍信號。

3.2 圓度誤差對四自由度AMB穩(wěn)定性的影響

當(dāng)ε分別為0 mm、0.1 mm和0.2 mm時(shí),代入式(25)計(jì)算A11的行列式,四自由度AMB的特征多項(xiàng)式D(s)的系數(shù)的正負(fù),如表3所示。

表3 不同圓度誤差下D(s)的各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)

由表3可以看出,當(dāng)ε為0 mm或0.1 mm,系數(shù)全為正數(shù),系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的必要條件;當(dāng)ε為0.2 mm,系數(shù)a3和a5為負(fù)數(shù),系統(tǒng)不穩(wěn)定。

假設(shè)外部干擾為單位階躍信號,0.1 s時(shí)施加在AMB仿真模型的XA自由度。對無圓度誤差,圓度誤差ε為0.1 mm、0.2 mm時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行仿真,得到的結(jié)果如圖8所示。

圖8 圓度誤差分別為0 mm、0.1 mm、0.2 mm時(shí)的穩(wěn)定性比較

圖8中,XA、XB、YA、YB為qx=[xa,xb,ya,yb]T中的4個(gè)自由度的位移,是系統(tǒng)的輸出量;ixa、ixb、iya、iyb為qi=[ixa,ixb,iya,iyb]T中的4個(gè)自由度的差分電流,是系統(tǒng)的控制輸入。

由圖8的仿真結(jié)果可知:

① 當(dāng)單位階躍信號于0.1 s施加之后,只有XA自由度產(chǎn)生位移變化和差分電流變化,XB、YA、YB自由度沒有產(chǎn)生位移變化和差分電流變化。

② 當(dāng)圓度誤差ε為0 mm或者0.1 mm時(shí),四自由度AMB系統(tǒng)可以穩(wěn)定;ε為0.1 mm時(shí),由于更大的力-電流系數(shù)和力-位移系數(shù),達(dá)到平衡時(shí)位移更小,差分電流也更小,說明系統(tǒng)剛度大,更容易穩(wěn)定。

③ 當(dāng)ε達(dá)到0.2 mm時(shí),XA自由度不收斂,系統(tǒng)不再穩(wěn)定。

④ 參照表3,當(dāng)ε為0.2 mm時(shí),閉環(huán)特征方程的分母多項(xiàng)式系數(shù)不全大于0,四自由度AMB無法穩(wěn)定;仿真中ε為0.2mm時(shí)也是不穩(wěn)定的。仿真結(jié)果和理論分析是吻合的。

3.3 調(diào)整PID參數(shù)使四自由度AMB系統(tǒng)穩(wěn)定

基于3.2節(jié)中的仿真結(jié)果,當(dāng)圓度誤差過大,四自由度AMB會(huì)不穩(wěn)定;由2.4節(jié)的結(jié)論⑥可知,當(dāng)圓度誤差過大而導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),可以通過增大PID參數(shù)中的kP使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定。

將kP從0.1調(diào)至1,此時(shí)的PID參數(shù)為:kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01。通過計(jì)算,這套PID參數(shù)下D(s)所有系數(shù)為正。

當(dāng)ε為0.2 mm,仿真比較kP=1和kP=0.1系統(tǒng)的穩(wěn)定性,得到仿真結(jié)果,如圖9所示。

圖9 圓度誤差同為0.2 mm時(shí),kP為1的仿真結(jié)果

將圖9的仿真結(jié)果與圖8(e)和圖8(f)進(jìn)行對比,可以看出,當(dāng)圓度誤差ε同為0.2 mm時(shí),通過將kP從0.1增大到1,XA自由度的位移由發(fā)散變?yōu)槭諗?四自由度AMB恢復(fù)穩(wěn)定。仿真結(jié)果和理論分析是吻合的。

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)介紹

采用了AMB實(shí)驗(yàn)平臺(tái),如圖10所示。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由上位機(jī)、磁懸浮裝置、控制板(搭載DSP28335)、信號處理板、信號轉(zhuǎn)接板和功率放大電路等組成;此系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子存在較大的圓度誤差,定子和某些位置的傳感器存在其他類型的加工誤差和裝配誤差;系統(tǒng)的主要參數(shù)如表2所示。

4.2 復(fù)現(xiàn)圓度誤差導(dǎo)致的不穩(wěn)定

先調(diào)節(jié)推力盤自由度的控制電流,使轉(zhuǎn)子在軸向達(dá)到懸浮;再將徑向4個(gè)自由度的PID參數(shù)均設(shè)置為kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01。轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周,在此過程中XB自由度的位移波形如圖11所示。

圖11 轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周XB的位移波形

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中,大部分區(qū)域穩(wěn)定,8～13 s發(fā)生了振蕩。

基于圖11中實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)了一周,XB自由度大部分時(shí)間都是穩(wěn)定的,說明PID參數(shù)的選擇沒有問題。XB自由度在轉(zhuǎn)至特殊位置附近不穩(wěn)定,說明轉(zhuǎn)子這個(gè)位置附近加工誤差比較大。轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,當(dāng)轉(zhuǎn)子的這個(gè)位置正對XB自由度電磁鐵時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。此轉(zhuǎn)子的加工過程中,圓度誤差是主要的機(jī)械誤差,于是認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中的不穩(wěn)定狀態(tài)是由轉(zhuǎn)子圓度誤差引起的。

4.3 調(diào)整合適的PID參數(shù)

根據(jù)前文仿真的結(jié)果,增大kP能夠更好地保證四自由度AMB的特征多項(xiàng)式D(s)所有系數(shù)為正,對系統(tǒng)穩(wěn)定有幫助,因此將kP從0.1調(diào)為1。

由于實(shí)際系統(tǒng)采用數(shù)字控制,信號的采樣、保持和處理均有延時(shí),電磁鐵的電流滯后于電壓,因此需要增大微分環(huán)節(jié),抵消各種延時(shí)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,將kD從0.01調(diào)為50。

將4個(gè)自由度的PID參數(shù)設(shè)置為:kP=1,kI=0.01,kD=50。

將轉(zhuǎn)子位于圖11中振蕩的區(qū)域,轉(zhuǎn)子初始時(shí)就處于不穩(wěn)定狀態(tài);更新PID的參數(shù),觀察XB自由度的波形的變化。PID參數(shù)改變前后,XB的位移波形如圖12所示。

圖12 PID參數(shù)改變前后XB的位移波形

由圖12可以看出,在PID參數(shù)改變前,該自由度一直在振蕩;在PID參數(shù)改變完成后,XB自由度在改變參數(shù)后恢復(fù)穩(wěn)定。

重新將轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周,轉(zhuǎn)速和4.2節(jié)中實(shí)驗(yàn)的轉(zhuǎn)速相近,得到新的PID參數(shù)下的XB的位移波形,如圖13所示。

圖13 PID參數(shù)調(diào)整后,轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周XB的位移波形

由圖13可以看出,振蕩發(fā)生的時(shí)間段為25～31 s,轉(zhuǎn)動(dòng)經(jīng)過振蕩區(qū)域的時(shí)間共6 s,與圖9中的振蕩時(shí)間5 s相近,因此轉(zhuǎn)速和實(shí)驗(yàn)4.2節(jié)的轉(zhuǎn)速相近。這說明了兩次實(shí)驗(yàn)條件是相近的,保證了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信度。

對比圖11和圖13可以發(fā)現(xiàn),調(diào)整PID參數(shù)之后,轉(zhuǎn)子在相同區(qū)域仍然有振蕩,但是振蕩幅度在-0.1～0.1 mm,比調(diào)整PID參數(shù)之前的-0.29～0.25 mm顯著減小。因此合理選取PID參數(shù)可以幫助四自由度AMB在圓度誤差較大時(shí)仍然保持穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

提出了一種可用于分析圓度誤差對四自由度AMB穩(wěn)定性影響的方法,過程如下。

① 基于四自由度AMB轉(zhuǎn)子的數(shù)學(xué)模型和PID控制,推導(dǎo)四自由度AMB的閉環(huán)特征方程A。

② 計(jì)算閉環(huán)特征方程A的子塊A11的行列式det(A11),通過其分母多項(xiàng)式D(s)的系數(shù)的正負(fù),判斷是否滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

③ 圓度誤差ε會(huì)通過力-電流系數(shù)和力-位移系數(shù)影響D(s)系數(shù)的正負(fù),PID控制參數(shù)會(huì)直接影響D(s)系數(shù)的正負(fù),兩者都影響四自由度AMB的穩(wěn)定性。

④ 當(dāng)圓度誤差ε過大時(shí),D(s)系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)項(xiàng),四自由度AMB的仿真結(jié)果不穩(wěn)定;但是通過調(diào)節(jié)PID參數(shù),D(s)系數(shù)全正,四自由度AMB的仿真結(jié)果重新穩(wěn)定,仿真結(jié)果與理論分析一致。

⑤ 實(shí)驗(yàn)使用了較大圓度誤差的AMB實(shí)驗(yàn)平臺(tái),發(fā)現(xiàn)在某些區(qū)域存在不穩(wěn)定的現(xiàn)象。通過參考理論分析中提出的方法,調(diào)整了PID參數(shù),系統(tǒng)重新穩(wěn)定,證實(shí)了理論分析和仿真的準(zhǔn)確性,也證實(shí)了所提出的方法的實(shí)用價(jià)值。

但是本文提出的方法存在改進(jìn)的空間,具體如下。

① 對高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子,不同自由度存在著陀螺效應(yīng)帶來的耦合,該方法不能用于分析圓度誤差對高速旋轉(zhuǎn)的AMB穩(wěn)定性的影響。

② 建立的數(shù)學(xué)模型基于轉(zhuǎn)子質(zhì)量均勻的理想狀況,如果轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻,幾何中心和質(zhì)心不重合,該方法需要進(jìn)一步改進(jìn)。