楊璇，祁偉，秦飛

（中國科學院大學電子電氣與通信工程學院，北京 101408）

0 引言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展和社會生產(chǎn)需要，海量的網(wǎng)絡(luò)設(shè)備需要更寬廣的無線網(wǎng)絡(luò)覆蓋面積，更高效的網(wǎng)絡(luò)連接和網(wǎng)絡(luò)可靠性，隨著這一發(fā)展趨勢，無線賦能的工業(yè)應(yīng)用為工業(yè)環(huán)境和工業(yè)系統(tǒng)提供高速，可靠，高覆蓋率的網(wǎng)絡(luò)連接，支持工業(yè)4.0 的戰(zhàn)略部署要求[1]。工業(yè)無線網(wǎng)絡(luò)通常構(gòu)建傳感器和控制器間的閉環(huán)反饋系統(tǒng)，來提高工業(yè)控制系統(tǒng)的感知邊界和控制效能[2]，因此工業(yè)無線網(wǎng)絡(luò)通常保障閉環(huán)反饋系統(tǒng)下傳感器和控制器之間的實時、穩(wěn)定、準確的信息交互。然而，工業(yè)環(huán)境的特殊性使得工業(yè)無線網(wǎng)所面臨的挑戰(zhàn)與傳統(tǒng)的無線網(wǎng)絡(luò)有所不同[3]。工業(yè)現(xiàn)場環(huán)境復(fù)雜，設(shè)備密集，信號傳播路徑復(fù)雜，非平穩(wěn)多徑混響效應(yīng)明顯，物理層可靠傳輸覆蓋范圍有限。因此工業(yè)場景下通常采用自組織網(wǎng)絡(luò)以提高可靠通信性能。然而工業(yè)信道的復(fù)雜性也對自組網(wǎng)的設(shè)備和算法提出了新的要求[4]。且不同于蜂窩網(wǎng)絡(luò)測試，工業(yè)場景下的現(xiàn)場測試通常代價較大，為了研究和評估工業(yè)移動自組網(wǎng)[5]在真實信道下的性能和行為，同時節(jié)省測試成本和時間，可以使用信道模擬器模擬各種信道特性，以提供可復(fù)現(xiàn)且有真值的測試環(huán)境模擬，從而有效的提升工業(yè)移動自組網(wǎng)的設(shè)備研制和系統(tǒng)測試效能[6][7]，高效驗證其在復(fù)雜環(huán)境下的可靠性和效能[8]。

目前，商用信道模擬器的通常面向室外移動場景研制，由圖1(a)可以看到此場景下的多徑信道呈現(xiàn)稀疏離散特征。因此，現(xiàn)有商業(yè)信道模擬器通常采用正弦疊加法研制[9][10]，其結(jié)構(gòu)本質(zhì)即為FIR 濾波器，如圖1(b) 所示。然而與室外場景相比，工業(yè)現(xiàn)場存在海量金屬體表面，發(fā)射機輻射信號將有較大概率與被這些金屬表面多次交互，形成混響效應(yīng)，從而在信道沖激響應(yīng)上呈現(xiàn)出如圖1(c) 所示連續(xù)分布，顯著異于圖1(a) 所示的經(jīng)典模型[11][12]。此時，雖然可以依然采用FIR 濾波器架構(gòu)對該系統(tǒng)進行模擬，但是顯然將需要極高的濾波器階數(shù)以滿足模擬誤差要求，給硬件設(shè)計部署帶來了極大的挑戰(zhàn)。因為IIR（Infinite Impulse Response，無限沖激響應(yīng)）濾波器有遞歸的特性，對于同一系統(tǒng)，IIR 結(jié)構(gòu)的濾波器的復(fù)雜度遠遠低于FIR結(jié)構(gòu)濾波器。因此在理論上可以使用圖1(d) 的較低階IIR結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)工業(yè)混響信道模擬，以減少模型的復(fù)雜度和計算開銷，同時盡可能地保持原始信道特性。

圖1 不同場景的信道沖激響應(yīng)和對應(yīng)的濾波器結(jié)構(gòu)

為達到該目標，一個直觀的方法是首先根據(jù)采樣定理將混響信道模型抽樣成一個高階FIR 濾波器架構(gòu)，再利用經(jīng)典的平衡截斷法將高階FIR 濾波器轉(zhuǎn)換為較低階的IIR 濾波器[13]。但是該方案首先在截斷時必然面臨信息損失，且無法補償。其次該方法也缺乏在階數(shù)和模擬誤差間調(diào)整的機制，無法滿足工業(yè)混響信道的模擬要求。與此同時，多項式計算法可以在給定目標沖激響應(yīng)函數(shù)與階數(shù)后，自適應(yīng)迭代尋找到最優(yōu)的濾波器系數(shù)組。但是該方法需要人為給定階數(shù)作為超參，才能尋找到最優(yōu)參數(shù)組，因此亦無法滿足工業(yè)混響信道的模擬要求。針對這一問題，本文通過構(gòu)建包含多目標優(yōu)化函數(shù)，同時考慮濾波器的精度和濾波器的復(fù)雜度，將該問題建模為凸優(yōu)化求最優(yōu)值的問題。具體的，本文先使用平衡截斷法得到一個次優(yōu)的初始階數(shù)，再通過遺傳算法迭代濾波器的階數(shù)，通過多項式計算法得出該階數(shù)下的濾波器系數(shù)，不斷更新目標函數(shù)值，搜索到全局最優(yōu)值。數(shù)值實驗驗證了該方案的有效性。

1 現(xiàn)有的方案

1.1 平衡降階法

平衡截斷法[13]是1991 年由Moore 和Grimble 提出的一種降階技術(shù)，其主要原理是通過保留原系統(tǒng)動態(tài)行為中的主要特征，將高維系統(tǒng)降至較低的維度，從而減少系統(tǒng)計算量和復(fù)雜度，同時保證系統(tǒng)的控制性能。在平衡截斷法中，系統(tǒng)的動態(tài)特性和控制性能是通過對系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）來分析的。通過分析系統(tǒng)的左奇異向量和右奇異向量，可以得到系統(tǒng)的平衡矩陣，并基于此矩陣進行模型簡化。但是平衡截斷法也存在一些不足，為實現(xiàn)合理的降階，平衡截斷法忽略了系統(tǒng)高階的狀態(tài)信息，可能會導致降階后的模型喪失一定的表現(xiàn)能力，無法通過模型完全描述系統(tǒng)的行為特征。并且平衡截斷法在對原始系統(tǒng)進行截斷時，并不能選擇合適的截斷長度來保證系統(tǒng)的準確性。

1.2 多項式計算法

多項式系數(shù)計算法[14]基于最小二乘法，通過最小化濾波器的頻率響應(yīng)與目標響應(yīng)之間的誤差平方和，來求解多項式系數(shù)。多項式系數(shù)計算法根據(jù)濾波器的階數(shù)使用多項式比的形式來擬合原始濾波器的頻率響應(yīng)。多項式系數(shù)計算算法是一種高效而準確的方法，它可以方便地根據(jù)已知的頻率響應(yīng)計算出濾波器的多項式系數(shù)。該算法克服了直接從頻率響應(yīng)反推濾波器多項式系數(shù)的困難，提供了一個便捷和靈活的工具。但是數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與它的多項式系數(shù)之間存在映射關(guān)系。頻率響應(yīng)是一個連續(xù)的函數(shù)，它的不同頻率處的值于頻率是連續(xù)的，并且隨著頻率的變化而緩慢變化。而多項式系數(shù)則是一組離散的參數(shù)，用來描述數(shù)字濾波器的性能，多項式系數(shù)的微小變化可以引起頻率響應(yīng)的劇烈變化，這種映射關(guān)系是一個高度非線性的過程。多項式計算法通過最小二乘法可以得到初步的近似解，但迭代計算的過程中目標函數(shù)可能存在非線性特性，因此采用高斯牛頓法來進一步優(yōu)化參數(shù)[15]。高斯牛頓法[20]通過計算目標函數(shù)的梯度來更新參數(shù)，迭代進行優(yōu)化，直到滿足收斂條件，得到當前階數(shù)下的與原始濾波器誤差最小的濾波器的系數(shù)。但是這種方法同時也存在不足：多項式計算法不能選擇準確的迭代次數(shù)，這種方法在求解多項式系數(shù)時需要通過迭代來逼近最優(yōu)解，對于某些復(fù)雜的濾波器設(shè)計問題，可能需要進行大量的迭代才能達到滿意的結(jié)果。因此，如何選擇合適的迭代次數(shù)是該方法中需要注意的核心問題。

2 問題的構(gòu)建以及求解

2.1 問題構(gòu)建

通用信道模擬器主要采用正弦疊加法進行模擬，在對工業(yè)場景進行模擬時，需要采用高階FIR 系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以描述為：

其中y(n)是輸出變量，u(n)是輸入變量，bk是沖激響應(yīng)的一個抽頭，N表示沖激響應(yīng)的階數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗知識和實際的工業(yè)混響衰落信道的參數(shù)，工業(yè)無線信道對應(yīng)的離散化后的沖激響應(yīng)中的階數(shù)將會非常大，通常是上百階的，也使得簡單應(yīng)用FIR 方案進行的工業(yè)連續(xù)混響信道的模擬會導致極大的硬件代價和算力要求，僅具備理論上的可行性。

現(xiàn)有的平衡截斷法難以選擇一個合適的長度來保證準確度，而多項式計算法為了找到準確率最高的解需要遍歷階數(shù)。為了解決上述兩種方法的不足之處，如前文所述，在模型復(fù)雜度和模型對原始FIR 濾波器的描述能力之間尋求最佳平衡，需要選擇一個較優(yōu)的模型，以在保證仿真的濾波器準確性的同時考慮濾波器的階數(shù)。理論上，隨著IIR 濾波器階數(shù)的增加，模型的精度也會提高，與原始FIR 濾波器的誤差越來越小，這個關(guān)系應(yīng)該是一個單調(diào)函數(shù)，如圖2(a) 所示。然而，為了避免精度過高所帶來的模型復(fù)雜度過大，將在這個單調(diào)函數(shù)中考慮模型的復(fù)雜度，即IIR 濾波器的階數(shù)，并將其進行凸化處理。通過權(quán)衡模型復(fù)雜度和信道誤差，構(gòu)建一個目標函數(shù)，保證找到具有全局最優(yōu)解的濾波器。本文設(shè)計目標函數(shù)如下：

圖2 誤差E和目標函數(shù)仿真示意圖

其中，E是仿真后的IIR 濾波器與原FIR 濾波器的誤差，a和na分別是IIR 濾波器前向系數(shù)的系數(shù)和階數(shù)，b和nb是IIR 濾波器后向系數(shù)的系數(shù)和階數(shù)。該表達式綜合考慮了降階和誤差對結(jié)果的影響。然而，由于誤差值本身較小，需要增加誤差在目標函數(shù)中的權(quán)重。如圖2(b)所示，可以看到目標函數(shù)此時呈現(xiàn)凸函數(shù)的形式，即存在一個唯一的全局最小值。下一節(jié)中將給出該全局最優(yōu)解的求解方法。

2.2 問題求解

（1）初始定階

根據(jù)上述濾波器結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)H(z)可以表示為：

其中，h[n] 為離散的信道沖激響應(yīng)，h[n]=bk,0≤n≤M。參考[16]所提方法，該濾波器也可以利用狀態(tài)空間方程表示如下：

其中x(n) 是狀態(tài)變量，y(n) 是輸出變量，u(n) 是輸入變量。根據(jù)[13]，一個線性時不變系統(tǒng){A,B,C,D}，當且僅當其可控Gram 矩陣P正定時，系統(tǒng)是完全可控的，當且僅當Gram 矩陣為Q正定時，系統(tǒng)是完全可觀的，當系統(tǒng)完全可控和完全可觀時，該系統(tǒng)是最小實現(xiàn)的。其中可控矩陣P和可觀矩陣Q分別是李雅普諾夫方程（Lyapunov）的解。

為了求得可控矩陣P和可觀矩陣Q，對{A,B,C,D}進行平衡變換，即使用一個非奇異的變換矩陣T，將原始的線性系統(tǒng){A,B,C,D}變?yōu)榈葍r系統(tǒng)，其中相應(yīng)的可控和可觀矩陣均為對角陣并且,這里的是公式的解。這時的變換T 便稱平衡變化，相應(yīng)的稱為平衡系統(tǒng)。并且平衡變換后的系統(tǒng)仍是最小實現(xiàn)的，經(jīng)平衡變換后的可控矩陣和可觀矩陣是正定的對角陣。

系統(tǒng)的狀態(tài)空間達到平衡：

構(gòu)建Hankel 奇異值矩陣[19]，其對角元素為系統(tǒng)可控矩陣和可觀矩陣乘積的特征值的平方根，即有。直觀意義上，Hankel 奇異值向量內(nèi)每一元素代表了該目標系統(tǒng)模擬能力的貢獻。因此對平衡系統(tǒng)進行截斷，也就是截掉Hankel 矩陣中對角元素較小的奇異值所對應(yīng)的狀態(tài)，即可得到保持系統(tǒng)大部分特性的降階系統(tǒng)[16]。顯然，該方法的截斷過程是一個有損過程，且無法選擇合適的階數(shù)來保證精度。所以本文只依靠平衡截斷法完成初始定階，降低后續(xù)迭代求解的開銷。

（2）誤差E 的求解

在得到初始次優(yōu)階數(shù)后，在算法第二步中采用多項式系數(shù)計算法得到的濾波器的誤差。由于z域中z=ejω，為了方便的對ω進行求和，將其寫頻域的形式[14]。多項式系數(shù)計算法需要根據(jù)目標頻率響應(yīng)和初步定階的階數(shù)，寫出用多項式比形式表示的濾波器：

其中原始頻率響應(yīng):

兩個頻率響應(yīng)G(jω) 和F(jω) 之間的數(shù)值差表示擬合中的誤差：

將方程兩邊乘D(ω) 得到：

公式(12)實數(shù)和虛數(shù)的函數(shù)，可以將他們分離得到：

該函數(shù)的絕對值：

在不同頻率值下表示：

定義|D(ωk)ε(ωk)|2為E，然后在不同頻率上求和：

未知多項式系數(shù)ai和bi可以在最小化函數(shù)E上求得。使用最小二乘法將多項式比形式的頻率響應(yīng)和原始頻率響應(yīng)的誤差平方和最小化，得到濾波器的差分方程，從而求解濾波器系數(shù)的初值。注意，最小二乘法取得最優(yōu)解的前提條件是誤差滿足高斯分布[18]，在此場景下并不成立。因此需要根據(jù)高斯牛頓法迭代更新濾波器的系數(shù)，直至滿足收斂條件，找到當前階數(shù)下與原濾波器頻率響應(yīng)誤差最小的濾波器系數(shù),進而得到目標函數(shù)中的E、na和nb，代入目標函數(shù)，可以得到目標函數(shù)的解。

（3）基于遺傳算法的最優(yōu)解迭代

注意到目標函數(shù)中擬合誤差項E 本身是一個關(guān)于濾波器階數(shù)na和nb的表達式，但由于尚無法直接推導出E關(guān)于na和nb的解析式，因此難以構(gòu)建解析法來求解目標方程式的最小值。但是通過初始定階定位至最優(yōu)解附近后，可以通過暴力搜索法來搜索最優(yōu)解。顯然，可以通過應(yīng)用遺傳算法等成熟方法來加速暴力搜索過程遺傳算法[17]是一種模擬自然生物進化過程的優(yōu)化算法，它通過模擬自然選擇、遺傳、變等過程，對變量空間中的解進行優(yōu)化搜索，從而加速找到最優(yōu)解的過程。

該算法第一步通過隨機選擇10 個不同濾波器階數(shù)作為一個種群，第二步通過計算種群中每個個體對應(yīng)的目標函數(shù)的值來評價個體適應(yīng)度并選擇適應(yīng)度高的參數(shù)組保留，第三步對目標函數(shù)值小的個體賦予更大的保留概率，對目標函數(shù)值大的個體賦予小的保留概率.第四步是兩個個體一組基于概率選擇交叉點，將兩個個體交叉點后的階數(shù)進行互換，例如兩個個體(a,b) 和(c,d)，如果交叉點是第一位，則兩個個體變成(a,d) 和(b,c)。第五步基于設(shè)定變異率對保留下的種群進行變異，將個體(a,b) 隨機變異為(a±range,b±range) 范圍內(nèi)的某一個體(a1,b1)，最后生成新的種群，再重復(fù)第二到第四步,若迭代的過程平均適應(yīng)度變化率小于設(shè)定門限即認為滿足收斂條件[21]，即找到目標函數(shù)值最小的個體，也就是問題的最優(yōu)解。

3 實驗驗證

本節(jié)中將對所提工業(yè)混響信道模擬的多目標優(yōu)化方法進行仿真驗證。目標信道模型采用如圖3 所示的在中國科學院大學微電子工藝間實測所得混響信道模型，并采用如文獻[16] 所述方法對混響信道模型進行抽樣后得到一個300 階的FIR 濾波器。

圖3 無線信道沖激響應(yīng)

經(jīng)過平衡截斷法初始定階后，系統(tǒng)初始階數(shù)為na=33,nb=33。此時目標函數(shù)值為613.219 5。隨機構(gòu)建種群為[(24,31),(34,26),(36,42),(33,30),(42,38),(35,38),(41,41),(26,35),(26,38),(39,30)]。如圖4 所示，經(jīng)過一次迭代后的新種群為[(33,38),(26,26),(41,30),(39,41),(41,41),(41,41),(34,30),(39,37),(41,41),(42,41)]，此時目標函數(shù)值為91.3。經(jīng)過4 次迭代后，目標函數(shù)值變化為67.3，此時種群為[(35,30),(26,41),(41,41),(41,28),(42,30),(34,41),(26,30),(26,30),(26,30),(25,30)]。由于變化率在第二次到第三次迭代和第三次到第四次迭代均小于0.1 %，算法即認為尋找到系統(tǒng)最優(yōu)解，中止迭代，此時系統(tǒng)階數(shù)為(26,30)，目標函數(shù)值為67.3。與暴力搜索相比顯著減少了計算開銷，提高算法效率。

圖4 遺傳算法演化圖

圖5 給出了本文所提算法的收斂結(jié)果。與平衡截斷法得到的(30,30) 階的濾波器在幅值響應(yīng)和頻率響應(yīng)相比，本文所提算法得到的沖激響應(yīng)與原來的沖激響應(yīng)相比，明顯具有較高的擬合度。平衡截斷法得到的(30,30)階RMSE 為10.87%，而本文得到的(26,30) 階的RMSE僅為1.13%，實現(xiàn)了數(shù)量級的性能提升。而與多項式計算法得到的(30,30) 階的濾波器在幅值響應(yīng)和頻率響應(yīng)進行對比，多項式計算法的RNMSE 則為2.18%，兩者擬合度接近。但是本文所提方法明顯通過更低的濾波器階數(shù)實現(xiàn)了更高的擬合度。

圖5 兩種方法與原始沖激響應(yīng)的幅值響應(yīng)和相位響應(yīng)對比圖

4 結(jié)束語

本文提出的一種雙目標優(yōu)化方法具備用低階IIR 系統(tǒng)模擬工業(yè)混響信道連續(xù)沖激響應(yīng)的能力，在保證系統(tǒng)精度的同時，大大降低了信道模擬系統(tǒng)的復(fù)雜度。實驗驗證表明，與現(xiàn)有的平衡截斷法相比，本文所提方法不但成功收斂到系統(tǒng)最優(yōu)階數(shù)，且模擬精度的RNMSE 僅為1.13%，遠遠低于平衡截斷方法RNMSE 的10.87%，達到了數(shù)量級的性能提升。在下一步工作，我們將進一步構(gòu)建統(tǒng)一的優(yōu)化迭代模型，合并分步迭的過程，以進一步提高工業(yè)混響信道的模擬效能。