王琦，王聰，馬萍，張紹華

(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本單位，也是神經(jīng)系統(tǒng)的核心模塊．近年來，由于神經(jīng)元在腦脈沖、模式識別和腦信號測量等方面有著重要的理論和應(yīng)用價(jià)值，已成為神經(jīng)科學(xué)研究的熱點(diǎn)[1]．神經(jīng)元傳輸編碼信息的能力依賴于它們與相鄰神經(jīng)元的同步能力，實(shí)驗(yàn)證明神經(jīng)元的同步能力與認(rèn)知功能有關(guān)，目前發(fā)現(xiàn)同步是神經(jīng)信息處理和神經(jīng)疾?。òd癇[2]和帕金森病[3]等）治療的最佳機(jī)制，因此探究神經(jīng)元的同步行為對神經(jīng)科學(xué)具有重要意義．

隨著神經(jīng)科學(xué)的不斷發(fā)展，人們相繼提出各種神經(jīng)元模型，如Hodgkin-Huxley（HH）[4]、FitzHugh-Nagumo（FHN）[5]和Hindmarsh-Rose（HR）[6]等．在各種神經(jīng)元模型中，HR神經(jīng)元模型不僅具有簡單的多項(xiàng)式形式，方便計(jì)算，而且能夠準(zhǔn)確地表現(xiàn)出大多數(shù)放電行為，如靜止態(tài)、峰值放電、簇發(fā)放電等．這些特點(diǎn)使得HR神經(jīng)元模型成為放電分析和同步控制最常用的模型．

分?jǐn)?shù)階微分方程近年來被認(rèn)為是理想的整數(shù)階微分方程的推廣，可以更有效地預(yù)測和評估神經(jīng)元放電頻率，并且可以更加準(zhǔn)確地描述一些物理現(xiàn)象．Dong等[7]用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)研究了HR神經(jīng)元模型的動力學(xué)行為，結(jié)果表明：隨著分?jǐn)?shù)階的改變，神經(jīng)元表現(xiàn)出不同的放電模式（混沌和周期放電），并且分?jǐn)?shù)階模型的放電頻率高于整數(shù)階模型．因此，本文選擇分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型作為研究對象．

近年來，通過李雅普諾夫理論分析，在神經(jīng)元同步控制中應(yīng)用了許多先進(jìn)的控制理論和控制方法，如自適應(yīng)控制[8-10]、滑?？刂芠11-12]等．Semenov等[13]基于有界性分析和速度梯度法，研究了異構(gòu)HR神經(jīng)元的自適應(yīng)同步問題；Cimen等[14]實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)磁流效應(yīng)下HR神經(jīng)元同步的最優(yōu)控制方法．Liu等[15]利用李雅普諾夫方法推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展HR神經(jīng)元模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模算法，實(shí)現(xiàn)了在磁聲刺激輸入下的廣義投影同步問題；Tene等[16]通過Ge-Yao-Chen偏區(qū)域穩(wěn)定理論實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元的同步問題，并發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相比整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有更快的同步速度．但是以上研究大多沒有考慮系統(tǒng)內(nèi)部不確定性對同步控制的影響，且大多自適應(yīng)方法在系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)上具有一定局限性．

針對以上研究不足，本文提出了一種基于浸入與不變原理的自適應(yīng)分段滑模同步方案．浸入與不變原理是通過建立不變流形，基于保持流形的吸引性與不變性來實(shí)現(xiàn)對擾動誤差的估計(jì)，在航天器、無人機(jī)等復(fù)雜非線性系統(tǒng)中均取得了很好的效果[17-18]，但是在神經(jīng)元同步領(lǐng)域尚未應(yīng)用．因此，本文使用這一思想對神經(jīng)元系統(tǒng)的內(nèi)部不確定性和外部擾動進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，相比傳統(tǒng)自適應(yīng)方案，提高了擾動估計(jì)的靈活性，也改善了系統(tǒng)的控制性能．同時(shí)，結(jié)合傳統(tǒng)滑模趨近律和飽和函數(shù)，提出一種新型的分段滑模趨近律，提高同步速度并有效降低滑模抖振．通過Lyapunov穩(wěn)定性分析和仿真驗(yàn)證，本文所提控制方案實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)的完全同步，為神經(jīng)元的同步控制和通訊安全等研究提供了一定的參考．

1 預(yù)備知識和模型描述

1.1 預(yù)備知識

采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來對模型進(jìn)行描述，接下來介紹以下預(yù)備知識：

定義1Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中：t ≥0，q為分?jǐn)?shù)階階數(shù)，n是滿足n-1

定義2Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

其中：t ≥0，q為分?jǐn)?shù)階階數(shù)，Γ(·)是Gamma函數(shù)，Iqt為分?jǐn)?shù)階積分算子．

以下分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)將在后文中用到：

性質(zhì)1若q1>0,q2>0，并且q1+q2<1，那么：

并且Dt1-q(Dtqx(t))=Dx(t)=x(t)，0

性質(zhì)2若n-z

性質(zhì)3若0

1.2 分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元數(shù)學(xué)模型

當(dāng)細(xì)胞內(nèi)的離子（如鈣、鉀、鈉離子）的濃度發(fā)生變化時(shí)，就會引起膜電位的波動．因此，施加超過閾值的外部電流刺激，可以誘導(dǎo)神經(jīng)元的動作電位發(fā)生變化．三維的HR神經(jīng)元模型由三個(gè)一階常微分方程表示：

其中：x1表示細(xì)胞的膜電位，x2表示恢復(fù)性的快速離子交換電流（鈉離子和鉀離子的交換，也稱尖峰變量），x3表示其它離子的適應(yīng)性慢離子交換電流，也稱爆發(fā)變量．a(chǎn)、b、c、d均為系統(tǒng)的模型參數(shù)．Iext表示外部輸入電流，參數(shù)r為慢速離子交換通道的離子交換速度控制變量，s為可調(diào)適應(yīng)參數(shù)，x0表示靜息膜電位．

分?jǐn)?shù)階微分模型作為整數(shù)階微分模型的擴(kuò)展，不但涵蓋了整數(shù)階模型的全部特性，并且可以更加詳細(xì)地刻畫出實(shí)際系統(tǒng)的記憶和遺傳特性，所以分?jǐn)?shù)階模型在展現(xiàn)神經(jīng)元動力學(xué)行為方面更有優(yōu)勢，因此基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立的分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型如下：

其中：Dqt是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子．狀態(tài)變量和模型參數(shù)與整數(shù)階HR神經(jīng)元模型具有相同的物理意義．接下來對模型的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，令式（7）左邊為0可得：

由式（8）可得，模型的平衡點(diǎn)為：

xe可以由以下一元三次方程的實(shí)根確定：

其中：A=(d-b)/a，B=s/a，C=-(sx0+c+Iext)/a．定義xe=ye-(d-b)/3a，式（10）可以改寫為：

其中：p=B-A2/3、q=C+2A3/27-AB/3，判別式?=q2/4+p3/27．考慮給定如下系統(tǒng)參數(shù)：a=1、b=3、c=1、d=5、r=0.002 1、s=4、x0=-1.6，此時(shí)平衡點(diǎn)E=(xe,1-5x2e,4xe+6.4)，p=8/3、q=89.8/27-Iext．顯然，對于任意Iext均滿足?>0，此時(shí)式（11）有一個(gè)實(shí)數(shù)根和兩個(gè)復(fù)數(shù)根，由于平衡點(diǎn)不能是復(fù)數(shù)，所以在此系統(tǒng)參數(shù)下模型只有一個(gè)平衡點(diǎn)，其中ye為：

在平衡點(diǎn)E處，模型（7）的雅可比矩陣為：

可得特征方程為：

其中：α1=3x2e-6xe+1.002 1，α2=3.006 3x2e+3.987 4xe+0.010 5，α3=0.006 3x2e+0.008 4xe+0.008 4．

可通過Routh-Hurwitz判據(jù)來對平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷，當(dāng)勞斯判據(jù)參數(shù)α1>0、α3>0、α1α2-α3>0時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的．當(dāng)外部輸入電流Iext為直流電流時(shí)，例取Iext=3，此時(shí)平衡點(diǎn)可求得E=(-0.788 2,-2.106 4,-3.247 1)，三個(gè)特征值為λ1=0.158 5、λ2=0.004 6、λ3=-7.758 2，表明此時(shí)平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)外部輸入電流Iext為交流電流時(shí)，例取Iext=20sin(0.1πt)，模型的平衡點(diǎn)和勞斯判據(jù)參數(shù)變化曲線如圖1所示，在由Iext引起的整個(gè)周期的時(shí)間區(qū)間[15,35]中，交流平衡點(diǎn)E只有一個(gè)穩(wěn)定區(qū)間[23.533,26.469]，其余交流平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定．

圖1 平衡點(diǎn)和勞斯判據(jù)參數(shù)曲線

接下來對引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的意義進(jìn)行分析，取Iext=3，初始向量選定為x(0)=[0,0,6]T，整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階取0.95、0.93時(shí)的系統(tǒng)相圖和時(shí)序圖如圖2、圖3、圖4所示．由圖2可知，整數(shù)階神經(jīng)元的放電模式呈現(xiàn)十峰周期的簇發(fā)放電狀態(tài)；由圖3可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)取0.95、且其它參數(shù)不變時(shí)，神經(jīng)元的放電模式變?yōu)槭叻逯芷诘拇匕l(fā)放電狀態(tài)，因此引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以加劇神經(jīng)元的放電頻率，且分?jǐn)?shù)階階數(shù)越低，放電行為越劇烈．由圖4可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)取0.93時(shí)，神經(jīng)元的放電模式呈現(xiàn)半圓形的簇發(fā)放電狀態(tài)，因此引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)還可以使得HR神經(jīng)元呈現(xiàn)出更加豐富的放電狀態(tài)．

圖2 整數(shù)階系統(tǒng)相圖和時(shí)序圖

圖3 分?jǐn)?shù)階階數(shù)取0.95時(shí)系統(tǒng)相圖和時(shí)序圖

圖4 分?jǐn)?shù)階階數(shù)取0.93時(shí)系統(tǒng)相圖和時(shí)序圖

分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型不可避免的會受到外界刺激的影響，使得神經(jīng)元的放電狀態(tài)發(fā)生各種變化．因此，在考慮外部輸入交流電流Iext=Imsin(2πFt)的影響下，對模型進(jìn)行分岔分析．式中：Im、F分別為交流電流幅值和頻率，當(dāng)F=0.225、分?jǐn)?shù)階階數(shù)取0.95時(shí)，調(diào)整Im從3變化到8的分岔圖如圖5所示．可知隨著Im的逐漸增加，神經(jīng)元模型呈現(xiàn)出各種復(fù)雜的動力學(xué)行為，如周期、倍周期、混沌放電等．

圖5 Im從3變化到8時(shí)模型分岔圖

2 控制器設(shè)計(jì)

考慮基于浸入與不變原理的兩個(gè)以驅(qū)動-響應(yīng)結(jié)構(gòu)相互連接的分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型的滑模同步問題．驅(qū)動神經(jīng)元模型如下：

受控的響應(yīng)神經(jīng)元模型如下：

其中：dri(i=1,2,3)為未知的外部擾動，ui(i=1,2,3)為響應(yīng)神經(jīng)元各狀態(tài)變量的控制輸入．驅(qū)動-響應(yīng)HR神經(jīng)元系統(tǒng)具有未知的非線性項(xiàng)參數(shù)a1、a2、b1、b2、d1和d2，以及未知的常數(shù)項(xiàng)x0和y0．

為了評價(jià)控制器的同步性能，同步誤差可以定義為ei=yi-xi,i=1,2,3，所以驅(qū)動-響應(yīng)HR神經(jīng)元的誤差系統(tǒng)可以定義為：

其中：y=[y1,y2,y3]T、x=[x1,x2,x3]T分別表示驅(qū)動和響應(yīng)神經(jīng)元的狀態(tài)變量．可知誤差向量的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

為了簡化推導(dǎo)過程，并將系統(tǒng)內(nèi)部不確定性和外部擾動作為系統(tǒng)的總擾動，誤差系統(tǒng)可以寫成如下形式：

參數(shù)矩陣的定義如下：

其中：A是常數(shù)矩陣，he=[he1,he2,he3]T為系統(tǒng)的總擾動，包含系統(tǒng)未知非線性項(xiàng)、未知參數(shù)項(xiàng)和未知外部擾動項(xiàng)，u表示作用于響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元的控制輸入向量．為了便于設(shè)計(jì)，令g=[g1,g2,g3]T=Ae．控制器的設(shè)計(jì)目的是存在系統(tǒng)內(nèi)部不確定性和外部擾動的情況下，驅(qū)動狀態(tài)向量y跟蹤狀態(tài)向量x的時(shí)變軌跡．

2.1 自適應(yīng)分段滑模控制器設(shè)計(jì)

接下來進(jìn)行滑?？刂破髟O(shè)計(jì)，滑模面向量定義為s=[s1,s2,s3]T，為了簡化控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階積分滑模面如下：

其中：i=1,2,3，k1為正常數(shù)．對式（20）求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得滑模面的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動在滑模面上時(shí)，需要滿足si==0，且由Dqtsi=0可得，=D1-qtDqtsi=0，因此只需要滿足s=Dqtsi=0即可．從而可以得到Dqtei=-k1ei，易得此時(shí)ei是穩(wěn)定的且可以收斂到0．

為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并且消除滑模抖振，結(jié)合常用的指數(shù)趨近律Dqts=-k1sgn(s)-k2s、飽和函數(shù)和正切函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種新的滑模趨近律：

其中：c1>0、c2>0、μ1>0、μ2>0、σ>0、0

當(dāng)|s|>?時(shí)，誤差系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面，此時(shí)的滑模趨近律為Dqts=-c1exp(|s/μ1|)sgn(s)-c2sexp(|s/μ2|)．易得c1exp(|s/μ1|)>c1、c2exp(|s/μ2|)>c2，因此所提出的滑模趨近律相對常用的指數(shù)趨近律收斂速度更快，且在誤差系統(tǒng)靠近滑模面的過程中，c1exp(|s/μ1|)和c2exp(|s/μ2|)也在逐漸減小，可以起到降低滑模抖振的效果．

當(dāng)|s|≤?時(shí)，誤差系統(tǒng)靠近滑模面，此時(shí)的滑模趨近律為Dqts=-c1exp(|s/μ1|)tanh(s/σ)-c2sexp(|s/μ2|)．當(dāng)|s|→0時(shí)，Dqts=-c1exp(|s/μ1|)tanh(s/σ)-c2sexp(|s/μ2|)→0，但Dqts=-k1sgn(s)-k2s →k1，故所提出的滑模趨近律相對常用的指數(shù)趨近律可以更好地消除滑模抖振，且更靈活、可以更快地達(dá)到收斂效果．

接下來將所提滑模趨近律應(yīng)用于本文系統(tǒng)中，將式（19）代入式（21）可得：

控制器如下所示：

定理1針對所提驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)，使用所提新的滑模趨近律可以使誤差系統(tǒng)收斂到0．

證明考慮Lyapunov函數(shù)v1=式中：=hei-為hei的估計(jì)誤差，γ1>0．對v1求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，將式（24）和式（25）代入并結(jié)合性質(zhì)3得：

當(dāng)|si|>?時(shí)．

當(dāng)|si|≤?時(shí)．

由以上分析可知，控制器穩(wěn)定，定理1得證．

相比傳統(tǒng)使用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)的自適應(yīng)率，利用浸入與不變原理設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律中引入了額外的補(bǔ)償函數(shù)，從而使對總擾動的估計(jì)由積分轉(zhuǎn)換為比例積分，加強(qiáng)了對總擾動自適應(yīng)律設(shè)計(jì)的靈活性，進(jìn)而改善了自適應(yīng)非線性系統(tǒng)的控制性能，因此本文接下來應(yīng)用浸入與不變原理推導(dǎo)出新型自適應(yīng)律來對誤差系統(tǒng)總擾動進(jìn)行估計(jì)．

2.2 基于浸入與不變原理的自適應(yīng)分段滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

基于浸入與不變原理，對誤差系統(tǒng)的總不確定性估計(jì)建立如下不變流形：

其中βi(ei)是一個(gè)待定的連續(xù)函數(shù)，以滿足所定義的流形（29）不變，可將誤差系統(tǒng)的動力學(xué)方程（19）擴(kuò)展為：

其中ψi(i=1,2,3)是總擾動估計(jì)值的自適應(yīng)律．由于未知的總擾動hei被排除在Dqtei的表達(dá)式之外，若Dqtei和偏離流形M，那么式（30）就不再成立，因此需要設(shè)計(jì)一個(gè)變量來使流形M具有吸引力和不變性，考慮流形外變量zi(i=1,2,3)有如下定義：

通過使用zi，誤差系統(tǒng)可以改寫為：

對zi求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)且將式（30）和式（32）代入可得：

通過分析式（33），取自適應(yīng)律ψi為：

由式（33）和式（34）可得：

通過分析式（35），可以?。?/p>

其中γ2>0．則有Dqtzi=-γ2zi，易知此時(shí)zi可以收斂到0．

對式（36）兩邊取分?jǐn)?shù)階積分可得：

由式（37）結(jié)合性質(zhì)2可得：

再由式（2）和式（37）可得：

結(jié)合式（38）和式（39）可得：

化簡式（40），取βi(0)=0可得：

定理2使用設(shè)計(jì)的式（34）自適應(yīng)律和式（41）補(bǔ)償函數(shù)，可以使定義的zi穩(wěn)定且可以收斂到0，并使流形M保持不變、具有吸引力．

證明考慮Lyapunov函數(shù)v2=z2i/2，求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)且代入式（35）可得：

即zi可以收斂到0，定理2得證．

結(jié)合本節(jié)方法和式（20～23）所提滑模面和滑模趨近律，考慮控制器設(shè)計(jì)如下：

由式（21）、式（32）和式（43）可得：

定理3針對所提驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)，使用所提基于浸入與不變原理的自適應(yīng)滑?？刂破骺梢允拐`差系統(tǒng)收斂到0．

證明考慮Lyapunov函數(shù)v3=s2i/2+z2i/(2γ2)，求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合上述分析且將式（44）代入可得：

當(dāng)|si|>?時(shí)．

當(dāng)|si|≤?時(shí)．

若取c1>0、c2>1/4，即可實(shí)現(xiàn)Dqtv3≤0，從而定理3得證．

通過上述推導(dǎo)，基于浸入與不變原理的自適應(yīng)分段滑?？刂破髟O(shè)計(jì)完畢，應(yīng)用所提方案，可以使驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)達(dá)到同步．

3 仿真驗(yàn)證

驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型的具體參數(shù)為a1=1、a2=1.2、b1=3、b2=3.6、c=1、d1=5、d2=5.3、r=0.002 1、s=4、x0=-1.6、y0=-1.8，系統(tǒng)的初始向量選取為x(0)=[0,0,6]T、y(0)=[0.1,0.1,6.1]T，分?jǐn)?shù)階階次取0.95．外部輸入交流電流分別為Iext1=3和Iext2=4sin(0.45πt)．響應(yīng)系統(tǒng)的外部擾動選取為dr1=sgn(t)、dr2=tanh(t)和dr3=0.2cos(t)．接下來對控制器的參數(shù)分析和控制效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證．

3.1 參數(shù)分析

由于本文所提基于浸入與不變原理的自適應(yīng)分段滑模控制器的不同控制參數(shù)會對驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)的狀態(tài)變量同步以及擾動跟蹤的效果產(chǎn)生較大影響，所以對不同控制器參數(shù)變化進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)．當(dāng)控制器參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)總擾動跟蹤曲線如圖6所示，其余控制器參數(shù)選取為k1=50、c1=50、c2=6、μ1=μ2=0.6、?=0.2、σ=0.5．由圖6可知，雖然γ2取不同值時(shí)均可使控制器在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對總擾動的跟蹤，但是隨著γ2的不斷增大，控制器對總擾動跟蹤的超調(diào)量會明顯增大，且收斂時(shí)間也會相應(yīng)增加．

圖6 γ2變化時(shí)系統(tǒng)總擾動跟蹤曲線

控制器參數(shù)k1的選取對驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)的同步曲線影響如圖7所示，其余控制器參數(shù)選取為c1=50、c2=6、μ1=μ2=0.6、?=0.2、σ=0.5、γ2=10．由圖7可知，若k1的值過小會使同步的穩(wěn)態(tài)誤差增大．隨著k1的增大，控制器的同步速度會加快，但是過大的k1值會使同步曲線出現(xiàn)超調(diào)，影響同步速度．

圖7 k1變化時(shí)系統(tǒng)同步曲線

由以上分析可知，本文所提控制器的參數(shù)應(yīng)該合理選取，其它控制器參數(shù)的選取也是由大量實(shí)驗(yàn)所得，在此不再贅述．控制器參數(shù)選取確定為k1=50、c1=50、c2=6、μ1=μ2=0.6、?=0.2、σ=0.5、γ2=10．

3.2 控制器同步效果與方法對比

選取以上參數(shù)，本文所提控制器的同步效果如圖8所示．在控制器的作用下，響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元的狀態(tài)變量立即跟隨驅(qū)動分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元的狀態(tài)變量，并具有相同的狀態(tài)軌跡，誤差也收斂到一個(gè)相當(dāng)小的區(qū)間內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了完全同步．由此可見，本文所提方案是具有魯棒性的，即使存在內(nèi)部不確定性和外部擾動的前提下，也可以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元的完全同步．

圖8 系統(tǒng)同步效果和誤差曲線

為了驗(yàn)證所提方案的優(yōu)越性，將其與方法1（自適應(yīng)滑模控制器）和方法2（基于非線性擾動觀測器的自適應(yīng)滑?？刂破鳎┻M(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)．圖9是驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元系統(tǒng)的狀態(tài)變量在3種控制器作用下的同步曲線．相比其它兩種控制方式，所提基于浸入與不變原理的自適應(yīng)分段滑模控制器同步時(shí)間更短，超調(diào)量更小，過渡過程更平滑，穩(wěn)態(tài)誤差也更?。?/p>

圖9 不同控制器狀態(tài)變量同步曲線

通過對比進(jìn)一步說明，引入浸入與不變原理后，系統(tǒng)狀態(tài)變量的同步速度和對系統(tǒng)內(nèi)部不確定性的適應(yīng)能力相比其它兩種控制方法都得到了一定的提升，并且可以有效降低穩(wěn)態(tài)誤差和抖振現(xiàn)象，體現(xiàn)出本文所提方案的優(yōu)越性．

4 結(jié)論

以分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元為研究對象，針對驅(qū)動-響應(yīng)分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元完全同步問題提出了基于浸入與不變原理的分段滑模同步方案，并與其它兩種控制器進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：在保證控制器可以使神經(jīng)元系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定同步的前提下，相比自適應(yīng)滑?？刂破骱突诜蔷€性擾動觀測器的自適應(yīng)滑?？刂破?，本文所提控制器提高了傳統(tǒng)方法對擾動的跟蹤性能，并降低了控制器抖振，證明所提方案的可行性與優(yōu)越性．