李曉琴, 游銀萍

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

在工業(yè)工程中,冗余分配是提高系統(tǒng)可靠性的常見(jiàn)做法.工程師通常采用冷儲(chǔ)備和熱儲(chǔ)備這兩種分配方式.熱儲(chǔ)備是指將冗余元件并聯(lián)在工作元件上一同運(yùn)行;冷儲(chǔ)備是指將冗余元件置于備用階段,只有當(dāng)工作元件失效后才開(kāi)始工作.目前,已有一些學(xué)者對(duì)冗余元件分配進(jìn)行開(kāi)創(chuàng)性討論[1-10].其中,關(guān)于冗余分配的大部分研究都是在元件壽命相互獨(dú)立的假設(shè)下進(jìn)行的.然而,在實(shí)際問(wèn)題中,工作元件都是在相同環(huán)境中運(yùn)行,故考慮工作元件壽命具有相依性的相關(guān)研究更切合實(shí)際.在元件壽命相互獨(dú)立的假設(shè)下, Misra等[5]和Romera等[11]分別研究了兩個(gè)冗余元件下串聯(lián)系統(tǒng)在隨機(jī)占優(yōu)序下的冗余冷分配問(wèn)題和冗余熱分配問(wèn)題,證明了分配兩個(gè)冗余元件中的一個(gè)冗余元件時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可以延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命,分配兩個(gè)冗余元件時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余分配給壽命較短的工作元件的分策略較優(yōu).在工作元件壽命具有相依性的假設(shè)下,除了Belzunce等[12-13]和You等[14]建立了單個(gè)冗余元件下不同冗余分配策略的冗余串聯(lián)系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系外,還未有關(guān)于工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的假設(shè)下串聯(lián)系統(tǒng)在隨機(jī)占優(yōu)序下的冗余分配問(wèn)題的研究.因此,本文在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的假設(shè)下,研究分配兩個(gè)冗余元件后的冗余系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

在許多與概率相關(guān)的領(lǐng)域,如工程可靠性、金融精算、風(fēng)險(xiǎn)管理和統(tǒng)計(jì)等,隨機(jī)序發(fā)揮著重要的作用,采用使用隨機(jī)占優(yōu)序來(lái)比較隨機(jī)變量之間的大小關(guān)系.

根據(jù)具有排列遞增的相依概念,對(duì)于任意函數(shù)g：Rn→R,任意對(duì)(i,j),使1≤i

式中：τi,j(x)=(x1,…,xj,…,xi,…,xn)是向量x=(x1,…,xn)的一個(gè)置換.

定義2[15-16]向量X或者它的概率分布為

容易證明SAI?LWSAI.

對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量,Li等[17]首次提出置換單調(diào)相依性的概念.

定義3稱聯(lián)合概率密度f(wàn)(x)為

對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量LTPD等價(jià)于LWSAI.

引理1～5在主要結(jié)論中起到關(guān)鍵作用.

引理2[15]設(shè)(X1,X2)是SAI的,當(dāng)且僅當(dāng)E[g2(X1,X2)]≥E[g1(X1,X2)],對(duì)于任意的x1≤x2,其中,g2,g1滿足：1)g2(x1,x2)≥g1(x1,x2);2)g2(x1,x2)+g2(x2,x1)≥g1(x1,x2)+g1(x2,x1).

引理3[15-16]SAI和LWSAI性質(zhì)的一些充要條件.1) 如果(X1,…,Xn)相互獨(dú)立,那么X是SAI的,當(dāng)且僅當(dāng)X1≤lr…≤lrXn;2) 如果X1,…,Xn由生成元具有完全單調(diào)性的阿基米德copula耦合,那么X是LWSAI的,當(dāng)且僅當(dāng)X1≤rh…≤rhXn.

引理4[18]假設(shè)X的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x)=f(x1,…,xn),那么X是SAI的,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)是排列遞增的.

引理5[19]假設(shè)(X1,X2)是LWSAI的, 當(dāng)且僅當(dāng)E[g2(X1,X2)]≥E[g1(X1,X2)], 其中,g2,g1滿足：1)g2(x1,x2)-g1(x1,x2)關(guān)于x1∈(-∞,x2]遞減;2)g2(x1,x2)+g2(x2,x1)≥g1(x1,x2)+g1(x2,x1),對(duì)于任意x1≤x2.

建立引理6,7.

引理6對(duì)于任意的y1≥y2,令g1(x1,x2)=I(x2

證明：對(duì)于x1≤x2,容易得I(x2

對(duì)于y1≥y2和x1≤x2,有I(x1

引理7對(duì)于任意給定的y1≥y2,令g(x1,x2)=I(x1∨y2

證明：1) 固定x2∈[y2,y1]和x1≤x2,有I(y1

2) 固定x2≤y2≤y1和x1≤x2,有I(x1∨y2

3) 固定x2≥y1,x1≤x2,有I(x2

綜上所述,對(duì)于任意的y1≥y2,可得Δg(x1,x2)關(guān)于x1∈(-∞,x2]遞減.

2 主要結(jié)論及其證明

2.1 冗余元件熱分配

研究具有相依性工作元件的串聯(lián)系統(tǒng)分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件和分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件之后,冗余系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系.

假設(shè)分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件后,兩個(gè)系統(tǒng)壽命分別為

U1=(X1∨Y1)∧X2,U2=X1∧(X2∨Y2).

假設(shè)分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件之后,兩個(gè)系統(tǒng)壽命分別為

V1=(X1∨Y1)∧(X2∨Y2),V2=(X1∨Y2)∧(X2∨Y1).

Romera等[11]考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立的條件下,研究?jī)煞N分配模型的冗余熱分配問(wèn)題,獲得冗余系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系.其中,一種分配模型是分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件,建立命題1.

由命題1可知：對(duì)于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨(dú)立的冗余系統(tǒng),分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件時(shí),將壽命長(zhǎng)的熱儲(chǔ)備冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長(zhǎng)系統(tǒng)的壽命.考慮到元件在相同環(huán)境下工作,故猜想可以將文獻(xiàn)[11]的結(jié)論從元件壽命相互獨(dú)立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的情形上.

由此可得在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性下的第1個(gè)結(jié)論(定理1).

定理1假設(shè)(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨(dú)立,且(Y2,Y1)是SAI的,則得到U1≥prU2.

證明：由文獻(xiàn)[11]的命題1(a)可知,在幾乎處處意義下U1>U2等價(jià)于

X1

故U1≥prU2等價(jià)于證明

P(X1

令g1(x1,x2)=I(x2

E[I(X1

對(duì)任意的y1≥y2,令

t1(y2,y1)=E[I(X2

由上式可得

t2(y2,y1)≥t1(y2,y1).

(1)

E[I(X1

即

t2(y2,y1)+t2(y1,y2)≥t1(y2,y1)+t1(y1,y2).

結(jié)合式(1)可知,t1,t2滿足引理2的條件1),2),又因?yàn)?Y2,Y1)是SAI的,可推出E[t2(Y2,Y1)]≥E[t1(Y2,Y1)],即

E[I(X1

從而可得

P(X1

證畢.

定理1說(shuō)明分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個(gè)工作元件的串聯(lián)系統(tǒng)時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可以提高系統(tǒng)可靠性.引入例1,以說(shuō)明定理1中壽命(Y2,Y1)的SAI條件是不可去的.

例1(Clayton copula) 對(duì)于任意x∈(0,1),貝塔分布B(a,b)的概率密度函數(shù)為xa-1(1-x)b-1/

Y的概率密度差值(Δg(y2,y1),0≤y2

圖1 Y的概率密度差值(0≤y2

P(X1

?f(x1,x2)g2(y2)dy2dx1dx2=

-0.002 349 67≤0,

該例子說(shuō)明U1≥prU2是不成立的.

對(duì)于分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件,Romera等[11]建立命題2.

命題2[11]假設(shè)X1,X2,Y1,Y2相互獨(dú)立,如果滿足X1≤hrX2和Y2≤hrY1,則有V1≥prV2.

由命題2可知：對(duì)于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨(dú)立的冗余系統(tǒng),分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.將上述結(jié)論從元件壽命相互獨(dú)立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的情形上,得到第2個(gè)結(jié)論(定理2).

定理2設(shè)(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2),(Y2,Y1)相互獨(dú)立且(Y2,Y1)是SAI的,則V1≥prV2.

證明：由文獻(xiàn)[11]的命題2(a)可知,在幾乎處處意義下V1>V2等價(jià)于

X1∨Y2

式中：X1∨Y2

因此,有

P(V1>V2)=P(X1∨Y2

類似可得

P(V1

由此可知,V1≥prV2等價(jià)于證明

P(X1∨Y2

E[I(X1∨y2

對(duì)任意的y1≥y2,令

t(y2,y1)=E[I(X1∨y2

由上式可知,對(duì)于y1≥y2時(shí),有

t(y2,y1)≥t(y1,y2).

E[I(X1∨Y2

從而可得

P(X1∨Y2

證畢.

由定理2可知,分配兩個(gè)熱儲(chǔ)備冗余元件給工作元件壽命具有LWSAI壽命的串聯(lián)系統(tǒng)時(shí),將壽命較長(zhǎng)的熱儲(chǔ)備冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較優(yōu).

2.2 冗余元件冷分配

給工作元件壽命具有相依性的串聯(lián)系統(tǒng)分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件和分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件之后,冗余系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系.

假設(shè)分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件后,兩個(gè)系統(tǒng)壽命分別為

W1=(X1+Y1)∧X2,W2=X1∧(X2+Y2).

假設(shè)分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件后,兩個(gè)系統(tǒng)壽命分別為

Z1=(X1+Y1)∧(X2+Y2),Z2=(X1+Y2)∧(X2+Y1).

Misra等[5]考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立的條件下,研究?jī)煞N分配模型下的冗余冷分配問(wèn)題,獲得冗余系統(tǒng)壽命在隨機(jī)占優(yōu)序下的大小關(guān)系.其中,一種分配模型是分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件,建立命題3.

命題3[5]假設(shè)X1,X2,Y1,Y2相互獨(dú)立,如果X1或X2具有凸性的生存函數(shù),那么當(dāng)X1≤icvX2時(shí),則有W1≥prW2.

由命題3可知：對(duì)于冗余元件和工作元件壽命相互獨(dú)立的冗余系統(tǒng),分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冷儲(chǔ)備冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長(zhǎng)系統(tǒng)的壽命.將該結(jié)論從元件相互獨(dú)立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的情形上,得到第3個(gè)結(jié)論(定理3).

定理3假設(shè)(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨(dú)立且(Y2,Y1)是LWSAI的,則有W1≥prW2.

證明：由文獻(xiàn)[5]的定理2.4的證明可知,在幾乎處處意義下W1>W2等價(jià)于

X10.

由此可知：W1≥prW2等價(jià)于

P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

因此,要證明W1≥prW2等價(jià)于證明P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

對(duì)于任意的y1≥y2,令

t1(y2,y1)=E[I(X20)],t2(y2,y1)=E[I(X10)].

當(dāng)x1≤x2時(shí),易得I(x20)=I(x20)=0,可得

式中：P(X1>X2)是非負(fù)的,即

又因?yàn)?I(y2>0)關(guān)于y2∈(-∞,y1)遞減,故可知t2(y2,y1)-t1(y2,y1)關(guān)于y2∈(-∞,y1)遞減.

E[I(X10)+I(X10)]≥E[I(X1>X2)I(y2>0)+I(X1>X2)I(y1>0)],

即

t2(y2,y1)+t2(y1,y2)≥t1(y2,y1)+t1(y1,y2).

對(duì)于任意的y1≥y2,綜上可知,t1,t2滿足引理5的條件1),2),又因?yàn)?Y2,Y1)是LWSAI的,可得E[t2(Y2,Y1)]≥E[t1(Y2,Y1)],即

E[I(X10)]≥E[I(X20)],

從而可得

P(X10)≥P(X1>X2,Y2>0).

證畢.

定理3指出分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件中的一個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個(gè)元件的串聯(lián)系統(tǒng)時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件可延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命.為了更好說(shuō)明定理3的結(jié)論,引入例2.

例2(Clayton copula) 假設(shè)X1,X2是失效率分別為2,1的指數(shù)分布函數(shù),聯(lián)合概率密度可表示為f(x1,x2),Y2,Y1服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布,g2(y),g1(y)分別表示Y2,Y1的概率密度函數(shù)且(Y2,Y1)由Clayton copula耦合.X1,X2相互獨(dú)立且X1≤lrX2,可知(X1,X2)是LWSAI的.又因?yàn)閅2≤rhY1,由引理3的條件2)可知(Y2,Y1)是LWSAI的.根據(jù)兩個(gè)系統(tǒng)壽命概率分布函數(shù)可知它們的差值為

因此,W1≥prW2成立.

對(duì)于分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件,Misra等[5]建立以下結(jié)論(命題4).

命題4[5]假設(shè)X1,X2,Y1,Y2相互獨(dú)立,如果X1或X2具有凸性的生存函數(shù),那么當(dāng)X1≤icvX2和Y2≤hrY1時(shí),則有Z1≥prZ2.

由命題4可知：對(duì)于冗余元件壽命和工作元件壽命相互獨(dú)立的冗余系統(tǒng),分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件時(shí),將壽命長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.將該結(jié)論從元件壽命相互獨(dú)立推廣到工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的情形上,得到第4個(gè)結(jié)論(定理4).

定理4假設(shè)(X1,X2)是LWSAI的,(X1,X2)和(Y2,Y1)相互獨(dú)立且(Y2,Y1)是LWSAI的,則有Z1≥prZ2.

證明：由文獻(xiàn)[5]的定理3.1的證明可知,在幾乎處處意義下Z1>Z2等價(jià)于

X2>X1,Y2Y1.

式中：X2>X1,Y2Y1互斥.

因此,有

P(Z1>Z2)=P(X2>X1,Y2Y1),

類似可得

P(Z2>Z1)=P(X2X1,Y2>Y1).

由此可知,Z1≥prZ2等價(jià)于

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2>X1,Y2>Y1)+P(X2

因此,要證明Z1≥prZ2等價(jià)于證明

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2X1,Y2>Y1).

對(duì)于任意的y1≥y2,令

t(y2,y1)=E[I(X2>X1)I(y2y1)],

Δt(y2,y1)=t(y2,y1)-t(y1,y2).

對(duì)任意的x1≤x2,y1≥y2,易得

I(x1>x2)I(y2x2)I(y1

可得

根據(jù)引理1可知

E[I(X2>X1)I(Y2Y1)]≥
E[I(X2X1)I(Y2>Y1)].

從而可得

P(X2>X1,Y2Y1)≥P(X2>X1,Y2>Y1)+P(X2

證畢.

定理4指出分配兩個(gè)冷儲(chǔ)備冗余元件給具有LWSAI壽命的兩個(gè)工作元件的串聯(lián)系統(tǒng)時(shí),將壽命較長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.

3 結(jié)束語(yǔ)

考慮在工作元件壽命和冗余元件壽命相互獨(dú)立且分別具有相依性的條件下,分別研究串聯(lián)系統(tǒng)下一個(gè)冗余元件和兩個(gè)冗余元件的冷儲(chǔ)備問(wèn)題和熱儲(chǔ)備問(wèn)題.利用隨機(jī)序和相依性相關(guān)的定義和性質(zhì),建立不同冗余分配策略下串聯(lián)系統(tǒng)在隨機(jī)占優(yōu)序下的冗余最優(yōu)分配,研究表明,將壽命較長(zhǎng)的冗余元件分配給壽命較短的工作元件的分配策略較好.注意到,串聯(lián)系統(tǒng)是屬于特殊的n中取k系統(tǒng)結(jié)構(gòu),因此,一個(gè)直接的想法是在工作元件壽命具有相依性下,考慮冗余分配之后n中取k系統(tǒng)的壽命之間的隨機(jī)占優(yōu)序關(guān)系,這將是今后工作的一個(gè)中心.