曾 艷 王 萌* 邢婷婷,2 牛彩雯 葉校瑛

1(唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河北 唐山 063299)

2(燕山大學(xué) 河北 秦皇島 066000)

0 引 言

在傳統(tǒng)的圖像成像中,要能完全重構(gòu)圖像,則采樣頻率必須大于或等于原圖像信號最高頻率的兩倍,即采樣過程需遵循奈奎斯特采樣定理。但是,隨著信息技術(shù)的發(fā)展,傳統(tǒng)的采樣方式表現(xiàn)出較大的局限性,主要體現(xiàn)在隨著圖像像素日益增加,圖像有損壓縮的傳輸過程在一定程度上浪費了系統(tǒng)資源,并且,采樣過程對硬件的采樣速率和處理速率要求越來越高?；诖?2006年壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論[1]的提出為這一問題的解決提供了新思路。不同于傳統(tǒng)的圖像處理中先采樣再壓縮的過程,CS采樣過程是基于圖像信號自身結(jié)構(gòu)信息,且將采樣和壓縮過程合而為一,如此一來,既減少了數(shù)據(jù)采集量,又可大大降低對采樣設(shè)備的要求。因此,提出至今,很多學(xué)者對其應(yīng)用進(jìn)行了研究[2-3],然而,這一切都要建立在圖像可精確重構(gòu)的前提下。

在基于CS的圖像處理中,影響重構(gòu)效果的因素主要有三個方面:采樣過程、稀疏表示和重構(gòu)算法。在此基礎(chǔ)上,很多學(xué)者提出了不同的重構(gòu)方法,Mun等[4]提出了BCS-SPL的重構(gòu)框架,Fowler等[5]提出了多尺度壓縮感知模型,Ding等[6]利用多字典進(jìn)行CS圖像的重構(gòu),王金銘等[7-8]提出了半張量積的壓縮感知模型,宋云等[9]提出了基于非局部相似塊低秩的壓縮感知圖像重構(gòu)算法,胡春海等[10]提出了基于波原子稀疏優(yōu)化與組稀疏表示的壓縮感知算法?？v觀CS圖像的重構(gòu)研究,大部分重構(gòu)方法都對重構(gòu)精度的提升進(jìn)行了研究,對重構(gòu)時間的研究并不多,但是,重構(gòu)時間對CS的現(xiàn)實應(yīng)用有著重要意義,因此,本文在BCS-SPL的基礎(chǔ)上,依據(jù)提出的基于DCT和雙密度雙復(fù)數(shù)小波(DDDCWT)、DCT和Controulet混合稀疏的重構(gòu)過程[11-12]和彩色圖像的CS模型[13-15],提出了基于自適應(yīng)采樣和混合稀疏基的彩色圖像重構(gòu)框架,并從重構(gòu)精度和重構(gòu)時間兩方面對比了采用DCT基分別與離散小波(DWT)、DDDCWT、Controulet組合使用時的重構(gòu)效果,以權(quán)衡重構(gòu)精度和重構(gòu)時間,即盡可能地降低重構(gòu)時間,提升重構(gòu)精度。

1 重構(gòu)模型

如果一個一維信號x(長度為N)是稀疏的或在某個變換域是稀疏的,則可以利用一個滿足有限等距準(zhǔn)則(Restricted Isometry Property, RIP)[16]的測量矩陣Φ對其進(jìn)行采樣,即:

y=Φx

(1)

式中:Φ∈RM×N,M≤N,y∈RM×1。很明顯,采樣后信號維數(shù)得到了降低。若要重構(gòu)原信號,則需對式(1)進(jìn)行約束,以求解最優(yōu)解,高概率地重構(gòu)原信號。如果利用信號在某個稀疏基Ψ∈RN×N的稀疏性質(zhì)作為約束條件,則重構(gòu)模型為:

min‖ΨHx‖0,且滿足Φx=y

(2)

很明顯,式(2)的求解就是一個求解l0范數(shù)的最優(yōu)化問題,但是這是一個NP-Hard問題,為了求解,可將其轉(zhuǎn)化為等價的l1范數(shù)下的最優(yōu)化問題,即:

min‖ΨHx‖1,且滿足Φx=y

(3)

在本文中,為了最優(yōu)地表達(dá)圖像,選取圖像在兩種不同稀疏基下的表示作為重構(gòu)約束條件。則重構(gòu)模型為:

min‖ΨiHx‖1,且滿足Φx=y

(4)

式中:i=1,2。具體地,Ψ1為表達(dá)紋理圖像較好的DCT基,Ψ2為表達(dá)圖像輪廓較好的DWT、DDDCWT和Controulet。此外,重構(gòu)過程建立在分塊CS(BCS)的基礎(chǔ)上,Φ滿足:

(5)

式中:ΦB∈RB×B。

2 自適應(yīng)采樣

3 基于混合稀疏基的彩色圖像重構(gòu)

3.1 基于混合稀疏基的SPL重構(gòu)過程

將SPL算法應(yīng)用到CS圖像重構(gòu)時,其基本理念是將第一次重構(gòu)的圖像看成一個含有噪聲的圖像,然后利用不斷地連續(xù)優(yōu)化運算和閾值收縮過程慢慢將圖像去噪,得到原始圖像,即重構(gòu)得出的圖像,其中,所投影的閉凸集由重構(gòu)時的約束條件決定。在本文中,由于采用兩種不同的稀疏基表達(dá)圖像,則分別有兩個閉凸集,即分別交替在兩個閉凸集上進(jìn)行投影和優(yōu)化運算。具體地,將SPL運用到基于CS混合稀疏基的圖像重構(gòu)過程為:

(2) 參數(shù)初始化:最大設(shè)置控制優(yōu)化停止的逼近誤差為e,迭代次數(shù)最大為kmax,初始迭代次數(shù)為k=0。

3.2 基于混合稀疏基的彩色圖像重構(gòu)過程

將所提出的重構(gòu)框架應(yīng)用到彩色圖像的過程如圖1所示,首先將彩色圖像進(jìn)行RGB變換,并在每個變換空間進(jìn)行自適應(yīng)分塊采樣,獲得采樣數(shù)據(jù)。之后將獲得的采樣數(shù)據(jù)分別利用基于混合稀疏的框架進(jìn)行重構(gòu)。最后,將三個空間所重構(gòu)的圖像進(jìn)行合成,構(gòu)成一幅重構(gòu)的彩色圖像。具體重構(gòu)過程如圖1所示。

圖1 彩色圖像重構(gòu)過程

4 實驗對比

本文進(jìn)行了多組CS重構(gòu)實驗的對比,實驗圖片如圖2所示,圖片大小都為512×512。在每組實驗中,首先將圖像進(jìn)行RGB分解,之后在每個空間進(jìn)行分塊自適應(yīng)采樣,分塊大小為32×32,采樣矩陣為高斯隨機矩陣。重構(gòu)時,重構(gòu)算法的基礎(chǔ)都是SPL算法,只是選取的稀疏基不同,其中有四組選取的是單一稀疏基,分別為DCT、DWT、DDDCWT(雙密度雙樹復(fù)小波)、Coutourlet(分別記為SPL-DCT、SPL-DWT、SPL-DDDCWT、SPL-CT),另外三組則是依據(jù)混合稀疏的重構(gòu)框架,選取了DCT基分別與DWT、DDDCWT和Coutourlet進(jìn)行混合重構(gòu)(SPL-DCT-DWT、SPL-DCT-DDDCWT、SPL-DCT-CT)。

(a) Barbara (b) Flower (c)Monarch

具體地,在重構(gòu)時,設(shè)置的迭代停止參數(shù)e=10-4,最大迭代次數(shù)kmax=300。此外,迭代過程中DCT域系數(shù)采用硬閾值處理方式,控制常量為6,DWT、DDDCWT和CT變換域系數(shù)采用二元閾值收縮的方式處理,控制常量分別為20、25、10,標(biāo)準(zhǔn)差估計的鄰域大小為3×3。評價重構(gòu)效果的客觀指標(biāo)有兩個,分別是重構(gòu)圖像的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)和重構(gòu)時間。在實驗中,每種重構(gòu)過程反復(fù)運行10次,然后求平均得到客觀評價指標(biāo)的值。

(1)重構(gòu)精度對比分析。

Monarch圖像的重構(gòu)效果如圖3所示,從主觀上分析,SPL-DCT+DWT和SPL- DWT的重構(gòu)圖像視覺效果較差,圖像含有明顯噪聲,這主要是因為DWT本身方向性較差,且無平移不變性。SPL-CT、SPL-DCT和SPL-DDDCWT重構(gòu)圖像的PSNR相差無幾,但SPL-DCT重構(gòu)圖像中塊效應(yīng)稍微有些明顯。SPL-DCT+CT和SPL-DCT+DDDCWT重構(gòu)圖像的視覺效果都較好,尤其是基于SPL-DCT+DDDCWT的重構(gòu),較單一DCT或DDDCWT的重構(gòu)效果,噪聲明顯降低很多。同時,客觀數(shù)據(jù)分析多幅圖像在不同方法下的重構(gòu)精度,如圖4所示, SPL-DCT+CT和SPL-DCT+DDDCWT在多幅圖像重構(gòu)中都表現(xiàn)出較好的重構(gòu)效果,尤其在采樣率較低的情況。而采用單一稀疏基的重構(gòu)效果,要根據(jù)稀疏基的自身特點而定,如對于紋理信息較多的Barbara圖像,SPL-DCT的重構(gòu)效果也非常好,對于Lena圖像而言,SPL-DDDCWT也表現(xiàn)出較好的重構(gòu)特性。但是,整體而言,SPL-DCT+CT和SPL-DCT+DDDCWT的重構(gòu)效果最佳。

(a) SPL-CT(PSNR為27.74 dB) (b) SPL-DCT(PSNR為27.92 dB) (c)SPL-DWT(PSNR為27.07 dB)

(2)重構(gòu)時間對比分析。

在本組實驗中,為了更精準(zhǔn)地測量重構(gòu)時間, 實驗運行所配置的環(huán)境為:處理器為Intel(R) Core(TM) i5-6300HQCPU,主板為惠普8257(英特爾HM170芯片組),內(nèi)存為12 GB 2 133 MHz (4 GB+8 GB),顯卡為NVIDIA GeForce GTX 960M、Intel(R) HD Graphics 530。在不同采樣率和不同方法下,多幅圖像的重構(gòu)時間如圖5所示,采用單一稀疏基重構(gòu)時所耗時間都小于基于混合稀疏重構(gòu)所用的時間,這是因為在基于混合稀疏基重構(gòu)的SPL中,每一次迭代都要進(jìn)行兩次稀疏變換,自然重構(gòu)時間較長。但是,進(jìn)一步比較而言SPL-DCT+CT的重構(gòu)時間較SPL-DCT+DDDCWT和SPL-DCT+DWT短很多,且在單一稀疏基的重構(gòu)方法中,SPL-DCT的重構(gòu)時間最短。此外,由圖5也可得知,對大部分重構(gòu)方法而言,采樣率越高時,測試得到的原始信息越多,重構(gòu)所用的時間也就越短。

(a) Barbara (b) Flower

5 結(jié) 語

本文在BCS-SPL基礎(chǔ)上,提出基于自適應(yīng)采樣和混合稀疏基的彩色圖像重構(gòu)框架,具體地,將彩色圖像空間變換后進(jìn)行自適應(yīng)采樣,之后,采用DCT基分別和離散小波(DWT)、DDDCWT、Controulet組合使用進(jìn)行圖像重構(gòu),最后再將重構(gòu)的圖像合并為彩色圖像。通過實驗證明,所提重構(gòu)框架可以有效重構(gòu)彩色圖像,且SPL-DCT+DDDCWT和SPL-DCT+CT的重構(gòu)精度整體而言較高。并且,在重構(gòu)時間方面,SPL-DCT+CT表現(xiàn)也較樂觀。但是,SPL-DCT+DDDCWT的重構(gòu)時間較長,這也是將來要深入研究的問題,即如何更好地應(yīng)用SPL-DCT+DDDCWT,在保證重構(gòu)精度的前提下,進(jìn)一步降低重構(gòu)時間。