李 敏，顧永剛

（昆明市官渡區(qū)第六中學(xué)，昆明 650213）

推進(jìn)跨學(xué)科綜合教學(xué)是我國基礎(chǔ)教育改革的重要方向和中小學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)調(diào)整的重要內(nèi)容。2019年，中共中央、國務(wù)院在關(guān)于深化基礎(chǔ)教育教學(xué)改革的舉措中提出要“探索基于學(xué)科的課程綜合化教學(xué)”。目前，在現(xiàn)實(shí)教育教學(xué)過程中仍然普遍存在學(xué)科間割裂、學(xué)科整合不夠的問題，導(dǎo)致學(xué)生在面對真實(shí)世界和情境時(shí)難以融合運(yùn)用各學(xué)科知識(shí)綜合分析、解釋和解決問題，究其原因在于教師跨學(xué)科教學(xué)意識(shí)和方式缺失、跨學(xué)科能力不足、跨學(xué)科內(nèi)容整合度不夠、跨學(xué)科思維和技巧方法缺乏。如何進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)是當(dāng)今基礎(chǔ)教育改革面臨的重要課題，基于學(xué)科的跨學(xué)科教育實(shí)踐是實(shí)現(xiàn)學(xué)科“大融合”的基礎(chǔ)和關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為此很多教育科研人員和一線教師都進(jìn)行了有益嘗試，《普通高中地理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中提到要“注重地理學(xué)科與其他學(xué)科的融合”，本文探討在中學(xué)地理教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的必要性、可能性、功用和策略，以期促進(jìn)地理和數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的有機(jī)融合。

一、中學(xué)地理教學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的必要性和可行性

1.必要性

就地理學(xué)科的發(fā)展而言，定量分析是現(xiàn)代地理學(xué)發(fā)展的重要方向和趨勢，定量化方法是現(xiàn)代地理學(xué)重要的方法論基礎(chǔ)?，F(xiàn)代地理學(xué)采用定性和定量相結(jié)合的方法對各種地理現(xiàn)象加以系統(tǒng)研究，以更好地解釋其內(nèi)在機(jī)制和運(yùn)行規(guī)律，并分析和預(yù)測未來演變，從而更好地為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和人類發(fā)展服務(wù)。定量化可以用精確的判斷來彌補(bǔ)定性描述地理事象的不足，可以用抽象且反映本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型刻畫和推導(dǎo)具體的、復(fù)雜的地理現(xiàn)象和地理規(guī)律，可以通過對過程的模擬和預(yù)測替代僅對現(xiàn)狀的說明和分析［1］。20世紀(jì)60年代興起的計(jì)量運(yùn)動(dòng)對地理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用極大地解決了地理“大數(shù)據(jù)”的存儲(chǔ)、系統(tǒng)分析和智能化等問題，為解決復(fù)雜的地理問題提供了強(qiáng)有力的支撐，也是GIS技術(shù)等地理信息技術(shù)的重要基礎(chǔ)。在中學(xué)地理教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法可為學(xué)生以后深入學(xué)習(xí)和地理研究提供可持續(xù)性基礎(chǔ)。

就學(xué)生發(fā)展和人才培養(yǎng)而言，跨學(xué)科交叉融合是發(fā)展核心素養(yǎng)的新途徑，有利于發(fā)現(xiàn)新的探究方向、思路和方法，有助于激發(fā)創(chuàng)新活力［2］。數(shù)學(xué)是其他學(xué)科進(jìn)行系統(tǒng)研究和開拓新理論的有效工具，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析地理問題、探究地理規(guī)律，既可增強(qiáng)學(xué)生綜合分析地理問題的能力和地理實(shí)踐力，又可培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的能力和高階思維能力。例如，通過查閱文獻(xiàn)的方式獲取昆明城區(qū)面積、人口變化和各產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行科學(xué)統(tǒng)計(jì)分析，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算、構(gòu)造數(shù)列、取對數(shù)等數(shù)學(xué)手段將其轉(zhuǎn)化為各種需要的數(shù)據(jù)（如人口增長率、城區(qū)面積增長率），并繪制成各種統(tǒng)計(jì)圖表，使數(shù)據(jù)可視化；通過分析了解城區(qū)面積變化率、城區(qū)人口變化率以及各產(chǎn)業(yè)比重變化等地理要素之間的關(guān)聯(lián)程度；通過統(tǒng)計(jì)圖對比昆明建成區(qū)面積變化和城區(qū)人口數(shù)量變化的一致性，分析昆明市城市化的合理性，同時(shí)根據(jù)資料并結(jié)合實(shí)際調(diào)查，分析變化不一致年份出現(xiàn)的原因及影響；通過最小二乘法，算出城市化水平與非農(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)的線性回歸方程［3］，根據(jù)回歸方程可預(yù)測今后昆明市城市化水平和非農(nóng)業(yè)比重的變化。通過讓學(xué)生完整參與整個(gè)探究過程，創(chuàng)新了地理教學(xué)中研究、探討問題的方法，使得學(xué)生在地理實(shí)踐中對城市化知識(shí)有更加深刻的理解。

另外，借助數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯推理可有效減少機(jī)械刷題，減輕記憶負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率，契合“雙減”精神。例如，在等值線圖中計(jì)算任意兩點(diǎn)的值差（如等高線圖中兩地的高差和陡崖高度問題）只需要借助不等式同向相加的性質(zhì)就能很好地避免記憶各種繁瑣公式。

2.可行性

數(shù)學(xué)與地理有著天然的“不解之緣”，在人類文明早期，數(shù)學(xué)主要是研究地表事物和現(xiàn)象的。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的語言，是研究自然規(guī)律的基本工具，對于具有自然科學(xué)屬性的自然地理而言，數(shù)學(xué)的工具性和重要性不言而喻，這在中學(xué)地理有關(guān)時(shí)間的計(jì)算、最短航距、等值線的特征、地圖比例尺、降水量的統(tǒng)計(jì)等知識(shí)中都有重要體現(xiàn)?！叭宋目茖W(xué)更應(yīng)該奔向自然科學(xué)”，就是希望人文科學(xué)重視自然科學(xué)的科學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)等方法論的運(yùn)用［4］，人文地理借助數(shù)學(xué)思想方法能有效地探究地理要素之間的關(guān)系、地理要素的時(shí)間演化規(guī)律等問題。自然地理和人文地理要素的時(shí)空狀態(tài)都是基于特定地理空間、時(shí)間而言的，經(jīng)緯度是地理學(xué)中應(yīng)用的基本空間語言，經(jīng)緯度—時(shí)間體系構(gòu)成了討論地理事件空間分布及分析其之間關(guān)系和隨時(shí)間變化狀況的空間—時(shí)間語言，任何地理事象的空間和時(shí)間位置都可以用數(shù)學(xué)化的四維坐標(biāo)系（x，y，z，t）來描述［5］，加之將地理屬性進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理后，可以用幾何和函數(shù)等數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)模型對地理要素分布、地理要素間的聯(lián)系、地理要素演變規(guī)律進(jìn)行刻畫與分析。因此，中學(xué)生具備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和思維能力，利用數(shù)學(xué)思想方法探究地理問題是可行的。

二、中學(xué)地理教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用領(lǐng)域

1.獲取和處理地理數(shù)據(jù)

地理事象可以用地理數(shù)據(jù)表征，包括空間數(shù)據(jù)和屬性數(shù)據(jù)。在地理實(shí)踐過程中通常難以獲取地理對象的所有數(shù)據(jù)，需要針對地理對象的特征采用合理的抽樣方法獲取樣本數(shù)據(jù)，以保證樣本數(shù)據(jù)能科學(xué)、準(zhǔn)確地反映總體狀況。例如，要了解游客對云南民族村旅游產(chǎn)品的需求，可采用簡單隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行現(xiàn)場訪問；要獲取某晴日的太陽高度變化數(shù)據(jù)，可采用系統(tǒng)抽樣的方式在相等時(shí)間間隔進(jìn)行測量；要調(diào)查昆明西山植被高度與水熱條件、土層深度的關(guān)系，需要根據(jù)不同海拔的植被類型采用分層抽樣的方法進(jìn)行。地理數(shù)據(jù)為地理事實(shí)和抽象的數(shù)學(xué)之間搭建起了橋梁，地理數(shù)據(jù)經(jīng)過數(shù)學(xué)化處理后通過統(tǒng)計(jì)整理、計(jì)算和數(shù)學(xué)分析可獲得某些地理特征或規(guī)律，如利用方差等統(tǒng)計(jì)數(shù)值特征，利用坐標(biāo)圖等可視化統(tǒng)計(jì)圖或數(shù)學(xué)相關(guān)分析反映地理事象的分布、變化或關(guān)系。通過獲取和處理地理數(shù)據(jù)的過程，可有效培養(yǎng)學(xué)生的地理實(shí)踐力和數(shù)學(xué)運(yùn)用等關(guān)鍵能力。

2.表達(dá)和解釋地理事象

首先，地理學(xué)中很多概念是可以用數(shù)學(xué)來定義的，如用二面角的平面角定義經(jīng)度，用線面角定義緯度和太陽高度，用集合定義等值線或等值面，用韋恩圖表示自然資源、自然災(zāi)害的概念和特性等。其次，有些地理事物、地理現(xiàn)象和地理規(guī)律可用簡潔、精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)式表達(dá)，如正午太陽高度的計(jì)算公式、時(shí)間的相關(guān)計(jì)算、人口自然增長率等。這些表達(dá)式可通過構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)得出，并能夠解釋相關(guān)的許多地理事物或現(xiàn)象。例如，太陽直射點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律可通過五點(diǎn)法作圖繪制出的正弦函數(shù)表示，相關(guān)聯(lián)的很多地理現(xiàn)象和規(guī)律又可比照三角函數(shù)的性質(zhì)（值的分布、單調(diào)性、周期性、對稱性）進(jìn)行解釋：Y 軸正半軸表示太陽直射北半球、Y 軸負(fù)半軸表示太陽直射南半球；增區(qū)間表示太陽直射點(diǎn)向北移動(dòng)、減區(qū)間表示太陽直射點(diǎn)向南移動(dòng)；太陽直射點(diǎn)回歸運(yùn)功的最小正周期為一回歸年；關(guān)于軸對稱（夏至日、冬至日）的兩個(gè)日期太陽直射在同一半球同一條緯線，關(guān)于中心對稱（春分日、秋分日）的兩個(gè)日期太陽直射在不同半球緯度相同的緯線等（圖1）。這為理解和解決晝夜長短、正午太陽高度、日出日落方位等問題提供了便利。另外，借助數(shù)學(xué)知識(shí)和思維可幫助學(xué)生理解和解釋地理事物或現(xiàn)象，例如，等太陽高度線呈同心圓分布以及等值線的分布與地理實(shí)體之間的轉(zhuǎn)換可以用數(shù)學(xué)中的投影和三視圖進(jìn)行呈現(xiàn)和解釋。

圖1 太陽直射點(diǎn)的回歸運(yùn)動(dòng)

3.歸納和演繹地理規(guī)律

歸納法和演繹法是研究、推導(dǎo)地理規(guī)律和地理原理的常用方法，也是數(shù)學(xué)中基本的邏輯方式。借助數(shù)學(xué)思維方法采用歸納法和演繹法可豐富地理探究的手段、拓展探究的廣度及深度。例如，利用數(shù)學(xué)歸納法可得到時(shí)區(qū)中央經(jīng)線經(jīng)度的計(jì)算公式。再如，根據(jù)正午太陽高度的計(jì)算公式H=90°-｜φ地-φ直｜（規(guī)定地表任意一點(diǎn)φ地和太陽直射點(diǎn)的緯度φ直北半球?yàn)檎?，南半球?yàn)樨?fù)；φ地表示空間—緯度，φ直表示時(shí)間—季節(jié)）演繹推導(dǎo)正午太陽高度的空間和時(shí)間變化規(guī)律：當(dāng)｜φ地-φ直｜=0°時(shí)，即φ地=φ直時(shí)H 取得最大值，由此可知，地表離太陽直射點(diǎn)越近或太陽直射點(diǎn)離地表某地越近，正午太陽高度越大；φ直固定，即時(shí)間確定時(shí)，H=90°-｜φ地-φ直｜表示H 關(guān)于φ地函數(shù)（絕對值函數(shù)，可寫成分段函數(shù)的形式），進(jìn)而可從一次函數(shù)的視角研究正午太陽高度的空間（緯度）變化規(guī)律，并根據(jù)函數(shù)表達(dá)式繪制出二分二至日正午太陽高度的緯度分布圖；φ地固定，即地點(diǎn)確定時(shí)，H=90°-｜φ地-φ直｜表示H關(guān)于φ直函數(shù)，進(jìn)而可從一次函數(shù)的視角研究正午太陽高度的時(shí)間（季節(jié)）變化規(guī)律，并且可根據(jù)數(shù)學(xué)中的分類討論思想分熱量帶繪制出正午太陽高度的年變化圖。利用數(shù)學(xué)歸納法、演繹法和傳統(tǒng)定性分析相結(jié)合的方法更加有利于學(xué)生探究地理問題和培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

4.分析和解決地理問題

利用數(shù)學(xué)思想方法解決地理問題在中學(xué)階段主要表現(xiàn)為兩方面：①直接運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析地理問題，常見的有地理計(jì)算、地理圖表分析等；②采用構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方式解決地理問題，常用于較復(fù)雜的地理情境、較深入的地理探究和地理實(shí)踐中。從數(shù)學(xué)視角解決地方時(shí)的計(jì)算、太陽高度的計(jì)算、經(jīng)緯度定距、比例尺、地理估算等問題能讓思維更開闊、問題更簡化，如利用分類討論思想分析不同緯度地區(qū)正午太陽高度的變化幅度問題會(huì)讓人豁然開朗。地理圖表實(shí)質(zhì)是將地理數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)化圖像表達(dá)，其中往往隱含著豐富的地理知識(shí)，用數(shù)學(xué)視角審視這些圖表有助于挖掘出豐富的信息和規(guī)律，可通過運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、線性規(guī)劃、概率與統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖表中的最值、極值、拐點(diǎn)、變化趨勢、變化率等特征并聯(lián)系、映射地理現(xiàn)象來實(shí)現(xiàn)。

運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方式探究、解決地理問題是高層次的思維活動(dòng)，也是地理和數(shù)學(xué)跨學(xué)科有機(jī)融合的上佳方式和較為精彩的內(nèi)容，對于創(chuàng)新地理探究方法和思維有著重要意義。不同的地理問題可通過選擇合適的數(shù)學(xué)知識(shí)建模處理（表1），例如，分析兩個(gè)地理要素的相關(guān)性及關(guān)聯(lián)程度可用相關(guān)系數(shù)知識(shí)構(gòu)建反映兩者數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)（線性回歸）模型，對于指數(shù)型、冪函數(shù)型、對數(shù)型等非線性關(guān)系的地理要素可通過取對數(shù)、整體代換、倒數(shù)代換等方式將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系構(gòu)建線性模型。

表1 常見高中地理問題的數(shù)學(xué)處理方法

三、中學(xué)地理教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的路徑

1.以大概念為統(tǒng)領(lǐng)，注重思維邏輯的鏈接

大概念是能反映知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)科本質(zhì)和核心思想方法的概念，具有抽象性、概括性、普遍性、統(tǒng)攝性、可遷移性等特點(diǎn)，在整個(gè)知識(shí)體系和概念體系中居于上位［6］。大概念根據(jù)概括程度從高到低可分為哲學(xué)大概念、跨學(xué)科大概念和學(xué)科大概念等層級。哲學(xué)大概念抽象程度和概括程度最高，它將客觀世界看作一個(gè)整體和系統(tǒng)，為我們提供基本的世界觀、價(jià)值觀、方法論和認(rèn)識(shí)論，指導(dǎo)我們的思想觀念和思維活動(dòng)；跨學(xué)科大概念是各個(gè)學(xué)科共通的大概念，它建立了學(xué)科之間的聯(lián)系，有利于打破學(xué)科之間的界線，也為學(xué)科鏈接和融合提供了思維紐帶和邏輯結(jié)點(diǎn)；學(xué)科大概念聯(lián)結(jié)學(xué)科內(nèi)的基本概念，融通學(xué)科內(nèi)知識(shí)，揭示學(xué)科基本規(guī)律及探究世界的基本思維方法。大概念的層級關(guān)系有利于自上而下厘清問題邏輯線路，為跨學(xué)科融合掃清思維障礙和提供方法路徑。以太陽高度的教學(xué)為例，要深入探究其變化規(guī)律應(yīng)以“世界是運(yùn)動(dòng)變化的”這一基本宇宙觀、“運(yùn)動(dòng)變化是有規(guī)律的，規(guī)律是可認(rèn)識(shí)的”這一認(rèn)識(shí)論、“我們要尊重規(guī)律，善用規(guī)律改造世界”這一價(jià)值觀以及“從特殊到一般，從一般到特殊”這一方法論的哲學(xué)大概念為邏輯起點(diǎn)和思維指引，然后以“對應(yīng)、關(guān)系、變化”和“歸納法、演繹法”等跨學(xué)科大概念為紐帶找出與太陽高度、正午太陽高度（變化）相關(guān)的因素，并用“函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象最基本的數(shù)學(xué)語言和工具”等數(shù)學(xué)大概念對相關(guān)地理要素構(gòu)建函數(shù)模型進(jìn)行表征（即用函數(shù)表征“地理分布”“地理聯(lián)系”“地理過程”），最后用函數(shù)圖像、函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、周期性）、函數(shù)類型等數(shù)學(xué)基本概念探究太陽高度、正午太陽高度的變化規(guī)律（圖2）。

圖2 大概念的層級關(guān)系（以函數(shù)與太陽高度為例）

2.以知識(shí)融合為基礎(chǔ)，強(qiáng)化學(xué)科間的關(guān)聯(lián)

不同學(xué)科是對同一客體從不同角度或?qū)ν幌到y(tǒng)的不同構(gòu)成部分進(jìn)行認(rèn)識(shí)和刻畫的，它們都指向我們生活的真實(shí)世界。學(xué)科知識(shí)從某個(gè)角度或領(lǐng)域?qū)φ鎸?shí)世界進(jìn)行詮釋和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，跨學(xué)科的視角更有利于認(rèn)識(shí)這個(gè)真實(shí)世界。對于高中階段而言，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科思維培養(yǎng)的起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)就在于以學(xué)科為基礎(chǔ)的學(xué)科間知識(shí)的有機(jī)融合。中學(xué)地理學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)融合主要表現(xiàn)為知識(shí)內(nèi)容的融合和思想方法的滲透，自然地理很多知識(shí)直接和數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，如地球運(yùn)動(dòng)和地圖（表2）；人文地理則主要是將數(shù)學(xué)作為一種工具，利用其思想方法對地理要素進(jìn)行處理、分析、趨勢模擬與預(yù)測，如利用數(shù)學(xué)方法分析人口相關(guān)圖表或構(gòu)建數(shù)學(xué)模型分析人口增長、人口遷移的規(guī)律和趨勢。地理和數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)融合的主陣地在課堂，實(shí)現(xiàn)方式主要有兩種：①在地理課堂中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，這需要地理教師具有較強(qiáng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力；②在數(shù)學(xué)課堂中將地理問題設(shè)置成數(shù)學(xué)情境進(jìn)行解決，這需要加強(qiáng)學(xué)科協(xié)同合作。前者主要是針對概念性、原理性和應(yīng)用性且不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)和耗時(shí)不多的地理問題，如正午太陽高度計(jì)算公式的推導(dǎo)及應(yīng)用、地理統(tǒng)計(jì)圖的分析；后者主要是針對拓展性的、需要運(yùn)用復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)方法解決、思維層次要求高、耗時(shí)較長的地理問題，如最短航距的計(jì)算公式、晝長的計(jì)算公式（用緯度表達(dá)）等。

表2 地球的運(yùn)動(dòng)（含地圖）知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)

3.以問題解決為導(dǎo)向，掌握探究世界的科學(xué)方法

學(xué)生在教育教學(xué)中的主體性地位反映在學(xué)生應(yīng)成為生活世界的探索者，而不僅僅是知識(shí)的接納者。學(xué)生在感知、認(rèn)識(shí)和探究生活世界的過程中，往往是將世界作為一個(gè)整體，不斷構(gòu)建生活世界的內(nèi)在模型，這需要將各科知識(shí)融為一個(gè)有機(jī)整體不斷地建構(gòu)指向他們生活的意義世界［9］，即在探究世界的過程中需要不同學(xué)科有機(jī)融合、穿插使力。就知識(shí)水平和思維層次而言，中學(xué)生還難以獨(dú)自深入探索世界，因此，需要針對明確的主題和目標(biāo)設(shè)計(jì)階梯性、導(dǎo)向性的問題幫助他們掌握探究世界的科學(xué)方法。問題的設(shè)計(jì)需要情景化，搭建溝通生活世界和科學(xué)世界的橋梁；需要情感化，在探究和解決問題的過程中健全人格品質(zhì)和形成正確的價(jià)值觀念；要有指引性和層次性，通過由淺入深、由具體到抽象、由生活到理論再到實(shí)踐的問題鏈構(gòu)建問題解決的思維路徑，感悟探究世界的方法和意義，最終達(dá)成知識(shí)結(jié)構(gòu)化和思維進(jìn)階。在整個(gè)問題解決的過程中要注意跨學(xué)科知識(shí)的運(yùn)用，做到按需所取、按需所用、適時(shí)而用，達(dá)到“無招（學(xué)科差別）勝有招”的境界。探究世界的科學(xué)方法可分為“有什么”“怎么辦”“怎么樣”和“怎么用”等問題（圖3）。“有什么”是對現(xiàn)實(shí)生活世界的體驗(yàn)、觀察和關(guān)注，進(jìn)而引發(fā)思考；“怎么辦”是采用適切的手段、方法對我們所關(guān)注的世界進(jìn)行探究，對探究對象構(gòu)建合適的模型進(jìn)行合理表征；“怎么樣”是根據(jù)構(gòu)建的模型探究內(nèi)在規(guī)律，達(dá)成認(rèn)識(shí)升華；“怎么用”是深刻認(rèn)識(shí)探究對象對自然和人文環(huán)境的影響，利用規(guī)律對世界進(jìn)行合理改造，從而為人類的生產(chǎn)生活服務(wù)，并從中感知探究世界的現(xiàn)實(shí)意義，增強(qiáng)探究世界的成就感。

圖3 探究世界的科學(xué)方法（以正午太陽高度為例）

以探究“正午太陽高度的變化”為例，可進(jìn)行如下思路設(shè)計(jì)：感受每日太陽光照（太陽輻射）強(qiáng)弱變化帶來的氣溫暖涼變化和一年中太陽光照強(qiáng)弱變化帶來的氣候冷熱變化（有什么），思考太陽光照強(qiáng)弱日變化和年變化的原因和規(guī)律；在田徑場讓學(xué)生觀察人、影和太陽的關(guān)系及其變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)光照強(qiáng)弱可用太陽光線與影子（地平面）的夾角（線面角）這一數(shù)學(xué)概念表征（表征的方式很多，選擇最好、最能揭示本質(zhì)的），進(jìn)而引出太陽高度與正午太陽高度的概念，這樣一日光照強(qiáng)弱的變化可用太陽高度表征，一年光照強(qiáng)弱的變化可用正午太陽高度表征，然后根據(jù)定義在太陽光照圖上畫出正午太陽高度（相當(dāng)于圖紙），并制作出正午太陽高度的演示模型（圖4），制作時(shí)需要用到平行四邊形判定定理保證演示過程中太陽光線平行），通過演示模型觀察正午太陽高度角的變化與地表緯度位置和太陽直射點(diǎn)的緯度位置有關(guān)，據(jù)此讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)推出正午太陽高度與地表緯度和太陽直射點(diǎn)的緯度的關(guān)系式，從而構(gòu)建出正午太陽高度的函數(shù)模型，注意這里并不是直接給出正午太陽高度的計(jì)算公式，而是引導(dǎo)學(xué)生自己探究（怎么辦）；根據(jù)正午太陽高度的函數(shù)模型和函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，分析、演繹推理正午太陽高度的緯度變化和時(shí)間變化規(guī)律（怎么樣），這個(gè)過程可結(jié)合定性演示的方法進(jìn)行；通過分析我國冬、夏季南北溫差差異產(chǎn)生的原因（大尺度）和陰陽坡因地面太陽高度的差異造成的熱量差異、一日中太陽高度變化引起的溫涼變化（微觀尺度）理解太陽高度的影響，通過分析日晷原理、傳統(tǒng)民居飛檐采光、太陽能板傾角等問題了解太陽高度在生活中的廣泛運(yùn)用，通過2022 年全國高考甲卷“杭蓋草原緩丘牧草生長較好”和2020 年全國高考Ⅰ卷“順坡壟利用光照的優(yōu)勢”等高考試題進(jìn)一步深入感受太陽高度的影響和應(yīng)用（怎么用）。在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生不僅具有學(xué)習(xí)者的身份，更有科學(xué)家和探索者的身份，在此過程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透和跨學(xué)科思維的運(yùn)用貫穿始終。

圖4 正午太陽高度變化演示模型

在中學(xué)地理教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是對“基于學(xué)科的課程綜合化教學(xué)”的有益探索和嘗試，在遵循地理學(xué)科基本規(guī)律的基礎(chǔ)上，使不同學(xué)科知識(shí)、方法、理論和思想相互滲透，為地理課程的教與學(xué)提供了新途徑，加強(qiáng)了學(xué)科的綜合性，優(yōu)化了學(xué)科之間的關(guān)系，有利于提升學(xué)生綜合運(yùn)用多學(xué)科視角、方法和思維探索世界和解決重大復(fù)雜問題的能力。