榮先亮 ，盧博遼 ，張琦玉 ，黃煒元 ，鄭山鎖 ，張藝欣

［1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.先進(jìn)土木工程材料教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（同濟(jì)大學(xué)），上海 201804；3.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055；4.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門 361021］

眾所周知，寒冷地區(qū)的凍融循環(huán)作用是混凝土力學(xué)性能下降的主要原因之一［1-5］.近幾十年來(lái)，在加拿大的育空地區(qū)、美國(guó)北達(dá)科他州，凍融作用導(dǎo)致鋼筋混凝土（Reinforced Concrete RC）構(gòu)件（含梁、柱、剪力墻）的損傷引起了諸多學(xué)者廣泛的關(guān)注，并針對(duì)其靜力荷載作用下的力學(xué)性能（彎曲、剪切）展開了研究［3-4］.與此同時(shí)，Yang 等［6］、Rong 等［1，7］的研究指出：位于嚴(yán)寒地區(qū)的在役鋼筋混凝土（Reinforced Concrete RC）剪力墻亦處在抗震設(shè)防區(qū)中，面臨巨大的地震災(zāi)害威脅［8］.因此，對(duì)凍融損傷RC 剪力墻展開抗震性能評(píng)估具有重要意義.但據(jù)作者所知，目前關(guān)于RC 剪力墻抗震性能評(píng)估的數(shù)值模型（纖維模型［9］、多垂直桿模型［10］、分層殼模型［11］、固角桁架桿模型［12］）均是基于完好構(gòu)件的，鮮有可用于凍融損傷RC 剪力墻抗震性能評(píng)估的數(shù)值模型.鑒于此，有必要建立可準(zhǔn)確評(píng)估凍融損傷RC剪力墻的數(shù)值模型.

凍融循環(huán)作用后混凝土的力學(xué)性能及其與縱筋間的黏結(jié)性能降低，尤其是在較大凍融循環(huán)次數(shù)（Number of Freeze-thaw Cycles，NFTCs）下此種降低更加明顯［1，3，5，7，13-14］.與此同時(shí)，凍融損傷呈較為明顯的不均勻分布特征，由混凝土構(gòu)件表面開始逐漸滲透至構(gòu)件內(nèi)部［1，5-7，13］.因此，在建立凍融損傷RC剪力墻數(shù)值模型時(shí)，首先需要進(jìn)行的是不均勻凍融損傷的合理考慮，包括混凝土強(qiáng)度的不均勻凍融損傷和黏結(jié)滑移的不均勻凍融損傷.此外，Rong等［1，7］、Yang等［6］的研究表明：凍融作用可降低RC 剪力墻的抗剪性能，增加其剪切變形；300次凍融循環(huán)后，剪跨比為2.14 的RC 剪力墻其峰值點(diǎn)的剪切占比由23.25%（NFTCs=0）上升至65.61%（NFTCs=300）［1］.因此，在建立凍融損傷RC 剪力墻數(shù)值模型時(shí)，還需充分考慮剪力墻的剪切效應(yīng).

考慮到多垂直桿模型［10］、分層殼模型［11］、固角桁架桿模型［12］均未在剪力墻構(gòu)件厚度方向進(jìn)行精細(xì)劃分，故其無(wú)法實(shí)現(xiàn)凍融損傷不均勻性的考慮.纖維模型沿構(gòu)件厚度方向?qū)⒔孛鎰澐譃橹T多混凝土纖維和鋼筋纖維，可依據(jù)凍融損傷分布的不均勻特征，建立損傷修正模型對(duì)不同截面處的混凝土纖維本構(gòu)進(jìn)行不同程度的折減，實(shí)現(xiàn)凍融損傷不均勻性的考慮.然而，值得指出的是，傳統(tǒng)的纖維模型未考慮黏結(jié)滑移和剪切作用［15］.

針對(duì)未考慮剪切效應(yīng)問題，一些學(xué)者［16-18］提出在截面層次添加剪切-剪應(yīng)變（V-γ）恢復(fù)力模型形成組合剪切的纖維截面模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)剪切效應(yīng)的考慮；進(jìn)而利用此模型對(duì)剪切變形較為顯著的完好RC剪力墻展開模擬并取得了較為準(zhǔn)確的模擬效果.針對(duì)未考慮黏結(jié)滑移效應(yīng)問題，Zhao 等［19］提出采用鋼筋黏結(jié)滑移模型替換縱筋本構(gòu)，通過(guò)底部串聯(lián)替換后的零長(zhǎng)度纖維截面單元進(jìn)行構(gòu)件的模擬，實(shí)現(xiàn)了對(duì)黏結(jié)滑移效應(yīng)的考慮，并通過(guò)完好RC 結(jié)構(gòu)對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行了有效驗(yàn)證.然而，值得指出的是，Zhao等［19］所提出的方法難以考慮因凍融作用所導(dǎo)致的黏結(jié)強(qiáng)度衰減，且關(guān)于滑移值的計(jì)算公式來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)回歸，其準(zhǔn)確性有待于進(jìn)一步的驗(yàn)證與提升.

綜上，本文結(jié)合凍融損傷特征與凍融作用的影響依次建立了不均勻凍融損傷模型［5］、凍融損傷剪切恢復(fù)力模型、不均勻凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度和滑移模型（理論推導(dǎo)），并對(duì)所建各模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證.利用不均勻凍融損傷模型對(duì)RC 剪力墻纖維截面所劃分的混凝土本構(gòu)進(jìn)行折減實(shí)現(xiàn)了凍融損傷的合理考慮；在此基礎(chǔ)上，組合剪切恢復(fù)力模型所表征的剪切效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了RC 剪力墻的抗剪；同時(shí)，在墻底串聯(lián)包含縱筋黏結(jié)滑移模型的零長(zhǎng)度截面單元從而建立了可綜合考慮彎曲、剪切、黏結(jié)滑移效應(yīng)的凍融損傷RC 剪力墻數(shù)值模型.最后，通過(guò)8 個(gè)既有凍融損傷RC 剪力墻的擬靜力試驗(yàn)結(jié)果，從滯回曲線和骨架曲線兩個(gè)方面驗(yàn)證了本文所提數(shù)值模型的準(zhǔn)確性.研究可為凍融損傷RC 剪力墻的抗震性能評(píng)估提供參考.

1 試驗(yàn)簡(jiǎn)介

為探究?jī)鋈谘h(huán)作用下RC 剪力墻抗震性能的變化，對(duì)8 根剪跨比為2.14 的凍融損傷RC 剪力墻進(jìn)行了擬靜力試驗(yàn).剪力墻的參數(shù)設(shè)置見表1.試驗(yàn)墻幾何尺寸及詳細(xì)配筋布置見圖1（a）.豎向分布筋和箍筋采用HPB235（直徑6 mm），其實(shí)測(cè)屈服強(qiáng)度為270 MPa，極限強(qiáng)度為470 MPa，彈性模量為2.1×105MPa.暗柱縱筋采用HRB335（直徑12 mm），其實(shí)測(cè)屈服強(qiáng)度為409 MPa，極限強(qiáng)度為578 MPa，彈性模量為2.0×105MPa.

圖1 幾何尺寸與加載方案Fig.1 Geometry and loading scheme

表1 剪力墻試件的關(guān)鍵參數(shù)Tab.1 Key parameters of the shear wall specimens

采用人工氣候模擬凍融環(huán)境對(duì)各RC 剪力墻進(jìn)行凍融循環(huán)試驗(yàn)，待達(dá)到各設(shè)計(jì)NFTCs（見表1）時(shí)對(duì)其進(jìn)行擬靜力加載.擬靜力加載方案見圖1（b）；屈服前采用荷載控制加載，每級(jí)加載循環(huán)一次；屈服后采用位移控制加載，每級(jí)加載循環(huán)三次.詳細(xì)的位移計(jì)布置如圖1（b）所示，量測(cè)的特征點(diǎn)荷載與變形見表1.更為具體的試驗(yàn)細(xì)節(jié)參見Rong等［1］的研究.

2 建模思路

Petersen［5］基于相對(duì)動(dòng)彈性模量ERDM實(shí)測(cè)值驗(yàn)證了凍融損傷在構(gòu)件截面內(nèi)的分布具有不均勻性.Yang 等［6］、張德義等［2］和Rong 等［1，7］的試驗(yàn)亦觀察到了凍融損傷在試件內(nèi)部呈不均勻分布的現(xiàn)象.鑒于凍融損傷的分布特征，本文選用纖維模型（見圖2 和圖3），并通過(guò)建立不均勻損傷模型以實(shí)現(xiàn)凍融損傷的合理考慮.圖3 顯示了凍融損傷剪力墻的纖維截面劃分，不同的顏色代表不同的凍融損傷程度，且凍融損傷程度由外向內(nèi)逐漸減小.此外，水平循環(huán)荷載作用下的墻頂總變形由三部分組成：彎曲、剪切和黏結(jié)滑移.纖維模型只考慮了構(gòu)件的彎曲性能，而忽略了構(gòu)件的剪切性能與黏結(jié)滑移效應(yīng).與此同時(shí)，已有研究均表明：凍融損傷削弱了鋼筋與混凝土間的黏結(jié)強(qiáng)度以及剪力墻的抗剪能力，增大了剪切變形（見表1）與黏結(jié)滑移變形［1，6-7，13-15］.為此，本文通過(guò)構(gòu)建考慮凍融損傷的剪切恢復(fù)力模型，并在截面層次上將所建立的剪切恢復(fù)力模型添加到所建立的考慮不均勻凍融損傷的纖維截面上形成組合剪切效應(yīng)的纖維截面［16-18］，實(shí)現(xiàn)了纖維單元剪切效應(yīng)的考慮；對(duì)應(yīng)的組合示意圖如圖2 所示.基于已建立的考慮凍融損傷與剪切的纖維模型，在墻底添加零長(zhǎng)度截面單元［19］，實(shí)現(xiàn)了黏結(jié)滑移效應(yīng)的考慮.對(duì)應(yīng)的建模示意圖如圖3 所示.具體的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)建立考慮凍融損傷的鋼筋滑移模型，然后將所建立的黏結(jié)滑移模型替換掉零長(zhǎng)度截面彈簧單元中的普通鋼筋本構(gòu).整體模型的建立方法列于圖3.其中：兩端暗柱箍筋約束范圍內(nèi)均為約束混凝土纖維，其余均為無(wú)約束混凝土纖維.由此可見，準(zhǔn)確建立不均勻凍融損傷模型、凍融損傷剪切恢復(fù)力模型以及凍融損傷縱筋滑移模型成為本文數(shù)值模型的關(guān)鍵.因此，下文依次對(duì)其建立過(guò)程展開了詳細(xì)的描述.

圖2 組合剪切的纖維截面Fig.2 Fiber section considering shear effect

圖3 凍融損傷RC剪力墻模型Fig.3 Proposed model of frost-damaged RC shear wall

3 不均勻凍融損傷模型

本章以ERDM為凍融損傷系數(shù)并作為聯(lián)系凍融損傷混凝土強(qiáng)度和動(dòng)彈性模量的橋梁，通過(guò)修正不同位置處完好混凝土本構(gòu)建立了不均勻凍融損傷混凝土模型.具體的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)OpenSees 中的循環(huán)語(yǔ)句.詳細(xì)流程見圖4，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算步驟如下：

圖4 不均勻凍融損傷模型計(jì)算流程Fig.4 Calculation flow of non-uniform freeze-thaw damage model

1）確定未凍融混凝土本構(gòu)參數(shù)，包括彈性模量Ec、非約束（約束）混凝土峰值應(yīng)力fc（fcc）、峰值應(yīng)變?chǔ)與（εcc）以及極限應(yīng)變?chǔ)與u（εccu）等.

2）基于已建立的修正Petersen 模型（圖5），計(jì)算給定NFTCs下不同截面位置處混凝土的凍融損傷系數(shù)ERDM.ERDM取公式（1）和（2）的較大值，對(duì)應(yīng)如下：

圖5 修正的Petersen模型［5］Fig.5 Modified Petersen model［5］

式中：Np為RILEM TC176-IDC［20］凍融制度下的NFTCs；N′p為凍融循環(huán)次數(shù)臨界值，其值由混凝土纖維所在截面的位置確定，具體計(jì)算式如式（3）：

式中：d為混凝土纖維位置與截面受凍邊緣間的距離，取最小的凍融深度，如圖6所示.

圖6 混凝土纖維凍融深度Fig.6 Freeze-thaw depth with concrete fibers

3）通過(guò)多參數(shù)回歸分析構(gòu)建了凍融損傷后混凝土纖維強(qiáng)度模型.其建立過(guò)程如下.

Liu 等［21］的研究表明，提高混凝土初始強(qiáng)度可提高相對(duì)抗壓強(qiáng)度，且提高的程度呈增加趨勢(shì).因此，在建立凍融損傷混凝土強(qiáng)度計(jì)算式時(shí)將其假定為關(guān)于初始強(qiáng)度f(wàn)c的冪函數(shù)形式；同時(shí)，結(jié)合邊界條件，將凍融損傷混凝土強(qiáng)度f(wàn)c，d、凍融后的相對(duì)抗壓強(qiáng)度Rs計(jì)算式假定為：

式中：a、b是擬合參數(shù)，其值通過(guò)對(duì)收集到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)［21］進(jìn)行多參數(shù)擬合得到，相應(yīng)的計(jì)算式如式（6），對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果如圖7所示.

圖7 非約束混凝土凍融后強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果Fig.7 Strength calculation results of unconstrained concrete after freezing and thawing

4）凍融后截面不同位置處的約束混凝土強(qiáng)度f(wàn)cc，d折減系數(shù)β值與相同凍融深度處非約束混凝土強(qiáng)度折減系數(shù)相同.鑒于此，得到：

5）依據(jù)張藝欣等［13］的研究計(jì)算未凍融混凝土的動(dòng)彈性模量：

7）根據(jù)式（1）～（2）即可得到凍融損傷混凝土的彈性模量：

綜上，給定Np與xi，根據(jù)未凍融混凝土本構(gòu)參數(shù)，結(jié)合公式（1）～（11），即可計(jì)算出不同位置處的凍融損傷混凝土纖維本構(gòu)參數(shù)，即構(gòu)建了由表及里的不均勻凍融損傷模型.

4 凍融損傷RC剪力墻剪切恢復(fù)力模型

OpenSees 中的Hysteretic 模型能較全面地反映剪力墻的剪切滯回特性.基于此，利用該模型構(gòu)建剪力墻的剪切滯回模型（見圖8），從而實(shí)現(xiàn)纖維截面剪切效應(yīng)的考慮.圖8中Vc、Vy、Vm依次為剪力墻剪切骨架曲線的開裂剪力、屈服剪力、峰值剪力；Ka為剪力墻初始抗剪剛度.

圖8 剪切恢復(fù)力模型Fig.8 Shear hysteretic model

4.1 完好RC剪力墻剪切恢復(fù)力模型

基于前文試驗(yàn)結(jié)果得到的剪力與剪應(yīng)變變化趨勢(shì)，本文將完好與凍融損傷RC 剪力墻剪切骨架曲線簡(jiǎn)化為圖8 所示的三折線型.其中，完好RC 剪力墻試件各特征點(diǎn)剪力V、剪應(yīng)變?chǔ)貌捎媒?jīng)準(zhǔn)確性驗(yàn)證的公式進(jìn)行計(jì)算［17-18，22］.

1）開裂剪力Pc［23］

式中：fc是軸心抗壓強(qiáng)度，psi（原文公式中單位，1 MPa=145 psi）；N是軸壓力，Pa；A為試件截面面積，in2（原文公式中單位，1 in2=645.16 mm2）.

式中：λv為配箍特征值；λ為剪跨比；Pm為峰值剪力.

式中：ft是抗拉強(qiáng)度；hw0、bw分別是構(gòu)件截面有效高度和厚度；fyh、Ash、sh分別是水平分布筋屈服強(qiáng)度、截面面積以及鋼筋間距；Aw為剪力墻腹板面積.

式中：Ka為剪力墻初始抗剪剛度；Es是鋼筋彈性模量；As是截面鋼筋的面積；Ec是混凝土彈性模量；ν為泊松比（取0.2）；χ為形狀系數(shù).

式中：αs為開裂后剪力墻剛度與初始剪切剛度Ka的比值；fwh、ρwh分別為水平分布筋強(qiáng)度和配筋率.

6）峰值剪應(yīng)變?chǔ)胢

式中：Ks是剪力墻塑性鉸區(qū)抗剪切剛度，計(jì)算式見式（19）［22，27］.

式中：hw、tw分別為墻寬和墻厚.

4.2 凍融損傷RC剪力墻剪切恢復(fù)力模型

目前，已有諸多學(xué)者［1，5，7，13-14］采用ERDM來(lái)定量表征混凝土的凍融損傷程度.Rong 等［1］以ERDM為指標(biāo)建立了可表征凍融損傷程度的凍融損傷參數(shù)D：

式中：F為基于人工氣候凍融條件下的NFTCs.

由表1的實(shí)測(cè)值可見：隨NFTCs、fc、n的增加，剪力和剪應(yīng)變均發(fā)生不同程度的變化.基于此，綜合考慮NFTCs、fc、n的影響，選取n和D為參數(shù)，對(duì)未凍融墻體的剪力和剪應(yīng)變進(jìn)行修正，對(duì)應(yīng)公式如式（21）（22）：

式中：Pi′（Pi）、γi′（γi）分別為凍融損傷（完好）墻體特征點(diǎn)i的剪力與剪應(yīng)變；fi(D，n)、ri(D，n)分別為特征點(diǎn)i的剪力與剪應(yīng)變修正函數(shù)，由表1 的試驗(yàn)值歸一化后的系數(shù)經(jīng)多參數(shù)非線性曲面擬合得到，詳細(xì)的建立過(guò)程可參見鄭山鎖等［28］的研究.

1）開裂剪力和剪應(yīng)變

2）屈服剪力和剪應(yīng)變

3）峰值剪力和剪應(yīng)變

4.3 準(zhǔn)確性驗(yàn)證

利用4.1節(jié)的公式計(jì)算出完好RC 剪力墻特征點(diǎn)的剪力和剪應(yīng)變，進(jìn)而利用式（23）～（28）得到凍融損傷剪力墻特征點(diǎn)的剪力和剪應(yīng)變.依據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)繪制了圖9 的誤差分布.由圖9 可見：剪力和剪應(yīng)變的計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合良好，計(jì)算值的誤差不超過(guò)20%.其中：計(jì)算開裂、屈服、峰值剪力和試驗(yàn)比的均值是1.003、0.978、1.073，相應(yīng)剪應(yīng)變之比的均值是0.911、0.981、1.042，表明所提出的剪切骨架曲線特征點(diǎn)計(jì)算模型能較好地反映凍融損傷RC 剪力墻在低周往復(fù)下的剪切性能.

圖9 誤差分布Fig.9 Error distribution

5 不均勻凍融損傷黏結(jié)滑移模型

圖10 顯示了縱筋滑移轉(zhuǎn)角.本節(jié)首先結(jié)合既有材性實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與前文所建立的凍融損傷模型建立了不均勻凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度模型；依據(jù)已有未考慮凍融的縱筋滑移模型對(duì)錨固區(qū)不同深度處黏結(jié)應(yīng)力進(jìn)行凍融損傷修正，進(jìn)而采用理論方法建立了考慮不均勻黏結(jié)應(yīng)力分布的凍融損傷縱筋滑移模型，并對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證.

圖10 端部縱筋滑移變形Fig.10 Slip of end longitudinal reinforcement

5.1 不均勻凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度模型

通過(guò)收集已有拉拔試驗(yàn)的黏結(jié)強(qiáng)度數(shù)據(jù)［14-15］（圖11），對(duì)其進(jìn)行回歸分析并建立了相對(duì)黏結(jié)強(qiáng)度τd/τ0與ERDM間的計(jì)算式，見式（29）.結(jié)合凍融損傷程度隨NFTCs和纖維位置的關(guān)系，見式（1）～（3）.構(gòu)建了黏結(jié)強(qiáng)度τd/τ0隨NFTCs 和纖維位置的計(jì)算關(guān)系，即不均勻凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度模型，見式（30）.

圖11 τd/τ0和ERDM的計(jì)算關(guān)系［14］Fig.11 Calculation relationship between τd/τ0 and ERDM［14］

式中：τ0為未凍融鋼筋屈服前的平均黏結(jié)應(yīng)力；τd為凍融損傷后的黏結(jié)應(yīng)力.

5.2 未凍融縱筋滑移模型

目前，宏觀模型與微觀模型均認(rèn)為錨固區(qū)滑移是由端部縱筋受拉應(yīng)力滲透至錨固區(qū)產(chǎn)生的，即應(yīng)力滲透長(zhǎng)度ld內(nèi)鋼筋應(yīng)變?chǔ)?x)的累積，相應(yīng)計(jì)算式為：

同時(shí)，該范圍內(nèi)的鋼筋應(yīng)力fs與混凝土提供的黏結(jié)應(yīng)力相等，即：

式中：db、As分別為縱筋直徑和截面面積.

宏觀模型通過(guò)將式（31）中的核函數(shù)轉(zhuǎn)變成近似的常數(shù)，顯著簡(jiǎn)化了計(jì)算.鑒于此，本文沿用Sezen等［29］的宏觀模型建立了完好縱筋滑移模型，見圖12（a）.結(jié)合式（31）（32）解出縱筋屈服前、屈服后的滑移量s：

圖12 縱筋滑移模型Fig.12 Longitudinal bar slip model

其中：ld分別為鋼筋屈服前、后的應(yīng)力滲透長(zhǎng)度，計(jì)算公式如式（34）（35）.

式中：εs為鋼筋應(yīng)變；εy為鋼筋屈服應(yīng)變；為鋼筋屈服后的平均黏結(jié)應(yīng)力.

5.3 不均勻凍融損傷縱筋滑移模型

依據(jù)前述構(gòu)建的不均勻凍融損傷τd/τ0模型［見式（30）］，在一定錨固高度，凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度τd和位置變量d成線性變化.為便于后文推導(dǎo)，依據(jù)錨固端邊界條件，即應(yīng)變和應(yīng)力等于零（fs=0，εs=0，x=0）建立坐標(biāo)系，則d在此坐標(biāo)系下為：

式中：ld，d是凍融損傷后的應(yīng)力滲透高度.基于此，黏結(jié)強(qiáng)度模型可表示為：

式中：a、b是模型系數(shù)；d0是與NFTCs 對(duì)應(yīng)的凍融損傷深度，表征黏結(jié)強(qiáng)度僅在d0內(nèi)衰減.依據(jù)式（3）解得：d0=0.943N+0.226.同時(shí)結(jié)合前文所建的凍融損傷τd/τ0衰減模型解出：a=-0.010 9τ0，b=(0.010 9ld，d-0.010 3N+1.018 7)τ0.

鋼筋進(jìn)入塑性后，τ′0替代τ0.同時(shí)，假定鋼筋本構(gòu)為雙線型，其彈性模量為Es，應(yīng)變硬化率為Esh/Es；對(duì)應(yīng)的滑移模型見圖12（b）.下文介紹鋼筋屈服前、后s的推導(dǎo).

1）屈服前

由于在x范圍內(nèi)黏結(jié)應(yīng)力呈梯形分布，故前述力的平衡方程（32）可轉(zhuǎn)變成：

式中：τ0，d是彈性段凍融損傷端部截面鋼筋黏結(jié)強(qiáng)度，依據(jù)式（37）計(jì)算.可以看出，給定應(yīng)力fs下，式（38）是關(guān)于x的一元二次方程.對(duì)其進(jìn)行求解，并舍去負(fù)解，即得出關(guān)于x的唯一正解.同時(shí)，在應(yīng)力滲透高度內(nèi)取長(zhǎng)度dx的微段，見圖12（b）.該脫離體兩端應(yīng)力增量dfs(x)與周圍黏結(jié)應(yīng)力保持相等：

結(jié)合式（38）與邊界條件（fs=0，x=0），對(duì)式（39）進(jìn)行求解，得：

依據(jù)式（33）計(jì)算s：

上述理論推導(dǎo)均是基于應(yīng)力滲透高度小于凍融損傷深度d0的條件.當(dāng)應(yīng)力滲透長(zhǎng)度進(jìn)入未凍融范圍內(nèi)時(shí)，轉(zhuǎn)變成5.2 節(jié)Sezen 模型［29］進(jìn)行求解.至此，屈服前鋼筋s歸結(jié)為：

2）屈服后

屈服后鋼筋sd的推導(dǎo)和屈服前相似.首先基于力的平衡方程求解屈服后關(guān)于x′的一元二次方程：

式中：fs為鋼筋強(qiáng)度；fy為鋼筋屈服強(qiáng)度；τ′0，d是塑性階段凍融損傷后端部界面的黏結(jié)強(qiáng)度，可依據(jù)式（38）求解.基于此，并舍去關(guān)于x′的負(fù)根，得x′的唯一正根.總的s是屈服后sy與塑性段后的滑移量之和：

式中：Esh為鋼筋進(jìn)入塑性階段后的彈性模量；鋼筋應(yīng)力fs(x′)采用和式（40）相同的方法對(duì)微段平衡方程兩端積分，結(jié)合邊界關(guān)系（fs=fs，x′=0）得：

結(jié)合式（43）～（45）得s為：

5.4 試驗(yàn)驗(yàn)證

選取文獻(xiàn)［30］的黏結(jié)應(yīng)力分布實(shí)測(cè)值，即在分級(jí)加載拉拔試驗(yàn)中量測(cè)了凍融損傷鋼筋應(yīng)變沿錨固長(zhǎng)度的分布，從而依據(jù)鋼筋本構(gòu)計(jì)算鋼筋應(yīng)力分布，進(jìn)而得到沿錨固長(zhǎng)度各區(qū)間的黏結(jié)應(yīng)力.該試驗(yàn)并未給出s的實(shí)測(cè)值，但由于應(yīng)變分布曲線和橫坐標(biāo)包圍的面積即s，因此，試驗(yàn)和模型所得應(yīng)變相同，即應(yīng)力相等，此亦是判別模型準(zhǔn)確性的條件.具體試驗(yàn)細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)［30］.

以文獻(xiàn)［30］中的兩次加載為例驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，所得鋼筋應(yīng)力計(jì)算數(shù)據(jù)和試驗(yàn)結(jié)果見圖13.由圖13 可見，本文所建模型所得應(yīng)力分布和試驗(yàn)量測(cè)的應(yīng)力基本相同，且應(yīng)力衰減為零時(shí)二者所需黏結(jié)長(zhǎng)度接近，表明計(jì)算應(yīng)變分布與實(shí)測(cè)值較好地吻合，證明了所提不均勻凍融損傷黏結(jié)滑移模型的準(zhǔn)確性.

圖13 鋼筋應(yīng)力對(duì)比Fig.13 Comparison of reinforcement stress

6 凍融損傷RC剪力墻模型驗(yàn)證

6.1 模型建立

按照前文的建模思路，在纖維模型的基礎(chǔ)上依次構(gòu)建不均勻凍融損傷模型、凍融損傷RC 剪力墻剪切恢復(fù)力模型、不均勻凍融損傷黏結(jié)滑移模型即可建立本文所提出的凍融損傷RC剪力墻數(shù)值模型.

纖維模型中：采用含5 個(gè)數(shù)值積分點(diǎn)的基于力的非線性梁柱單元；鋼筋采用OpenSees 中的SteelMPF 本構(gòu)；拉壓屈服強(qiáng)度取相等值，拉壓方向上的應(yīng)變硬化率均取0.01，曲率參數(shù)初始值R0 取15，曲率退化參數(shù)CR1、CR2 取推薦值0.925、0.15；非約束混凝土、約束混凝土分別采用Concrete01 與Concrete02 本構(gòu)，約束混凝土峰值應(yīng)變?chǔ)?0，i｛ε00，i=ε0，i×［1+5（Ki-1）］｝和保護(hù)層混凝土的峰值應(yīng)變?chǔ)?，i（ε0，i=2fc0，di/Ec0，di）分別由Mander模型和Kent-Park模型計(jì)算，并按照不均勻凍融損傷模型對(duì)其參數(shù)進(jìn)行折減.具體為：按照大小為10 mm的方形混凝土纖維劃分截面，劃分示意圖見圖3.利用不均勻凍融損傷模型對(duì)所劃分的混凝土纖維進(jìn)行參數(shù)賦值，具體本構(gòu)參數(shù)值列于表2、表3.

表2 不均勻凍融損傷非約束混凝土本構(gòu)模型參數(shù)Tab.2 Constitutive model parameters of nonuniform frost-damaged unconfined concrete（Concrete01）

表3 不均勻凍融損傷約束混凝土本構(gòu)模型參數(shù)Tab.3 Constitutive model parameters of nonuniform frost-damaged confined concrete（Concrete02）

在考慮不均勻凍融損傷纖維截面的基礎(chǔ)上通過(guò)OpenSees 中Section Aggregator 命令將Hysteretic Material所代表的剪切恢復(fù)力模型在截面層次上添加至不均勻凍融損傷纖維截面形成可考慮剪切的不均勻凍融損傷纖維截面.其中：剪切骨架曲線特征點(diǎn)參數(shù)按照4.1 節(jié)和4.2 節(jié)計(jì)算方法得到；滯回規(guī)則參數(shù)列于表4.利用第5 節(jié)所建立的不均勻凍融損傷黏結(jié)滑移模型所推導(dǎo)的鋼筋應(yīng)力-滑移關(guān)系（在OpenSees中具體通過(guò)Hysteretic Material 編寫）替換不均勻凍融損傷纖維截面中的普通鋼筋本構(gòu)關(guān)系（在OpenSees中通過(guò)SteelMPF 編寫）形成可考慮不均勻黏結(jié)滑移和凍融損傷的零長(zhǎng)度截面.最終，通過(guò)單元調(diào)用各截面形成整體剪力墻構(gòu)件模型.

表4 滯回參數(shù)Tab.4 Hysteretic parameters

6.2 結(jié)果對(duì)比

按照上文建模方法建立凍融損傷RC 剪力墻數(shù)值模型，并利用Rong等［1］的試驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，所得對(duì)比結(jié)果列于圖14.由圖14 可見：模擬滯回曲線和試驗(yàn)滯回曲線符合良好，其強(qiáng)度衰減、剛度退化、捏縮效應(yīng)等方面亦吻合較好.相比于試驗(yàn)結(jié)果，各模擬結(jié)果表現(xiàn)出初始剛度略微偏大，峰值承載力略微偏小的特征.這是因?yàn)榻M合剪切的建模方法引入了對(duì)截面剛度的約束使得模擬剛度偏大；與此同時(shí)，經(jīng)過(guò)凍融循環(huán)作用后，試件凍漲微裂縫使試件初始剛度略微偏小.二者的結(jié)合造成了剛度和峰值承載力的微小差異.

圖14 滯回曲線對(duì)比Fig.14 Comparison of hysteresis curves

此外，數(shù)值模型得到的承載能力、變形能力、累積耗能與實(shí)測(cè)值的誤差大小是衡量模型準(zhǔn)確度的重要條件.因此，分別取屈服位移誤差EΔy、峰值位移誤差EΔm、屈服荷載誤差Epy、峰值荷載誤差Epm、滯回荷載誤差Eload以及累積耗能誤差Eenergy作為定量化判別數(shù)值模型準(zhǔn)確性的指標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算式參見文獻(xiàn)［14］.

依據(jù)模擬滯回曲線得到各特征點(diǎn)參數(shù)，進(jìn)而得到數(shù)值模型承載能力、變形能力、累積滯回耗能的誤差，結(jié)果繪制于圖15.由圖15 可見：屈服荷載誤差均值約4%，峰值荷載誤差均值約8%，滯回荷載誤差均值約9%；屈服位移誤差均值約12%，峰值位移誤差均值約3%；滯回耗能誤差均值約15%.均處于較為精確的范圍內(nèi).

圖15 特征參數(shù)誤差Fig.15 Error of characteristic parameters

7 結(jié)論

本文以凍融損傷不均勻分布為切入點(diǎn)，結(jié)合墻頂總變形的組成成分，建立了考慮黏結(jié)滑移與剪切效應(yīng)的不均勻凍融損傷RC 剪力墻數(shù)值模型，所得主要結(jié)論如下：

1）以ERDM為凍融損傷系數(shù)，建立了可考慮由表及里的不均勻凍融滲透的損傷模型.

2）建立了凍融損傷RC 剪力墻構(gòu)件剪切恢復(fù)力模型，并對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

3）構(gòu)建了不均勻凍融損傷黏結(jié)強(qiáng)度模型，同時(shí)通過(guò)理論推導(dǎo)建立了考慮不均勻黏結(jié)應(yīng)力分布的凍融損傷縱筋滑移模型，并對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證.

4）結(jié)合不均勻凍融損傷模型、凍融損傷剪切恢復(fù)力模型、不均勻凍融損傷黏結(jié)滑移模型，建立了與實(shí)際凍融相吻合的凍融損傷RC 剪力墻數(shù)值模型，并利用8 個(gè)剪力墻擬靜力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)值模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明：建立的數(shù)值模型可較準(zhǔn)確地模擬凍融損傷RC剪力墻低周往復(fù)下的力-變形關(guān)系，可用于嚴(yán)寒環(huán)境下在役RC 剪力墻的抗震性能評(píng)估.