黃彬源 賀志? 陳雨

1) (湖南文理學(xué)院數(shù)理學(xué)院,常德 415000)

2) (貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽(yáng) 550018)

研究了基于依賴光場(chǎng)強(qiáng)度耦合Dicke 模型(也被稱為依賴強(qiáng)度Dicke 模型)的量子電池中包括最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現(xiàn).首先考慮了能量非保守項(xiàng)(或者叫反旋波項(xiàng))對(duì)量子電池的最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率的影響,研究發(fā)現(xiàn): 最大存儲(chǔ)能量對(duì)能量非保守項(xiàng)權(quán)重的增加不是很敏感,但最大充電功率隨能量非保守項(xiàng)權(quán)重的增加將會(huì)發(fā)生顯著的變化.進(jìn)一步,研究了在能量保守項(xiàng)和能量非保守項(xiàng)是相同權(quán)重下量子電池中最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率的變化特征.通過(guò)與基于單光子和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池在充電時(shí)間和最大充電功率上強(qiáng)于基于單光子Dicke 模型的量子電池,但弱于雙光子Dicke 模型的量子電池.而3 種Dicke 模型在最大存儲(chǔ)能量上沒(méi)有一個(gè)確定的強(qiáng)弱關(guān)系,取決于不同的耦合常數(shù).本文也揭示了雖然在最大充電功率上依賴強(qiáng)度耦合Dicke 模型會(huì)弱于雙光子Dicke 模型,但在兩種模型中體現(xiàn)的量子優(yōu)勢(shì)即最大充電功率與量子電池單元數(shù)滿足的冪律關(guān)系是相同的.總之,本文為進(jìn)一步研究量子電池提供了一種可選擇的理論方案.

1 引言

量子電池是Alicki 和Fannes[1]在2013 年提出的一種新型量子儲(chǔ)能設(shè)備,它是利用量子糾纏這一重要量子資源來(lái)更有效地實(shí)現(xiàn)量子系統(tǒng)中功(能量) 的提取.后來(lái),Hovhannisyan 等[2]進(jìn)一步闡明了量子糾纏對(duì)提取功上的作用是有限的,但它對(duì)充電功率來(lái)說(shuō)至關(guān)重要,即如果要求充電功率越大,在這個(gè)過(guò)程中需要產(chǎn)生的糾纏越多.近年來(lái),基于各種物理模型的量子電池研究迅速引起了人們廣泛的興趣,如多原子系統(tǒng)在諧波場(chǎng)作用下的模型[3]、Dicke 模型[4-9]、自旋鏈模型[10-14]、中心自旋模型[15,16]以及三能級(jí)系統(tǒng)模型[17-19]等.一般來(lái)說(shuō),一個(gè)完整的量子電池分為充電、存儲(chǔ)以及放電過(guò)程.當(dāng)前給量子電池充電的方式主要有兩種:1) 并行充電[20],即每一個(gè)電池單元 (或者被稱為量子單元quantum cell) 單獨(dú)與一個(gè)充電器耦合進(jìn)行充電;2) 集體充電[20,21],即多個(gè)電池單元共同與一個(gè)充電器耦合進(jìn)行充電.特別地,Campaioli 等[21]揭示了集合充電方式中量子電池能實(shí)現(xiàn)快速充電的關(guān)鍵因素是一個(gè)整體操作(global operations),如產(chǎn)生多體糾纏操作,并給出了量子優(yōu)勢(shì)所需要滿足的不等式.Ferraro 等[4]研究了基于單光子耦合Dicke 模型且以集合充電方式的量子電池,發(fā)現(xiàn)當(dāng)量子電池中的量子單元數(shù)N較大且有限時(shí),集合充電方式在最大充電功率(表征量子優(yōu)勢(shì)的物理量) 上有Pmax∝N3/2,這比并行充電方式Pmax∝N有一個(gè)冪指數(shù)的提升.Quach 等[5]將有機(jī)半導(dǎo)體作為二能級(jí)系統(tǒng)與微腔耦合首次在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了Dicke 量子電池.后來(lái),Crescente 等[6]進(jìn)一步研究了基于雙光子耦合Dicke 模型的量子電池中的充電性能,發(fā)現(xiàn)最大充電功率Pmax同量子單元數(shù)目N之間滿足Pmax∝N2,這進(jìn)一步改進(jìn)了量子優(yōu)勢(shì),而且在充電時(shí)間上,雙光子方式比單光子方式更有優(yōu)勢(shì).最近,Dou 等[8]研究了一個(gè)推廣單光子耦合Dicke模型,即考慮原子之間有相互作用以及有外在驅(qū)動(dòng)場(chǎng)作用下的量子電池,發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)耦合參數(shù)機(jī)制下,通過(guò)調(diào)節(jié)原子之間的相互作用可以使量子優(yōu)勢(shì)達(dá)到Pmax∝N1.88.他們[9]也研究了基于有腔場(chǎng)支撐下的海森伯自旋鏈模型的量子電池,揭示出通過(guò)綜合調(diào)節(jié)模型中的各個(gè)參數(shù)組合,可以使量子優(yōu)勢(shì)達(dá)到Pmax∝N2.近來(lái),Gyhm等[22]研究了一個(gè)一般物理模型背景下的量子優(yōu)勢(shì),并進(jìn)一步闡明了整體糾纏操作在量子優(yōu)勢(shì)中的重要性,且揭示了體現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì)的最大充電功率Pmax∝Nα中的α必須滿足α≤2 .Shi 等[23]詳細(xì)研究了量子相干性和量子糾纏等量子資源同量子電池中提取功之間的關(guān)系,闡明了量子電池中量子相干性和電池與充電器之間的糾纏是產(chǎn)生非零提取功的必要條件,且在充電結(jié)束后,量子相干性促進(jìn)了相干功,而量子相干性和糾纏抑制了非相干功.最近,Yu 等[24]研究了一個(gè)開(kāi)放量子電池中熱庫(kù)的量子相干性對(duì)量子電池中充電性能的影響,發(fā)現(xiàn)熱庫(kù)中的量子相干性對(duì)充電功率、充電容量及充電效率的改進(jìn)是有利的.

另一方面,著名的Jaynes-Cummings (J-C)模型[25]是量子光學(xué)中的一個(gè)基本且重要的精確可解模型,它是一個(gè)描述二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)相互作用的模型,適用于二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)之間是弱耦合且近共振情況.在J-C 模型基礎(chǔ)上如果加入反旋波項(xiàng)就是更一般的Rabi 模型[26],它適用于二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)之間是強(qiáng)耦合甚至超強(qiáng)耦合情況,雖然此時(shí)激發(fā)數(shù)不再守恒,但近來(lái)顯示它仍然可以在Bargmann 空間解析求解[27,28].單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型是在Rabi 模型的基礎(chǔ)上推廣到N個(gè)二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)相互作用的模型[29].它們的不同之處在于,單光子Dicke模型是一種線性耦合模型,而雙光子Dicke 模型[6]則是一種非線性耦合模型.另一種非線性耦合模型是依賴強(qiáng)度的Buck-Sukumar (B-S)模型[30],它是考慮原子與光場(chǎng)的相互作用對(duì)光場(chǎng)強(qiáng)度有依賴性的J-C 模型,該模型被闡明可以更好地理解J-C模型中出現(xiàn)的原子翻轉(zhuǎn)的周期自發(fā)塌縮和恢復(fù)現(xiàn)象.后來(lái),Ng 等[31]利用幺正變換解析求解了具有反旋波項(xiàng)的B-S 模型.然而,同雙光子耦合方式類似[32,33],依賴強(qiáng)度B-S 模型也會(huì)遭遇相同的能譜塌縮現(xiàn)象,即B-S 模型只有在耦合常數(shù)小于某一臨界值時(shí)才有定義[31,33]且反旋波項(xiàng)不會(huì)改變這種性質(zhì),只是減小了這個(gè)臨界值[34].2016 年,Valverde等[35]建議了用庫(kù)珀對(duì)箱與納米機(jī)械共振器間的相互作用來(lái)模擬依賴強(qiáng)度B-S 模型的方案,這為依賴強(qiáng)度B-S 模型的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)提供了一條可能途徑.

我們注意到,關(guān)于單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池中的充電性能已經(jīng)被Ferraro 團(tuán)隊(duì)[4,6]詳細(xì)地研究.但作為另一種非線性耦合方式,基于光場(chǎng)依賴強(qiáng)度Dicke 模型(簡(jiǎn)稱依賴強(qiáng)度Dicke 模型)的量子電池中充電性能會(huì)有怎樣的表現(xiàn)呢? 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究還未見(jiàn)到相關(guān)報(bào)道,這是本文研究的主要出發(fā)點(diǎn).這里的依賴強(qiáng)度Dicke 模型是將B-S 模型中一個(gè)二能級(jí)原子和單模腔場(chǎng)耦合情況推廣到N個(gè)二能級(jí)原子和單模腔場(chǎng)耦合的情況,且考慮了能量非保守項(xiàng)(即反旋波項(xiàng))的影響.具體地,本文通過(guò)一種精度較高的數(shù)值對(duì)角化方法,求解了帶有反旋波項(xiàng)的依賴強(qiáng)度Dicke 模型.首先研究了能量保守項(xiàng)和能量非保守項(xiàng)在不同權(quán)重情況下基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率等表征充電性能參量的演化特征,研究發(fā)現(xiàn): 能量非保守項(xiàng)對(duì)量子電池中最大充電功率產(chǎn)生明顯的影響,而對(duì)最大存儲(chǔ)能量的影響不是很明顯.進(jìn)一步,討論了模型中的能量保守項(xiàng)和能量非保守項(xiàng)是相同權(quán)重情況下的量子電池中包括最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現(xiàn),并同單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能進(jìn)行了比較.研究顯示: 在充電時(shí)間和最大充電功率上,依賴強(qiáng)度Dicke 模型會(huì)優(yōu)于單光子Dicke 模型,但會(huì)弱于雙光子Dicke模型;在最大存儲(chǔ)能量上,這3 種Dicke 模型各有千秋,取決于不同的耦合常數(shù).另外也發(fā)現(xiàn): 雖然最大充電功率上依賴強(qiáng)度Dicke 模型會(huì)弱于雙光子Dicke 模型,但在體現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì),即兩種模型中最大充電功率與電池中量子單元數(shù)滿足的冪律關(guān)系上是相同的.

本文結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 節(jié)給出了基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池模型以及衡量量子電池充電性能的各個(gè)物理參量;第3 節(jié)基于模型的數(shù)值結(jié)果揭示了依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中包括最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能表現(xiàn),并同單光子Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的充電性能作了詳細(xì)的比較;第4 節(jié)對(duì)文中獲得的結(jié)果作了簡(jiǎn)要總結(jié)和展望.

2 基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池模型

依賴強(qiáng)度Dicke 模型由N個(gè)全同二能級(jí)原子集合與一個(gè)單模腔場(chǎng)通過(guò)依賴光場(chǎng)強(qiáng)度耦合方式發(fā)生相互作用組成(它是依賴強(qiáng)度B-S 模型[30]中的單個(gè)二能級(jí)原子情況推廣到N個(gè)二能級(jí)原子情況),其中每個(gè)二能級(jí)原子扮演量子電池中電池單元的角色,而腔場(chǎng)充當(dāng)充電器的角色.一般來(lái)說(shuō),一個(gè)完整的量子電池包括充電、存儲(chǔ)以及放電過(guò)程.本文研究的重點(diǎn)是考察基于依賴強(qiáng)度Dicke模型的量子電池在充電過(guò)程中的充電性能.該量子電池的充電過(guò)程闡述如下: 當(dāng)t<0 時(shí),所有的二能級(jí)原子與腔場(chǎng)的耦合是關(guān)閉的;在充電過(guò)程( 0 ≤t

接下來(lái),僅考慮二能級(jí)原子的頻率和腔場(chǎng)頻率是相同,即共振情況,如ωa=ωc,因?yàn)樵诜枪舱袂闆rωa≠ωc,從腔場(chǎng)到二能級(jí)原子系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移效率是更低的[4].鑒于研究的基于依賴強(qiáng)度Dicke模型的量子電池系統(tǒng)是一個(gè)封閉系統(tǒng),這里假設(shè)N個(gè)二能級(jí)原子最初都處于基態(tài) |g1,g2,···,gN〉a,單模腔場(chǎng)處于光子數(shù)態(tài) |N〉c,這樣整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)能表示成

這里,封閉系統(tǒng)在幺正演化下的含時(shí)波函數(shù)通過(guò)下列方式得到: |ψ(t)〉=e-iHt|ψ(0)〉.相應(yīng)地,平均充電功率被定義為[37]

特別地,在某一些特定的時(shí)刻能獲得最大存儲(chǔ)能量以及最大充電功率是量子電池表征充電性能的一些核心指標(biāo),它們被定義為[4]

另外,在充電過(guò)程中存儲(chǔ)的能量可能存在不可避免的漲落(即能量量子漲落)也是衡量量子電池充電性能的一個(gè)重要的指標(biāo),它被定義為[38]

其中Jz(t) 表示算符Jz在海森伯繪景中的含時(shí)對(duì)應(yīng)量,相應(yīng)的平均值計(jì)算是在初態(tài) |ψ(0)〉進(jìn)行的.考慮到海森伯繪景和薛定諤繪景之間的關(guān)系,能量量子漲落Σ(t) 能被簡(jiǎn)化成其中平均值計(jì)算是在薛定諤繪景中的演化態(tài)|ψ(t)〉上執(zhí)行的.

3 分析與討論

鑒于依賴強(qiáng)度Dicke 模型中包含了能量非保守項(xiàng),這樣基于該模型的量子電池在充電過(guò)程中腔場(chǎng)中的光子數(shù)并不守恒.一般來(lái)說(shuō),要獲得該模型的解析表達(dá)式是一件非常困難的事情.為此,在接下來(lái)的討論中將利用一種精度較高的數(shù)值方法來(lái)獲得該模型的動(dòng)力學(xué)演化,進(jìn)而考察基于模型的量子電池在充電過(guò)程中充電性能的表現(xiàn).原則上,因?yàn)槟芰坎皇睾沩?xiàng)的存在使得腔場(chǎng)中的光子數(shù)需要取任意大的整數(shù).但文獻(xiàn) [4,6] 通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn):對(duì)Dicke 哈密頓量數(shù)值對(duì)角化的過(guò)程中,只要腔場(chǎng)中光子數(shù)滿足Nph=4N,其數(shù)值計(jì)算的結(jié)果誤差在 10-5以下.數(shù)值計(jì)算中,部分利用了文獻(xiàn)[39]中的Python 程序.下面將研究基于依賴強(qiáng)度Dicke模型的量子電池中充電性能的表現(xiàn),并同基于單光子Dicke 模型[4]和雙光子Dicke 模型[6]的量子電池中充電性能進(jìn)行比較,闡明各種Dicke 耦合模型中充電性能的異同.衡量量子電池在充電過(guò)程中充電性能表現(xiàn)的物理量包括最大存儲(chǔ)能量Emax、充電時(shí)間tE、能量量子漲落以及最大充電功率Pmax等(分別用 1ph(1 photon) ,2ph(2 photon) 和ID(intensity-dependent)區(qū)分單光子、雙光子和依賴強(qiáng)度Dicke 模型).首先,考慮基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率隨權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g的變化關(guān)系.

3.1 最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率與權(quán)重參數(shù) ξ 和耦合常數(shù)g 的關(guān)系

圖1 給出了基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率隨權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g的變化(在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中,已經(jīng)假設(shè)量子電池中的量子單元數(shù)N=10).觀察圖1 可以看到,最大存儲(chǔ)能量和最大充電功率隨權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g的變化表現(xiàn)出一些值得注意的特征.1) 總的來(lái)說(shuō),最大存儲(chǔ)能量對(duì)權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g的增加不是特別敏感,換句話說(shuō),耦合常數(shù)g從弱耦合到強(qiáng)耦合機(jī)制變化時(shí),能量非保守項(xiàng)對(duì)量子電池在充電過(guò)程中最大存儲(chǔ)能量的貢獻(xiàn)不是特別明顯,如圖1(a)所示;然而,權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g對(duì)最大充電功率有明顯的影響,特別地,在耦合常數(shù)g處于強(qiáng)耦合機(jī)制下,隨著權(quán)重參數(shù)ξ的增加,最大充電功率發(fā)生了明顯的變化,如圖1(b)所示.因此,能量非保守項(xiàng)的加入其實(shí)只對(duì)最大充電功率有明顯的影響,而對(duì)最大存儲(chǔ)能量的影響是有限的,這是一個(gè)令人感興趣的結(jié)果.2)從細(xì)節(jié)上來(lái)說(shuō),最大存儲(chǔ)能量與權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g之間不是一個(gè)單調(diào)變化的關(guān)系,而是時(shí)減時(shí)加的關(guān)系;但最大充電功率隨權(quán)重參數(shù)ξ和耦合常數(shù)g的增加而單調(diào)遞增.到此,我們已經(jīng)得知,隨著能量非保守項(xiàng)權(quán)重的增加,最大充電功率可以很明顯地得到提高.接下來(lái),進(jìn)一步將基于依賴強(qiáng)度耦合Dicke模型同單光子和雙光子耦合Dicke 模型的量子電池中充電性能進(jìn)行比較,本文選擇ξ=1,即能量保守項(xiàng)和能量非保守項(xiàng)是相同權(quán)重的情況.

圖1 基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲(chǔ)能量 (以 ωa 為單位)和(b)最大充電功率 (以 為單位)隨權(quán)重參數(shù) ξ 和耦合常數(shù)g 的變化.在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中,電池單元數(shù)被設(shè)定為N=10Fig.1.(a) Stored energy (in units of ωa ) and (b) maximum average charging power (in units of ) as a function of the parameters ξ and g for the intensity-dependent Dicke quantum battery,where the number of quantum cell N=10 is chosen in the calculation.

3.2 基于依賴強(qiáng)度、單光子和雙光子Dicke模型的量子電池中充電性能比較

圖2 給出了基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中存儲(chǔ)能量EID(t)、能量量子漲落和平均充電功率PID(t) 在不同的耦合常數(shù)下隨無(wú)量綱時(shí)間參數(shù)ωat的演化(量子電池中的量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10).

圖2 在不同的耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中存儲(chǔ)能量 EID(t) (以 ωa 為 單位)、能量量子漲落 ΣID(t) (以 ωa 為單位),以及平均充電功率 PID(t) (以 為單位) 隨無(wú)量綱時(shí)間參數(shù) ωat 的演化,量子電池中的量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10Fig.2.Stored energy (t) (in units of ωa ),its fluctuation ΣID(t) (in units of ωa ),and average charging power PID(t) (in units of ) versus the dimensionless quantity ωat for the intensity-dependent Dicke quantum battery in the different couplings,where quantum cell is set to N=10 in the calculation.

圖3 在不同的量子單元數(shù)(N=8 →10 →12 →14 )下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲(chǔ)能量 (以ωa 為單位)和(b)最大充電功率 (以 為單位)隨耦合常數(shù)g 的變化Fig.3.(a) The maximum stored energy (in units of ωa ) and (b) maximum charging power (in units of ) versus the couplings constant g for the intensity-dependent Dicke model in the different quantum cells N=8 →10 →12 →14 .

圖4 在不同的耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池中(a)最大存儲(chǔ)能量 (以 ωa 為單位)和(b)能量量子漲落 ΣID (以 ωa 為單位)隨量子單元數(shù)N 的變化Fig.4.(a) The maximum stored energy (in units of ωa ) and (b) its quantum fluctuation ΣID (in units of ωa) versus the number of quantum cells N for the intensity-dependent Dicke model in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

2)能量量子漲落ΣID(t) 和.從 圖2(a)–(c)中的虛線可以看到,無(wú)論在弱耦合還是強(qiáng)耦合機(jī)制g=0.005→0.1→0.5,隨著時(shí)間的推移,量子電池在充電過(guò)程中存儲(chǔ)的能量都會(huì)存在一定的漲落,即能量量子漲落.怎樣解釋量子電池中一直會(huì)存在能量量子漲落呢? 其原因是除了最開(kāi)始時(shí)刻二能級(jí)原子系統(tǒng)與腔場(chǎng)處于分離態(tài),其后任意時(shí)刻二能級(jí)原子系統(tǒng)與腔場(chǎng)一直在發(fā)生相互作用,這導(dǎo)致全部來(lái)自腔場(chǎng)中的能量Emax=Nωa并沒(méi)有全部轉(zhuǎn)移在原子上(即存儲(chǔ)能量EID(t) 總是小于Nωa),正如文獻(xiàn)[40]闡明的一樣,只有當(dāng)量子電池全部充滿電,才不會(huì)有漲落.另外,在不同的耦合常數(shù)下,可得到的最好的能量量子漲落為=1.577,對(duì)應(yīng)的最大存儲(chǔ)能量為=7.313 .而單光子Dicke模型中最好的能量量子漲落能達(dá)到=1.194,其對(duì)應(yīng)更多最大存儲(chǔ)能量=8.861 .為了更直觀顯示基于3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間以及相應(yīng)的能量量子漲落之間的比較關(guān)系,將相關(guān)數(shù)據(jù)列于表1 中.

表1 在不同耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量 Emax(tE) (以 ωa 為單位)、能量量子漲落 ≡Σ(tE) (以 ωa 為單位)及充電時(shí)間 tE (以 為單位)等充電性能參數(shù)的比較.在數(shù)值計(jì)算中,量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10Table 1. Comparisons of the maximum stored energy Emax(tE) (in unit of ωa ),its fluctuations ≡Σ(tE) (in units of ωa) andcorresponding charging time tE (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cells N=10 in the calculation.

表1 在不同耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大存儲(chǔ)能量 Emax(tE) (以 ωa 為單位)、能量量子漲落 ≡Σ(tE) (以 ωa 為單位)及充電時(shí)間 tE (以 為單位)等充電性能參數(shù)的比較.在數(shù)值計(jì)算中,量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10Table 1. Comparisons of the maximum stored energy Emax(tE) (in unit of ωa ),its fluctuations ≡Σ(tE) (in units of ωa) andcorresponding charging time tE (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cells N=10 in the calculation.

表2 在不同耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大充電功率 Pmax(tP) (以 為單位)和充電時(shí)間 tP (以 為單位)等充電性能參數(shù)上的比較,量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10Table 2. Comparisons of the maximum average charging power Pmax(tP) (in units of ) and corresponding charging time tP (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cell N=10 .

表2 在不同耦合常數(shù) g=0.005 →0.1 →0.5 下,基于依賴強(qiáng)度、單光子和雙光子3 種Dicke 模型的量子電池中最大充電功率 Pmax(tP) (以 為單位)和充電時(shí)間 tP (以 為單位)等充電性能參數(shù)上的比較,量子單元數(shù)被設(shè)定為N=10Table 2. Comparisons of the maximum average charging power Pmax(tP) (in units of ) and corresponding charging time tP (in units of ) for the intensity-dependent,single photon,and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,and quantum cell N=10 .

前文已經(jīng)討論了在確定的量子單元數(shù),如N=10下,最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率在不同耦合常數(shù)下的變化特征,并同單光子和雙光子Dicke 模型中的充電性能進(jìn)行了詳細(xì)的比較.研究發(fā)現(xiàn),在充電時(shí)間和最大充電功率上,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型優(yōu)于單光子Dicke 模型,但弱于雙光子Dicke 模型;而3 種Dicke 模型在最大存儲(chǔ)能量上沒(méi)有一個(gè)確定的強(qiáng)弱關(guān)系,同耦合常數(shù)密切相關(guān).

3.3 最大存儲(chǔ)能量、能量量子漲落以及最大充電功率與量子單元數(shù)的關(guān)系

其中,冪指數(shù)b反映了量子電池在充電的過(guò)程中,與并行充電方式相比具有的集體充電的量子優(yōu)勢(shì).為了較為準(zhǔn)確地獲得a和b的值,這里采用線性擬合的方式.為此,在方程(10)的兩邊執(zhí)行一個(gè)線性化處理,即

通過(guò)數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)擬合,不難確定方程(10)和方程(11)中的a和b如圖5 所示.為了將依賴強(qiáng)度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型中的最大充電功率隨量子單元數(shù)的變化進(jìn)行比較,圖5 中也顯示了雙光子Dicke 模型中的數(shù)值計(jì)算和數(shù)值擬合的結(jié)果,即.從圖5 可以清楚地看到,對(duì)于每一個(gè)量子單元數(shù)N,從弱耦合到強(qiáng)耦合機(jī)制(g=0.005→0.1→0.5)依賴強(qiáng)度Dicke 模型中最大充電功率弱于雙光子Dicke 模型中最大充電功率,即(a<α).然 而卻遵守類似的冪指數(shù)規(guī)律,如(b≈β≈2).為了更清楚地比較,將相關(guān)的數(shù)據(jù)列于表3 中.因此,通過(guò)以上研究可知,雖然依賴強(qiáng)度Dicke 模型在最大充電功率上會(huì)弱于雙光子Dicke 模型,但在兩個(gè)模型中都具有相同的量子優(yōu)勢(shì).

表3 在不同耦合常數(shù)( g=0.005 →0.1 →0.5 )下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型中最大充電功率 ∝aNb (以 為單位)和雙光子耦合Dicke 模型中最大充電功率 ∝αNβ (以 為單位)的比較Table 3. Comparisons of the maximum average charging power ∝aNb and ∝αNβ (in units of ) for the intensity-dependent and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

表3 在不同耦合常數(shù)( g=0.005 →0.1 →0.5 )下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型中最大充電功率 ∝aNb (以 為單位)和雙光子耦合Dicke 模型中最大充電功率 ∝αNβ (以 為單位)的比較Table 3. Comparisons of the maximum average charging power ∝aNb and ∝αNβ (in units of ) for the intensity-dependent and two-photon Dicke models in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 .

圖5 在不同的耦合常數(shù)(g=0.005 →0.1 →0.5)下,基于依賴強(qiáng)度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型的量子電池的最大充電功率 (以 為單位)隨量子單元數(shù)N 的變化,量子單元數(shù)N ∈[1,30]Fig.5.Comparison of maximum charging power (in units of ) versus the number of qubits N for the intensitydependent Dicke model and two-photon Dicke model in the different couplings g=0.005 →0.1 →0.5 ,quantum cells N ∈[1,30] .

4 結(jié)論

本文通過(guò)一種精度較高的數(shù)值對(duì)角化方法,求解了帶有反旋波項(xiàng)的依賴強(qiáng)度Dicke 模型 (N個(gè)二能級(jí)原子通過(guò)非線性耦合方式共同與一個(gè)單模腔場(chǎng)發(fā)生相互作用).進(jìn)一步,探索了基于該依賴強(qiáng)度Dicke 模型的量子電池(這里,每個(gè)二能級(jí)原子作為一個(gè)電池單元,單模腔場(chǎng)作為充電器)中包括最大存儲(chǔ)能量、充電時(shí)間、能量量子漲落以及最大充電功率等充電性能.通過(guò)與基于單光子和雙光子Dicke 模型的量子電池中的充電性能作比較,發(fā)現(xiàn): 基于依賴強(qiáng)度耦合Dicke 模型的量子電池在充電時(shí)間和最大充電功率上強(qiáng)于基于單光子Dicke模型的量子電池,但弱于雙光子Dicke 模型的量子電池.并且3 種Dicke 模型在最大存儲(chǔ)能量上沒(méi)有一個(gè)確定的強(qiáng)弱關(guān)系,而是與耦合常數(shù)的選擇有關(guān).另外,揭示了基于該依賴強(qiáng)度耦合Dicke 模型的量子電池中能體現(xiàn)量子優(yōu)勢(shì)的冪律關(guān)系: 當(dāng)二能級(jí)原子數(shù)目很大且有限時(shí),量子電池中的最大充電功率與二能級(jí)原子數(shù)目的平方成正比.令人感興趣的是,這一冪律關(guān)系優(yōu)于基于單光子Dicke 模型的量子電池中的冪律關(guān)系,而與基于雙光子Dicke 模型的量子電池中的冪律關(guān)系是相同的.最后需要指出的是,考慮到依賴強(qiáng)度Dicke 模型和雙光子Dicke 模型中可能會(huì)出現(xiàn)能譜塌縮現(xiàn)象,這里討論使用的耦合參數(shù)不是很大(采用同雙光子Dicke 模型[6]中相同的耦合參數(shù)).近來(lái),Liu 等[41]研究了通過(guò)引入一個(gè)非線性光子項(xiàng)對(duì)B-S 模型的影響,發(fā)現(xiàn)引入的非線性光子項(xiàng)不僅可以消除能級(jí)塌縮現(xiàn)象,而且對(duì)模型中光子阻塞效應(yīng)有重要的影響.因此,在依賴強(qiáng)度Dicke 模型中是否可以引入一個(gè)非線性光子項(xiàng)來(lái)消除模型中的能譜塌縮問(wèn)題,且非線性光子項(xiàng)對(duì)量子電池中的充電性能是有正面還是負(fù)面的影響? 另外,文中研究的依賴強(qiáng)度Dicke模型沒(méi)有考慮原子之間的相互作用對(duì)充電性能性影響,在其他模型如單光子Dicke 模型[8]中已經(jīng)顯示原子之間的相互作用對(duì)最大充電功率有重要的影響.這些有意思的問(wèn)題值得今后進(jìn)一步研究.