許朋

（皖北衛(wèi)生職業(yè)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是高職院校許多專業(yè)開設(shè)的重要基礎(chǔ)課程之一，是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、方法和能力進(jìn)行培養(yǎng)和提高的關(guān)鍵課程，為后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。筆者長期從事高職數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，深刻感受到高職生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍薄弱和學(xué)習(xí)積極性不高。部分學(xué)生基礎(chǔ)不牢固，上課聽不懂部分知識(shí)點(diǎn)，不積極尋求方法解決問題，甚至課堂上出現(xiàn)玩手機(jī)、聊天、睡覺等不良現(xiàn)象。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)是醫(yī)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，具有概念多、推理強(qiáng)、計(jì)算復(fù)雜等特點(diǎn)。這些特點(diǎn)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的困難，他們普遍反映醫(yī)用高等數(shù)學(xué)比較難學(xué)。許多教學(xué)研究成果表明：數(shù)學(xué)軟件與傳統(tǒng)課堂教學(xué)的恰當(dāng)融合是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和理解能力的一條行之有效的途徑。一方面，數(shù)學(xué)軟件可以通過圖形、動(dòng)畫、數(shù)值等方式展現(xiàn)數(shù)學(xué)深?yuàn)W的理論和加強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解。另一方面，為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力，教師可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下分析問題和建立模型，進(jìn)一步提高自己的思考和實(shí)踐能力。同時(shí)在使用數(shù)學(xué)軟件解決問題的過程中可以體會(huì)到知識(shí)的力量，獲得學(xué)習(xí)帶來的成就感，自信和克服困難的毅力得到長期的保持。借助現(xiàn)代信息技術(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)情景，展示定理和公式的內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要方向之一。Mathematica軟件是美國Wolfram公司開發(fā)的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件，主要功能有數(shù)值計(jì)算、交互演示、圖形處理等。它有很多優(yōu)點(diǎn)：第一，Mathematica 有與數(shù)學(xué)教材基本相同的數(shù)學(xué)符號(hào)輸入界面，學(xué)生很容易快速掌握；第二，自定義函數(shù)的寫法和各類函數(shù)的輸入和輸出與基本的數(shù)學(xué)解題順序類似，簡單易懂；第三，繪制的三維圖形可以隨意地調(diào)整觀察視角并且對(duì)圖形可以進(jìn)行編輯，有利于學(xué)生對(duì)空間圖形的形象認(rèn)識(shí)；第四，符號(hào)運(yùn)算功能強(qiáng)大，容易拓展。因此，將Mathematica 軟件引入數(shù)學(xué)教學(xué)中具有良好的操作性。通過它可將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用圖形、表格、動(dòng)畫等形式展現(xiàn)出來，便于將抽象的問題可視化。本文對(duì)Mathematica 軟件[1-7]在高職醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一些應(yīng)用進(jìn)行了探索，通過醫(yī)用高等數(shù)學(xué)[8]課程中的一些例子說明數(shù)學(xué)計(jì)算軟件融入課堂教學(xué)，能夠提高學(xué)生對(duì)有關(guān)概念、定理和計(jì)算的理解和應(yīng)用，進(jìn)而達(dá)到更好的教學(xué)效果。

1 三角函數(shù)的圖形

講授三角函數(shù)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)長時(shí)間沒有接觸數(shù)學(xué)教材，對(duì)基本的三角函數(shù)性質(zhì)比較陌生。這時(shí)可以借助Mathematica 軟件，用簡單的程序給出相應(yīng)的圖形。例1，給出基本三角函數(shù)的圖形。輸入Manipulate[Plot[f[x],{x,-2Pi,2Pi},{f,{sin,cos,tan,cot}}]，運(yùn)行后得到圖1。點(diǎn)擊不同的三角函數(shù)標(biāo)簽，程序自動(dòng)給出相應(yīng)的圖形，方便學(xué)生快速理解。

圖1 三角函數(shù)的圖形

2 原函數(shù)和反函數(shù)

原函數(shù)與反函數(shù)在坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形是同一條曲線，但為了研究方便，反函數(shù)習(xí)慣上仍用x作為自變量，y作為因變量。這樣在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，原函數(shù)與反函數(shù)的圖形就關(guān)于直線y=x 對(duì)稱。以正弦函數(shù)y=sinx為例，利用Mathematica軟件繪制正弦和反正弦函數(shù)，讓學(xué)生直觀了解它們之間的關(guān)系，提高對(duì)概念的理解。例2，在同一坐標(biāo)中畫出y=sin x，y=x，y=arcsin x的圖形，如圖2。圖形很清晰地表明正弦與反正弦函數(shù)關(guān)于y=x直線對(duì)稱。

圖2 正弦與反正弦函數(shù)的圖形

3 函數(shù)的極限

研究實(shí)際問題時(shí)，除了解有關(guān)函數(shù)在變化過程中如何取值之外，往往需要弄清楚當(dāng)自變量按一定的趨勢變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢如何，這就是極限概念所要描述和解答的問題。極限是研究函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性和可積性的理論基礎(chǔ)，它是貫穿微積分的一條主線。學(xué)生學(xué)習(xí)兩個(gè)重要極限時(shí)常常感到比較抽象，可以借助Mathematica 畫出函數(shù)的圖像幫助他們理解。例3，通過圖形觀察下列函數(shù)的極限：

為了觀察x→0 時(shí)函數(shù)的極限，作x=0 附近的圖形。輸入Plot[sin[x]/x,{x,-1,1}]，運(yùn)行得到圖形3（1）。從圖3（1）可知x→0 時(shí)函數(shù)的極限值等于1。重要極限除了基本形式外還有一些變形，如（2）式。根據(jù)有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小的關(guān)系可以說明此極限結(jié)果為0，但是難以直觀理解。輸入Plot[x*sin[1/x],{-10-5,10-5}]，運(yùn)行得到圖3（2）。從圖中可知函數(shù)x*sin(1/x)當(dāng)x→0時(shí)有微小的變化，但是極限值等于0。（3）式的極限教材直接給出結(jié)論，學(xué)生難以理解。輸入Plot[(1+1/x)x,{x,-106,106}]運(yùn)行得到圖3（3）?？梢钥闯霎?dāng)x 變得非常大時(shí)，函數(shù)極限值等于e。

圖3 不同函數(shù)極限的圖形

4 空間圖形

學(xué)生對(duì)空間曲線和曲面等圖形的理解往往比較吃力，影響他們對(duì)問題的思考，學(xué)習(xí)積極性不高。Mathematica軟件可以繪制三維圖形，把抽象的表達(dá)式變成易于理解的圖形，有效地加強(qiáng)立體感知，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。例4，畫出函數(shù)f(x,y)=x2-y2的圖形。輸入Plot3D[x2-y2,{x,-3,3},{y,-3,3}]，結(jié)果如圖4所示。拖動(dòng)鼠標(biāo)能夠從不同角度對(duì)三維圖形進(jìn)行觀察，同時(shí)可以利用繪圖工具對(duì)圖形進(jìn)行添加文本、獲取坐標(biāo)、填充顏色等操作。

圖4 f(x,y)=x2-y2的圖形

例5，畫出函數(shù)f(z)=x4-x2,x∈[-1,1]繞z 軸旋轉(zhuǎn)形成的圖形。輸入RevolutionPlot3D[x4-x2,{x,-1,1}]，運(yùn)行得到圖5。

圖5 f(x)=x4-x2繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的圖形

5 定積分演示

借助直觀的幾何圖形，可以使抽象的數(shù)學(xué)公式與直觀的圖形之間建立有效的聯(lián)系，特別是動(dòng)態(tài)演示的方式，形象地展示了抽象概念的邏輯演變過程，將抽象的理論具體化，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和記憶。定積分是積分學(xué)的一個(gè)重要概念，在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用十分廣泛，如平面圖形面積、變力做功等都可以歸結(jié)為定積分問題。例6，求由曲線y=x3,x=0,x=1,y=0圍成的平面圖形的面積。把區(qū)間[0,1]劃分為若干個(gè)小區(qū)間，所求的圖形分割成若干個(gè)以小區(qū)間為底的小曲邊梯形，由于y=x3在[0,1]連續(xù)，而小區(qū)間長度很小，所以小曲邊梯形的高度變化很小，因此圖形面積可由小區(qū)間上任一點(diǎn)的函數(shù)值為高的小矩形面積近似代替。這些小矩形面積之和作為圖形面積的近似值。顯然，區(qū)間[0,1]分割的越細(xì)，所得到的面積近似程度就越好。當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長度趨于零時(shí)，其極限值就是圖形面積的精確值。為了讓學(xué)生很好地理解“分割、近似、求和、取極限”過程，利用Mathematica 的動(dòng)畫功能展示。動(dòng)畫播放分割后小矩形的個(gè)數(shù)和對(duì)應(yīng)的圖形近似面積（綠色部分）與精確面積的差值。隨著小矩形數(shù)目的增加，求和的面積逐漸等于精確的面積，如圖6。

圖6 定積分求圖形面積的動(dòng)畫演示

6 羅爾中值定理

羅爾中值定理：如果函數(shù)y=f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等即f(a)=f(b)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b）使得f'(ξ)= 0,(a＜ξ＜b)。例7，驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)f(x)=4x3-5x2+x-2 在區(qū)間[0,1]上的正確性。輸入f[x_]:=4*x3-5*x2+x-2;Plot[f[x],{x,0,1}]運(yùn)行后得到圖7。從圖中看出函數(shù)（1）在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，（2）在開區(qū)間(0,1)上可導(dǎo)，（3）f(1)=f(0)=-2。根據(jù)定理至少存在一點(diǎn)ξ 使得f’(ξ)=0。圖形表明存在兩個(gè)x 的值滿足f’(x1)=f’(x2)=0,x1,x2∈(0,1)。學(xué)生通過圖形可以很直觀的理解定理的含義。此外可以用D[f[x],x]命令求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f’[x]，再利用Solve[f’[x]==0,x]命令解出導(dǎo)數(shù)為零時(shí)對(duì)應(yīng)的x值。

圖7 f(x)=4x3-5x2+x-2的圖形

7 擬合函數(shù)

高等數(shù)學(xué)課不僅增加學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，也要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和思維，分析和解決生活中的實(shí)際問題。在各種情境中進(jìn)行分析和建模，深化對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，有利于充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。在科學(xué)研究和實(shí)際工作中，常常要對(duì)一些有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，找到能反映數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式。Mathematica 里面的數(shù)據(jù)擬合命令，使得數(shù)據(jù)處理非常方便，能增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例8，在某化學(xué)反應(yīng)里由實(shí)驗(yàn)得到生物的濃度y 與時(shí)間x（分鐘）的關(guān)系如下，求濃度與時(shí)間關(guān)系的擬合函數(shù)。

表1 濃度與時(shí)間的關(guān)系

在直角坐標(biāo)系中做出散點(diǎn)圖，大致判斷擬合函數(shù)的類型，采用x 的多項(xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。程序如下：

x1={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10.0},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}};

x2=ListPlot[x1]

x3=Fit[x1,Table[x^n,{n,0,5}],x]

x4=Plot[x3,{x,0,16},PlotStyle-＞{RGBColor[0,1,0]}]Show[x2,x4]

運(yùn)行后得到擬合函數(shù)0.389904 +4.43705 x-0.883812x^2+0.0897161x^3-0.00444042x^4+0.0000848962 x^5，數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和擬合曲線如圖8 所示，圖形表明兩者吻合得非常好。

圖8 濃度與時(shí)間關(guān)系的擬合

8 二元函數(shù)的極值

函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于（x0,y0）的點(diǎn)（x,y），如果都有f(x,y)＜f（x0,y0）或f(x,y)＞f（x0,y0）,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）取得極大值或極小值f（x0,y0）[8]93。定理1（極值存在的必要條件）如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）處取得極值，且函數(shù)在該點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，那么fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0。定理2（極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的某鄰域內(nèi)有一階與二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又設(shè)fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0，記A=fxx（x0,y0），B=fxy（x0,y0），C=fyy（x0,y0），那么（1）如果B2-AC＜0,則函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）處有極值，且當(dāng)A＜0 時(shí)f（x0,y0）是極大值，當(dāng)A＞0 時(shí)f（x0,y0）是極小值；（2）如果B2-AC＞0,則點(diǎn)（x0,y0）不是極值點(diǎn)；（3）如果B2-AC=0,則點(diǎn)（x0,y0）是否為極值點(diǎn)不能斷定，需另作討論。下面通過實(shí)例說明Mathematica軟件求解二元函數(shù)極值。例9,求函數(shù)z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值[8]94。函數(shù)定義和求解偏導(dǎo)數(shù)的程序f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^3-9*x;D[f[x,y],x] D[f[x,y],y]。得到fx（x,y）=3x2+6x-9,fy（x,y）=-3y2+6y。接著求fx（x,y）=0 與fy（x,y）=0 聯(lián)立的方程組。輸入Solve[{3*x^2+6*x-9==0,-3*y^2+6*y==0},{x,y}]運(yùn)算得到結(jié)果(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)。再次利用求導(dǎo)命令對(duì)一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)，可得A=6x+6，B=0,C=-6y+6。分別計(jì)算每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的A、B、C值，如表2。可見函數(shù)有一個(gè)極小值和一個(gè)極大值。為了具體觀察結(jié)果，畫出函數(shù)圖形Plot3D[x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x,{x,-5,5},{y,-5,5}]，如圖9。從圖形可知函數(shù)存在極小值和極大值。

表2 極值計(jì)算

圖9 z=f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的圖形

9 函數(shù)的漸近線

函數(shù)的漸近線[8]46有三種：水平漸近線、垂直漸近線、斜漸近線。若f(x) =A或(x) =A，則直線y=A 是f(x)的水平漸近線。若f(x) =∞或f(x) =∞，則直線x=x0是f(x)的垂直漸近線。如果函數(shù)存在斜漸近線y=ax+b，則，b=(f(x) -ax)。Mathematica 可以給出漸近線的方程并能以圖形方式展現(xiàn)，方便學(xué)生理解。例10，求函數(shù)的漸近線并畫圖。函數(shù)存在x=3的垂直漸近線。輸入f[x_]:=(x+2)^3/(x-3)^2;a=Limit[f[x]/x,x-＞[Infinity]]b=Limit[f[x]-a*x,x-＞[Infinity]]g[x_]:=a*x+b;Plot[{f[x],g[x]},{x,-30,30}]得到函數(shù)的斜漸近線y=x+12,函數(shù)和斜漸近線的圖形如圖10。

圖10 函數(shù)f(x)=(x+2)3/(x-3)2的斜漸近線

10 多元函數(shù)的條件極值

求函數(shù)f(x,y,z)在條件g(x,y,z)=0 下的極值點(diǎn)步驟如下：（1）用常數(shù)λ（稱為拉格朗日乘數(shù)）乘以g(x,y,z)并與f(x,y,z)相加，得到函數(shù)F(x,y,z)（稱為拉格朗日函數(shù)）F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)。（2）分別求F(x,y,z)對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，并解下列方程組：

得到（x0,y0,z0,λ0）,其中點(diǎn)（x0,y0,z0）稱為條件駐點(diǎn)。（3）根據(jù)情況判別（x0,y0,z0）是否為條件極值點(diǎn)。例11，求表面積為a2而體積最大的長方體體積。設(shè)長方體的三條邊為x、y、z，問題變?yōu)樵跅l件2xy+2yz+2xz-a2=0下，求函數(shù)V=xyz（x＞0,y＞0,z＞0）的最大值。作拉格朗日函數(shù)F(x,y,z)=xyz+λ（2xy+2yz+2xz-a2）。分別求其對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)并解下列方程組：

輸入Solve[{y*z+2*[Lambda]*(y+z) ==0, x*z+2*[Lambda]*(x+z)==0,x*y+2*[Lambda]*(y+x)==0,2*x*y+2*y*z+2*z*x-a^2==0},{x,y,z,[Lambda]}]，運(yùn)行得到x=y=z=a/。由問題本身可知最大值存在。所以表面積a2的長方體中，邊長為a的正方體的體積最大，最大體積a3/36。

11 矩陣運(yùn)算

線性代數(shù)是醫(yī)用高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它是生活中線性模型問題研究與求解的重要工具，有著廣泛的應(yīng)用。矩陣的計(jì)算比較煩鎖，特別是求矩陣的乘法和矩陣的逆。如果運(yùn)用矩陣的原理來進(jìn)行筆算，需要花費(fèi)大量的時(shí)間。利用Mathematica 強(qiáng)大的計(jì)算功能可以減少學(xué)生在計(jì)算過程中產(chǎn)生的浮躁情緒，以便將大量的時(shí)間用在模型的建立和思考上。例12，已知求AB,BA,ABT及矩陣B的逆。

輸入

A={{1,1,1},{1,1,-1},{1,-1,1}};B={{1,2,3},{-1,-2,4},{0,5,1}};M=Transpose[B];MatrixForm[A.B]MatrixForm[B.A]MatrixForm[A.M]MatrixForm[Inverse[B]]得到結(jié)果

從結(jié)果看出矩陣乘積一般不滿足交換律AB≠BA。

12 微分方程求解

科學(xué)研究中經(jīng)常需要根據(jù)實(shí)際問題建立變量與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系式。這樣就會(huì)建立含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。例13，求微分方程y'=y/x+x2滿足初始條件y(1)=1 的解。輸入s=DSolve[{y'[x]==y[x]/x+x^2,y[1]==1},y[x],x]Plot[y[x]/.s,{x,-6,6}]得到關(guān)系式y(tǒng)=1/2(x+x3)和函數(shù)在（-6,6）范圍內(nèi)的圖11。一些復(fù)雜的方程也可以采用NDSolve[]得到微分方程的數(shù)值解。

圖11 y=1/2(x+x3)的圖形

13 二重積分的計(jì)算

圖12 y=x2與x=y2圍成的圖形

輸入Solve[{y==x^2,y==Sqrt[x]},{x,y}]得到兩條曲線的交點(diǎn)（0,0），（1,1）。將D 視為x 型區(qū)域，先積y 后積x。用平行于y軸的直線從下到上穿過區(qū)域D，首先穿過曲線y=x2，其次穿過曲線y=。輸入二重積分表達(dá)式Integrate[x^2+y^2,{x,0,1},{y,x^2,Sqrt[x]}]，運(yùn)行得到結(jié)果6/35。

14 結(jié)論

上面一些實(shí)例說明Mathematica 軟件可以快速解決醫(yī)用高等數(shù)學(xué)中的一些問題。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入Mathematica 軟件進(jìn)行計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，能夠充分利用軟件的計(jì)算和繪圖功能，加強(qiáng)教學(xué)的簡便性和直觀性，使得學(xué)生對(duì)抽象的概念能夠很好地理解，有助于提高課堂教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生利用軟件探究問題的能力。教學(xué)實(shí)踐表明在醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中充分利用輔助軟件是一種有效的教學(xué)方法，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氛圍，提高教學(xué)質(zhì)量。