福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 林景芳 林志敏

題目(2022年全國(guó)甲卷·理20)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3．(1)求C的方程;(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程．

分析：(1)y2=4x,過(guò)程略;(2)求α-β的最大值,關(guān)鍵是解決傾斜角β,α的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為尋找tanα,tanβ即kMN,kAB的關(guān)系.

本題涉及的是直線與拋物線問(wèn)題,計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,如果把曲線改為橢圓或雙曲線,計(jì)算量將大大增加,為了更好解決這類問(wèn)題并加以推廣,本文著重介紹曲線系的解題方法.

評(píng)注：本題涉及的是蝴蝶型斜率比值為定值與直線過(guò)定點(diǎn)之間的關(guān)系,我們把問(wèn)題一般化,便于探索其內(nèi)在聯(lián)系.

圖1

圖2

圖3

以上從曲線系的解題視角證明并推廣了一類斜率比值及定點(diǎn)問(wèn)題,它也是解析幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題和常見(jiàn)模型,挖掘其內(nèi)在聯(lián)系并加以推廣,具有重要意義.實(shí)際上,本文得到的三個(gè)結(jié)論,也是蝴蝶定理和坎迪定理在解幾中的一個(gè)具體應(yīng)用.