陳云壯， 賴?yán)诮?， 李朋志， 朱利民

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，上海 松江 201620；2.格魯斯特大學(xué) 計(jì)算與工程學(xué)院，英國(guó) 切爾滕納姆 GL50 2RH；3.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；4.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

1 引 言

微/納米定位技術(shù)在納米壓印光刻、激光通信、生物細(xì)胞注射和快速反射鏡等精密工程領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用［1-3］。隨著操作對(duì)象尺寸微型化、模型復(fù)雜化，使得對(duì)大行程多自由度微定位技術(shù)的需求越來(lái)越大。目前，微定位技術(shù)中經(jīng)常使用的定位平臺(tái)分為串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)。串聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)單自由度平臺(tái)相互串聯(lián)，使得誤差被累積和放大，降低了運(yùn)動(dòng)精度，并且較大的慣性力不適用于高速定位場(chǎng)合［4］。并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過(guò)并行的支鏈連接動(dòng)/靜平臺(tái)，共同運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿，因其具有高負(fù)載、大剛度、低慣性和無(wú)累積誤差等優(yōu)點(diǎn)廣泛用于大行程多自由度微定位平臺(tái)的設(shè)計(jì)中［5］。此外，柔性機(jī)構(gòu)通過(guò)柔性單元的彈性變形來(lái)傳遞力和運(yùn)動(dòng)，具有無(wú)摩擦、無(wú)裝配誤差和易加工等優(yōu)點(diǎn)被廣泛作為精密微位移傳動(dòng)機(jī)構(gòu)［6］。當(dāng)前，在基于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器和并聯(lián)柔性機(jī)構(gòu)的多自由度納米定位平臺(tái)方面已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究［7-8］。然而，由于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器行程較小使得該類(lèi)平臺(tái)只能應(yīng)用于小行程的定位場(chǎng)合。近期，音圈電機(jī)因其行程范圍大、線性特性好、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)迅速成為大行程微定位平臺(tái)的熱門(mén)選擇［9］。因此，基于音圈電機(jī)等電磁驅(qū)動(dòng)的多自由度柔性微定位平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制研究受到越來(lái)越多的關(guān)注。

常見(jiàn)的多自由度微定位平臺(tái)有平面三自由度（3-DOF）XYθZ平臺(tái)［10］、空間平動(dòng)XYZ平臺(tái)［11-12］、空間3-DOFθXθYZ平臺(tái)［13］和空間6-DOF平臺(tái)［14］。其中以平面XYθZ平臺(tái)最為廣泛。例如：Yang［15］利用分布柔性的葉片柔性單元組成PPR運(yùn)動(dòng)鏈，設(shè)計(jì)了新型平面三自由度并聯(lián)柔性機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了±3 mm×±3 mm×±3°大范圍平面運(yùn)動(dòng)。Awtar［12］則利用12組相同的平行四邊形柔性模塊進(jìn)行正交組合實(shí)現(xiàn)10 mm×10 mm×10 mm大運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的XYZ運(yùn)動(dòng)。但是針對(duì)空間偏轉(zhuǎn)的3-DOF和6-DOF大行程微定位平臺(tái)還鮮有報(bào)道。為滿足激光通信和微操作機(jī)器人等領(lǐng)域的應(yīng)用需求，空間3/6-DOF大行程納米定位平臺(tái)的研究也日益增多。近期，Kang［16］等利用音圈電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)由“蟹腳”柔性鉸鏈組成的柔性機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)六自由度納米定位，但由于采用了直驅(qū)方式，導(dǎo)致末端平臺(tái)行程較小。Yang［17］等利用兩組板簧彎曲葉片組成六個(gè)相似的音圈電機(jī)致動(dòng)臂，設(shè)計(jì)了大范圍高精度快速運(yùn)行的六軸納米定位器，但該平臺(tái)未采用完全對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，仍具有較大的耦合。

為解決上述問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種全簧片式的大行程并聯(lián)柔性微定位平臺(tái)。以實(shí)現(xiàn)3-DOFθXθYZ運(yùn)動(dòng)為例，該平臺(tái)由四組相同的垂直致動(dòng)臂并聯(lián)組成，致動(dòng)臂通過(guò)大行程簧片型柔性球鉸與動(dòng)平臺(tái)相連使其能夠?qū)崿F(xiàn)三自由度空間解耦運(yùn)動(dòng)。首先，根據(jù)幾何原理推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并作為控制回路的解耦矩陣。接著，分析了機(jī)構(gòu)輸入剛度并通過(guò)柔度矩陣法建立柔性球鉸的柔度模型；然后，進(jìn)行了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型辨識(shí)，并基于辨識(shí)結(jié)果設(shè)計(jì)了含相位超前的PI反饋控制器同時(shí)結(jié)合滑模前饋控制消除相位誤差進(jìn)一步提高運(yùn)動(dòng)精度；最后，搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用所設(shè)計(jì)的控制器通過(guò)單軸跟蹤三角波軌跡和三軸聯(lián)動(dòng)跟蹤圓柱形螺旋線軌跡來(lái)驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)和所設(shè)計(jì)控制器的軌跡跟蹤性能。

2 柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1為音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的多自由度大行程柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)由四組并聯(lián)的全簧片致動(dòng)臂、動(dòng)平臺(tái)（末端執(zhí)行器）和靜平臺(tái)（基座）組成。致動(dòng)臂包括平行四邊形導(dǎo)向機(jī)構(gòu)和柔性球鉸，同時(shí)音圈電機(jī)被封裝在平行四邊形導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中以形成一個(gè)緊湊型設(shè)計(jì)，通過(guò)平行四邊形機(jī)構(gòu)中的兩組大行程簧片彎曲變形傳遞力和運(yùn)動(dòng)。

圖1 多自由度大行程柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Multi-DOF long-stroke flexure parallel mechanism

柔性球鉸的結(jié)構(gòu)和變形原理如圖2所示，同樣利用分布柔度簧片的彎曲變形代替?zhèn)鹘y(tǒng)切口型鉸鏈實(shí)現(xiàn)繞著X，Y和Z三軸大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)，克服了傳統(tǒng)切口柔性鉸鏈運(yùn)動(dòng)范圍小，應(yīng)力集中問(wèn)題，同時(shí)提高了機(jī)構(gòu)的剛度和穩(wěn)定性。

圖2 簧片型柔性球鉸變形原理圖Fig.2 Structural diagram of leaf-spring flexure spherical hinge

可見(jiàn)，本文所設(shè)計(jì)的柔性機(jī)構(gòu)均采用分布柔度簧片，依靠其較大的變形，通過(guò)合理的排布，最終實(shí)現(xiàn)大行程多自由度的納米定位。機(jī)構(gòu)采用音圈電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)球鉸而沒(méi)有引入常見(jiàn)的位移放大機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)緊湊簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)鏈長(zhǎng)度短，引入誤差的參數(shù)少和精度高等優(yōu)點(diǎn)。封裝音圈電機(jī)的四組致動(dòng)臂完全對(duì)稱(chēng)分布在動(dòng)平臺(tái)四周，并以差動(dòng)形式工作，使得動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)Z方向的精密垂直運(yùn)動(dòng)和繞著X，Y軸精密偏轉(zhuǎn)解耦運(yùn)動(dòng)。此外，如圖1中的透明部分所示，在平臺(tái)內(nèi)部加入相同四組水平對(duì)稱(chēng)排布的致動(dòng)臂，還可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)六自由度精密定位運(yùn)動(dòng)。

3 理論建模

3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖3為大行程柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。其中，OXY坐標(biāo)系為全局坐標(biāo)系，位于機(jī)構(gòu)初始位姿動(dòng)平臺(tái)的幾何中心。音圈電機(jī)及導(dǎo)向機(jī)構(gòu)被簡(jiǎn)化為移動(dòng)副，di（i=1~4）分別表示四個(gè)音圈電機(jī)的輸出位移。不考慮音圈電機(jī)在往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中柔性球鉸彈性變形引起X，Y方向的微小位移，即在動(dòng)平臺(tái)上僅有Z方向上的輸入位移量。根據(jù)幾何關(guān)系可以得到：

圖3 微定位平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.3 Kinematic model of micro-positioning stage

可見(jiàn)，3-DOF柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)系統(tǒng)為4輸入3輸出系統(tǒng)，存在輸入冗余，因此需要加入約束條件才能實(shí)現(xiàn)電機(jī)力的均勻分配，防止局部過(guò)熱等問(wèn)題。本文采用均勻性分配原則［18］，即豎直方向?qū)蔷€上的兩組電機(jī)產(chǎn)生的合推力相等，實(shí)現(xiàn)電流的平均分配，即：

其中，kin為機(jī)構(gòu)單個(gè)致動(dòng)臂的輸入剛度。由于機(jī)構(gòu)是完全對(duì)稱(chēng)的，所以各致動(dòng)臂的輸入剛度都相等。根據(jù)輸入力的約束進(jìn)而得到音圈電機(jī)位移量的約束條件為：

因此，該機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)空間與末端位姿的映射關(guān)系為：

3.2 輸入剛度建模

音圈電機(jī)在致動(dòng)臂輸入端處施加推力FH，由于簧片尺寸相同，所以推力均勻分配到平行四邊形機(jī)構(gòu)中的兩個(gè)簧片上。單簧片受力分析如圖4所示。靜力平衡時(shí)，由于彎矩M的反作用導(dǎo)致末端截面轉(zhuǎn)角θ=0，因此可以得到：

圖4 單柔性簧片受力分析Fig.4 Force analysis of clarinet

其中，截面慣性系數(shù)I=wt3/12。因此，音圈電機(jī)推力FH和彎矩M產(chǎn)生的撓度分別為：

結(jié)合式（5）和式（6）可以得到單個(gè)簧片在末端處最大位移量為：

由胡克定律可知，機(jī)構(gòu)的剛度K為：

平行四邊形導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中柔性簧片的尺寸為l=70 mm，w=18 mm和t=1 mm，利用公式（8）得到機(jī)構(gòu)單個(gè)致動(dòng)臂的輸入剛度為7.5 N/mm。在音圈電機(jī)24 N的額定推力作用下，本文所設(shè)計(jì)的微定位平臺(tái)理論上能夠?qū)崿F(xiàn)3.20 mm×21.33 mrad×21.33 mrad的運(yùn)動(dòng)范圍，同時(shí)還可以計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)繞X/Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為676.06 N·m/rad。

3.3 柔性球鉸柔度建模

動(dòng)平臺(tái)在音圈電機(jī)差分驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生繞X/Y軸偏轉(zhuǎn)，并利用柔性球鉸來(lái)解耦各自由度方向上的運(yùn)動(dòng)。因此，柔性球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度需要進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，不能大于動(dòng)平臺(tái)在該方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度［19］，否則會(huì)造成音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)困難，行程變小且解耦效果不佳，同時(shí)也不能太小，否則會(huì)導(dǎo)致整個(gè)機(jī)構(gòu)固有頻率下降，承載能力降低［20］。本節(jié)基于柔度矩陣方法對(duì)柔性球鉸進(jìn)行了建模與設(shè)計(jì)。

簧片型柔性球鉸結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示，該球鉸由7個(gè)柔性簧片組成。假設(shè)每個(gè)柔性簧片都有6個(gè)自由度，其變形量δ與外載荷F的關(guān)系為δ=CF。C為單個(gè)簧片的柔度矩陣［21］。為了得到球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，將每個(gè)簧片的柔度統(tǒng)一等效到坐標(biāo)系OA，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

圖5 簧片型柔性球鉸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Structural diagram of leaf-spring flexure spherical hinge

其中：RAi和riA分別為簧片局部坐標(biāo)系相對(duì)OA坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和位置矩陣，S為位置矩陣的反對(duì)稱(chēng)算子。由球鉸彈簧模型圖5（b）可見(jiàn)，簧片2和3并聯(lián)，4和5并聯(lián)，整體（2~5）與6并聯(lián)，最后分別與1，7串聯(lián)。根據(jù)串并聯(lián)結(jié)構(gòu)柔性模塊的建模方法，整個(gè)球鉸的柔度為：

通過(guò)反復(fù)調(diào)整簧片結(jié)構(gòu)尺寸，并結(jié)合轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的解析和仿真結(jié)果，最終確定柔性球鉸尺寸參數(shù)如表1所示，計(jì)算相應(yīng)的柔度列舉在表2中?？梢?jiàn)，球鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為0.94 N·m/rad，小于動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，能夠在滿足音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)解耦的設(shè)計(jì)要求。

表1 球鉸尺寸參數(shù)Tab.1 Dimension parameters of spherical hinge

表2 簧片型球鉸的柔度Tab.2 Compliance of leaf-spring spherical hinge

4 有限元驗(yàn)證

本節(jié)通過(guò)Ansys Workbench進(jìn)行靜力學(xué)分析來(lái)驗(yàn)證輸入剛度計(jì)算的準(zhǔn)確性。材料設(shè)置為鋁合金，平行四邊形導(dǎo)向機(jī)構(gòu)簧片尺寸為l=70 mm，w=18 mm，t=1 mm，末端平臺(tái)臺(tái)面尺寸為a×b=300×300 （mm2）。如圖6所示，通過(guò)對(duì)平行四邊形導(dǎo)向機(jī)構(gòu)沿Z軸正向施加24 N的載荷，同時(shí)保持其他三個(gè)致動(dòng)臂不受限制，得到沿Z方向變形量為2.90 mm。因此，可得單個(gè)致動(dòng)臂的輸入剛度為8.27 N/mm。解析模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果偏差為9.31%，表明解析模型能夠準(zhǔn)確描述機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)特性。

圖6 輸入剛度分析Fig.6 Input stiffness analysis

5 控制器設(shè)計(jì)

本文所設(shè)計(jì)的3-DOF并聯(lián)柔性微定位平臺(tái)是一個(gè)四輸入三輸出的輸入冗余系統(tǒng)，并且還存在交叉軸耦合等現(xiàn)象致使平臺(tái)的控制過(guò)程較為復(fù)雜。因此，本文通過(guò)在反饋回路中使用逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣解耦該冗余系統(tǒng)，從而將多軸冗余控制轉(zhuǎn)化為三個(gè)單輸入單輸出控制系統(tǒng)。本節(jié)還設(shè)計(jì)了一種相位超前比例積分（Phase Advanced Proportional Integral，PAPI）反饋控制器+滑動(dòng)模態(tài)控制（Sliding Mode Control， SMC）的復(fù)合控制方法，其控制框圖如圖7所示。

圖7 多自由度微定位平臺(tái)復(fù)合控制框圖Fig.7 Composite control block diagram of multi-DOF micropositioning stage

5.1 系統(tǒng)辨識(shí)

首先，利用開(kāi)環(huán)頻域響應(yīng)辨識(shí)系統(tǒng)在三自由度方向上的動(dòng)力學(xué)模型。選擇電壓幅值0.005 V，0.005 V和0.5 V的Chirp信號(hào)分別作為辨識(shí)θX，θY和Z軸的輸入信號(hào)，頻率從0.1 Hz線性增加到300 Hz。借助MATLAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱ident對(duì)動(dòng)平臺(tái)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。以θY為例，辨識(shí)得到四階傳遞函數(shù)如式（12）所示：

同時(shí)，還將動(dòng)平臺(tái)的Z向位移限制在0 mm，±0.5 mm，±2 mm五個(gè)不同的位置進(jìn)行了系統(tǒng)辨識(shí)。圖8顯示了三個(gè)軸在不同工作點(diǎn)處動(dòng)力學(xué)模型的主諧振頻率基本一致。此外，θY軸和Z軸辨識(shí)傳遞函數(shù)模型G（s）與實(shí)際測(cè)量頻率響應(yīng)吻合度很高，僅θX軸在180 rad/s的高階諧振附近存在差別，由于高階諧振相比于主諧振對(duì)系統(tǒng)性能影響相對(duì)較小，因此在控制器設(shè)計(jì)中可以被合理的忽略。

圖8 測(cè)量獲得的頻率響應(yīng)與辨識(shí)結(jié)果Fig.8 Measured frequency response and identification results

5.2 含相位超前的PI控制器

圖9中藍(lán)色曲線為θY軸運(yùn)動(dòng)方向未校正系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖，由于系統(tǒng)的低阻尼諧振特性，該系統(tǒng)在幅值穿越頻率附近的相位急劇下降（彩圖見(jiàn)期刊電子版）。單純使用傳統(tǒng)PID控制器難以抵消相位快速下降對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性帶來(lái)的影響［22］。因此，為了使動(dòng)平臺(tái)具有更好的軌跡跟蹤性能，設(shè)計(jì)相位超前校正控制器來(lái)提高系統(tǒng)的相位裕量，使得動(dòng)平臺(tái)滿足穩(wěn)定性的要求。這里僅以θY軸為例，θX和Z軸以相同的方法得到。

圖9 開(kāi)環(huán)增益調(diào)整前后未校正系統(tǒng)的幅值和相位裕量Fig.9 Amplitude and phase margin of uncorrected system before and after open-loop gain adjustment

首先，根據(jù)校正前系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益和校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度偏差要求［22］，暫定控制器增益=2。增益調(diào)整前后未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖9所示，可見(jiàn)增益調(diào)整后系統(tǒng)當(dāng)前的相位裕量為5.52°。設(shè)定期望的相位裕量γθY=60°，因此超前校正控制器的相位超前角?θY為：

因此，可得增益為-10lg (1)對(duì)應(yīng)的校正后系統(tǒng)幅值穿越頻率為629.4 rad/s。求得轉(zhuǎn)角頻率對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)為：

因此，得到θY軸方向的相位超前控制器為：

為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，在相位超前環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)加上增加了PI控制器。在積分環(huán)節(jié)中選擇時(shí)間常數(shù)T=0.02，同時(shí)調(diào)整PI控制器相應(yīng)的增益cθY為0.63，以減少積分環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)相位裕量的影響［23］。最終得到含相位超前環(huán)節(jié)的PI反饋控制器如式（17）所示：

圖10顯示了加入含相位超前環(huán)節(jié)PI控制器后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖?？梢?jiàn)，校正后開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅值和相位裕量分別大于6 dB和60°，因此能夠滿足該多自由度并聯(lián)微定位平臺(tái)的穩(wěn)定性要求。

圖10 加入含相位超前PI控制器后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)伯德圖Fig.10 Open loop bode diagram of the system after adding PI controller with phase advanced

圖11 SMC控制框圖Fig.11 SMC control block diagram

5.3 滑?？刂破?/h3>

滑?？刂瓶梢愿鶕?jù)動(dòng)態(tài)條件改變控制對(duì)象的控制狀態(tài)，同時(shí)具有快速響應(yīng)、對(duì)控制對(duì)象參數(shù)變化及干擾條件不靈敏等優(yōu)點(diǎn)，因此，在PAPI控制的基礎(chǔ)上引入了SMC前饋控制，可以有效提高平臺(tái)的響應(yīng)速度和精度。SMC控制框圖如11所示，其應(yīng)用的關(guān)鍵是選擇滑模面（S）并建立穩(wěn)定的設(shè)計(jì)控制律。本節(jié)設(shè)計(jì)的是一個(gè)二階滑模面，并以冪級(jí)數(shù)的形式設(shè)計(jì)了控制律如式（18）：

其中：K1和K2為滑動(dòng)面參數(shù)，決定于系統(tǒng)的剛度和阻尼。K1的增加將有效提高系統(tǒng)的控制剛度和響應(yīng)速度，調(diào)節(jié)K2可以改變系統(tǒng)的阻尼。K3和K4為控制律參數(shù)，用于微調(diào)系統(tǒng)。當(dāng)達(dá)到可接受的動(dòng)態(tài)性能時(shí)，調(diào)整K3和K4可以減少系統(tǒng)的跟蹤誤差。本文滑?？刂破髦械膮?shù)K1，K2，K3和K4分別設(shè)置為15，1，0.15和0.15。

6 系統(tǒng)搭建與軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

6.1 微定位平臺(tái)系統(tǒng)搭建

首先，搭建了如圖12所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)由柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)、半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)、以及位移測(cè)量與信號(hào)采集系統(tǒng)組成。微定位平臺(tái)選用四個(gè)音圈電機(jī)（VCAR0070-0419-00A）作為機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生輸入位移。Simulink中的半實(shí)物實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)控制2塊數(shù)據(jù)采集卡（PCI-6221）的四個(gè)模擬輸出端口輸出電壓（-10~10 V），經(jīng)過(guò)四個(gè)線性放大器（TA115）后線性轉(zhuǎn)換為音圈電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流（-2~+2 A），輸入到音圈電機(jī)。位移測(cè)量系統(tǒng)采用激光位移傳感器（HL-G103-S-J），分辨率為0.5 μm，測(cè)量范圍為±4 mm對(duì)應(yīng)（0~10 V），由數(shù)據(jù)采集卡的模擬輸入進(jìn)行采集實(shí)現(xiàn)閉環(huán)反饋。

圖12 微定位平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.12 Experimental system of micro-positioning stage

6.2 開(kāi)環(huán)行程與耦合測(cè)試

給定每個(gè)音圈電機(jī)電流讓其產(chǎn)生24 N額定的持續(xù)推力，在差分驅(qū)動(dòng)方式下進(jìn)行開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到微定位平臺(tái)的最大行程為3.23 mm×21.50 mrad×20.30 mrad，如圖13所示。實(shí)驗(yàn)與理論計(jì)算結(jié)果誤差為0.9%×0.79%×4.8%，表明了建模的準(zhǔn)確性。此外，還通過(guò)開(kāi)環(huán)測(cè)試實(shí)驗(yàn)得到了平臺(tái)的軸間耦合誤差，如圖14所示，以θY為例，θY軸在10 mrad范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在Z軸和θX軸上分別產(chǎn)生0.106 mm和0.853 mrad的最大耦合誤差，可見(jiàn)開(kāi)環(huán)控制下，產(chǎn)生的θX軸耦合誤差約占θY軸運(yùn)動(dòng)行程范圍的8.53%。

圖13 最大行程Fig.13 Maximum stroke

圖14 軸間耦合誤差Fig.14 Cross-axis coupling errors

6.3 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)單軸驅(qū)動(dòng)跟蹤三角波軌跡、三軸聯(lián)合驅(qū)動(dòng)跟蹤圓柱形螺旋線軌跡來(lái)研究該平臺(tái)的軌跡跟蹤性能。首先，在θX，θY和Z三個(gè)自由度方向上分別使用PID，PAPI和PAPI+SMC三種控制方法對(duì)三角波信號(hào)進(jìn)行軌跡跟蹤，對(duì)比結(jié)果如圖15所示。軌跡跟蹤的平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error，MAE）和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）如表3所示?；贛AE結(jié)果，與傳統(tǒng)PID相比，所提出的PAPI+SMC控制使得θX，θY和Z軸跟蹤性能分別提高了96.36%，98.25%和96.5%。

表3 微定位平臺(tái)單軸軌跡跟蹤性能（三角波軌跡）Tab.3 Single-axis trajectory tracking performance of micro-positioning stage（Triangular wave track）

圖15 三角波軌跡跟蹤結(jié)果Fig.15 Triangular wave track tracking results

最后，通過(guò)三軸聯(lián)合驅(qū)動(dòng)研究微定位平臺(tái)對(duì)空間圓柱螺旋線軌跡的跟蹤性能。在θX，θY和Z軸上，圓柱螺旋線軌跡范圍分別是±5 mrad，±5 mrad，±1 mm，跟蹤響應(yīng)結(jié)果和相應(yīng)的跟蹤誤差如圖16所示。

圖16 空間圓柱螺旋線軌跡跟蹤結(jié)果Fig.16 Space cylindrical spiral track tracking results

同時(shí)還分別計(jì)算了軌跡跟蹤MAE和RMSE，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯?，與PAPI相比，PAPI+SMC顯示出更好的跟蹤效果，并且基于MAE結(jié)果，PAPI+SMC復(fù)合控制使得θX，θY和Z軸跟蹤性能分別提高了78.6%，79.0%和0.2%。其中，對(duì)Z軸跟蹤性能沒(méi)有提高是因?yàn)閆軸跟蹤軌跡是直線，達(dá)到穩(wěn)態(tài)后幾乎沒(méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。通過(guò)軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)可以得出結(jié)論，在跟蹤三角波軌跡時(shí)，與經(jīng)典的PID控制相比，PAPI和PAPI+SMC顯著提高了跟蹤性能，并且加入SMC后能夠有效消除PAPI控制產(chǎn)生的相位誤差，進(jìn)一步提高了跟蹤精度。在跟蹤圓柱螺旋線軌跡時(shí)，所提出的機(jī)構(gòu)能夠以高精度和較小誤差跟蹤給定軌跡。

表4 微定位平臺(tái)三軸空間軌跡跟蹤性能（圓柱螺旋線軌跡）Tab.4 Three-axis spatial trajectory tracking performance of micro-positioning stage（Cylindrical spiral track)

7 結(jié) 論

本文根據(jù)精密工程領(lǐng)域中微定位平臺(tái)大行程、多自由度的需求，提出了一種音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的全簧片式大行程多自由度空間柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)。首先，根據(jù)幾何原理推導(dǎo)了動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并作為控制回路的解耦矩陣。接著，建立了機(jī)構(gòu)輸入剛度模型并仿真驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。其次，基于柔度矩陣法對(duì)柔性球鉸進(jìn)行了柔度建模和設(shè)計(jì)，從而確定了微定位平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)。然后，對(duì)三自由度方向進(jìn)行了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型辨識(shí)，基于辨識(shí)模型設(shè)計(jì)了PAPI反饋控制器并結(jié)合SMC前饋構(gòu)成復(fù)合控制。最后，搭建了音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)的微定位平臺(tái)系統(tǒng)驗(yàn)證其軌跡跟蹤性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：與PID控制相比，PAPI+SMC復(fù)合控制使得跟蹤性能提高了95%以上，同時(shí)有效消除了單純PAPI控制產(chǎn)生的相位滯后。并且，所提出的多自由度柔性并聯(lián)微定位平臺(tái)具有行程大、穩(wěn)定性好和精度高等特點(diǎn)，能夠以高精度和小誤差跟蹤空間給定軌跡，可以用于許多需要空間大行程高精度的應(yīng)用場(chǎng)合。