王 波，王 浩，杜曉昕，鄭曉東，周 薇

（齊齊哈爾大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

0 引言

當(dāng)今連續(xù)和離散的優(yōu)化問(wèn)題日益復(fù)雜，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法無(wú)法為這類問(wèn)題提供最優(yōu)解。而元啟發(fā)式算法在面臨這類復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，體現(xiàn)出了高速、成本低、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。因此近年來(lái)涌現(xiàn)出了許多新興的元啟發(fā)式優(yōu)化算法，如：遺傳算法［1］、模擬退火算法［2］、人工魚(yú)群算法［3］、布谷鳥(niǎo)搜索算法［4］、鯨魚(yú)優(yōu)化算法［5］等，為解決具有高維、非線性、多極值的復(fù)雜全局優(yōu)化問(wèn)題提供了有效的解決方案。蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm，DA）［6］作為一種新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法，一經(jīng)提出就受到了研究人員的廣泛關(guān)注。蜻蜓算法模擬了蜻蜓動(dòng)態(tài)飛行和靜態(tài)捕食的場(chǎng)景，分別對(duì)應(yīng)元啟發(fā)式算法的勘探和開(kāi)發(fā)階段，具有算法簡(jiǎn)單、參數(shù)少和收斂快等優(yōu)點(diǎn)。因此，蜻蜓算法被廣泛應(yīng)用于支持向量機(jī)［7］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8］、極限學(xué)習(xí)機(jī)［9］、特征選擇［10］、工程設(shè)計(jì)［11］、圖像分割［12］等優(yōu)化問(wèn)題并取得了良好效果。

蜻蜓算法雖然有較高的全局勘探能力和較高的收斂速度，但是后期的靜態(tài)捕食機(jī)制導(dǎo)致它的收斂精度較低，易在迭代后期陷入局部最優(yōu)。因此為了改進(jìn)蜻蜓算法收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)的缺陷，Scree Ranjini 等［13］提出一種新穎的基于記憶的混合蜻蜓算法（Memory based Hybrid Dragonfly Algorithm，MHDA），在DA 中引入了粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO），利用每個(gè)粒子歷史最優(yōu)的機(jī)制引導(dǎo)蜻蜓的尋優(yōu)過(guò)程，充分利用了DA 的全局勘探能力和粒子群的局部開(kāi)發(fā)能力，極大地提升了算法的尋優(yōu)能力。

Sayed 等［14］提出一種混沌蜻蜓算法（Chaotic Dragonfly Algorithm，CDA），將混沌優(yōu)化算法（Chaos Optimization Algorithm，COA）融入DA 中用于調(diào)控蜻蜓的五種群體行為，增加了蜻蜓算法跳出局部最優(yōu)的可能，提升了收斂精度，最后將CDA 應(yīng)用于數(shù)據(jù)的特征提取并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了混沌蜻蜓算法的優(yōu)越性。Singh 等［15］針對(duì)蜻蜓算法在復(fù)雜的工程優(yōu)化問(wèn)題上存在的收斂精度低等缺點(diǎn)，對(duì)蜻蜓算法的權(quán)重因子和萊維（Levy）飛行進(jìn)行了改進(jìn)，并成功地將改進(jìn)的蜻蜓算法應(yīng)用于確定配電網(wǎng)絡(luò)中的最佳能源組合問(wèn)題。

為了平衡蜻蜓算法的開(kāi)發(fā)和勘探能力，Cui 等［16］提出了動(dòng)態(tài)集群因子來(lái)平衡全局和局部能力，并在位置更新機(jī)制中引入量子局部最優(yōu)和全局最優(yōu)來(lái)提升算法的開(kāi)發(fā)能力。為了解決蜻蜓算法容易陷入局部最優(yōu)以及收斂精度低的不足，張水平等［17］提出了一種基于隨機(jī)替換和混合變異的蜻蜓算法，通過(guò)隨機(jī)替換來(lái)提高初始解的質(zhì)量，利用混合變異來(lái)跳出局部最優(yōu)，最終提高了算法精度。

綜上所述，蜻蜓算法存在收斂精度低、易陷入局部最優(yōu)、收斂慢等缺陷，主要原因在于，DA 對(duì)五種行為的參數(shù)高度敏感以及在Levy 飛行時(shí)未采取歷史經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)。為了解決上述問(wèn)題，本文提出一種基于亞群和差分進(jìn)化的混合蜻蜓算法（Hybrid Dragonfly Algorithm based on Subpopulation and Differential Evolution，HDASDE）。本文的主要工作如下：

1）使用混沌映射來(lái)生成初始種群來(lái)增加種群的多樣性。

2）對(duì)原始的蜻蜓算法和差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法進(jìn)行改進(jìn)以加強(qiáng)它們的勘探和開(kāi)發(fā)能力。

3）使用亞群策略將種群劃分為兩個(gè)亞群：一個(gè)亞群使用改進(jìn)的DA 提升算法的全局勘探能力；另一個(gè)亞群使用改進(jìn)的DE 算法來(lái)提升算法局部開(kāi)發(fā)能力。

4）提出亞群動(dòng)態(tài)變化機(jī)制，使HDASDE 在迭代的過(guò)程中逐漸由全局勘探轉(zhuǎn)變?yōu)榫植块_(kāi)發(fā)。

1 相關(guān)工作

本章主要介紹了蜻蜓算法（DA）和差分進(jìn)化（DE）算法的基本原理并對(duì)它們的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析。

1.1 蜻蜓算法

蜻蜓算法（DA）［6］受到了理想狀態(tài)下蜻蜓的狩獵和遷徙的啟發(fā)。蜻蜓的狩獵行為是指一小群蜻蜓在小范圍內(nèi)尋找食物源，對(duì)應(yīng)仿生計(jì)算算法的開(kāi)發(fā)階段；蜻蜓的遷徙行為是指大量蜻蜓在一個(gè)方向上長(zhǎng)時(shí)間大跨度地飛行，對(duì)應(yīng)仿生計(jì)算算法的探索階段。蜻蜓的行為遵循分離、對(duì)齊、聚集、覓食和避敵的原則，因此蜻蜓群體中的個(gè)體位置更新主要依靠五個(gè)主要的因素。

1）分離（避免碰撞）的計(jì)算如式（1）所示：

其中：X表示當(dāng)前個(gè)體位置；Xj表示第j個(gè)相鄰個(gè)體的位置；N是相鄰個(gè)體的數(shù)量。

2）對(duì)齊（列隊(duì)飛行）的計(jì)算如式（2）所示：

其中，Vj表示第j個(gè)相鄰個(gè)體的飛行速度。

3）聚集行為的計(jì)算如式（3）所示：

4）覓食行為的計(jì)算如式（4）所示：

其中，X+表示食物源。

5）躲避天敵的計(jì)算如式（5）所示：

其中，X-表示敵人位置。

蜻蜓算法認(rèn)為蜻蜓的行為是這五種因素的結(jié)合，為了模擬蜻蜓的運(yùn)動(dòng)，蜻蜓個(gè)體步長(zhǎng)更新如式（6）所示：

其中：s為分離權(quán)重；a為對(duì)齊權(quán)重；c為聚集權(quán)重；f為食物因子；e為天敵因子；w為慣性權(quán)重；t為迭代次數(shù)。

為了提高DA 的全局搜索能力和收斂精度，蜻蜓的位置更新有兩種方式：當(dāng)該個(gè)體周圍存在鄰近個(gè)體時(shí)，采用式（7）進(jìn)行位置更新；否則采用式（8）的Levy 方式進(jìn)行位置更新。

其中：t是當(dāng)前迭代次數(shù)；d是位置向量的維數(shù)。Levy 的計(jì)算如式（9）所示：

其中：r1和r2是［0，1］內(nèi)的d維隨機(jī)數(shù)；β=1.5。σ的計(jì)算如式（10）所示：

飛行控制函數(shù)Γ()的計(jì)算如下所示：

Γ(1+β)=(β)！

1.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化（DE）算法［18］是在遺傳進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上提出的一種用于優(yōu)化非線性和不可微連續(xù)空間函數(shù)的啟發(fā)式優(yōu)化算法，具有開(kāi)發(fā)能力強(qiáng)、收斂快等優(yōu)點(diǎn)。DE 算法主要由變異、交叉、選擇三部分組成。

1）變異。當(dāng)種群進(jìn)化到第t代時(shí)，對(duì)它的父代個(gè)體Xit進(jìn)行變異得到變異個(gè)體，過(guò)程如式（11）所示：

其中：s1、s2、s3 是隨機(jī)從群體中選擇的個(gè)體下標(biāo)；F為縮放因子為差分向量。

2）交叉。通過(guò)交叉操作產(chǎn)生下一代個(gè)體：

其中，CR∈[0，1]為交叉率。

3）選擇。通過(guò)比較適應(yīng)度值的大小來(lái)選擇更合適的個(gè)體，作為下一代的個(gè)體。如式（13）所示：

2 基于亞群和差分進(jìn)化的混合蜻蜓算法

針對(duì)蜻蜓算法易陷入局部收斂，收斂精度低等缺陷，本文提出了一種基于亞群和差分進(jìn)化的蜻蜓算法（HDASDE），從以下五方面對(duì)基本的蜻蜓算法進(jìn)行了優(yōu)化：1）使用混沌映射初始化種群，使初始化種群均勻分布，提高種群的多樣性。2）使用亞群策略混合差分進(jìn)化算法和蜻蜓算法，平衡算法的開(kāi)發(fā)和勘探能力。3）改進(jìn)蜻蜓五種行為的參數(shù)因子和Levy飛行來(lái)均衡蜻蜓算法的勘探和開(kāi)發(fā)能力。4）提出一種混沌躍遷機(jī)制來(lái)幫助蜻蜓算法跳出局部收斂。5）引入反向?qū)W習(xí)策略來(lái)提高算法的尋優(yōu)速度。通過(guò)這些優(yōu)化方式，充分利用了蜻蜓算法的全局勘探能力和差分進(jìn)化算法的開(kāi)發(fā)能力，從整體上提高了算法的優(yōu)化能力。

2.1 種群初始化

大量研究表明，初始化種群的質(zhì)量能影響群智能優(yōu)化算法的收斂速度和收斂精度。但是基本的蜻蜓算法通過(guò)隨機(jī)數(shù)生成初始化種群，會(huì)產(chǎn)生種群分布不均勻、多樣性低等不足。而混沌映射［19］對(duì)生成的隨機(jī)性序列初值敏感，具有遍歷性、隨機(jī)性和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性等優(yōu)點(diǎn)。因此為增強(qiáng)初始種群多樣性，本文使用混沌映射代替隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行種群的初始化。常見(jiàn)的用于種群初始化的混沌映射主要有Logistics 映射［20］和Tent 混沌映射［21］。Logistics 映射作為一種典型的混沌映射，如式（14）所示；Tent 混沌映射又稱為帳篷映射，如式（15）所示。因?yàn)門ent 混沌映射具有更均勻的遍歷性，因此文本使用Tent 混沌映射生成初始種群。

其中，υ∈(0，1)。

2.2 亞群策略

亞群策略［22］是一種常用的算法優(yōu)化策略，它將種群劃分為多個(gè)亞群，每個(gè)亞群執(zhí)行不同區(qū)域的勘探和開(kāi)發(fā)，能極大地增強(qiáng)算法的全局勘探能力。由沒(méi)有免費(fèi)的午餐定理［23］可知，在亞群策略增強(qiáng)了算法的全局勘探能力的同時(shí)，算法也損失了一定的局部開(kāi)發(fā)能力。針對(duì)亞群策略的這一缺陷，本文提出一種動(dòng)態(tài)雙亞群策略，將整個(gè)種群按照適應(yīng)度排序，劃分為兩個(gè)亞群并且借助亞群結(jié)構(gòu)將DA（負(fù)責(zé)全局勘探）與DE 算法（負(fù)責(zé)局部開(kāi)發(fā)）混合，充分利用兩種算法的優(yōu)勢(shì)。動(dòng)態(tài)雙亞群策略如圖1 所示。

圖1 動(dòng)態(tài)雙亞群策略示意圖Fig.1 Schematic diagram of dynamic double subpopulation strategy

從圖1 可以看出，動(dòng)態(tài)雙亞群策略一開(kāi)始就將種群劃分為兩個(gè)亞群，由于DE 亞群主要負(fù)責(zé)局部開(kāi)發(fā)，因此將適應(yīng)度最好的前1/4 劃分為DE 亞群。在迭代的過(guò)程中，算法逐漸由全局勘探轉(zhuǎn)變?yōu)榫植块_(kāi)發(fā)，所以亞群內(nèi)的個(gè)體數(shù)應(yīng)該是動(dòng)態(tài)變化的，亞群的個(gè)體數(shù)量由式（16）和式（17）決定。

其中：nDA向下取整；N為全部個(gè)體數(shù)量；T為最大迭代次數(shù)；t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

2.3 改進(jìn)的蜻蜓算法

由基本的蜻蜓算法（DA）可知，DA 主要模仿了蜻蜓的五種覓食行為，但收斂精度低、易陷入局部收斂，因此在使用亞群策略將算法混合前，對(duì)基本的DA 進(jìn)行了改進(jìn)。

2.3.1 蜻蜓步長(zhǎng)更新改進(jìn)

由基本蜻蜓算法可知，當(dāng)蜻蜓附近沒(méi)有鄰近個(gè)體時(shí)，依賴于式（8）進(jìn)行位置更新。Levy 飛行作為一種隨機(jī)游走，可以很好地模擬動(dòng)物的生活軌跡。如圖2 所示，Levy 飛行有較小的概率進(jìn)行一次大的躍遷（對(duì)應(yīng)動(dòng)物長(zhǎng)途跋涉尋找棲息地的過(guò)程），有較大的概率進(jìn)行小范圍的隨機(jī)行走（對(duì)應(yīng)動(dòng)物在合適的棲息地覓食的行為）。針對(duì)在蜻蜓算法的初期僅使用Levy 飛行進(jìn)行探索會(huì)導(dǎo)致局部開(kāi)發(fā)能力不足，而錯(cuò)失全局最優(yōu)解的缺點(diǎn)，本文提出改進(jìn)的位置更新公式，使用全局最優(yōu)解來(lái)引導(dǎo)蜻蜓進(jìn)行Levy 飛行，如式（18）所示。

圖2 Levy飛行軌跡Fig.2 Levy flight trajectory

其中：α∈[0，1]；b為一個(gè)維度為d的隨機(jī)向量；d是位置向量的維數(shù)；gbest為全局最優(yōu)解。

蜻蜓不斷勘探的過(guò)程會(huì)吸引越來(lái)越多的蜻蜓聚集在一起列隊(duì)飛行或捕食，此時(shí)蜻蜓的步長(zhǎng)更新方式如式（19）所示，它們的步長(zhǎng)主要受到五種行為因子的影響，而基本的參數(shù)因子均由隨機(jī)數(shù)生成，不能很好地調(diào)節(jié)算法的勘探和開(kāi)發(fā)能力。Saremi 等［24］證明使用混沌映射來(lái)取代隨機(jī)數(shù)是提高群智能算法在局部最優(yōu)回避和收斂速度方面的性能的最佳方法之一，因此本文提出了一種基于Tent 混沌的步長(zhǎng)更新方式，如式（20）所示：

其中：γ是由Tent 混沌映射生成的混沌向量；μ為自適應(yīng)權(quán)重因子；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)；a，b∈[0，1]。

2.3.2 混沌躍遷機(jī)制

由基本的蜻蜓算法可知，隨著迭代的過(guò)程，蜻蜓的活動(dòng)逐漸由動(dòng)態(tài)飛行轉(zhuǎn)變?yōu)殪o態(tài)覓食行為，之后便一直保持靜態(tài)覓食行為。由于缺乏跳出食物源的行為，所以會(huì)導(dǎo)致蜻蜓算法全局勘探能力弱，易陷入局部收斂。針對(duì)這一缺陷，本文提出一種混沌躍遷機(jī)制幫助蜻蜓跳出當(dāng)前食物源，尋找新的食物源，如式（21）所示：

其中：Ct=0.2；R和U為兩個(gè)Tent 混沌向量；bl、bu分別為維度的上下限；r為[0，1]的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

其中：λ∈[0，1]；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

2.4 改進(jìn)的差分進(jìn)化算法

反向?qū)W習(xí)策略［25］作為一種學(xué)習(xí)策略，可以提高算法的收斂速度，一維的反向?qū)W習(xí)過(guò)程如圖3 所示。由圖3（a）可知，反向?qū)W習(xí)策略可以使一些適應(yīng)度差的位置迅速接近最優(yōu)位置；由圖3（b）可知，反向?qū)W習(xí)也會(huì)使一些適應(yīng)度好的位置迅速遠(yuǎn)離最優(yōu)位置。為了避免這種情形，本文引用貪婪策略從當(dāng)前位置和方向位置中選擇一個(gè)適應(yīng)度最好的位置保留，如式（23）和式（24）所示。由圖3 可知，通過(guò)反向?qū)W習(xí)能產(chǎn)生更優(yōu)質(zhì)的適應(yīng)度值位置，快速縮小群體維度上下限，有效提升算法的收斂速度。因此本文在DE 算法中引入反向?qū)W習(xí)來(lái)強(qiáng)化算法的局部開(kāi)發(fā)能力，同時(shí)改進(jìn)DE 算法的變異操作，使用全局最優(yōu)的差分向量取代隨機(jī)生成的差分向量，如式（25）所示，來(lái)進(jìn)一步加快全部個(gè)體維度的上下界限變化。

圖3 一維的反向?qū)W習(xí)Fig.3 One-dimensional opposition-based learning

其中：gbest為全局最優(yōu)位置；s1和s2 是隨機(jī)從群體中選擇的個(gè)體下標(biāo)；Xub和Xlb為整個(gè)種群維度的動(dòng)態(tài)的上下界限；F()為應(yīng)適度函數(shù)；X_OPi為反向位置。

2.5 基于亞群和差分進(jìn)化的混合蜻蜓算法

綜上所述，本文改進(jìn)了基本的DA 和DE 算法，并使用亞群策略將改進(jìn)的蜻蜓算法和差分進(jìn)化算法進(jìn)行混合，提出了基于亞群策略和差分進(jìn)化的蜻蜓算法（HDASDE），算法偽代碼如算法1 所示，算法流程如圖4 所示。

圖4 HDASDE流程Fig.4 Flowchart of HDASDE

算法1 HDASDE。

輸入 目標(biāo)函數(shù)f；

輸出X+。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)在intel Core i5-8400 CPU@2.80 GHz，16 GB 內(nèi)存，Matlab2019a 下實(shí)現(xiàn)。為了檢測(cè)算法的有效性，從文獻(xiàn)［6］中挑選13 個(gè)典型的優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中：?jiǎn)畏搴瘮?shù)F1～F6能測(cè)試算法的局部開(kāi)發(fā)能力；多峰函數(shù)F7～F13能測(cè)試算法跳出局部收斂，尋找全局最優(yōu)的勘探能力。13 個(gè)函數(shù)如表1 所示。將本文的HDASDE 與DA［6］、DE［18］、人工蜂群（Artificial Bee Colony，ABC）［26］、PSO［27］、灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimizer，GWO）［28］進(jìn)行對(duì)比。

表1 測(cè)試函數(shù)Tab.1 Test functions

為了確保實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，算法參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為最大迭代次數(shù)Max_iter=1 000，種群規(guī)模N=40，函數(shù)最大評(píng)估次數(shù)為40 000。為了避免實(shí)驗(yàn)的偶然性，每一種算法都進(jìn)行了40 次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)，并計(jì)算最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差。最優(yōu)值xbest=表示第i次獨(dú)立運(yùn)行時(shí)算法達(dá)到的最優(yōu)解；平均值標(biāo)準(zhǔn)差σ=

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2 所示，最優(yōu)結(jié)果加粗表示。由表2 可知，在F1～F6單峰函數(shù)40 次的獨(dú)立測(cè)試得到的各項(xiàng)指標(biāo)中，HDASDE 在F1、F4、F6函數(shù)中均找到了函數(shù)的理論極值，而在F2、F3、F5函數(shù)中，HDASDE 的尋優(yōu)能力僅次于GWO，表明HDASDE 有較優(yōu)秀的局部開(kāi)發(fā)能力。在多峰函數(shù)F7～F13中，HDASDE 在F8～F13的函數(shù)測(cè)試中均優(yōu)于其他算法，表明算法具有較強(qiáng)的全局勘探能力；同時(shí)HDASDE 在F9、F11函數(shù)中找到了理論極值，表明算法不僅擁有較強(qiáng)的全局勘探能力，而且有一定的開(kāi)發(fā)能力。

圖5 為6 種算法獨(dú)立求解6 個(gè)單峰測(cè)試函數(shù)40 次所得結(jié)果的箱線圖，F(xiàn)obj為測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)度值。從圖5 可知，HDASDE 在F1、F4、F6中均無(wú)異常點(diǎn)出現(xiàn)，說(shuō)明它在求解這些測(cè)試函數(shù)時(shí)有穩(wěn)定的表現(xiàn)；而在F2、F3、F5中雖然有異常點(diǎn)出現(xiàn)，但均遠(yuǎn)少于DA、DE 算法、ABC 算法、PSO 算法。

圖5 單峰函數(shù)測(cè)試的箱線圖Fig.5 Boxplots of unimodal function test

圖6 為6 種算法獨(dú)立求解6 個(gè)多峰測(cè)試函數(shù)40 次所得結(jié)果的箱線圖?？梢钥闯觯琀DASDE 在多峰函數(shù)的測(cè)試中結(jié)果分布最集中，異常值最少，說(shuō)明HDASDE 在處理復(fù)雜的多峰函數(shù)時(shí)具有良好的表現(xiàn)。綜上所述，HDASDE 在13 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，結(jié)果分布相對(duì)其他對(duì)比算法最集中，表明HDASDE具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖6 多峰函數(shù)測(cè)試的箱線圖Fig.6 Boxplots of multimodal function test

為了更精準(zhǔn)地展現(xiàn)HDASDE 的優(yōu)勢(shì)，采用Wilcoxon 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)層面判斷不同算法在13 個(gè)測(cè)試函數(shù)下的顯著性區(qū)別。將6 種算法獨(dú)立求解13 個(gè)測(cè)試函數(shù)40 次得到的結(jié)果，在置信度為0.05 的條件下進(jìn)行檢查，判斷HDASDE 與對(duì)比算法的顯著性差異。Wilcoxon 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果如表3 所示。由表3 可知，在13 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，HDASDE 性能在全部的測(cè)試函數(shù)中均優(yōu)于DA、DE 算法和ABC 算法，在12 個(gè)函數(shù)中優(yōu)于PSO 算法，在10 個(gè)測(cè)試函數(shù)中優(yōu)于GWO 算法。因此基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的分析，在收斂精度上，HDASDE 明顯優(yōu)于對(duì)比算法。

表3 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)Tab.3 Wilcoxon signed-rank test

圖7 為6 種算法在部分測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線。由圖7可知，在除了F3以外的函數(shù)外，HDASDE 的收斂精度遠(yuǎn)高于其他算法，但是由于它使用了亞群策略混合差分進(jìn)化算法，前期偏向于DA 的全局勘探能力，所以HDASDE 的收斂速度小于其他算法，但由F1～F6可知HDASDE 獲得了較高的收斂精度；由F7～F13可知，HDASDE 有較強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)能力（在多峰函數(shù)的測(cè)試中收斂精度均遠(yuǎn)高于其他算法，并且在F9和F11中找到了理論極值）。

圖7 部分函數(shù)收斂曲線對(duì)比Fig.7 Partial function convergence curve comparison

4 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題

為了驗(yàn)證本文算法HDASDE 求解工程優(yōu)化問(wèn)題的有效性和可行性，將HDASDE 與5 種基本優(yōu)化算法，在三桿桁架的工程設(shè)計(jì)問(wèn)題上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與文獻(xiàn)［29］中記錄的多種算法求解相應(yīng)的問(wèn)題的最優(yōu)值進(jìn)行對(duì)比。為了保證測(cè)試的公正性，所有測(cè)試問(wèn)題的約束條件、變量范圍、常參數(shù)設(shè)置均與標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題完全相同。對(duì)比算法各自獨(dú)立運(yùn)行50 次，種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)max_iter=1 000。

4.1 求解三桿桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題

三桿桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型如圖8 所示。三桿桁架的設(shè)計(jì)目標(biāo)是通過(guò)尋找全局最優(yōu)值，設(shè)計(jì)出重量最小的三桿桁架［30］。在該模型中桿1、3 的橫截面面積相同（A1=A3），三桿桁架問(wèn)題有兩個(gè)優(yōu)化變量，分別為桿1、3 的橫截面積A1，桿2 的橫截面積A2。這兩個(gè)優(yōu)化變量｛A1，A2｝構(gòu)成了一個(gè)二維約束優(yōu)化問(wèn)題。三桿桁架優(yōu)化問(wèn)題的各維度的取值范圍、適應(yīng)度函數(shù)、不等式約束條件、常變量取值如下所示。

圖8 三桿桁架結(jié)構(gòu)Fig.8 Three-bar truss structure

適應(yīng)度函數(shù)：

其中：l為桁架的撓度；P為屈曲荷載；σ為應(yīng)力。

針對(duì)約束問(wèn)題，通常根據(jù)約束條件的特點(diǎn)構(gòu)造出懲罰函數(shù)，然后加入到目標(biāo)函數(shù)中，將它轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題。新目標(biāo)函數(shù)的解在懲罰值z(mì)趨于無(wú)窮時(shí)與原始目標(biāo)函數(shù)的解一致。本文采用外點(diǎn)罰函數(shù)法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，新的適應(yīng)度函數(shù)如式（32）所示：

其中：z為懲罰值；n為約束條件個(gè)數(shù)；λ為懲罰常數(shù)。

4.2 算法求解三桿桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的結(jié)果分析

表4 顯示了HDASDE 與DA［6］、DE［18］、ABC［26］、GWO［28］、PSO［27］以及文獻(xiàn)［29］中列出的其他10 種算法：蚱蜢優(yōu)化算法（Grasshopper Optimization Algorithm，GOA）、蟻獅優(yōu)化（Ant Lion Optimizer，ALO）、自適應(yīng)灰狼優(yōu)化算法-Ⅲ（Modified GWO-Ⅲ，MGWO-Ⅲ）、自適應(yīng)灰狼優(yōu)化算法-Ⅱ（Modified GWO-Ⅱ，MGWO-Ⅱ）、灰狼優(yōu)化算法-Ⅰ（GWO-Ⅰ）、正余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）、多元宇宙優(yōu)化（Multi-Verse Optimizer，MVO）、引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）、布谷鳥(niǎo)搜索（Cuckoo Search，CS）、ERDSSA（adaptive Dynamic Role Salp Swarm Algorithm with Effective scaling and random crossover strategy）在求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)值的比較。

表4 不同算法求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題得到的最優(yōu)值Tab.4 Optimal values obtained by different algorithms in solving three-bar truss design problem

表4 是每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行50 次所得最優(yōu)值，最優(yōu)值越低，結(jié)果越好。從表4 可以看出，對(duì)于三桿桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文的HDASDE 與PSO、ALO 算法所求得的最優(yōu)值均為263.895 843，均小于其他算法的最優(yōu)值。因此HDASDE 在求解三桿桁架優(yōu)化問(wèn)題時(shí)能求得一個(gè)較好的有效值，驗(yàn)證了本文算法的有效性。而且?guī)缀跛械娜褐悄軆?yōu)化算法均能找到一個(gè)較好的最優(yōu)解（最優(yōu)解的差距均在±1.0 之內(nèi)），充分說(shuō)明了群智能優(yōu)化算法在求解工程優(yōu)化問(wèn)題上的有效性，同時(shí)HDASDE 求解出的最優(yōu)值仍優(yōu)于其他算法，驗(yàn)證了HDASDE 對(duì)于求解工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題優(yōu)良可信的求解能力。

5 結(jié)語(yǔ)

本文使用亞群策略將蜻蜓算法（DA）與差分進(jìn)化（DE）算法混合在一起，提出一種基于亞群和差分進(jìn)化的混合蜻蜓算法（HDASDE），使用亞群策略和蜻蜓算法的勘探能力來(lái)增強(qiáng)HDASDE 的全局勘探能力，使用動(dòng)態(tài)的亞群變化平衡算法的開(kāi)發(fā)和勘探能力，最后利用DE 的局部開(kāi)發(fā)能力進(jìn)一步提高算法的收斂精度。在13 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的測(cè)試結(jié)果表明，HDASDE 充分結(jié)合了DA 和DE 的優(yōu)點(diǎn)，有較強(qiáng)的跳出局部極值的能力和較高的收斂精度。同時(shí)，將HDASDE 用于求解三桿桁架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，驗(yàn)證了HDASDE 在求解工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題上具有很好的求解質(zhì)量和有效性。

在未來(lái)的研究中，希望對(duì)亞群的動(dòng)態(tài)變化策略進(jìn)行更深入的研究，如：使用亞群策略混合多種算法，充分發(fā)揮每個(gè)算法的優(yōu)勢(shì)；在算法搜索的過(guò)程中，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)亞群個(gè)體進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，并將算法用于更復(fù)雜的工程優(yōu)化問(wèn)題。