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        基于最大熵原理的噴霧液滴粒徑分布預(yù)測研究

        2023-09-23 06:38:28彭燕祥何貴成
        農(nóng)業(yè)機械學(xué)報 2023年9期
        關(guān)鍵詞:液滴霧化峰值

        彭燕祥 張 華 何貴成

        (華北電力大學(xué)水利與水電工程學(xué)院,北京 102206)

        0 引言

        噴霧是一種復(fù)雜的水氣兩相流運動,在許多工程應(yīng)用中起著重要的作用,如發(fā)動機燃料的燃燒[1]、農(nóng)業(yè)噴灌技術(shù)[2-3]、噴霧降溫[4-5]等。液滴粒徑分布是噴霧過程的質(zhì)量、動量和能量輸運的關(guān)鍵參數(shù),特別是在農(nóng)業(yè)灌溉以及農(nóng)藥噴撒方面,霧滴粒徑是影響灌溉液滴以及農(nóng)藥的飄移、沉降的關(guān)鍵因素之一,如何確定噴霧中液滴的粒徑分布已成為一個重要的科學(xué)問題。

        近年來,國內(nèi)對農(nóng)業(yè)灌溉以及農(nóng)藥噴撒過程中霧滴譜的研究逐漸趨熱。噴霧液滴粒徑分布是噴頭設(shè)計以及評價霧化效果的重要指標(biāo)[6],因此,許多學(xué)者針對不同的應(yīng)用場景,對噴嘴霧化的粒徑分布進行了大量的實驗研究。如韓文霆等[6]利用2D視頻雨滴譜儀,對噴頭噴灑液滴的粒徑分布進行了測量。李紅等[7]采用改進的色斑法,對噴頭噴灑雨滴的粒徑分布進行測量。霧滴的分布特性通常用霧滴譜表示,霧滴的粒徑分布與霧化器的設(shè)計及霧化效果有著直接的關(guān)系[8]。

        目前的噴霧液滴粒徑分布函數(shù)主要分為經(jīng)驗分布和理論分布兩類。經(jīng)驗分布是通過大量的實驗研究,得到液滴粒徑分布的經(jīng)驗公式,如Nukiyama-Tanasawa分布[9]以及Rosin-Rammler分布[10]和上限函數(shù)分布等[11-12]。理論分布包括正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布(Logarithmic normal distribution,LN)[13-14]以及最大熵分布[8],其中最大熵分布應(yīng)用最為普遍。

        SELLENS等[15]首先提出運用最大熵模型預(yù)測液滴粒徑分布的思路。隨后SELLENS運用物理守恒約束的最大熵(Maximum entropy method,MEM)模型,對霧化液滴粒徑分布進行預(yù)測研究[16]。研究表明,通過質(zhì)量守恒推導(dǎo)的最大熵模型在液滴粒徑分布的預(yù)測中,預(yù)測峰值較實驗值,會向較大液滴直徑方向偏移。CAO等[17]給出的解決辦法是對分布模型參數(shù)進行修正。隨后王婕等[18]基于最大熵原理,通過最小二乘法對參數(shù)的修正提出了優(yōu)化。

        可見,基于物理守恒為約束機制的最大熵分布預(yù)測模型,在目前的研究中對液滴粒徑分布的預(yù)測并不理想。目前常用的解決辦法是引入?yún)?shù),或?qū)?shù)進行修正,但是主觀引入?yún)?shù)會造成一定的誤差,影響預(yù)測精度,且在復(fù)雜的噴霧環(huán)境下,物理守恒約束條件的源項求解相對比較困難。因此,本文基于最大熵原理,通過平均直徑約束條件,構(gòu)建霧滴粒徑數(shù)量概率密度分布模型(Maximum entropy principle,MEP),應(yīng)用于噴霧液滴粒徑數(shù)量概率密度分布的研究中。

        1 研究方法

        1.1 對數(shù)正態(tài)分布

        對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為

        (1)

        式中μ——尺寸參數(shù)

        σ——形狀參數(shù)

        x——隨機變量

        1.2 液滴粒徑分布函數(shù)

        信息熵由SHANNON[19]首次提出,能夠反映一個宏觀系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的不確定性,其數(shù)值是該狀態(tài)下包含信息量的數(shù)學(xué)度量。

        (2)

        式中S——信息熵k——常數(shù)

        推斷液滴粒徑分布的可用信息約束數(shù)學(xué)表達式為

        (3)

        當(dāng)n=1時,式(3)為數(shù)學(xué)期望的表達式。

        假設(shè)液滴在表面張力的作用下,呈球形分布,則

        (4)

        式中Di——將液滴直徑按從小到大進行排序分組,第i組液滴的代表直徑,μm

        則式(3)可以寫成

        (5)

        令3n=r,則約束條件為

        (6)

        將Di無量綱處理得

        (7)

        其中

        式中D30——質(zhì)量平均直徑,μm

        Di無量綱處理后式(6)可表示為

        (8)

        其中

        Pi滿足歸一化條件約束

        (9)

        將式(8)、(9)作為約束條件,利用拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造函數(shù)L(Pi),即

        (10)

        式中λ0、λr——拉格朗日乘子

        令L(Pi)對Pi的偏導(dǎo)數(shù)等于0,得到Pi的表達式為

        (11)

        式中a——最大熵分布系數(shù)

        (12)

        假設(shè)液滴粒徑的變化是連續(xù)的,式(12)可以寫為

        (13)

        (14)

        (15)

        (16)

        式中fn(D′)——霧滴粒徑連續(xù)分布的概率密度分布函數(shù)

        定義MEPZ為最大熵分布函數(shù)fn(D′)的最高階次Z(Z=1,2,…),即式(16)中m=Z。

        則可構(gòu)建方程組為

        (17)

        其中

        式中Dmin——液滴最小直徑,μm

        Dmax——液滴最大直徑,μm

        式(17)中一般將噴霧液滴的最小無量綱直徑D′min取零,D′max的取值對液滴粒徑分布規(guī)律沒有實質(zhì)的影響[14],只需要取值足夠大即可,本文計算時取D′max=3.5。

        又因為平均直徑定義為

        (18)

        則式(17)可以寫成

        (19)

        式(19)表示方程數(shù)為Z+1的方程組,a及λ1、λ2、…、λZ為方程的Z+1個未知數(shù),方程組是封閉的。由于方程組是一個帶定積分的非線性方程組,所以方程的求解只能通過數(shù)值求解方法。

        1.3 液滴的粒徑分布與Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9 的關(guān)系

        農(nóng)業(yè)航空中常用平均直徑Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9來評價噴嘴霧化效果,其中Dv0.1表示霧滴累計分布為10%的霧滴直徑,即小于此霧滴直徑的霧粒體積占全部霧粒體積的10%;Dv0.5表示霧滴累計分布為50%的霧滴直徑;Dv0.9表示霧滴累計分布為90%的霧滴直徑。通過求解式(19)可以得到液滴的粒徑分布函數(shù)fn(D′)的表達式,即能求出各種液滴粒徑范圍所占百分比。

        分布函數(shù)fn(D′)確定,則直徑為D′i的概率密度可以表示為fn(D′i),則粒徑為D′i的液滴數(shù)n(D′i)可以表示為

        n(D′i)=Nfn(D′i)

        (20)

        則粒徑為D′i液滴的體積Vol(D′i)可以表示為

        (21)

        將Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9用D30無量綱化為D′v0.1、D′v0.5、D′v0.9。

        根據(jù)Dv0.1的定義可得,液滴粒徑在[0,D′v0.1]的液滴體積占總體積的10%,數(shù)學(xué)表達式為

        (22)

        方程中只有D′v0.1為未知數(shù),所以在分布函數(shù)fn(D′)確定時,可以通過式(22)對D′v0.1進行求解。

        同理可得D′v0.5、D′v0.9與粒徑分布函數(shù)的關(guān)系為

        (23)

        (24)

        1.4 平均直徑計算

        求解式(19),需對無量綱平均直徑D′r0進行計算。D′r0可以通過兩種方法進行計算:①通過實驗數(shù)據(jù)計算。通過實際的實驗測量數(shù)據(jù),根據(jù)式(7)、(18)直接確定無量綱平均直徑D′r0。②通過經(jīng)驗公式進行計算。通過實際的工況條件:噴嘴類型、噴嘴直徑等,來求解平均直徑。例如RIZK等[20]、ELKOTB[21]提出了索特爾直徑(SMD)D32的經(jīng)驗公式,WOOTAE等[22]提出了質(zhì)量平均直徑D30的經(jīng)驗公式。DUMOUCHEL等[23]給出了平均直徑系列的關(guān)系表達式

        (25)

        式中c、u——常數(shù)

        Dcu、Dr0——一系列平均直徑,μm

        ?!ゑR函數(shù)

        可以推導(dǎo)出平均直徑與D32的關(guān)系為

        (26)

        在已知質(zhì)量平均直徑D30或D32的情況下,通過式(25)能求解任意一個平均直徑。

        根據(jù)式(26),D30可以表示為

        (27)

        無量綱平均直徑D′r0r可以表示為

        (28)

        2 預(yù)測模型優(yōu)選

        2.1 液滴粒徑分布數(shù)值計算

        預(yù)測模型優(yōu)選的求解過程采用有實驗數(shù)據(jù)的求解方法。采用FU[24]的環(huán)形鼓風(fēng)噴嘴霧化實驗數(shù)據(jù)進行研究,噴嘴示意圖如圖1所示,其中填充部分為噴嘴結(jié)構(gòu),未填充部分為流體通道。具體工況如表1所示。

        表1 環(huán)形鼓風(fēng)噴嘴霧化實驗工況

        圖1 環(huán)形鼓風(fēng)噴嘴示意圖

        根據(jù)各工況下的實驗數(shù)據(jù),計算得到霧化液滴的算術(shù)平均直徑D10、表面積平均直徑D20以及質(zhì)量平均直徑D30,具體見表2。

        表2 環(huán)形鼓風(fēng)噴嘴霧化實驗的液滴平均直徑

        圖2為工況1條件下液滴粒徑數(shù)量概率分布的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比,圖2中的MEP1~MEP3分別表示式(16)最高次階為1~3的最大熵分布函數(shù),從圖2和表3可知,各分布函數(shù)都能對液滴分布的趨勢進行預(yù)測,相關(guān)系數(shù)R均在0.85以上。LN分布函數(shù)與MEM分布預(yù)測的峰值偏大。液滴分布的峰值在D′i=0.5附近。MEM分布的預(yù)測結(jié)果峰值偏向于液滴直徑較大一側(cè),預(yù)測峰值在D′i=0.7附近,其他分布函數(shù)對于液滴分布的峰值預(yù)測比較理想,分布峰值都在D′i=0.5附近。本文構(gòu)建的預(yù)測模型MEP1、MEP2、MEP3的預(yù)測結(jié)果較為理想,均方根誤差(RMSE)均低于0.1,相關(guān)系數(shù)均高于0.95。

        圖3為工況2條件下液滴粒徑數(shù)量概率分布的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比,從圖3和表3可知,LN和MEM分布函數(shù)預(yù)測的效果較差。液滴分布峰值直徑在D′i=0.3附近,MEM和MEP1以及LN分布的預(yù)測結(jié)果峰值偏向于液滴直徑較大一側(cè),MEM預(yù)測分布峰值直徑在D′i=0.6左右,MEP1和LN預(yù)測分布的峰值直徑在D′i=0.4附近。MEP2、MEP3分布模型的預(yù)測結(jié)果較為理想,預(yù)測分布峰值均在D′i=0.3附近,與實驗值較為吻合,預(yù)測值與實驗值的相關(guān)系數(shù)均為0.965,均方根誤差為0.135、0.134。

        圖4為工況3條件下液滴粒徑數(shù)量概率分布的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比,從圖4和表3可知,各分布函數(shù)預(yù)測的液滴分布結(jié)果和實驗值的相關(guān)系數(shù)均在0.8以上。LN分布函數(shù)和MEM分布預(yù)測的峰值相當(dāng),峰值相對于實驗值略微偏大。MEM和MEP1以及LN分布的預(yù)測結(jié)果峰值偏向直徑較大一側(cè),MEM預(yù)測的分布峰值直徑在D′i=0.7附近,MEP1以及LN分布預(yù)測的分布峰值直徑在D′i=0.46附近,實驗液滴分布峰值在D′i=0.37附近。MEP2、MEP3分布模型的預(yù)測結(jié)果較為理想,預(yù)測的分布峰值均在D′i=0.37附近,與實驗數(shù)據(jù)吻合。MEP2和MEP3模型的預(yù)測值幾乎重合,預(yù)測值與實驗值的相關(guān)系數(shù)為0.989、0.988,均方根誤差為0.060、0.062。

        圖4 工況3液滴粒徑數(shù)量概率密度分布預(yù)測與實測數(shù)據(jù)對比

        圖5為工況4液滴粒徑數(shù)量概率分布的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比,從圖5和表3可知,LN、MEM和MEP1分布的預(yù)測結(jié)果峰值偏向于直徑較大一側(cè),MEM預(yù)測峰值分別在D′i=0.69附近,實驗液滴分布峰值在D′i=0.38附近,MEP2、MEP3分布模型的預(yù)測結(jié)果的峰值均在D′i=0.38附近,與實驗數(shù)據(jù)吻合。MEP2和MEP3模型的預(yù)測值幾乎重合,預(yù)測值與實驗值的相關(guān)系數(shù)均為0.99,均方根誤差為0.070、0.068。

        圖5 工況4液滴粒徑數(shù)量概率密度分布預(yù)測與實測數(shù)據(jù)對比

        2.2 結(jié)果分析

        4種工況條件下各分布模型預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與均方根誤差統(tǒng)計,如表3所示。

        通過2.1節(jié)的分析,可以看出MEP2和MEP3的預(yù)測效果最好。MEP3的預(yù)測曲線與MEP2的預(yù)測曲線在4種工況條件下都比較接近,幾乎重合。MEP2模型含有3個參數(shù),而MEP3含有4個參數(shù)。因此采用赤池信息準則(Akaike information criterion,AIC)對兩個模型展開進一步比選研究,AIC最小的模型為最優(yōu)模型。

        AIC準則函數(shù)定義為

        (29)

        式中kn——模型中參數(shù)個數(shù)

        Ne——實測樣本數(shù)目

        MEP2和MEP3模型對應(yīng)的AIC結(jié)果如表4所示。從表4可以看出,工況1、2、3情況下MEP2的AIC均比MEP3的低,在工況4條件下,由于液體和內(nèi)外環(huán)空氣的流速都較大,使得液體霧化的環(huán)境更加復(fù)雜,采用3個約束條件的MEP3預(yù)測模型的預(yù)測效果相對MEP2模型偏好,MEP3比MEP2的AIC低,但從相關(guān)系數(shù)和均方根誤差來看,MEP3與MEP2結(jié)果相差并不大。綜合考慮,一般情況下MEP2模型對噴嘴霧化液滴粒徑分布的預(yù)測效果更好。最優(yōu)的MEP2分布預(yù)測模型為

        (30)

        對比MEP1、MEP2和MEP3可以發(fā)現(xiàn),MEP1采用了平均直徑D10的約束,MEP2采用了平均直徑D10、D20的約束,MEP3采用了平均直徑D10、D20和D30的約束。通過增加平均直徑約束條件有助于提高分布模型的預(yù)測精度,但MEP3和MEP2預(yù)測的液滴粒徑分布曲線幾乎重合,說明增加約束并不一定能顯著增加模型的預(yù)測效果。通過對比MEM、MEP1、MEP2和MEP3的液滴粒徑分布預(yù)測結(jié)果表明,采用單個約束的最大熵預(yù)測模型預(yù)測的液滴粒徑分布的峰值會偏向直徑較大的一側(cè)。

        為了進一步驗證MEP2分布模型對不同類型噴嘴產(chǎn)生的液滴的粒徑分布預(yù)測的適用性,將MEP2應(yīng)用于文獻[18,25-29]中不同類型噴嘴的液滴粒徑分布的研究中,并與文獻中給定的實驗數(shù)據(jù)進行對比,如圖6所示。其中文獻[18]采用對撞式噴嘴,噴嘴壓強為2.2 MPa,實驗數(shù)據(jù)共計8組,如圖6a所示;文獻[25]采用的平面射流噴嘴,液體流速1 m/s,空氣流速93 m/s,實驗數(shù)據(jù)共計100組,如圖6b所示;文獻[26]采用斯普瑞噴嘴噴頭(1/4 TTG 0.3),噴霧流率3.52 mL/s,實驗數(shù)據(jù)共計12組,如圖6c所示;文獻[27]采用旋流式氣泡霧化噴嘴,噴嘴壓強為0.5 MPa,實驗數(shù)據(jù)共計24組,如圖6d 所示;文獻[28]采用壓力旋流噴嘴,噴嘴流率0.16 m3/h,實驗數(shù)據(jù)共計8組,如圖6e所示;文獻[29]采用靜電噴霧方法,噴嘴流率為25 mL/min,高壓發(fā)生器控制環(huán)形電極施加電壓,實驗數(shù)據(jù)共計22組,如圖6f所示。

        圖6 MEP2模型對不同類型噴嘴的預(yù)測結(jié)果及實驗數(shù)據(jù)對比

        圖7為MEP2對不同類型噴嘴產(chǎn)生的液滴的粒徑分布計算結(jié)果的相關(guān)系數(shù)和均方根誤差。從圖7可以看出,MEP2分布預(yù)測的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)較為吻合,相關(guān)系數(shù)都在0.9以上,均方根誤差低于0.25,MEP2分布模型總體上能夠反映不同類型噴嘴產(chǎn)生的液滴粒徑的分布特性。同時也可以看出MEP2分布模型對于文獻[25-26,28]計算的結(jié)果更好,相關(guān)系數(shù)都超過0.98,均方根誤差均低于0.072,而對其他3篇文獻計算的結(jié)果稍差。這是因為文獻[25-26,28]采用的是比較簡單的噴霧霧化工況,而文獻[18,27,29]的霧化工況更加復(fù)雜。

        圖7 MEP2模型對不同類型噴嘴的預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和均方根誤差

        3 預(yù)測模型應(yīng)用

        3.1 實驗數(shù)據(jù)及參數(shù)

        將MEP2預(yù)測模型應(yīng)用于文獻[22]中Pratt &Whitney Canada(PWC)公司制造的壓力噴嘴的霧滴粒徑分布的預(yù)測研究。實驗參數(shù)如表5所示。

        表5 不同工況條件下PWC壓力噴嘴實驗參數(shù)

        3.2 基于無實驗數(shù)據(jù)的平均直徑計算

        對預(yù)測模型的求解采用無實驗數(shù)據(jù)情況的求解方法。MEP2分布預(yù)測模型中含有3個參數(shù),所以式(17)中只需要D′10、D′20、D′30其中2個即可。又因為無量綱平均直徑D′30=1,所以只需要在D′10、D′20中確定一個量就可以對預(yù)測模型方程組進行求解。D′10、D′20的計算可以利用式(28)求得。理論上選擇D′10、D′20都不會影響預(yù)測結(jié)果,但通過式(25)~(28)求解平均直徑時會產(chǎn)生誤差,所以D′10、D′20的計算精確度直接會影響預(yù)測結(jié)果。為了盡量消除這個誤差,本文應(yīng)用表2中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),對已知D30的情況,通過式(25)求解D10、D20的準確性進行評估,計算結(jié)果如表6所示。

        表6 平均直徑D10、D20評估誤差分析

        從表6可以看出,D20的計算誤差明顯低于D10,所以本文選擇D′20求解粒徑分布函數(shù)。通過式(28)求得D′20=0.65。由于本文重點研究預(yù)測模型的可靠性,故為了過程簡便,本文省略通過經(jīng)驗公式計算平均直徑的步驟,直接用實驗得到的平均直徑D30和最小直徑Dmin參與模型預(yù)測計算。

        3.3 預(yù)測結(jié)果

        研究表明,壓水式噴嘴的最小直徑往往不是從零值開始的[30],如圖8所示。所以本文將通過D30無量綱化的最小直徑D′0引入分布預(yù)測模型中,得分布模型為

        圖8 PWC噴嘴實驗與預(yù)測液滴粒徑數(shù)量概率密度分布對比

        λ2(D′-D′min)2)

        (31)

        通過求解式(31)來確定分布參數(shù)a、λ1、λ2。積分上下限取D′min=D′0,D′max=3.5。求解的方程組為

        (32)

        從圖8可以看出,模型預(yù)測的液滴粒徑分布與實驗數(shù)據(jù)基本一致。工況1條件計算結(jié)果的相關(guān)系數(shù)為0.994,均方根誤差為0.072。PWC噴嘴在工況2、3、4情況下,模型預(yù)測液滴粒徑數(shù)量概率密度分布的峰值較實驗值低,相關(guān)系數(shù)分別為0.992、0.981、0.973,均方根誤差分別為0.088、0.135、0.147??梢钥闯瞿P蛯τ诠r3和工況4預(yù)測的結(jié)果較差,這是因為應(yīng)用式(28)對無量綱平均直徑D′r0r求解過程中,在不同工況條件下存在一定的偏差導(dǎo)致。假如平均直徑的計算足夠準確,模型總體上能夠反映不同工況條件下霧滴的粒徑分布特征。

        4 結(jié)論

        (1)建立了霧滴粒徑分布的最大熵模型,并通過數(shù)值方法求解閉合方程組的方法,確定液滴粒徑分布函數(shù),液滴粒徑分布函數(shù)可以求出各種霧滴粒徑范圍所占的百分比,并且能夠運用液滴數(shù)量分布函數(shù)對Dv0.1、Dv0.5、Dv0.9等噴頭噴霧評價指標(biāo)進行求解。

        (2)應(yīng)用環(huán)形鼓風(fēng)噴嘴霧化的實驗數(shù)據(jù)對液滴粒徑分布模型進行優(yōu)選。結(jié)果表明,本文構(gòu)建的MEP2與MEP3分布模型能很好地適用于噴霧液滴的粒徑分布預(yù)測。預(yù)測的液滴粒徑分布與實驗值的相關(guān)系數(shù)均高于0.96,均方差誤差均低于0.135,并且預(yù)測的結(jié)果優(yōu)于LN和MEM分布模型。通過對比MEP2和MEP3分布模型的AIC,表明MEP2模型是一個更優(yōu)模型。

        (3)應(yīng)用不同類型噴嘴的霧化液滴粒徑分布實驗數(shù)據(jù)對三參數(shù)最大熵模型的適用性進行檢驗,結(jié)果表明模型的預(yù)測結(jié)果基本符合不同類型噴嘴霧化霧滴的粒徑分布特征。最后應(yīng)用MEP2模型預(yù)測Pratt &Whitney Canada公司制造的壓力噴嘴的液滴粒徑分布,對比結(jié)果顯示預(yù)測值與實驗數(shù)據(jù)基本吻合。在不同類型噴嘴情況下,模型均能獲得良好的預(yù)測結(jié)果,表明本文構(gòu)建的MEP2模型具有較廣泛的適用性。

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