■楊家旺 楊子敬

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解含參數(shù)不等式問題,常常涉及對參數(shù)的分類討論,這是解含參數(shù)不等式問題的一個(gè)難點(diǎn)。下面就含參數(shù)不等式問題的處理策略進(jìn)行分析。

題型一：能因式分解的一元二次不等式

例1解下列不等式。

(1)x2-ax-12a2＜0(a＜0)。

(1)由x2-ax-12a2＜0(a＜0),可得(x-4a)(x+3a)＜0。由4a＜0＜-3a,解得4a＜x＜-3a,所以不等式x2-ax-12a2＜0(a＜0)的解集為{x|4a＜x＜-3a}。

感悟：一元二次不等式能因式分解時(shí),可借助兩根的大小關(guān)系,結(jié)合二次函數(shù)圖像,“以形助數(shù)”求出對應(yīng)的解集。

題型二：二次項(xiàng)含參數(shù)且能因式分解的一元二次不等式

例2已知關(guān)于x的不等式ax2+3x+2＞0(a∈R)。

(1)若ax2+3x+2＞0的解集為{x|b＜x＜1},求實(shí)數(shù)a,b的值。

(2)求關(guān)于x的不等式ax2-3x+2＞ax-1的解集。

(1)因?yàn)閍x2+3x+2＞0的解集為{x|b＜x＜1},所以方程ax2+3x+2=0的兩個(gè)根為b,1(b＜1)。

(2)由ax2-3x+2＞ax-1,可得ax2-(a+3)x+3＞0,即(ax-3)(x-1)＞0。

當(dāng)a=0時(shí),不等式為x-1＜0,可得解集為{x|x＜1}。

當(dāng)a＜0時(shí),不等式為0,可得解集為

感悟：解二次項(xiàng)含參數(shù)且能因式分解的一元二次不等式,可對參數(shù)進(jìn)行分類討論,借助對應(yīng)的二次函數(shù)圖像,“以形助數(shù)”求出對應(yīng)的解集。

題型三：二次項(xiàng)含參數(shù)且不能因式分解的一元二次不等式

例3解關(guān)于x的不等式ax2+2x+1＜0。

二次項(xiàng)含參數(shù)且不能分解,因式需進(jìn)行分類求解。

(1)當(dāng)a=0時(shí),不等式為2x+1＜0,解得x＜-,可得解集為

(2)當(dāng)a＞0時(shí),Δ=4-4a,函數(shù)f(x)=ax2+2x+1圖像的開口向上。

感悟：解二次項(xiàng)含參數(shù)且不能因式分解的二次不等式,可對參數(shù)進(jìn)行分類討論,借助對應(yīng)的二次函數(shù),“以形助數(shù)”求出對應(yīng)的解集。

題型四：含參數(shù)的根式不等式的求解問題

例4不等式的解集是( )。

A.{x|0≤x＜a}

B.{x|0＜x≤a}

C.{x|0≤x≤a}

D.{x|0＜x＜a}

由2x+a＞0,且a2-x2≥0,可得-＜x≤a。

綜上可得,不等式的解集是{x|0＜x≤a}。應(yīng)選B。

感悟：解含參數(shù)的根式不等式,在根式有意義的條件下,借助平方化歸為含參數(shù)的二次不等式求解,要注意求得的解集應(yīng)與根式有意義的解集求交集。

題型五：含參數(shù)的分式不等式的求解問題

例5已知a∈R,解不等式

感悟：含參數(shù)的分式不等式求解的關(guān)鍵是分類討論與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。